EGZAMIN MATURALNY 005 Biulety OKE r.9/004 Iformacje po próbym egzamiie maturalym z matematyki Kraków, sierpień 004
Spis treści: stroa. Zamiast wstępu. Iformacja o wyikach próbego egzamiu z matematyki 5 3. Kometarz do zadań zamieszczoych w arkuszu 7 4. Uwagi ogóle i rady egzamiatorów 6 Arkusze egzamiacyje zastosowae podczas próby oraz modele oceiaia prac egzamiacyjych zajdują się a stroie www.oke.krakow.pl W serwisie iteretowym OKE w Krakowie dostępe są elektroicze wersje biuletyów z serii Egzami maturaly 005. Opracował Piotr Ludwikowski
. Zamiast wstępu Mottem dla maturzystów, którzy wybrali matematykę jako trzeci przedmiot egzamiacyjy a próbym egzamiie maturalym w czerwcu 004 roku była zapewe myśl Kofucjusza: Słyszałem i zapomiałem. Widziałem i zapamiętałem. Zrobiłem i zrozumiałem. Poiższe opracowaie adresujemy do wszystkich, którzy zaiteresowai są jak ajlepszym przygotowaiem się do egzamiu maturalego z matematyki w maju 005 roku. W szczególości sam próby egzami maturaly i iformacje zawarte w tym biuletyie powiy wspomóc:! prezetację egzamiu maturalego z matematyki a poziomie podstawowym,! zapozaie ucziów z formułą egzamiu,! dokoaie wyboru przedmiotu egzamiu maturalego we wrześiu,! przypomieie auczycielom reguł kryterialego oceiaia,! dokoaie aalizy aktualego poziomu przygotowaia ucziów daej szkoły do egzamiu maturalego 005, w odiesieiu do wyików oceioej zewętrzie próby z całego okręgu,! uzyskaie iformacji potrzebych do orgaizacji procesu auczaia w klasie III. Przy kostrukcji jedeastu zadań próbego egzamiu maturalego z matematyki a poziomie podstawowym brao pod uwagę osiągięcia absolweta szkoły poadgimazjalej, które wymieia Podstawa Programowa Matematyki i Stadardy Wymagań Egzamiacyjych z Matematyki, tak je dostosowując, by większość ucziów kończących klasę drugą mogła te zadaia rozwiązać. Tabela. Zestawieie ilustrujące, za pomocą których zadań badao osiągięcia absolweta szkoły poadgimazjalej wymieioe w Podstawie Programowej Matematyki Osiągięcia absolweta szkoły średiej Operowaie podstawowymi obiektami matematyczymi Przeprowadzaie prostych rozumowań dedukcyjych Egzami maturaly z matematyki powiie badać czy absolwet szkoły poadgimazjalej za podstawowe pojęcia matematycze i potrafi przeczytać (apisać) prosty tekst matematyczy potrafi stosować podstawowe pojęcia i algorytmy w typowych sytuacjach potrafi rozwiązywać typowe zadaia matematycze za podstawowe twierdzeia matematycze i potrafi je zastosować w sytuacjach zadaiowych potrafi przedstawić argumetację wykorzystującą zae defiicje, twierdzeia i podstawowe reguły wioskowaia y zadań próbego egzamiu maturalego z matematyki, w których szczególie akcetuje się te osiągięcia,, 4, 6, 7, 0,,, 4, 0,,, 9, 0,, 3, 4,5, 6, 8, 9, 4, 6, 8, 9 3
Osiągięcia absolweta szkoły średiej Posiadaie umiejętości przydatych w życiu codzieym Precyzyje formułowaie myśli Egzami maturaly z matematyki powiie badać czy absolwet szkoły poadgimazjalej potrafi dobrać model matematyczy dla opisaia sytuacji z życia codzieego (w prostych lub typowych przypadkach) potrafi wykorzystać swoje umiejętości z różych działów matematyki przy rozwiązywaiu problemów z życia codzieego potrafi przeaalizować treść zadaia (problemu) wyodrębiając dae i iewiadome potrafi ustalić pla rozwiązaia