Zadania z fizyki. Wydział Elektroniki

Zadania z fizyki Wydział Elektroniki 7 Ruch obrotowy, moment pędu. Drgania Uwaga: Zadania oznaczone przez (c) należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach. Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, ale również obowiązkowe. Zad. 1. Znajdź iloczyny wektorowe a b, a c, b c i a d dla wektorów z rysunku obok. Zad. 2. Niech u = u x î + u y ĵ + u z ˆk i v = vx î + v y ĵ + v z ˆk Korzystając z liniowości (rozdzielności względem dodawania wektorów) iloczynu wektorowego pokaż, że u v = (u y v z u z v y )î + (u zv x u x v z )ĵ + (u xv y u y v x )ˆk. Zad. 3. Dane są wektory a = 3î + 4ĵ + 5ˆk i b = 1î + 1ˆk. Znajdź iloczyn wektorowy a b Zad. 4(c). Położenie kątowe koła o średnicy 0,36 m zmienia się według wzoru θ = (2,0 s 3 )t 3. (a) Znajdź drogę, jaką przebył punkt na obwodzie koła w przedziale czasu od t 1 = 2,0 s do t 2 = 5,0 s. (b) Znajdź średnią prędkość kątową w tym przedziale czasu i przedstaw ją w s 1 i w obrotach na minutę. (c) Znajdź chwilowe prędkości kątowe w chwilach t 1 i t 2. (d) Znajdź średnie przyspieszenie kątowe w przedziale czasu od t 2 do t 2. (e) Znajdź chwilowe przyspieszenie kątowe w chwilach t 1 i t 2. Zad. 5. Dysk blue-ray zmniejsza obroty od prędkości kątowej 27,5 s 1 ze stałym przyspieszeniem kątowym 10,0 s 2. Niech współrzędna kątowa w t = 0 wynosi 0. (a) Jaka jest prędkość kątowa dysku w t = 0,300 s? (b) Jaka jest wtedy współrzędna kątowa dysku? Zad. 6(c). Znajdź moment bezwładności pręta o długości l i masie m względem osi do niego prostopadłej i przechodzącej przez jego środek korzystając jedynie z twierdzenia Steinera o osiach równoległych oraz z faktu, że moment bezwładności musi mieć postać I = βml 2, gdzie β jest współczynnikiem liczbowym (dlaczego?). Wskazówka: Moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek równy jest łącznemu momentowi bezwładności dwóch połówek pręta względem osi przechodzącej przez ich końce. 1

Zad. 7(c). Znaleźć moment bezwładności hantli względem osi przechodzącej przez jej geometryczny środek i prostopadłej do osi hantli. Przyjąć, że hantla złożona jest z uchwytu w kształcie pręta o masie m i długości l, który można uznać za bardzo cienki, oraz z dwóch kul masie M i promieniu R. Moment bezwładności kuli o masie M i promieniu R względem osi przechodzącej przez jej środek wynosi (2/5)MR 2, natomiast moment bezwładności pręta o masie m i długości l względem osi do niego prostopadłej i przechodzącej przez jego środek wynosi (1/12)ml 2. Zad. 8. Znajdź moment bezwładności układu złożonego z czterech punktów materialnych umieszczonych w wierzchołkach kwadratu o boku a względem (a) osi prostopadłej do płaszczyzny kwadratu i przechodzącej przez jego środek; (b) osi prostopadłej do płaszczyzny kwadratu i przechodzącej przez jeden z jego wierzchołków; (c) osi zawierającej jeden z boków kwadratu. Zad. 9*. Znajdź moment bezwładności dysku o masie m i promieniu r względem średnicy dysku. Wskazówka: Podziel dysk na pręty sparametryzowane kątem θ jak na rysunku. Pokaż, że moment bezwładności takiego pręta wynosi di = 2 3π mr2 sin 4 θdθ. Wysumuj (scałkuj) momenty bezwładności poszczególnych prętów, korzystając z faktu, że π sin 4 θdθ = 3π 8. 0 Zad. 10. Siła F = 30î+40ĵ N przyłożona jest w punkcie, którego położenie opisane jest wektorem F = 8î + 6ĵ m. Oblicz: (a) moment tej siły względem początku układu; (b) długość ramienia siły; (c) wartość składowej siły prostopadłej do r. Zad. 11. Znaleźć wypadkowy moment siły działający na kwadrat w sytuacji na rysunku względem środka kwadratu. Wartości sił wynoszą F 1 = 18,0 N, F 2 = 26,0 N, F 3 = 14,0 N. Siły działają w płaszczyźnie rysunku. Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics. Zad. 12(c). Masa m 2 wisi na sznurku owiniętym wokół pełnego walca o promieniu r i o masie m 1. Walec jest zawieszony w ten sposób, że może się obracać bez tarcia wokół swojej osi (patrz rysunek). Sznurek nie ślizga się po walcu. Jakie jest przyspieszenie masy m 2? 2

