Analiza Matematyczna 4/5) MAP43, 9, 4, 43, 345, 357 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielonana4jednostekodpowiadającychkolejnym wykładom Na ćwiczeniach należy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania Wyjątkiem są zadania oznaczone literąp) oraz symbolem*) Zadania oznaczone literąp) są proste i należy je rozwiązać samodzielnie Z kolei zadania oznaczone gwiazdką*) są trudniejsze Te nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów Dodatkowo na końcu listy zadań umieszczono po 4 przykłady zestawów zadań z I i II kolokwium oraz z egzaminów podstawowego i poprawkowego Zachęcamy studentów do weryfikowania rozwiązań zadań za pomocą programów komputerowych Programy te można wykorzystać min do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciągów i funkcji, znajdowania pochodnych, wyznaczania całek nieoznaczonych i oznaczonych, rozwiązywania układów równań algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych itp Polecamy stronę internetową Wolfram Alpha Wiele kalkulatorów naukowych jest zaprogramowanych do wykonywania obliczeń numerycznych i symbolicznych oraz do prezentowania wykresów funkcji Uzdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy Zadania z tych egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej http://wwwimpwredupl/studencicelujacephp Przed kolokwiami i egzaminami warto zapoznać się z zestawieniem typowych błędów popełnianych przez studentów na sprawdzianach z matematyki http://pracimpwredupl/ skoczylas/typowe bledy studentowpdf Lista Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną: a) Amsterdam jest stolicą Holandii ; b) liczba 3888 jest podzielna przez 8 ; c) a +b =c ; e) 5 3 ; Napisać zaprzeczenia zdań: a) jem śniadanie i słucham radia ; b) kwadrat nie jest pięciokątem ; c) stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocław ; d) trójkątobokach3,4,5jestostrokątny ; f) =b 4ac d) jeślifunkcjafjestrosnąca,tofunkcja fjestmalejąca ; e) liczbajestpodzielnaprzez6wtedyitylkowtedy,gdyjestpodzielnaprzezorazprzez3 Zadaniazaczerpniętozksiążekautorów:AnalizamatematycznaDefinicje,twierdzenia,wzory; Przykłady i zadania; Kolokwia i egzaminy) oraz Wstęp do analizy i algebry
3 Ocenić prawdziwość zdań złożonych: a) nieprawda,żefunkcjaf)= jestrosnącana R ; b) ) 44 = lub8jestliczbąparzystą ; c) funkcjag)=sinjestokresowa,afunkcjaf)=3 nieparzysta ; d) jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra ; e) liczba3579jestpodzielnaprzez9wtedyitylkowtedy,gdysuma+3+5+7+9jestpodzielna przez9 4Używająctylkokwantyfikatorów,spójnikówlogicznychorazrelacji=,,<, )zapisaćstwierdzenia: a)punkta,b)leżypodwykresemfunkcjiy=4 ; b) punktp, q) nie należy do wnętrza pierwszej ćwiartki; { c) układ równań +y =4, nie ma rozwiązań; +y= d)równanie 7 +3 5 +=matylkojednorozwiązanierzeczywiste; e) liczba 7 jest pierwsza; f)funkcjafniejestrosnącanaprzedziale[,]; ) g)skorodlapewnego Rzachodzirówność + 3)=,arównanie +=niema rozwiązańrzeczywistych,to 3= 5 Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe: a) =7; b) +4+3>; c) +y =; R d) y R R R y=; e) R R y ) y>); f) y R R y R 6DlaparzbiorówA,B RwyznaczyćA B,A B,A\B,B\A,A c,b c : y R +) 4 +y ) 4 = a)a=,5), B=[,7]; b)a=,3), B=[, ); c)a={,}, B={,,3,4} WskazaćteparyA,B,dlaktórychA