zadaia (problemu) określając cele do osiągięcia w poszczególych częściach tego plau potrafi czytelie opisać tok swojego rozumowaia potrafi podsumować swoje rozumowaie i przedstawić osiągięty rezultat y zadań próbego egzamiu maturalego z matematyki, w których szczególie akcetuje się te osiągięcia 3, 5, 3, 5, 3, 5, 8, 3, 4, 5, 7, 9 4, 9, 3, 4, 6, 7, 8, 9 Tabela. Zestawieie ilustrujące, opaowaie których umiejętości opisaych w Stadardach Wymagań Egzamiacyjych z Matematyki, było sprawdzae w poszczególych zadaiach. zadaia Hasło z podstawy programowej Wielomiay i fukcje wymiere (fukcja liiowa) I i II Wielomiay i fukcje wymiere (trójmia kwadratowy) I i II 3 Ciągi liczbowe II i III 4 Fukcje trygoometrycze II i III 5 Fukcje trygoometrycze II i III 6 Wielomiay i fukcje wymiere (trójmia kwadratowy) II i III 7 Geometria aalitycza II 8 Ciągi liczbowe I i II 9 Geometria aalitycza I, II i III 0 Liczby i ich zbiory I Wielomiay i fukcje wymiere (wielomiay) stadardu wymagań I, II i III 4
. Ogóla iformacja o wyikach próbego egzamiu z matematyki Poiżej, w tabeli 3 przedstawioo podstawowe dae statystycze dotyczące wyików próbego egzamiu maturalego z matematyki a poziomie podstawowym przeprowadzoego w trzech województwach: lubelskim, małopolskim i podkarpackim, zestawioe a podstawie próby oceioej w Okręgowej Komisji Egzamiacyjej w Krakowie. zamówioych arkuszy, a więc liczba ucziów piszących próby egzami z matematyki była rówa 9500, zatem prawie co trzeci uczeń zdecydował się a matematykę jako obowiązkowy przedmiot wybray. Z każdej szkoły przesłao prace pierwszego i środkowego uczia a liście osób przystępujących do próby. Tabela 3. Podstawowe dae statystycze dla arkusza a poziomie podstawowym prac ucziów oceiaych zewętrzie (N) ucziów, którzy uzyskali miej iż 5 puktów 069 30 Łatwość (p) 0,44 Średia puktów Mediaa (Me) 0 Modala (domiata) 6 Najwyższy wyik 50 Najiższy wyik 0 Rozstęp 50 Kometarz Statystyczy uczeń uzyskał pukty a 50 możliwych do otrzymaia. Środkowy uczeń rozkładu uporządkowaego malejąco uzyskał 0 puktów, czyli 40% możliwych do otrzymaia. Egzamiu ie zdało około 9,9% zdających (uzyskało miej iż 5 puktów) Najczęstszym wyikiem uczia (modala domiata) jest 6 puktów. 7 ucziów ie uzyskało ai jedego puktu, a 5 apisało swoje prace bezbłędie (50 puktów) częstość 60 50 40 30 0 0 ie zdał zdał 0 4 7 0 3 6 9 5 8 3 34 37 40 43 46 49 Wykres. Zestawieie częstości liczby uzyskaych puktów 5
Dla każdego zadaia obliczoo jego łatwość, tj. stosuek ogólej liczby puktów uzyskaych przez ucziów w oceiaych pracach za rozwiązaie daego zadaia, do liczby puktów możliwych do zdobycia za w pełi poprawe rozwiązaie tego zadaia. 0,8 łatwość 0,6 0,4 0, 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Wykres. Łatwości zadań Tabela 4. Iterpretacja wskaźika łatwości zadań 0-0.9 0.0-0.49 0.50-0.69 0.70-0.89 0.90-.00, 4, 5, 6, 8, 9, 0,, 3-7 bardzo trude trude umiarkowaie trude łatwe bardzo łatwe zadań 0 8 0 Aalizując wyiki uzyskae przez ucziów Państwa szkoły warto dokoać porówaia, czy te same zadaia sprawiały im trudość (w szczególości zadaia, 5 i 8), czy zadaie 7 było rówież dla ich wyraźie ajłatwiejsze. 6