Zad. 13. Opisać ruch (znaleźć przyspieszenie) ciężarków o masach m 1 i m 2 zawieszonych na bloczku o momencie bezwładności I i promieniu R (rysunek). Przyjąć m 1 > m 2. Nić nie ślizga się po bloczku, a bloczek obraca się bez tarcia. Znaleźć prędkość ciężarków i prędkość kątową bloczka po przemieszczeniu ciężarków o l (układ początkowo jest w spoczynku): (a) z równań ruchu; (b) z zasady zachowania energii. Zad. 14(c). Opisać ruch kuli po równi pochyłej (rysunek). Rozważyć przypadek słabego tarcia (ruch z poślizgiem) i silnego tarcia (ruch bez poślizgu). Sporządzić bilans energii w tym ruchu i sprawdzić, że w przypadku braku poślizgu energia mechaniczna jest zachowana (tarcie nie wykonuje żadnej pracy). Jaką pracę wykonuje siła tarcia w przypadku ruchu z poślizgiem? Zad. 15(c). Kula toczy się bez poślizgu pod górę po równi pochyłej nachylonej pod kątem β do poziomu. (a) Rozrysuj siły działające na kulę. Wyjaśnij, dlaczego siła tarcia musi być skierowana w górę równi. (b) Jakie jest przyspieszenie środka masy kuli? (c) Jaki musi być współczynnik tarcia statycznego, by zapobiec poślizgowi? Zad. 16. Jednorodny walec o masie m i promieniu r, rozkręcono w powietrzu do prędkości kątowej ω 0, a następnie postawiono na poziomym podłożu o współczynniku tarcia kinetycznego µ. Moment bezwładności walca względem jego osi wynosi I = (1/2)mr 2. Tarcie toczne pomijamy. (a) Jak długo walec będzie się ślizgał po podłożu? (b) Jaką pracę wykona siła tarcia kinetycznego podczas całego ruchu walca? Zad. 17*. Na płaszczyźnie poziomej leży szpulka nici o masie m i momencie bezwładności I = βmr 2, gdzie β jest stałą, a R zewnętrznym promieniem szpulki (rysunek). Promień warstwy nawiniętych nici wynosi r, a współczynnik tarcia między szpulką a podłożem równy jest µ (przyjmujemy jednakowe tarcie statyczne i kinetyczne). Do odwiniętego końca nici przyłożono siłę F, tworzącą kąt θ z poziomem. Tarcie toczne można pominąć. Znaleźć: (a) Wartość i kierunek przyspieszenia osi szpulki, gdy toczy się ona bez poślizgu; (b) Zakres wartości siły F, przy których nie występuje poślizg; (c) Pracę siły F od początku ruchu do chwili t w przypadku toczenia bez poślizgu. Zad. 18(c). W pewnych warunkach gwiazda może zapaść się do gwiazdy neutronowej niezwykle gęstego obiektu złożonego głównie z neutronów. Gęstość gwiazdy neutronowej jest około 10 14 razy większa niż gęstość zwykłych ciał stałych. Przypuśćmy, że gwiazdy (zarówno przed, jak i po transformacji) można reprezentować jako sztywne, jednorodne sfery. Początkowo gwiazda miała promień 7,0 10 5 km (zbliżony do promienia Słońca), a promień powstałej gwiazdy neutronowej wynosi 16 km. Jeśli początkowo gwiazda wykonywała jeden obrót w czasie 30 dni, to jaka będzie prędkość kątowa powstałej gwiazdy neutronowej? 3

