Równania Naviera-Stokesa

Równania Naviera-Stokesa Na pograniczu matematyki i fizyki Grzegorz Lukaszewicz (MIM UW) KNFM, 3 listopada 2011

Plan wyk ladu Równania Naviera-Stokesa w R 3. Model a rzeczywistość. Zwi azki. Obecny stan badań. Model a rzeczywistość. Zwi azki. Hipotezy. Uwagi o wyprowadzeniu równań Naviera-Stokesa. Prawa zachowania masy i pȩdu. Nierówność energetyczna. Definicja rozwi azania uogólnionego. Twierdzenia o istnieniu rozwi azań równania Naviera-Stokesa w R 3 i w R 2. Podstawowe pojȩcia: uk lad dynamiczny, atraktor globalny, wymiar atraktora. Wymiar atraktora, jego parametryzacja i hydrodynamika. Twierdzenia o istnieniu miar niezmienniczych dla 2D-NSE (istnienie stacjonarnych rozwi azań statystycznych). Harmoniki determinuj ace w przep lywie dwuwymiarowym. Transport energii wewn atrz p lynu. Bibliografia. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 2 / 25

Wyk lad monograficzny w semestrze wiosennym Prowadz acy: Grzegorz Lukaszewicz (Wyk lad 30 g., ćwiczenia 30 g. Punkty ECTS: 6,00) Tytu l: Dyssypatywne uk lady dynamiczne w mechanice i fizyce matematycznej Literatura: 1. J.C.Robinson: Infinite-dimensional dynamical systems. From basic facts to actual calculations, Cambridge University Press, 2001. 2. V.V.Chepyzhov, M.I.Vishik: Attractors for Equations of Mathematical Physics, American Mathematical Society, 2002. 3. R.Temam: Infinite-dimensional dynamical systems im mechanics and physics. Springer Verlag, 1997. Wymagania wstȩpne: analiza II, podstawy analizy funkcjonalnej. Zaliczenie: aktywność na ćwiczeniach. Egzamin pisemny. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 3 / 25

Równania Naviera-Stokesa w R 3. Prawa zachowania: pȩdu i masy, odpowiednio, dla p lynu o sta lej gȩstości (ρ = 1), lepkiego. u(x, t) t + ( u(x, t) ) u(x, t) = p(x, t) + ν u(x, t) + f (x, t), div u(x, t) = 0. u(x, t) - wektor prȩdkości, p(x, t) - ciśnienie p lynu, odpowiednio, w miejscu x R 3 i w chwili t > 0; ν > 0 - lepkość p lynu: f (x, t) - si ly zewnȩtrzne. Zagadnienie pocz atkowe: dla danego wektora prȩdkości u(x, 0) = u 0 (x) w chwili t = 0 pytamy o istnienie rozwi azania ( u(x, t), p(x, t)) dla t > 0, x R 3. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 4 / 25

Model a rzeczywistość. Zwi azki. Obecny stan badań. Podstawowe pytania: Co rozumiemy przez rozwi azanie rówań Naviera-Stokesa? Czy interesuj ace rozwi azania (deterministyczne, statystyczne) istniej a? Czy s a jednoznacze? Czy znaj ac odpowiednie rozwi azania r. N-S możemy siȩ dowiedzieć czegoś nowego o zjawisku turbulencji? Odpowiedzi dotycz ace zwi azków modelu i rzeczywistości: Jest sporo wyników cz astkowych potwierdzaj acych użyteczność równań N-S w badaniu turbulencji. Stan badań przedmiotu przypomina stan badań nad elektryczności a i magnetyzmem przed Maxwellem. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 5 / 25

Model a rzeczywistość. Zwi azki. Hipotezy. (H1) Istnieje uniwersalna teoria turbulencji opisuj aca ca ly zakres zjawisk dotycz acych turbulencji. (H2) Równania Naviera-Stokesa opisuj a przep lywy turbulentne. (H3) Turbulencjȩ można opisać w ramach teorii chaosu deterministycznego. (H4) Przep lywy turbulentne można opisać przy pomocy skończonej liczby parametrów. (H5) W przep lywach turbulentnych uśrednienia po czasie, przestrzeni i przestrzeni fazowej s a sobie równe. (H6) Osobliwości rozwi azań równań Naviera-Stokesa t lumacz a turbulencjȩ. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 6 / 25