B 7P) Funkcje kwadratowe sprowadzić do postaci iloczynowejjeżeli istnieje) i naszkicować ich wykresy: a)f)= +; b)f)= +; c)f)= ++ 4 ; d)f)= + 3; e)f)= + 3 ; f)f)= 3 9 4 Lista 8 Określić i narysować dziedziny naturalne funkcji: a)f)= 3 ; b)f)= 4 + ; c)f)= 6 ; d)f)= 3 + 9 Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach: a)f)= 4+5, R; b)f)= 3,,3] Podaćwzoryfunkcjizłożonychf f,f g,g f,g gorazokreślićichdziedzinynaturalne: a)f)=, g)=+; b)f)=, g)= ; c)f)=, g)= 4 ; d)f)=, g)= +
Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach: a)f)= 3, R; b)f)=,, ) P) Korzystając z własności logarytmów obliczyć: a)log 6 3+log 6 ; b)log 3 8 log 3 ; c)9log 6 3 36; d)3log 3 log 3 4; e)3log 4 3 log 43+3log 4 log 4 6; f) log 54 log 6 log 7 log 9 3 Naszkicować wykresy funkcji: a)y=+) 4 ; b)y= ; c)y= ) d)y= + ; e)y= ; f)y=4 ; 3 g)y=5+log ; h)y= log ; i)y=log 3 +3) ; 4 Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji: a)f)= + ; b)f)=3 3 +; c)f)= ; d)f)=4 e)f)=log+); f)f)= ; g)f)= 4 3 3) Lista 3 9 ; 5Narysunkuprzedstawionowykresfunkcjiy=f) Narysować wykresy funkcji: a)y=f)+3; b)y=f+); c)y= f); e)y= f); g)y= f) ; d)y=f ); f)y=f3); h)y=f ) y y=f) 6P) Korzystając z wykresu funkcji y = sin naszkicować wykresy funkcji: a)y=sin; b)y=sin 3 ; c)y=sin + π ) ; 4 d)y=+sin; e)y= sin ; f)y=sin π ) 6 7 Naszkicować wykresy funkcji: a)y= cos ; b)y=sin sin ; c)y= tg ctg 8 Uzasadnić tożsamości trygonometryczne: a) +tgα +ctgα =tgα; b)sin4 α+cos 4 α= sin α; c)tgα+ctgα= sinα ; d)tg α = cosα sinα ; e)sin4 α cos 4 α=sin α cos α; f) Dlajakichkątówαsąoneprawdziwe? cosα cosα=sinαtgα 9P) Podaj wartości wyrażeń: a)arcsin +arccos ) 3/ ; b)arcctg arctg; c)arcsin ; d)arctg 3 arcctg 3 arcsin 3
Określić dziedziny funkcji: a)f)=arcsin+); b)f)=arccos + ) ; c)f)=arctg + ; d)f)=arcctg * Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych: [ ] π a)f)=sin,,3π ; b)f)=cos, [π,π]; c)f)=tg, 3π ), π ; d)f)=ctg, π,π) Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych Lista 4 Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone: a)a n = +cosn 3 sinn ; b)a n= n n ; c)a n = n; d)a n = n+8 n+3; e*)a n = 4 + + 4 + ++ 4 n +n 3 Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca: a)a n = n+ n+ ; b)a n= n n + ; c)a n= n! n; d)a n = n 6n+ ; e)a n= 4n n +3 n; f)a n= n + n 4 Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości: 3 n a) lim = ; b) lim n+4 n =; c) lim n = 5 Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice: a) lim d) lim g) lim 3n n+ ; b) lim n+4 n + ; n + ) 3 +3++n ) n 3 +) ; e) lim +4++n n + ) n!+ ; h) lim n+)n+)! n 3 +n + c) lim n 3n 3 ; 5 n+ 4 n ; f) lim 5 n 4 n+; n +4n+ n +n) ; i) lim 6 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice: a) lim d) lim n+ ) n nπ ; b) lim ; c) lim 3n+ n n n + 3 n + n3 n3; e) lim n + n 5 n +4n; f) lim n n 4n 3 + n 3+sinn; n + + n + ++ ) n +n 7 Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice: a) lim + 3n ) 5n+ 5n ) 3n n ) n+4 5 n ; b) lim ; c) lim ; d) lim n) 5n+ 3n+ n+3 8 Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice: n + ) a) lim n ; b) lim n 4 3n 3 n ) n+ n n+)! d) lim ; e) lim ; f) lim n n!+ 4 ; c) lim +n 3 n ); arctgn arcctgn