Zad. 19. W eksperymencie z obrotowym stołkiem i hantlami (wykład) przyjmijmy, że każda z hantli ma masę 5,0 kg, momenty bezwładności profesora (bez hantli) z rozłożonymi i ze złożonymi ramionami wynoszą, odpowiednio, 3,0 kg m 2 i 2,2 kg m 2, a hantle znajdują się początkowo 1,0 m od osi obrotu, a potem 0,20 m od osi. (a) Jaka jest prędkość kątowa profesora ze złożonymi ramionami, jeśli początkowo wykonywał on jeden obrót na sekundę? (b) Jaką pracę wykonał profesor przemieszczając hantle? Zad. 20. W pewnym mechanizmie znajduje się koło zębate o momencie bezwładności względem osi I A, obracające się z prędkością kątową ω A. W pewnej chwili zostaje do niego dociśnięta tarcza sprzęgła o momencie bezwładności względem osi I B, obracająca się z prędkością kątową ω B. Po krótkim okresie poślizgu oba elementy obracają się razem. Siła dociskająca tarczę do koła zębatego działa dokładnie wzdłuż osi, a wpływ oporów ruchu w czasie trwania opisywanego procesu można pominąć. Znaleźć: (a) końcową prędkość kątową, z jaką obraca się układ; (b) Zmianę energii kinetycznej układu. Zad. 21*. Środek uderzenia to punkt bryły sztywnej, posiadającej ustaloną oś obrotu, o takiej własności, że prostopadłe uderzenie w ten punkt nie generuje sił reakcji w osi obrotu. Oznacza to, że gdyby ta sama bryła spoczywała swobodnie i została uderzona w środku uderzenia, to punkty leżące na osi obrotu miałyby zerową prędkość. Znajdźmy środek uderzenia kija bejsbolowego 1 : Kij bejsbolowy ma masę 0,800 kg i moment bezwładności względem środka masy 0,0530 kg m 2. Jego geometria przedstawiona jest na rysunku ( cm środek masy). Znaleźć odległość x od końca uchwytu kija, odpowiadającą środkowi uderzenia. W tym celu rozważyć prostopadłe uderzenie piłki, które przekazuje kijowi pewien popęd siły J w bardzo krótkim czasie, w którym kij praktycznie się nie obraca. Powiązać ten popęd siły z przekazem momentu pędu. Czy położenie środka uderzenia zależy od wartości popędu J? Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics. 10 Zad. 22. Rysunek obok przedstawia położenie drgającego obiektu 0 w funkcji czasu. Znajdź (a) okres drgań, (b) ich częstość (kołową), (c) amplitudę drgań. -10 x (cm) 0 5 10 15 t (s) Zad. 23(c). Pozioma sprężyna wydłuża się o 3 cm pod działaniem siły 6 N. Do sprężyny tej przyczepiamy klocek o masie 0,5 kg (drugi koniec sprężyny jest zamocowany). (a) )Znajdź częstość (kołową) i okres drgań tego układu. (b) Klockowi nadano początkowe wychylenie 1,5 cm i prędkość 40 cm/s. Jaka będzie częstość, amplituda i faza drgań? Jak zależy położenie i prędkość klocka od czasu? Zad. 24. Na ciało o masie m działa siła F s = kx, gdzie x jest wychyleniem ciała z punktu równowagi. W chwili t = 0 ciało znajduje się w położeniu równowagi. W tym momencie na ciało zaczyna działać dodatkowa stała siła F 0 (w kierunku x). Opisać ruch ciała. Wskazówka: Znaleźć nowe położenie równowagi w obecności siły F 0. Wprowadzić nową zmienną, opisującą wychylenie 1 Oczywiście wszędzie poza USA większe znaczenie ma to pojęcie w projektowaniu młotków, siekier i innych tego typu narzędzi: ergonomia wymaga, by uderzenie w główkę młotka lub w środek ostrza siekiery nie powodowało bicia w uchwycie. 4

ciała z nowego położenia równowagi i napisać równanie ruchu (oraz warunki początkowe) dla tej zmiennej. Zad. 25. Oscylator harmoniczny o częstości ω drga z amplitudą A. (a) Jakie są wartości położenia i prędkości, gdy energia potencjalna równa jest kinetycznej (przyjmij E p = 0 w punkcie równowagi)? (b) Jak często taka sytuacja zdarza się w jednym okresie drgań? Jaki jest odstęp czasu pomiędzy tymi chwilami? (c) Jaka część całkowitej energii mechanicznej przypada na energię potencjalną, a jaka na kinetyczną, gdy wychylenie równe jest A/2? Zad. 26(c). Znajdź częstość małych drgań wahadła matematycznego (masy zawieszonej na sznurku) o długości l i masie m. Zad. 