3. Kometarz do zadań zamieszczoych w arkuszu Poiżej przedstawiam tekst każdego z zadań (w arkuszach egzamiacyjych wydzieloo poadto miejsce a wpisaie rozwiązaia i odpowiedzi), schematy ich oceiaia oraz uwagi autora zestawu, wioski egzamiatorów zebrae podczas ocey prac ucziów i kometarz dydaktyczy. Zadaie ( pukty) Miejscem zerowym fukcji f ( x) x + b Opis wykoywaej czyości = 3 jest. Oblicz b. puktów Modelowy wyik etapu (czyości). Zapisaie rówaia pozwalającego wyzaczyć b. 0 = 3 + b. Obliczeie b. b = 3 To klasycza rozgrzewka. Rozwiązujący zadaie abituriet powiie zać podstawowe własości fukcji. Zadaie spełiło częściowo swoją rolę, poieważ tylko dwóch a trzech zdających uzyskało, rozwiązując go, pełą liczbę puktów. Nie jest to więc zadaie ajłatwiejsze w zestawie (zajmuje biorąc pod uwagę łatwości 3 lokatę). W rozwiązaiach ucziowskich często przewija się typowy błąd podawaia współrzędych puktu przecięcia prostej z osią OX jako miejsca zerowego fukcji. Pokutuje tutaj skojarzeie słowa miejsce z puktem w układzie współrzędych. Błąd te ie zajduje odzwierciedleia w oceie prac ucziów, poieważ zajomość defiicji miejsca zerowego ie była bezpośredio badaa. Wątpliwości auczycieli, wyrażae w paelu dyskusyjym serwisu MODLE, budził fakt, że pojęcie fukcji liiowej, jej miejsca zerowego, to materiał gimazjum. Podstawa programowa auczaia matematyki zawiera zapis, który zobowiązuje uczia szkoły poadgimazjalej do zajomości pojęć opisaych w podstawy programowej gimazjum. Zestaw egzamiacyjy powiie więc sprawdzać rówież tę zajomość. Zadaie (3 pukty) Daa jest fukcja f określoa wzorem f ( x) ( x)( x + ) + x fukcji f... Opis wykoywaej czyości Zapisaie wzoru fukcji kwadratowej f w postaci ogólej. Obliczeie rzędej wierzchołka paraboli, która jest wykresem fukcji f. =. Wyzacz zbiór wartości puktów Modelowy wyik etapu (czyości) f ( x) = x + x + p y w =.3 Wyzaczeie zbioru wartości fukcji f. (, Stadardy wymagań egzamiacyjych, opisae w Iformatorze maturalym z matematyki, stawiają przed abiturietem zadaie wykazaia się zajomością i rozumieiem pojęć wyikających z podstawy programowej auczaia matematyki. Moża, co prawda, powiedzieć, że rozwiązując każde zadaie, zdający musi zać i rozumieć pojęcia potrzebe do przeprowadzeia kolejych etapów rozumowaia, ale gdy w zadaiu trzeba jakieś pojęcie ziterpretować, zastosować czy przekształcić, to ie to samo co wykazać się jego zajomością. Stadardy wymagań egzamiacyjych zbudowae są hierarchiczie. 7
Bez zajomości i rozumieia pojęć, ie da się wykorzystywać i przetwarzać iformacji ai tym bardziej rozwiązywać problemów. Może się jedak zdarzyć, że uczeń pojęcie za i rozumie, ale w kokretej sytuacji ie potrafi go wykorzystać. W zestawie egzamiacyjym powiy więc zaleźć się też takie zadaia, które bezpośredio badają zajomość i rozumieie pojęć. W zadaiu drugim uczeń, który za podstawowe pojęcia związae z trójmiaem kwadratowym (stadard I), powiie pokazać, że posiada umiejętości w zakresie stosowaia zaych defiicji i twierdzeń (stadard II). Nieoczekiwaie zadaie okazało się trude. Wyzaczaie zbioru wartości fukcji kwadratowej, auczycielom szacującym łatwość zadań przed oceiaiem prac ucziów, wydawało się jedym z ajłatwiejszych poleceń. W uwagach, auczyciele ci apisali, że jeżeli uczeń pokoa pierwszą trudość w zadaiu zauważeie, że omawiaa fukcja jest fukcją kwadratową, to w 75% przypadków wyzaczy zbiór wartości tej fukcji. W rzeczywistości