9Będziemymówili,żeciągia n ),b n )ododatnichwyrazach,zbieżnedogranicywłaściwejlubniewłaściwej, są asymptotycznie równe, gdy lim a n/b n =Zbadać,czypodaneciągisąasymptotycznie równe: a)a n =n +,b n = n 4 +; b)a n =n 4 n 3,b n =n 4 ; c)a n = n + n +3 n,b n =3; d)a n = 3 n +5 n,b n= n +6 n; e)a n=n+)!,b n =n n!; f*)a n =n!,b n =a n,a>) Jeżeli zaś granica lim a n/b n jestliczbądodatnią,tomówimy,żeciągia n ),b n )sątegosamegorzędu Które z podanych par ciągów są tego samego rzędu? Lista 5 3 Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości: a) lim ) 5 =; b) lim 3 =; c) lim + = 3 Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice: a) lim + ; b)lim 4 ; c)lim + ; 5+4 e) lim ; f)lim ; g) lim ++) 5) 6 6 tg + i) lim π tg +5 ; j)lim sin ; k) lim ++ cos + 3 Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice: a) lim sgn; b)lim 3 ; c)lim 4 ; d)lim arctg 33 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości: a) lim cos + =; b)lim 3 arctg +sin =; c) lim = d)lim 3 4 ; ; h) lim 34 Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice: sin 3 sin 5+4 ) arcsin a) lim ; b)lim 4 ; c)lim 6 arctg ; d) lim arctg ; ln+ 3 ) g) lim e) lim π ; h) lim cos5 cos3 ; ln 3 ) + j) lim+) ; k)lim[+tg)] ctg ; 35 Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji: a)f)= 3 + 4 ; 3 b)f)= +) ; + d)f)= g)f)= cos e + Lista 6 f)lim e 3 sin ; ; i)lim π ; l)lim 3 c)f)= 9 ; ; e)f)= 3 3 ; f)f)=sin 3 ; + 3 + ; 3 + 6 ; ; h)f)= arctg; i)f)=+) 36Dobraćparametrya,b Rtak,abypodanefunkcjebyłyciągłena R: 5
dla<, a + dla<, a)f)= a+bsindla π/, b)f)= b dla ; dla>π/; Naszkicować wykres funkcji z przykładua) a +dla<, c)f)= dla, 3 +bdla> 37 Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj: + a)f)= ++ dla, arctg dla=, b)f)= dla, dla=; dla=; c)f)= ln ) ln +) dla, cos d)f)= dla, dla=; dla= 38 Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: [ a) 3 +6 =,[,]; b)sin=7, π, 5π ] ; c)= sin [ +,, π d) + =, [, ] ; e)3 +=3,[,]; f) =,[,] Wyznaczyć rozwiązania równaniaa) 5 39 Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji: a)f)= 4 R); b)f)= ); c)f)= >); d)f)=tg π ) +kπdlak Z Lista 7 4 Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: { } a)f)=, =; b)f)=sin sgn), =; c)f)=min,, = Naszkicować wykresy tych funkcji 4Zbadaćzdefinicji,czypodanefunkcjemająpochodneniewłaściwewpunkcie =: a)f)=3 5 ; b)f)= sin 4 Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe na pewnym przedziale, obliczyć pochodne funkcji: a)y=f ); b)y= f ) ; c)y=e fe ); d)y=f)cosg); e)y= f ) g ); f)y=arctg[f)g)]; ) g)y=ln f) g) ; h)y=tgf) g) ; i)y=f)g 43 Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji: a)y= + ; b)y=3cos+tg; c)y=e+ sin ; d)y= 3 + ) e ; e)y= + 4 ) tg ; f)y=e arctg; g)y=ln sin + ); h)y= 3 arcsin ); i)y=e e ; 6 ] ;
j)y= sin 3 cos ; k)y= e +) 3; l)y=sin) <<π) 44* Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć a)f)=+ln, y =e+; b)f)=cos 3, y =; c)f)= 3 + 5 + 7, y =3; d)f)= 3 +3, y =4 f ) y ),jeżeli: 45P) Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: a)f)=arcsin ) π,,f)); b)f)=ln +e,,f)); c)f)=e tg, 4,f d)f)= +,3,f3)); e)f)= +,,f )) 46a)Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)= 4 +5,którajestrównoległado prostejy=+3 b)wyznaczyćstycznądowykresufunkcjif)=,któratworzykąt π 4 zosiąo c)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=ln,którajestprostopadładoprostej +6y = d)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=arctg,wpunkciejegoprzecięciazprostą π=4y 47 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice: π ln +) lnsin a) lim ; b)lim ln +9 d) lim 5 5+4 ; e)lim lncos lncos3 ; g) lim +ln; j) limcos) ; h) lim π π )tg ; k) lim ; c)lim arctg ; f) lim arcctg; i) lim ctg ) ; π arctg ) ; l) lim ++)ln 48 Czy warto stosować regułę de L Hospitala, aby obliczyć granice: 3 + ) a) lim 3 3 +4) ; b)lim sin ) sin 5) sin 3 )sin 4 )? Lista 8 49 Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji: a)f)= 3 3 +5; d)f)= 3 3 ; g)f)=ln ; 5 Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: π 4 b)f)= 4 4 3 3 ; c)f)=4+ ; e)f)= ; f)f)=e 3 ; h)f)= ln ; i)f)= ln a)f)= 3 4 ; b)f)=+ ; c)f)= ; d)f)=+)e ; e)f)= + + ; f)f)= 5 6 ; g)f)=ln; h)f)= 3 3 ; i)f)=arctg ln + ) 7 )) ;
5 Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach: a)f)= 3 5 +36,[,5]; b)f)= + +,[ 4,]; c)f)= 3) e,[,4]; d)f)= 9 [,[ 5,]; f)f)=sin+sin,, 3 ] π 5P)Obliczyćf,f funkcji: a)f)=4 7 5 3 +; b)f)= 3 ; c)f)=e ; d)f)=arctg; e)f)=sin 3 +cos 3 ; f)f)= 3 ln 53 Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji: a)f)= ) 3); b)f)=e ; c)f)= 3 + ; d)f)=ln + ) ; e)f)= ; f)f)= 3 3 4ln ; g)f)=sin+ 8 sin; h)f)=earctg ; i)f)= ln Lista 9 54 Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy: a)f)= ) +); b)f)= 3 ; c)f)= ; d)f)=3 4 4 ; e)f)= ; f)f)= ln ; g)f)=e ; h*)f)=sin+sin3; i)f)= ln 55 Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu km od brzegu Ropa z tej platformy będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 6 km od punktu brzegu najbliższegoplatformiekosztułożeniakmrurociągunadniemorzawynosieuro,analądzie euro Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy? Platforma wiertnicza km 6km Rafineria 56Prostopadłościennykontenermamiećpojemność5m 3 ikwadratowąpodłogękosztm blachypotrzebnejdowykonaniajegopodłogiipokrywywynosizł,aścianbocznych 3złJakie powinny być wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy? 57 Jaka powinna być miara kąta α przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień koła r wpisanego w ten trójkąt był największy? α r 8
58 Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki? rzeka Lista S a 59NapisaćwzoryTaylorazresztąLagrange adlapodanychfunkcjif,punktów orazn: a)f)= 3, =,n=4; b)f)=, =,n=; c)f)=sin, =π,n=3; d)f)=e, =,n=5 6 Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange a dla funkcji: a)f)=sin 3 ; b)f)=cosh; c)f)=cos; d)f)= e 6 Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach: a)tg, π ; b b)cos, ; c) + +, 5; d)ln ) 8 3 3, < 6 Stosując wzór Maclaurina obliczyć: a) e zdokładnością 3 ; b) 3 997zdokładnością 3 ; c)lnzdokładnością 4 ; d)sinzdokładnością 5 Lista 63 Przyjmując w definicji całki oznaczonej podział równomierny obliczyć: a) )d; b) 3 Wskazówka Zastosować odpowiednio wzory d a) +++n= nn+) 64 Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć całki: ) + a) d; b) d) + 3) d; e), b) + ++n = nn+)n+) 6 d; c) + ) 3 + 4 d; f) 9 π π d + ; sin+cos )d 65 Korzystając z definicji całki oznaczonej oraz faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne uzasadnić równości: 3 + 3 ++n 3 a) lim n 4 = [ ; b) lim cos π )] 4 n n +cosπ n ++cosnπ = n π ; [ c) lim n +n+ +n++ n+n n )] = ) 3 9
