Fale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji
|
|
|
- Judyta Socha
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Fale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji Piotr Bartłomiejczyk Politechnika Gdańska Między teorią a zastosowaniami: Matematyka w działaniu Będlewo, maja 2015 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 1 / 39
2 Równanie reakcji-dyfuzji P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 2 / 39
3 Równanie reakcji-dyfuzji Rozważmy skalarne równanie reakcji-dyfuzji P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 2 / 39
4 Równanie reakcji-dyfuzji Rozważmy skalarne równanie reakcji-dyfuzji (1) u t u xx = f(u) w R (0, ), P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 2 / 39
5 Równanie reakcji-dyfuzji Rozważmy skalarne równanie reakcji-dyfuzji (1) u t u xx = f(u) w R (0, ), gdzie f : R R przypomina wielomian trzeciego stopnia. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 2 / 39
6 Wykres funkcji f P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 3 / 39
7 Wykres funkcji f P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 3 / 39
8 Równanie bistabilne P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 4 / 39
9 Równanie bistabilne Stałe 0 i 1 są stabilnymi rozwiązaniami równania (1) (f < 0 w punktach z = 0, 1), P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 4 / 39
10 Równanie bistabilne Stałe 0 i 1 są stabilnymi rozwiązaniami równania (1) (f < 0 w punktach z = 0, 1), natomiast stała a jest rozwiązaniem niestabilnym (f > 0 w punkcie z = a). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 4 / 39
11 Równanie bistabilne Stałe 0 i 1 są stabilnymi rozwiązaniami równania (1) (f < 0 w punktach z = 0, 1), natomiast stała a jest rozwiązaniem niestabilnym (f > 0 w punkcie z = a). Stąd równanie (1) nazywamy bistabilnym. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 4 / 39
12 Bistabilne fale biegnące P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 5 / 39
13 Bistabilne fale biegnące Szukamy bistabilnych fal biegnących tzn. rozwiązań u równania (1) postaci P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 5 / 39
14 Bistabilne fale biegnące Szukamy bistabilnych fal biegnących tzn. rozwiązań u równania (1) postaci u(x, t) = v(x σt), P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 5 / 39
15 Bistabilne fale biegnące Szukamy bistabilnych fal biegnących tzn. rozwiązań u równania (1) postaci u(x, t) = v(x σt), przy czym profil v i prędkość σ należy wyznaczyć w taki sposób, aby P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 5 / 39
16 Bistabilne fale biegnące Szukamy bistabilnych fal biegnących tzn. rozwiązań u równania (1) postaci u(x, t) = v(x σt), przy czym profil v i prędkość σ należy wyznaczyć w taki sposób, aby u 0 dla x, u 1 dla x +. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 5 / 39
17 Bistabilne fale biegnące Szukamy bistabilnych fal biegnących tzn. rozwiązań u równania (1) postaci u(x, t) = v(x σt), przy czym profil v i prędkość σ należy wyznaczyć w taki sposób, aby u 0 dla x, u 1 dla x +. Chcemy zatem, by fala biegnąca umożliwiała przejście między dwoma stanami stabilnymi z = 0, 1 przyjmowanymi dla x = ±. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 5 / 39
18 Równanie różniczkowe II rzędu P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 6 / 39
19 Równanie różniczkowe II rzędu Podstawiając s = x σt widzimy, że funkcja v musi spełniać jedno równanie zwyczajne II rzędu P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 6 / 39
20 Równanie różniczkowe II rzędu Podstawiając s = x σt widzimy, że funkcja v musi spełniać jedno równanie zwyczajne II rzędu ( v + σv + f(v) = 0 = d ) ds P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 6 / 39
21 Równanie różniczkowe II rzędu Podstawiając s = x σt widzimy, że funkcja v musi spełniać jedno równanie zwyczajne II rzędu ( v + σv + f(v) = 0 = d ) ds i warunki P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 6 / 39