okazało się, że co drugi uczeń przekształcił fukcję do postaci ogólej fukcji kwadratowej, a tylko co czwarty rozwiązał zadaie poprawie do końca. Wielu ucziów ie potrafi powiązać wyzaczaych stadardowo wartości (współrzęde wierzchołka paraboli, miejsca zerowe, współrzęde puktu przecięcia z osią OY) z własościami fukcji (zbiór wartości, mootoiczość). Zadaie 3 (4 pukty) Widowia wokół boiska do koszykówki podzieloa jest a cztery sektory. W pierwszym rzędzie każdego sektora jest 8 miejsc, a w każdym astępym rzędzie o miejsca więcej iż w rzędzie poprzedim. W każdym sektorze są rzędy. Oblicz liczbę wszystkich miejsc a widowi. 3. Opis wykoywaej czyości Zapisaie, że liczba miejsc w kolejych rzędach sektora to wyrazy ciągu arytmetyczego. puktów Modelowy wyik etapu (czyości) p. ( a ) - ciąg arytmetyczy, a = 8, r = = = 3. Obliczeie a. a 50 3.3 Obliczeie S. S 638 3.4 Obliczeie liczby wszystkich miejsc a 55 widowi. W zadaiach matematyczych, bywa tak, że czytając treść od razu wiadomo jakiego arzędzia użyć, żeby postawioy problem rozwiązać, ale częściej metody rozwiązaia trzeba poszukiwać. Umiejętość wyboru metody rozwiązaia to jedo z wymagań stawiaych absolwetowi, który wybrał matematykę jako przedmiot egzamiu maturalego. Wybierając zarówo poziom podstawowy jak i rozszerzoy egzamiu, Zdający dobiera odpowiedi algorytm do wskazaej sytuacji problemowej i oceia przydatość otrzymaych wyików. Zadaie 3 w zamyśle autorów powio skłoić zdającego do zbudowaia odpowiediego modelu matematyczego do opisaej w zadaiu sytuacji (ciąg arytmetyczy) i zastosowaia odpowiediego arzędzia, które te model udostępia (wzór a sumę ciągu arytmetyczego). Część rozwiązujących zadaie ucziów tak postąpiło. 8
Spora grupa ucziów liczyła a piechotę, w części korzystając z kalkulatorów. Za takie rozwiązaie, egzamiatorzy rówież przyzawali pełą liczbę puktów. Warto jedak zwrócić uwagę a fakt, że gdy uczeń posługując się kalkulatorem zrobił błąd mechaiczy p. wciskając ieodpowiedi klawisz, otrzymywał błędy wyik i w kosekwecji zero puktów za rozwiązaie zadaia. Błąd ieuwagi w obliczeiach z zastosowaiem własości ciągu arytmetyczego kosztował utratę tylko jedego puktu. Zadaie 4 (5 puktów) Na poiższym rysuku przedstawioo róworamiey trójkąt ABC (o podstawie AC ) oraz prostokąty róworamiey trójkąt BDC (o podstawie BC ). Uzasadij, że cos( ACD ) <. Opis wykoywaej czyości Modelowy wyik etapu puktów (czyości) 4. Obliczeie miary kąta DBC. DBC = 45 4. Obliczeie miary kąta ABC. ABC = 35 4.3 Obliczeie miary kąta BCA. BCA =, 5 4.4 Obliczeie miary kąta ACD. ACD = 67, 5 4.5 Uzasadieie, że cos( ACD ) <. p. powołując się a mootoiczość fukcji cosius ( cos 60 = cos 67,5 < ). Pierwsze cztery czyości, które powiie wykoać uczeń rozwiązujący zadaie 4 wymagały umiejętości aalizy tekstu matematyczego i elemetarej zajomości własości trójkątów róworamieych. Te trudości pokoał co drugi zdający. Bardzo różicujące, zgodie z oczekiwaiami okazało się uzasadieie, że cos 67,5 <. Tylko co szósty uczeń rozwiązał te problem. Hipoteza, że samo sformułowaie uzasadij działa odstraszająco wydaje się bardzo prawdopodoba, tym bardziej, iż wielu zdających ie podjęło awet próby zmierzeia się z tym problemem. 9