Prawo zachowania masy Niech (t) - dowolny element p lynu p lyn acy razem z p lynem. Wtedy d ρ(x, t) dx = 0. dt (t) Mamy Twierdzenie o transporcie (Euler, Liouville, Reynolds) st ad (t) i jeśli ρ = const to divu = 0. { } ρ t + div(ρu) dx = 0, ρ t + div(ρu) = 0. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 7 / 25

Prawo zachowania pȩdu d ρudx = ρf dx + t n ds dt (t) (t) (t) Cauchy pokaza l, że t n (x, t) = n(x, t)t (x, t), gdzie T = {T ij } - tensor naprȩżeń. Z tw. o transporcie i tw. Greena, (t) ρ Du Dt dx = (ρf + divt ) dx. (t) Dostajemy równanie Cauchy ego ruchu ρ t u i + 3 j=1 u j u i = ρf i + T ji,j, i = 1, 2, 3. x j G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 8 / 25

Prawo zachowania pȩdu, cd. W modelu Naviera-Stokesa, T ij = ( p + λu k,k )δ ij + µ(u i,j + u j,i ) Jeśli divu = 0 to mamy modele p lynu nieściśliwego. Jeśli także lepkość µ = 0, to mamy model nieściśliwy Eulera. W klasycznej hydrodynamice zak ladamy, że T jest symetryczny. Wtedy prawo zachowania momentu pȩdu d ρ(x u) dx = ρ(x f ) dx + x t n ds dt (t) (t) (t) wynika z poprzednich praw. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 9 / 25

Nierówność energetyczna u t + ( u ) u = p + ν u + f, div u = 0 Mnożymy równanie przez u, ca lkujemy po przestrzeni: 1 d u(x, t) 2 dx = ν u(x, t) 2 dx + f (x, t)u(x, t)dx 2 dt bo (u )u udx = 0, p udx = p divu dx = 0. Jeśli x R 3, ograniczony i u = 0 na, to mamy nierówność Poincaré go u 2 dx 1 u 2 dx, λ 1 zatem d dt u(x, t) 2 dx + ν u(x, t) 2 dx 1 f (x, t) 2 dx νλ 1 G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 10 / 25

Nierówność energetyczna, cd. d u(x, t) 2 dx + ν u(x, t) 2 dx 1 f (x, t) 2 dx dt νλ 1 Ca lkujemy wzglȩdem t na odcinku (0, t), t u(x, t) 2 dx + ν u(x, t) 2 dxdt 0 1 t + f (x, t) 2 dxdt νλ 1 Jeśli u 0 L 2 (), f L 2 (0, T ; L 2 ()) to rozwi azania należ a do przestrzeni 0 u L (0, T ; L 2 ()) L 2 (0, T ; H 1 0 ()). u(x, 0) 2 dx + Piszemy u L (0, T ; H) L 2 (0, T ; V ), gdzie H = {u L 2 ()) : divu = 0}, V = {u H0 1 ()) : divu = 0}. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 11 / 25

Nierówność energetyczna, cd. d u(x, t) 2 dx + ν u(x, t) 2 dx 1 f (x, t) 2 dx dt νλ 1 Dalej, z nierówności Poincaré, d u(x, t) 2 dx + νλ 1 dt u(x, t) 2 dx 1 f (x, t) 2 dx νλ 1 i, z nierównoći Gronwalla, u(x, t) 2 dx u(x, 0) 2 dx exp( νλ 1 t) + 1 t + exp( νλ 1 (t τ)) f (x, t) 2 dxdτ νλ 1 0 Warunek pocz atkowy jest szybko zapomniany, a energia jest ograniczona, np. dla f L 2 (). Uk lad jest dyssypatywny. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 12 / 25

Definicja rozwi azania uogólnionego Oznaczmy, (u, v) = u(x)v(x)dx. Definicja. Niech u 0 H, f L 2 (T ; H), T > 0. Wtedy u L (0, T ; H) L 2 (0, T ; V ), jest rozwi azaniem uogólnionym, jeśli dla każdej funkcji próbnej v V, d (u(t), v) + ν( u(t), v) + ((u(t) )u(t), v) = (f (t), v) dt w sensie dystrybucji skalarnych na (0, T ) oraz u(0) = u 0 H. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 13 / 25