22 Równanie różniczkowe II rzędu Podstawiając s = x σt widzimy, że funkcja v musi spełniać jedno równanie zwyczajne II rzędu ( v + σv + f(v) = 0 = d ) ds i warunki lim v(s) = 1, lim s + v(s) = 0, lim s s ± v (s) = 0. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 6 / 39
23 Układ dwóch równań I rzędu P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 7 / 39
24 Układ dwóch równań I rzędu Lub równoważnie układ dwóch równań autonomicznych I rzędu P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 7 / 39
25 Układ dwóch równań I rzędu Lub równoważnie układ dwóch równań autonomicznych I rzędu (2) v = w w = σw f(v), P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 7 / 39
26 Układ dwóch równań I rzędu Lub równoważnie układ dwóch równań autonomicznych I rzędu (2) v = w w = σw f(v), z warunkami P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 7 / 39
27 Układ dwóch równań I rzędu Lub równoważnie układ dwóch równań autonomicznych I rzędu (2) v = w w = σw f(v), z warunkami lim (v, w) = (1, 0), lim s + (v, w) = (0, 0). s P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 7 / 39
28 Punkty stacjonarne potoku P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 8 / 39
29 Punkty stacjonarne potoku Łatwo sprawdzić, że P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 8 / 39
30 Punkty stacjonarne potoku Łatwo sprawdzić, że (0, 0) i (1, 0) są siodłowymi punktami stacjonarnymi potoku generowanego przez (2), P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 8 / 39
31 Punkty stacjonarne potoku Łatwo sprawdzić, że (0, 0) i (1, 0) są siodłowymi punktami stacjonarnymi potoku generowanego przez (2), portrety fazowe wokół tych punktów wyglądają jak na rysunku. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 8 / 39
32 Portret fazowy P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 9 / 39
33 Portret fazowy P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 9 / 39
34 Kluczowa obserwacja P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 10 / 39
35 Kluczowa obserwacja Fakt Istnienie orbity heteroklinicznej układu (2) z punktu (0, 0) do punktu (1, 0) implikuje istnienie bistabilnej fali biegnącej o prędkości σ dla równania reakcji-dyfuzji (1). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 10 / 39
36 Przykład Conleya P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 11 / 39
37 Przykład Conleya W książce Charlesa Conleya Isolated Invariant Sets and the Morse index (CBMS Reg. Conf. Ser. in Math. 38, AMS, 1978) znajduje się następujący przykład. Rozważmy układ równań P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 11 / 39
38 Przykład Conleya W książce Charlesa Conleya Isolated Invariant Sets and the Morse index (CBMS Reg. Conf. Ser. in Math. 38, AMS, 1978) znajduje się następujący przykład. Rozważmy układ równań dx/dt = y, dy/dt = θy x(x 1/3)(1 x). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 11 / 39
39 Przykład Conleya W książce Charlesa Conleya Isolated Invariant Sets and the Morse index (CBMS Reg. Conf. Ser. in Math. 38, AMS, 1978) znajduje się następujący przykład. Rozważmy układ równań dx/dt = y, dy/dt = θy x(x 1/3)(1 x). Twierdzenie Dla pewnego θ istnieje orbita heterokliniczna z (0, 0) do (1, 0). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 11 / 39
40 Potok P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 12 / 39
41 Potok Niech X oznacza lokalnie zwartą przestrzeń metryczną oraz ϕ oznacza potok na X, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 12 / 39
42 Potok Niech X oznacza lokalnie zwartą przestrzeń metryczną oraz ϕ oznacza potok na X, tzn. ciągłe odwzorowanie ϕ: R X X takie, że P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 12 / 39
43 Potok Niech X oznacza lokalnie zwartą przestrzeń metryczną oraz ϕ oznacza potok na X, tzn. ciągłe odwzorowanie ϕ: R X X takie, że ϕ(0, x) = x, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 12 / 39
44 Potok Niech X oznacza lokalnie zwartą przestrzeń metryczną oraz ϕ oznacza potok na X, tzn. ciągłe odwzorowanie ϕ: R X X takie, że ϕ(0, x) = x, ϕ(t, ϕ(s, x)) = ϕ(t + s, x). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 12 / 39