Warto zwrócić uwagę a fakt trudości z oceiaiem rozwiązaia, w którym uczeń wyzaczył a kalkulatorze wartość cos67,5 0, 38 i stwierdził, że obliczoa wartość jest miejsza iż. Sformułowaie zadań tego typu będzie mogło zostać doprecyzowae po ogłoszeiu przez dyrektora cetralej Komisji Egzamiacyjej listy pomocy, z których w trakcie egzamiu moża korzystać. Zadaie 5 (4 pukty) W architekturze islamu często stosowaym elemetem był łuk podkowiasty. Schemat oka w kształcie takiego łuku (łuku okręgu) przedstawioo a rysuku poiżej. Korzystając z daych a rysuku oblicz wysokość oka h i ajwiększy prześwit d. 5. 5. Opis wykoywaej czyości Obliczeie długości r promieia okręgu. Obliczeie długości x = SO. puktów Modelowy wyik etapu (czyości),5 r = = si 60 3,5 x = = 0,5 tg 60 3 5.3 Obliczeie długości d. d = 3 5.4 Obliczeie długości h. h =,5 3 Zadaie 5 wymaga od rozwiązującego go uczia dobraia modelu matematyczego do opisaej w zadaiu sytuacji. W tym przypadku, posłużyć się moża pojęciami związaymi z zastosowaiem fukcji trygoometryczych do rozwiązywaia zadań z plaimetrii. Typowe usterki w rozwiązaiach ucziów to iezajomość defiicji i wartości fukcji trygoometryczych, wyzaczaie przybliżeń wartości otrzymaych wyrażeń. Dae w zadaiu zostały tak dobrae, że awet ci ucziowie, którzy ie potrafią posługiwać się fukcjami trygoometryczymi, wykorzystując własości trójkątów rówoboczych powii je rozwiązać. 0
Zadaie okazało się dość trude tylko co piąty uczeń otrzymał za jego rozwiązaie pełą liczbę puktów a 60% ucziów ie otrzymało awet jedego puktu. Zadaia praktycze, wymagające zbudowaia modelu matematyczego do kokretej, realej sytuacji adal sprawiają ucziom wiele trudości. Zadaie 6 (3 pukty) Fukcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczy tej liczby przez liczbę o 3 od iej miejszą. a. Podaj wzór fukcji f b. Zbadaj, ile rozwiązań ma rówaie f ( x) + 3 = 0. Opis wykoywaej czyości puktów Modelowy wyik etapu (czyości) f x = x x 3 6. Podaie wzoru fukcji f. ( ) ( ) 6. Zapisaie odpowiediego rówaia x 3x + 3 = 0 Obliczeie wyróżika = 3 brak rozwiązań 6.3 i sformułowaie odpowiedzi. Powyższe zadaie dotyczy własości fukcji kwadratowej. Fukcje kwadratowe to klasycze tworzywo do budowaia zadań maturalych zarówo w starej jak i w owej formule, moża więc było sądzić, że łatwość tego zadaia będzie wysoka. Okazało się jedak, że ucziowie mieli kłopot z właściwym zapisaiem wzoru fukcji, co często uiemożliwiało dalsze rozwiązywaie zadaia wielokrotie iloczy zamieiao a iloraz lub zaiedbywao awiasy. Umiejętość zapisywaia symboliczego wyrażeń algebraiczych wymaga uważego czytaia i drobiazgowej aalizy przeczytaego tekstu. Zadaie 7 (5 puktów) Pole trójkąta o wierzchołkach = (, ), B = ( 3, 0), C = (, 4) A moża obliczyć stosując astępującą metodę: zazaczamy w układzie współrzędych pukty ABC; rysujemy prostokąt KLMN w sposób przedstawioy a rysuku (odpowiedie boki prostokąta mają być rówoległe do osi układu współrzędych); odczytujemy długości odpowiedich odcików: KL =, LM = 4, AK =, MC =, CN = NA = ; obliczamy pole prostokąta: P KLMN = KL LM = 4 = 8; obliczamy pola odpowiedich trójkątów prostokątych: P AKL = AK KL = = P LMC = LM MC = 4 = P CNA = CN NA = = ; od pola prostokąta odejmujemy sumę pól trójkątów: P = 8 ( + + ) = 3. Stosując opisaą wyżej metodę, oblicz pole trójkąta o wierzchołkach = (, 0), B = ( 5, ), C = ( 3, 4) ABC A.