Twierdzenia o istnieniu rozwi azań uogólnionych Twierdzenie. (Wymiar 3). Istnieje conajmniej jedno rozwi azanie uogólnione, takie, że u jest s labo ci ag le z [0, T ] w H oraz spe lnia nierówność energetyczn a w sensie dystrybucji na (0, T ). 1 d 2 dt u(t) 2 + ν u(t) 2 (f (t), u(t)) Twierdzenie. (Wymiar 2). Istnieje dok ladnie jedno rozwi azanie uogólnione, takie że u jest ci ag le z [0, T ] w H oraz spe lnia równanie 1 d 2 dt u(t) 2 + ν u(t) 2 = (f (t), u(t)). G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 14 / 25

Pojȩcia podstawowe: uk lad dynamiczny Rozważmy dyssypatywny, nieskończenie wymiarowy u lad dynamiczny (zak ladamy, że istnieje jednoznaczne rozwi azanie dla t > 0): du dt = F (u), t 0 u(0) = u 0 H (H = przestrzeń fazowa) Rozwi azanie : u(t) = S(t)u 0, t 0, {S(t)} t 0 jest pó lgrup a, S(t) : H H. W lasności pó lgrupy {S(t)} t 0 w H daj a informacje o zachowaniu siȩ trajektorii t u(t) H dla dużych czasów t. Dwuwymiarowy autonomiczny (f H) uk lad równań Naviera-Stokesa jest dyssypatywnym uk ladem dynamicznym. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 15 / 25

Pojȩcia podstawowe: atraktor globalny Dla wielu uk ladów dyssypatywnych istnieje podzbiór A w przestrzeni fazowej H taki, że: A jest zwarty w H. A jest niezmienniczy : S(t)A = A dla t 0. A przyci aga zbiory ograniczone w H: dist(s(t)b, A) 0 gdy t. (A ma skończony wymiar fraktalny.) Przyk lad: przy braku si l zewnȩtrznych pole prȩdkości uk ladu dyssypatywnego zbiega do zera (punktu stacjonarnego) w H. u(x, t) 2 dx u(x, 0) 2 dx exp( νλ 1 t) + 1 t + exp( νλ 1 (t τ)) f (x, t) 2 dxdτ νλ 1 0 Wtedy A = {0}, dim(a) = 0. Dynamika jest trywialna. Punkt stacjonarny spe lnia wszystkie powyższe warunki. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 16 / 25

Pojȩcia podstawowe: wymiar fraktalny zbioru Definicja. Wymiar fraktalny zbioru zwartego K w przestrzeni Hilberta H określamy jako dim(k) = lim sup ɛ 0 log N ɛ (K) log(1/ɛ) gdzie N ɛ (K) jest minimaln a liczb a kul o promieniu ɛ potrzebn a do pokrycia zbioru K. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 17 / 25

Wymiar atraktora, jego parametryzacja i hydrodynamika Twierdzenie. Niech K bȩdzie zwartym zbiorem w przestrzeni Hilberta H z dim(k) < d, gdzie d jest liczb a naturaln a. Wtedy istnieje ci ag la parametryzacja zbioru K przy użyciu n 2d + 1 wspó lrzȩdnych. Hydrodynamika. Dla dwuwymiarowych równań Naviera-Stokesa istnieje globalny atraktor. Potrafimy oszacować wymiar tego atraktora przez podstawowe parametry przep lywu: dim(a) F(G), G = f ν 2 λ 1. Ci agle poszukuje siȩ najlepszego oszacowania! G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 18 / 25

Istnienie miar niezmienniczych - rozwi azań statystycznych Twierdzenie. Niech H bȩdzie przestrzeni a Hilberta. Za lóżmy, że istnieje globalny atraktor A dla pó lgrupy S( ) w H. Ustalmy uogólnion a granicȩ Banacha LIM t. Wtedy dla każdego p H istnieje niezmiennicza miara probabilistyczna µ p na H skupiona na A i taka, że dla każdego ϕ C(H), 1 t LIM t ϕ(s(s)p)ds = ϕ(v)dµ p (v). t 0 A Niezmienniczość : µ(s(t) 1 (B)) = µ(b) dla B B(H). Interpretacja : µ(b) = Prob({u 0 B}) = Prob({S(t)u 0 B}), t > 0. Każda miara czasowo - uśredniona jest niezmiennicza. Każda miara niezmiennicza jest skupiona na atraktorze. Jeśli lim t g(t) istnieje, to LIM t g(t) = lim t g(t). G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 19 / 25