45 Potok Niech X oznacza lokalnie zwartą przestrzeń metryczną oraz ϕ oznacza potok na X, tzn. ciągłe odwzorowanie ϕ: R X X takie, że ϕ(0, x) = x, ϕ(t, ϕ(s, x)) = ϕ(t + s, x). Oznaczenia Jeśli I R i A X, to ϕ(i, A) := {ϕ(t, x) t I and x A}. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 12 / 39
46 Potok Niech X oznacza lokalnie zwartą przestrzeń metryczną oraz ϕ oznacza potok na X, tzn. ciągłe odwzorowanie ϕ: R X X takie, że ϕ(0, x) = x, ϕ(t, ϕ(s, x)) = ϕ(t + s, x). Oznaczenia Jeśli I R i A X, to ϕ(i, A) := {ϕ(t, x) t I and x A}. Dla N X zbiór Inv(N) := {x X ϕ(r, x) N} nazywamy częścią niezmienniczą zbioru N. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 12 / 39
47 Potok Niech X oznacza lokalnie zwartą przestrzeń metryczną oraz ϕ oznacza potok na X, tzn. ciągłe odwzorowanie ϕ: R X X takie, że ϕ(0, x) = x, ϕ(t, ϕ(s, x)) = ϕ(t + s, x). Oznaczenia Jeśli I R i A X, to ϕ(i, A) := {ϕ(t, x) t I and x A}. Dla N X zbiór Inv(N) := {x X ϕ(r, x) N} nazywamy częścią niezmienniczą zbioru N. Mówimy, że S X jest niezmienniczy, jeśli Inv(S) = S. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 12 / 39
48 Zbiory niezmiennicze P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 13 / 39
49 Zbiory niezmiennicze Niech S X będzie zwartym zbiorem niezmienniczym. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 13 / 39
50 Zbiory niezmiennicze Niech S X będzie zwartym zbiorem niezmienniczym. Zwarty zbiór N X nazywamy otoczeniem izolującym, jeśli Inv(N) int(n). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 13 / 39
51 Zbiory niezmiennicze Niech S X będzie zwartym zbiorem niezmienniczym. Zwarty zbiór N X nazywamy otoczeniem izolującym, jeśli Inv(N) int(n). S nazywamy izolowanym zwartym zbiorem niezmienniczym, jeśli S = Inv(N) dla pewnego otoczenia izolującego N. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 13 / 39
52 Zbiory niezmiennicze Niech S X będzie zwartym zbiorem niezmienniczym. Zwarty zbiór N X nazywamy otoczeniem izolującym, jeśli Inv(N) int(n). S nazywamy izolowanym zwartym zbiorem niezmienniczym, jeśli S = Inv(N) dla pewnego otoczenia izolującego N. Zbiór A L nazywamy dodatnio niezmienniczym w L, jeśli warunki x A i ϕ([0, t], x) L implikują, że ϕ([0, t], x) A. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 13 / 39
53 Zbiory niezmiennicze Niech S X będzie zwartym zbiorem niezmienniczym. Zwarty zbiór N X nazywamy otoczeniem izolującym, jeśli Inv(N) int(n). S nazywamy izolowanym zwartym zbiorem niezmienniczym, jeśli S = Inv(N) dla pewnego otoczenia izolującego N. Zbiór A L nazywamy dodatnio niezmienniczym w L, jeśli warunki x A i ϕ([0, t], x) L implikują, że ϕ([0, t], x) A. Podzbiór A zbioru L nazywamy zbiorem wyjścia dla L, jeśli z tego, że x L i ϕ([0, ), x) L, wynika, że istnieje t 0 takie, że ϕ([0, t], x) L i ϕ(t, x) A. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 13 / 39
54 Para indeksowa P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 14 / 39
55 Para indeksowa Niech S będzie izolowanym zwartym zbiorem niezmienniczym. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 14 / 39
56 Para indeksowa Niech S będzie izolowanym zwartym zbiorem niezmienniczym. Parę zbiorów zwartych (N 1, N 0 ) nazywamy parą indeksową dla S jeśli: P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 14 / 39
57 Para indeksowa Niech S będzie izolowanym zwartym zbiorem niezmienniczym. Parę zbiorów zwartych (N 1, N 0 ) nazywamy parą indeksową dla S jeśli: (i) S = Inv(cl(N 1 \ N 0 )) int(n 1 \ N 0 ), P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 14 / 39
58 Para indeksowa Niech S będzie izolowanym zwartym zbiorem niezmienniczym. Parę zbiorów zwartych (N 1, N 0 ) nazywamy parą indeksową dla S jeśli: (i) S = Inv(cl(N 1 \ N 0 )) int(n 1 \ N 0 ), (ii) N 0 jest dodatnio niezmienniczy w N 1, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 14 / 39
59 Para indeksowa Niech S będzie izolowanym zwartym zbiorem niezmienniczym. Parę zbiorów zwartych (N 1, N 0 ) nazywamy parą indeksową dla S jeśli: (i) S = Inv(cl(N 1 \ N 0 )) int(n 1 \ N 0 ), (ii) N 0 jest dodatnio niezmienniczy w N 1, (iii) N 0 jest zbiorem wyjścia dla N 1. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 14 / 39