kryteriu m 7. 7. Opis wykoywaej czyości Zazaczeie w układzie współrzędych puktów ABC oraz arysowaie prostokąta KLMN. Wyzaczeie długości odpowiedich odcików. puktów Modelowy wyik etapu (czyości) KL = 4, LB =, BM = 3, MC = CN =, NK = 7.3 Obliczeie pole prostokąta KLMN. P KLMN = 6 Obliczeie pól odpowiedich 7.4 P KLB =, P BMC = 3, P CNK = 4 trójkątów prostokątych. 7.5 Wyzaczeie pola trójkąta ABC. = 7 P ABC Nowa matura z matematyki różi się od egzamiu dojrzałości ie tylko liczbą zadań. W czasie egzamiu zdający będą mogli wykazać się bardziej wszechstroymi kwalifikacjami matematyczymi. Jede ze stadardów egzamiacyjych, w zakresie korzystaia z iformacji, brzmi: Zdający stosuje przedstawioy algorytm do rozwiązaia problemu praktyczego lub teoretyczego. Zadaia za pomocą których badaa jest ta umiejętość, składają się często z dwóch części, pierwszej - przedstawiającej metodę (algorytm) rozwiązywaia pewego typu zadań i drugiej - sprawdzającej, czy zdający potrafi zastosować tę metodę. Bardzo istote jest dokłade przeaalizowaie tekstu zadaia. Należy zwrócić uwagę a koleje etapy przykładowego rozwiązaia i a kometarz. Warto też pamiętać o tym, że zdający powiie wykazać się zrozumieiem istoty algorytmu a ie bezmyślym powieleiem zaprezetowaego rozwiązaia. Zadaia tego typu były sygalizowae w wielu publikacjach dotyczących owej matury, stąd wysoka łatwość zadaia zapropoowaego w arkuszu. Niepokoić może jedak uwaga jedego z auczycieli, który zazaczył, że treści programowe dotyczące zadaia 7 ie zostały zrealizowae. Algorytm przedstawioy w zadaiu omawiaego typu może być przecież awet spoza podstawy programowej. Zadaie 8 (6 puktów) Ciąg ( ) a określoy jest wzorem a = 5. a. Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. a jest ciągiem geometryczym. b. Sprawdź a podstawie defiicji, czy ciąg ( ) 4 8. 8. 8.3 Opis wykoywaej czyości Zapisaie ierówości za pomocą której moża wyzaczyć liczbę a. ujemych wyrazów ciągu ( ) Rozwiązaie ierówości 5 < 0 w zbiorze liczb aturalych. Podaie liczby ujemych wyrazów a. ciągu ( ) puktów Modelowy wyik etapu (czyości) 5 < 0 {, }
8.4 Zapisaie waruku a to by ciąg a+ ( a ) był ciągiem geometryczym. p. = cost a 8.5 a Obliczeie + a+ 4. p = a a 5 8.6 Stwierdzeie, że więc ciąg ( ) a a ie jest geometryczy. + zależy od a p Bardzo często, rozwiązując zadaie 8, ucziowie wypisywali kilka początkowych a, zauważali, że pierwsze dwa z ich są ujeme i zapisywali odpowiedź. wyrazów ciągu ( ) Tylko ielicza grupa - około 7% zdających dostrzegła koieczość uzasadieia, że iych wyrazów ujemych w tym ciągu ie ma. Druga część zadaia była zaczie łatwiejsza. Co drugi zdający potrafił całkowicie lub częściowo poprawie uzasadić, że omawiay ciąg ie jest geometryczy. Warto zazaczyć, że ucziowie rozwiązując to zadaie wykorzystywali róże (ierówoważe) defiicje ciągu geometryczego. Zadaie 9 (7 puktów) Pukty = (, ), B = (, ), C = (, ) A są wierzchołkami trójkąta ABC. a. Oblicz długość odcika AB. b. Napisz rówaie prostej m, do której ależą pukty B i C. c. Napisz rówaie prostej k prostopadłej do prostej m takiej, że A k. d. Uzasadij, że środek okręgu opisaego a trójkącie ABC ie ależy do prostej k. Opis wykoywaej czyości puktów 9. Obliczeie długości odcika AB. AB = 0 9. 