66 Obliczyć podane całki nieoznaczone: a) 3 + 4 ) 3 d; b) cosd 3 d) cos sin ; e) + 3 d; 67 Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: )d + ; c) 4 d + ; f) 5 d a)y=,+y=; b)y=,y=,y=3; c)y=,y=,y=4; d)y=,y= 4 + ; e)y=,y=,=; f)y=+sin,y=, π); g)y=π,=πy ; Lista h)y 4 =,y=,y=6; i)y =,y= 6,y=,y=4 68 Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone: arctg a) e 3 d; b) d d; c) d; d) cos ; arccosd e) sind; f) ; g) ln+)d; h) arccosd; + i) e sind; j) sinsin3d; k) sin3cosd; 69 Metodą całkowania przez części obliczyć całki oznaczone: a) d) π 4 e d; b) sind; e) π e d; c) +cos)d; f) e e ln d; arcsind 7 Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone: a) e) cos +4 d; b) d; c) d ch ; f) 5 3) d; g) 5 5 3 +d; h) l) coscos5d cosd ) ; d) +) sin ++ d; +sin d + ; ln i) d; j) e d 5sind e + ; k) 3 cos ; l) 3 e d 7 Obliczyć całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień: a) c) e) π 4 sine cos d,cos=t; b) +d, +=t; d) d ),=t ; f) 3 e 3 d +,+=t; lnd,ln=t; 9 d,=3sint; g) ln3 e d +e,e =t
7P) Obliczyć całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju: d a) 3) 7; b) d +5 ; c) 5d 7) 3; d) 8d 9+ Lista 3 73 Obliczyć całki z ułamków prostych drugiego rodzaju: d 6+3)d a) +4+9 ; b) ++4 ; c) 4+)d +9 ; d) 74 Obliczyć całki z funkcji wymiernych: +)d a) ) ; b) d + ; c) d 4+)d d) +) +4) ; e) ++ ; f) 5 4)d g) 4+ ; h) d ++5 ; i) d ) ; d +6+8 ; d +4) 75 Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: a) sin 3 d; b) sin 4 cos 3 d; c) cos 4 d; d) sin 3 cos 6 d; e) cos cosd; f*) sin sin d 76 Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: d +tg a) sin+tg ; b) cos d; sin d d) +cos ; e) d tg ; d g) cos ; h) Lista 4 c) d sin+cos ; i) d +cos ; f) sin 5 d cos 3 ; d 3sin+4cos+5 77 Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: a) + y=,=,y=; b)4y=,y= 8 +4 ; c)y=ln,=e,y= ; d)y=tg,y=ctg, << π ) )d 9 +6+ 78 Obliczyć długości krzywych: a)y=ln e + e, 3; b)y=, ; c)y= 3, ; e)y=e, ln ln3; g)y=5 + 6 3, ; h)y= lncos, π 4 79 Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu figur T wokół wskazanych osi: a)t:, y,o; b)t: 5, y +4,Oy; c)t: π 4, y tg,o; d)t:, y,oy;
e)t:, y 3,Oy; f)t: 3, y,oy; 4 g)t: 4, y 5,O; h)t: π, y sin+cos,o; i)t: π, y sin,y=; j)t:, y,= 8 Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów funkcji wokół wskazanych osi: a)f)=cos, π,o; b)f)= 4+, 4,O; c)f)=ln, 3,Oy; d)f)= +,,Oy; e)f)= 4,,O; f)f)= ), 3,O; 3 g)f)=,,oy; h)f)= 9, 3,Oy 8a) Siła rozciągania sprężyny jest wprost proporcjonalna do jej wydłużeniawspółczynnik proporcjonalności wynosi k) Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości l rozciągnąć do długości L b)zbiornikmakształtwalcaoosipoziomejśrednicawalcad=m,adługośćl=6mobliczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbiornik Otwór do opróżnieniazbiornikaznajdujesięwjegogórnejczęścimasawłaściwawodyγ=kg/m 3 8a)Punktmaterialnyzacząłporuszaćsięprostoliniowozprędkościąpoczątkowąv =m/s iprzyspieszeniema =m/s Poczasiet =spunkttenzacząłporuszaćsięzopóźnieniem a = m/s Znaleźćpołożeniepunktupoczasiet =sodchwilirozpoczęciaruchu b) Dwie cząstki elementarne położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z prędkościamiodpowiedniov t)=t+t 3,v t)=6t,gdziet Pojakimczasienastąpizderzenietych cząstek?
Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzeniapodać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólnez wyjaśnieniem oznaczeń) Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane Ikolokwium Zestaw A Wyznaczyćwszystkieasymptotywykresufunkcjif)= 5 5 5 Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i następnie obliczyć granicę lim 3Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)= arctg wpunkcie = 3 sin 4 ) 4 Obliczyć granicę lim 3+ Zestaw B Obliczyć granicę lim n 4 +n 3 + n ) Wyznaczyć dziedzinę funkcji Następnie obliczyć jej pochodną f) = e n 3 n+ + n+ 3SformułowaćtwierdzenieBolzanoiuzasadnić,żerównanie +=5matylkojednorozwiązanie 4 Obliczyć granicę lim [ln+) ln)] Zestaw C +a dla, e Dobraćparametrya,b Rtak,abyfunkcjaf)= dla<, b dla< byłaciągłana R ) 3n+ n 5 Obliczyć granicę lim 3n+ 3Znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=e,którajestrównoległadoprostej y=e ln 8 ) 4 Obliczyć granicę lim 3 3 Zestaw D Znaleźćdziedzinęfunkcjif)=arcsin 3 ) iobliczyćf ) n Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i zastosować je do obliczenia granicy lim n 3 +n +3 3Znaleźćwszystkieasymptotyfunkcjif)= 4 3 3 + 4Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=e 3 wpunkcie,e 7) 3
II kolokwium Zestaw A Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim arctg Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f) = 3 Całkując przez części obliczyć całkę oznaczoną π cos d + naprzedziale[,] 4ObliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosiOfiguryograniczonejkrzywąy=sini Zestaw B prostąy= π π/) Wyznaczyćprzedziałymonotonicznościfunkcjif)= +ln Podać wymiary prostokątnej działki wytyczonej z obszaru w kształcie półkola o promieniu R tak, aby miała ona największe pole + 3Przezpodstawienie=t t )obliczyćcałkę dnastępniewyznaczyćfunkcję + pierwotnąffunkcjipodcałkowejspełniającąwarunekf)= 3 4Obliczyćcałkęnieoznaczonąfunkcjif)=sin 4 Zestaw C Wyznaczyćekstremalokalnefunkcjig)=arctg 3 3 Oszacować dokładność wzoru przybliżonego + +3 8 dla 3ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymiy=,y= iprostą=sporządzić rysunek 4 Obliczyć całkę nieoznaczoną funkcji f) = Zestaw D 3 +4 Sprawdzićotrzymanywynik Wyznaczyćprzedziaływypukłościorazpunktyprzegięciawykresufunkcjif)= ln Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim e 3 +e 3 3ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:y =,+y=sporządzićrysunek 4 Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną arcctgd 4
Egzamin podstawowy Zestaw A ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoprzezkrzywe:y=ln, =e, y= Sporządzić rysunek Metodą podstawiania obliczyć całkę n 3 Obliczyć granicę lim +9 n n +4 n d + 4Wprzedziale[ 3,4]wyznaczyćwartośćnajmniejsząinajwiększąfunkcjif)= 5 5 Obliczyć granicę lim )sinπ 6Dobraćparametryp,qtak,abyfunkcja Zestaw B f)= { e + dla, +p+qdla< miałapochodnąwpunkcie =Narysowaćwykresotrzymanejfunkcji Znaleźćasymptotywykresufunkcjif)= ) 3 Obliczyć całkę 4+6)d +4+3 3 Wyznaczyć granicę lim sin )sin3 3 ) sin 5 5 ) 4 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą z obrotu wykresu funkcji f) = sin π)wokółosio 5Znaleźćprzedziałymonotonicznościfunkcjif)= 3 ln 6 Wyznaczyć granicę lim 3n+)n+)! n n!