60 Indeks Conleya P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 15 / 39
61 Indeks Conleya Definicja Homologiczny indeks Conleya zbioru S określamy jako P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 15 / 39
62 Indeks Conleya Definicja Homologiczny indeks Conleya zbioru S określamy jako CH (S) := H (N 1 /N 0, [N 0 ]) H (N 1, N 0 ), P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 15 / 39
63 Indeks Conleya Definicja Homologiczny indeks Conleya zbioru S określamy jako CH (S) := H (N 1 /N 0, [N 0 ]) H (N 1, N 0 ), gdzie (N 1, N 0 ) is jest jakąkolwiek para indeksową dla S. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 15 / 39
64 Indeks Conleya przykład P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 16 / 39
65 Indeks Conleya przykład P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 16 / 39
66 Indeks Conleya przykład CH (S) = H (N, L) = H (S 1, pt) P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 16 / 39
67 Zbiory ω-graniczne P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 17 / 39
68 Zbiory ω-graniczne Przypomnijmy, że dla Y X jego zbiory ω-graniczne definiujemy jako P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 17 / 39
69 Zbiory ω-graniczne Przypomnijmy, że dla Y X jego zbiory ω-graniczne definiujemy jako ω + (Y) := t>0 cl(ϕ([t, ), Y)) P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 17 / 39
70 Zbiory ω-graniczne Przypomnijmy, że dla Y X jego zbiory ω-graniczne definiujemy jako ω + (Y) := t>0 cl(ϕ([t, ), Y)) oraz P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 17 / 39
71 Zbiory ω-graniczne Przypomnijmy, że dla Y X jego zbiory ω-graniczne definiujemy jako ω + (Y) := t>0 cl(ϕ([t, ), Y)) oraz ω (Y) := t<0 cl(ϕ((, t], Y)). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 17 / 39
72 Rozkład Morse a P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 18 / 39
73 Rozkład Morse a Niech S będzie izolowanym zwartym zbiorem niezmienniczym. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 18 / 39
74 Rozkład Morse a Niech S będzie izolowanym zwartym zbiorem niezmienniczym. Definicja Rodzinę {M i } n 1 parami rozłącznych zwartych niezmienniczych podzbiorów zbioru S nazywamy rozkładem Morse a, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 18 / 39
75 Rozkład Morse a Niech S będzie izolowanym zwartym zbiorem niezmienniczym. Definicja Rodzinę {M i } n 1 parami rozłącznych zwartych niezmienniczych podzbiorów zbioru S nazywamy rozkładem Morse a, jeżeli dla każdego x S \ n i=1 M i istnieją indeksy i < j takie, że ω + (x) M i and ω (x) M j. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 18 / 39
76 Rozkład Morse a Niech S będzie izolowanym zwartym zbiorem niezmienniczym. Definicja Rodzinę {M i } n 1 parami rozłącznych zwartych niezmienniczych podzbiorów zbioru S nazywamy rozkładem Morse a, jeżeli dla każdego x S \ n i=1 M i istnieją indeksy i < j takie, że ω + (x) M i and ω (x) M j. Zbiory M i nazywamy zbiorami Morse a. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 18 / 39
77 Rozkład Morse a przykład P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 19 / 39
78 Rozkład Morse a przykład P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 19 / 39
79 Rozkład Morse a P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 20 / 39
80 Rozkład Morse a Uwaga Jak widać rozkład Morse a to taki układ punktów stacjonarnych (ogólniej zwartych zbiorów niezmienniczych), który nie dopuszcza cykli czyli skończonych ciągów orbit skierowanych zaczynających i kończących się w tym samym punkcie (zbiorze). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 20 / 39
81 Para atraktor-repeler P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 21 / 39
82 Para atraktor-repeler Najprostszy nietrywialny rozkład Morse a izolowanego zwartego zbioru niezmienniczego S składa się z dwóch elementów {M 1, M 2 }. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 21 / 39