9.3 9.4 9.5 Wyzaczeie rówaia prostej m. Wyzaczeie współczyika kierukowego prostej k. Wyzaczeie rówaia prostej k. Zapisaie waruku a to, by środek okręgu opisaego a trójkącie ABC ależał do prostej k. p (jede pukt przyzajemy za poprawą metodę) Modelowy wyik etapu (czyości) y = 3 x + 5 3 y = x 3 3 p. trójkąt ABC musiałby być róworamiey, wtedy symetrala odcika BC pokrywałaby się z prostą k (w przeciwym przypadku są rozłącze, a środek okręgu opisaego a trójkącie musi do symetralej ależeć). 3
9.6 Sprawdzeie, czy środek okręgu opisaego a trójkącie ABC ależy do prostej k i udzieleie odpowiedzi. AC = 0 0 środek okręgu opisaego a trójkącie ABC ie ależy do prostej k. Koleje zadaie o wyraźie dwuczęściowej budowie. Rozwiązując podpukty a c uczeń powiie wykazać się zajomością odpowiedich algorytmów i umiejętością ich stosowaia w typowej sytuacji, atomiast Sprawdzeie, czy środek okręgu opisaego a trójkącie ABC ależy do prostej k wymagało przeprowadzeia samodzielego rozumowaia. Podobie jak w zadaiu 4, okazało się, że co drugi zdający potrafi dobrać i stosować właściwy algorytm, gdy poleceie w zadaiu wyraźie a te algorytm wskazuje, atomiast samodziele przeprowadzeie rozumowaia jest bardzo trude. W zadaiu 9 wymagae uzasadieie przedstawił tylko jede a dziewiętastu zdających. Zadaie 0 (6 puktów) 3 3 + Dae są liczby a = i b =. 5 5 a b a. Sprawdź, czy = 0 a b a b. Oblicz b Wyiki obliczeń przedstaw w postaci iezawierającej iewymierości w miaowiku. Opis wykoywaej czyości puktów Modelowy wyik etapu (czyości) 0. Obliczeie a b. 4 a b = 5 0. Obliczeie a b. a b = 5 0.3 a b tak Sprawdzeie, czy = 0 a b 0.4 a Obliczeie. b a = 4 b 3 7 0.5 a Zbadaie zaku wyrażeia. b 4 3 7 < 0 0.6 Zastosowaie defiicji wartości a bezwzględej. = 7 4 3 b Typowe zadaie, za pomocą którego moża uzyskać odpowiedź a pytaie czy zdający posiada wprawę w przekształcaiu wyrażeń arytmetyczych oraz czy za i umie zastosować defiicję wartości bezwzględej. Najczęstszym błędem było iewłaściwe stosowaie kalkulatorów. W podpukcie a. przybliżaie wartości 3 powodowało, że odpowiedź a postawioe pytaie była egatywa, a w podpukcie b. otrzymao wartość przybliżoą podaego wyrażeia. 4
Zadaie (5 puktów) 3 Dae są wielomiay Q ( x) = x x + i S ( x) = x x + 4. a. Sprawdź, czy liczba jest pierwiastkiem wielomiau Q ( x). b. Wielomia P ( x) jest sumą wielomiaów Q ( x) i S ( x). Rozłóż wielomia ( x) czyiki liiowe. P a...3.4.5 Opis wykoywaej czyości Obliczeie wartości wielomiau Q dla x = Sformułowaie odpowiedzi Wykoaie dodawaia wielomiaów Zapisaie wielomiau P w postaci iloczyu dwumiau liiowego i dwumiau kwadratowego Zapisaie wielomiau P w postaci iloczyowej puktów Modelowy wyik etapu (czyości) Q = ( ) 6 ie jest pierwiastkiem wielomiau Q P x = x 3 3x x + ( ) 6 P ( x) = ( x 3)( x ) P ( x) = ( x 3 )( x )( x + ) Egzami maturaly (od łac. maturus dojrzały) ma sprawdzać dojrzałość abiturieta. Absolwet szkoły poadgimazjalej powiie ie tylko wiedzieć co myśleć ale jak myśleć. III stadard egzamiacyjy (tworzeie iformacji) stawia ucziowi wymagaie umiejętości aalizowaia sytuacji problemowej i doboru właściwego algorytmu do rozwiązaia tego problemu. Wymagae jest też podsumowaie wyików rozumowaia (czyość.). Te etap rozwiązaia zadaia pomięło wielu rozwiązujących go ucziów. Rozkład wielomiau a czyiki liiowe okazał się za trudy dla a 3 ucziów rozwiązujących to zadaie. 5