27. Klocek w kształcie walca o przekroju poprzecznym S ma masę m. Zanurzony jest on w bardzo dużym naczyniu napełnionym cieczą. Gęstość cieczy w naczyniu wynosi ρ. Znaleźć częstość drgań klocka po małym wychyleniu go z położenia równowagi. Wszelkie opory ruchu pominąć. Wskazówka: Na zanurzone w cieczy ciało działa skierowana do góry siła wyporu równa ciężarowi wypartej cieczy, tzn. cieczy, która zajmowałaby objętość taką, jak zanurzona część ciała. Zad. 28(c). Dwa atomy argonu mogą tworzyć słabo związaną cząsteczkę Ar 2, w której wiązanie tworzone jest przez siłę van der Waalsa o energii potencjalnej danej wzorem [ (R0 ) 12 E p (r) = U 0 2 r ( ) 6 ] R0 gdzie r jest odległością pomiędzy atomami, U 0 = 1,68 10 21 J oraz R 0 = 3,82 10 10 m. Sprawdź, że R 0 jest położeniem równowagi tej cząsteczki. Znajdź częstość małych liniowych drgań cząsteczki Ar 2 wokół położenia równowagi. Wskazówka: Niech atomy poruszają się po osi x. Znajdź równania ruchu dla środka masy układu oraz dla wielkości u = x 2 x 1 R 0, gdzie x 1,2 położenia atomów. Zad. 29*. Rozważyć model molekuły CO 2 trzy kulki o odpowiednich masach, leżące na jednej prostej i połączone dwiema identycznymi sprężynkami. Opisać możliwe drgania podłużne takiej molekuły. Drganie asymetryczne odpowiada linii absorpcyjnej 2345 cm 1 (w spektroskopii zwyczajowo podaje się wartość k = ω/(2πc), gdzie ω jest częstością drgań, a więc także emitowanej fali elektromagnetycznej, a c jest prędkością światła). Jaka będzie częstość drgań symetrycznych (nie są one aktywne optycznie)? Zad. 30*. U sufitu stojącego wagonu kolejowego zaczepiono nieruchome wahadło matematyczne o masie m i długości l. W pewnym momencie wagon rusza z prędkością v. (a) Znajdź amplitudę kątową drgań wahadła. (b) Jaka musi być prędkość v, by uderzyło ono w sufit? Zad. 31. (Wahadło fizyczne) Znaleźć okres drgań wahadła w postaci bryły sztywnej o momencie bezwładności względem środka masy I 0, zaczepionej w odległości l od środka masy. Zad. 32(c). Ciało o masie 2,2 kg drga na sprężynie o stałej sprężystości 250 N/m z okresem 0,615 s. Czy ten układ jest tłumiony? Skąd to wiadomo? Jeśli układ jest tłumiony, znajdź stałą tłumienia β i dobroć układu. Zad. 33(c). Przy częstościach siły wymuszającej Ω 1 = 0.99 s 1 i Ω 2 = 1.01 s 1 amplituda drgań oscylatora harmonicznego równa jest połowie maksymalnej wartości. Znaleźć: r, 5

częstość odpowiadającą rezonansowi, współczynnik tłumienia β. Uwaga: Siłę oporu definiujemy jako F op = 2mβv. Spełniony jest warunek β ω 0 (skąd to wiadomo?), więc amplitudę drgań można opisać przybliżonym wzorem A = F 0 2mω 0 1 (Ω ω 0 ) 2 + β 2, gdzie F 0 i Ω to amplituda i częstość siły wymuszającej. Zad. 34. Wykaż, że praca wykonana przez siłę oporu podczas jednego okresu ustalonych drgań wymuszonych oscylatora tłumionego o częstości własnej ω 0 i dużej dobroci, wymuszanego siłą o częstości Ω bliskiej rezonansu, jest proporcjonalna do β/[(ω ω 0 ) 2 + β 2 ]. Wskazówka: T 0 cos2 (Ωt + φ)dt = T/2, T = 2π/Ω Zad. 35*. Na ciało o masie m działa siła F s = kx, gdzie x jest wychyleniem ciała z punktu równowagi, oraz siła oporu F o = 2mβv, gdzie v jest prędkością ciała. W chwili t = 0 ciało znajduje się w położeniu równowagi. W tym momencie na ciało zaczyna działać dodatkowa siła wymuszająca F (t), o kierunku równoległym do osi x. Opisać ruch ciała w następujących przypadkach: Siła wymuszająca jest stała: F (t) = F, t > 0; Siła wymuszająca ma postać bardzo krótkiego impulsu, przy czym F (t)dt = P ; Siła wymuszająca ma charakter oscylujący, F (t) = F 0 cos(ωt). 6