Uogólniona granica Banacha. Definicja. Uogólnion a granic a Banacha jest każdy liniowy funkcjona l, oznaczany LIM T, określony na przestrzeni wszystkich ograniczonych rzeczywistych funkcji na [0, ), spe lniaj acy (i) LIM T g(t ) 0 dla nieujemnych g. (ii) LIM T g(t ) = lim T g(t ) jeśli zwyk la granica lim T g(t ) istnieje. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 20 / 25

Przyk lad Przyk lad. Niech H bȩdzie przestrzeni a Hilberta. Za lóżmy, że istnieje trywialny globalny atraktor A = {q} dla pó lgrupy S( ) w H. Wtedy dla każdego p H istnieje niezmiennicza miara probabilistyczna µ p = δ q na H, która nie zależy od p H, jest skupiona na A, i dla każdego ϕ C(H), 1 t lim ϕ(s(s)p)ds = ϕ(v)dδ q (v) = ϕ(q). t t 0 A Miara δ q jest ergodyczna. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 21 / 25

Harmoniki determinuj ace w przep lywie dwuwymiarowym Niech u t + ν u + (u )u + p = f (x), divu = 0, u(0) = u 0, u(x, t) = û k (t)ω k (x), P m u(x, t) = k=1 m û k (t)ω k (x). k=1 Niech v bȩdzie innym rozwi azaniem, startuj acym z v 0. Twierdzenie. Jeśli m cg = c f λ 1, oraz ν 2 P m u(x, t) P m v(x, t) 2 dx 0, gdy t to u(x, t) v(x, t) 2 dx 0, gdy t. Zatem, pierwsze m harmonik determinuje, w powyższym sensie, asymptotykȩ rozwi azań dla t. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 22 / 25

Transport energii wewn atrz p lynu Niech u = P m u + (I P m )u = y + z, y - duże skale (wiry), z - ma le skale (wiry) oraz (Ko lmogorow, Kraichnan - przyk lad), f = m 2 k=m 1 ˆf k ω k, 1 m 1 m 2 <. (Energia dostarczana do uk ladu w zakresie pewnych skal). Wtedy, dla m > m 2, oraz 1 d 2 dt y 2 + ν y 2 + b(y + z, y + z, y) = (f, y) 1 d 2 dt z 2 + ν z 2 + b(y + z, y + z, z) = 0. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 23 / 25

Transport energii wewn atrz p lynu, cd. Wtedy, drugie równanie zapisujemy w postaci d dt e(z) + νe(z) = Φ y (z), Φ y (z) = b(y, y, z) + b(z, z, y). ca lkuj ac wzglȩdem czasu dostajemy, e(z(t )) + ν T 0 E(z(s))ds = T St ad, przy za lożeniu istnienie granic, 0 lim T 1 T T ν E(z(s))ds = lim 0 T 0 Φ y (z(s))ds + e(z(0)). 1 T Φ y (z(s))ds. T 0 Oznacza to, że energia ma lych skal z, po uśrednieniu po czasie, wzrasta: zjawisko transportu energii z dużych skal do ma lych skal, gdy energia jest dostarczana w pewnym zakresie skal. Dyssypacja energii zachodzi w ma lych skalach. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 24 / 25

Bibliografia C. Foias, O. Manley, R. Rosa and R.Temam, Navier-Stokes Equations and Turbulence. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2001. G. Lukaszewicz, Micropolar Fluids. Theory and Applications, Birkhäuser, Boston, 1999. G. Lukaszewicz, J.Real, and J.C. Robinson, Invariant Measures for Dissipative Systems and Generalised Banach Limits, J. Dyn. Diff. Equat., Vol. 23, No. 2, pp. 225-250 (2011). J.C. Robinson, Infnite-dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2001. G. Lukaszewicz, MIM UW () Równania Naviera-Stokesa KNFM, listopad 2011 25 / 25