+4) Zestaw C Obliczyć całkę sind Znaleźćekstremafunkcjif)= 3)e 3Obliczyćpoleobszaruograniczonegoprzezkrzywe:y=3 6,y=6+3 3 Sporządzić rysunek 4Wyznaczyćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)= 3 +,którajestprostopadłado prostej+y 3= 5Obliczyćgranicęciągu n = n +5n+ n +3n+ 6 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim + ln) 5
Zestaw D Obliczyćpoleobszaruograniczonegoprzezwykresfunkcjiy=sin π)orazprostą y = / Sporządzić rysunek Wyznaczyćprzedziaływypukłościipunktyprzegięciawykresufunkcjif)= )e 3 Obliczyć całkę d 6+5 4Pokazać,żerównanie+ln =matylkojednorozwiązanie n +) 3 n+ + ) 5 Obliczyć granicę lim 6 n +5 6 Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji f) = 3 Egzamin poprawkowy Zestaw A Obliczyćgranicęciągua n =n n ) n Wyznaczyćdziedzinę,asymptotyinaszkicowaćwykresfunkcjif)= ) 3 Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f) = wypukła ) + e jestjednocześnierosnącai 4Obliczyćpoleobszaruograniczonegoosiamiukładuwspółrzędnych,wykresemparaboliy= +3 istycznądoniejwpunkcieoodciętej =3Sporządzićrysunek 5 Ile materiału stracimy wycinając z blachy w kształcie półkola o promieniu R prostokąt o największym polu? lnarctg)d 6 Podstawiając arc tg = t, a następnie całkując przez części, obliczyć całkę + Sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku Zestaw B Obliczyćcałkęzfunkcjiwymiernej ++4 3 +4 Sprawdzićotrzymanywynik Wyznaczyćasymptotypionoweiukośnewykresufunkcjif)= ++ naszkicować oraz starannie go 3Wyznaczyćprzedziałjeżeliistnieje),naktórymfunkcjaf)= lnjestjednocześnierosnąca iwypukła 4Obliczyćgranicęciągu n = 5 Obliczyć granicę lim +tgln n n + n ) 6Obliczyćpoleobszaruograniczonegowykresamifunkcji:y=,y=ln,y=ln ) 6
Zestaw C Wyznaczyćdziedzinę,asymptotyinaszkicowaćwykresfunkcjif)= +) + Obliczyćgranicęciągua n = nn+) n 3 Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f) = wklęsła ) 6+ e jestjednocześniemalejącai 4NarysowaćiobliczyćpoleobszaruograniczonegoosiąO,wykresemfunkcjiy= 3 istycznądo niegowpunkcieoodciętej =3 5 Z kawałków blachy w kształcie koła o promieniu R wycinamy prostokątne podkładki Wyznaczyć ich wymiary tak, aby odpady były najmniejsze 6 Podstawiając sin = t, a następnie całkując przez części, obliczyć całkę sincosarctgsind Sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku Zestaw D Obliczyć granicę lim +lntg) Wyznaczyćasymptotypionoweiukośnewykresufunkcjig)= 3 +4 5 3 naszkicować ) 3Obliczyćgranicęciąguy n =3n 4n n oraz starannie go 4Wyznaczyćprzedziałjeżeliistnieje),naktórymfunkcjag)= 3 3 +arcctg jestjednocześnie rosnąca i wklęsła 5Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywymi:y=ln,y=ln 6 Obliczyć całkę z funkcji wymiernej 6 4 9 Sprawdzićotrzymanywynik 7