4. Uwagi ogóle i rady egzamiatorów Jedym z ważych celów przeprowadzeia próby egzamiu maturalego jest zapozaie ucziów z formułą egzamiu, przypomieie zasad jego przeprowadzaia. Egzamiatorzy oceiający prace ucziów adesłae do Okręgowej Komisji Egzamiacyjej w Krakowie zwracali uwagę a uchybieia, które być może są bez większego zaczeia w przypadku próby, ale w trakcie prawdziwego egzamiu maturalego są bardzo istote i mogą spowodować daleko idące kosekwecje włączie z uieważieiem egzamiu. Ucziowie powii wiedzieć że: # prac ie wolo pisać ołówkiem, # ie moża stosować korektora (błędy zapis ależy przekreślić), # jeżeli ie ma stosowego odośika a pracy, to egzamiator ie oceia zapisu w brudopisie, # jeżeli praca jest apisaa ieczytelie, egzamiator może ie być w staie jej oceić, # rozwiązując zadaia zamieszczoe w arkuszu egzamiacyjym ie moża korzystać z dodatkowego brudopisu. # zespół adzorujący egzami ie może zamieszczać żadych iformacji a arkuszu (p. o czasie zakończeia pracy, zazaczać poprawek i skreśleń itp.). Egzamiatorzy zwracali rówież uwagę a fakt, że iektóre prace były odpisywae egzami dla tych ucziów zostałby uieważioy. Warto pamiętać rówież o tym, że egzamiatorzy oceiają tylko te fragmety pracy zdającego, które dotyczą poleceia. Kometarze, awet poprawe iemające związku z poleceiem, ie podlegają oceiaiu. Gdy do jedego poleceia zdający podaje kilka rozwiązań (jedo prawidłowe, ie błęde), to egzamiator ie przyzaje puktów za rozwiązaie takiego zadaia. Przedstawioa w schemacie oceiaia metoda rozwiązaia daego zadaia, to tylko jeda z wielu możliwości. Całkowicie poprawe rozwiązaia zadań, uwzględiające iy tok rozumowaia iż przewidziay w schemacie oceiaia, są oceiae pełą liczbą puktów. W przypadku, gdy uczeń zastosuje ią iż opisaa w schemacie oceiaia, poprawą metodę rozwiązaia zadaia, ale popełi błędy lub rozwiąże zadaie tylko częściowo, egzamiator oceiający taką pracę sporządza schemat oceia według metody zastosowaej przez uczia i według iego oceia to zadaie. Oceiaie według kryteriów jest korzyste dla uczia rówież dlatego, że popełieie błędu w początkowej fazie rozwiązywaia zadaia (jeżeli w efekcie tego błędu zadaie się istotie ie upraszcza), ie uiemożliwia otrzymaia puktów za koleje czyości przewidziae w schemacie oceiaia. Dyskusję ad iymi aspektami stosowaia kryteriów oceiaia, iterpretacją stadardów wymagań egzamiacyjych i podstawy programowej auczaia matematyki zapropoowałem w cyklu artykułów Oswajaie owej matury. Publikację tę otrzymali wszyscy dyrektorzy szkół poadgimazjalych razem z zestawami egzamiacyjymi w czerwcu i jest oa rówież dostępa, wraz z iymi materiałami dydaktyczymi, a stroie iteretowej OKE, w serwisie MODLE (http://www.oke.krakow.pl/moodle/logi/idex.php). 6