83 Para atraktor-repeler Najprostszy nietrywialny rozkład Morse a izolowanego zwartego zbioru niezmienniczego S składa się z dwóch elementów {M 1, M 2 }. Nazywamy go parą atraktor-repeler w S. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 21 / 39
84 Para atraktor-repeler Najprostszy nietrywialny rozkład Morse a izolowanego zwartego zbioru niezmienniczego S składa się z dwóch elementów {M 1, M 2 }. Nazywamy go parą atraktor-repeler w S. Zbiór orbit łączących z M 2 do M 1 w S określamy jako P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 21 / 39
85 Para atraktor-repeler Najprostszy nietrywialny rozkład Morse a izolowanego zwartego zbioru niezmienniczego S składa się z dwóch elementów {M 1, M 2 }. Nazywamy go parą atraktor-repeler w S. Zbiór orbit łączących z M 2 do M 1 w S określamy jako C(M 2, M 1 ; S) := {x S ω + (x) M 1, ω (x) M 2 }. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 21 / 39
86 Trójka indeksowa P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 22 / 39
87 Trójka indeksowa Definicja Trójką indeksową dla pary atraktor-repeler {M 1, M 2 } w S trójkę zbiorów zwartych N 0 N 1 N 2 taką, że P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 22 / 39
88 Trójka indeksowa Definicja Trójką indeksową dla pary atraktor-repeler {M 1, M 2 } w S trójkę zbiorów zwartych N 0 N 1 N 2 taką, że (N 2, N 0 ) jest parą indeksową dla S, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 22 / 39
89 Trójka indeksowa Definicja Trójką indeksową dla pary atraktor-repeler {M 1, M 2 } w S trójkę zbiorów zwartych N 0 N 1 N 2 taką, że (N 2, N 0 ) jest parą indeksową dla S, (N 2, N 1 ) jest parą indeksową dla M 2, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 22 / 39
90 Trójka indeksowa Definicja Trójką indeksową dla pary atraktor-repeler {M 1, M 2 } w S trójkę zbiorów zwartych N 0 N 1 N 2 taką, że (N 2, N 0 ) jest parą indeksową dla S, (N 2, N 1 ) jest parą indeksową dla M 2, (N 1, N 0 ) jest parą indeksową dla M 1. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 22 / 39
91 Ciąg dokładny dla pary atraktor-repeler P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 23 / 39
92 Ciąg dokładny dla pary atraktor-repeler Niech oznacza odwzorowanie brzegu w długim ciągu dokładnym homologii trójki: P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 23 / 39
93 Ciąg dokładny dla pary atraktor-repeler Niech oznacza odwzorowanie brzegu w długim ciągu dokładnym homologii trójki: H k (N 1, N 0 ) H k (N 2, N 0 ) H k (N 2, N 1 ) H k 1 (N 1, N 0 ) P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 23 / 39
94 Ciąg dokładny dla pary atraktor-repeler Niech oznacza odwzorowanie brzegu w długim ciągu dokładnym homologii trójki: H k (N 1, N 0 ) H k (N 2, N 0 ) H k (N 2, N 1 ) H k 1 (N 1, N 0 ) Następujące twierdzenie wiąże powyższy ciąg dokładny z dynamiką potoku. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 23 / 39
95 Ciąg dokładny dla pary atraktor-repeler Niech oznacza odwzorowanie brzegu w długim ciągu dokładnym homologii trójki: H k (N 1, N 0 ) H k (N 2, N 0 ) H k (N 2, N 1 ) H k 1 (N 1, N 0 ) Następujące twierdzenie wiąże powyższy ciąg dokładny z dynamiką potoku. Twierdzenie Jeśli 0, to C(M 2, M 1 ; S). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 23 / 39
96 Własność kontynuacji dla indeksu Conleya P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 24 / 39
97 Własność kontynuacji dla indeksu Conleya Rozważmy ciągłą rodzinę potoków ϕ λ : R X X, gdzie λ (a, b). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 24 / 39
98 Własność kontynuacji dla indeksu Conleya Rozważmy ciągłą rodzinę potoków ϕ λ : R X X, gdzie λ (a, b). Definicja Niech N X będzie zwarty. Niech S λ = Inv(N, ϕ λ ). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 24 / 39
99 Własność kontynuacji dla indeksu Conleya Rozważmy ciągłą rodzinę potoków ϕ λ : R X X, gdzie λ (a, b). Definicja Niech N X będzie zwarty. Niech S λ = Inv(N, ϕ λ ). Mówimy, że dwa izolowane zwarte zbiory niezmiennicze S λ0 i S λ1 są połączone przez kontynuację, jeżeli N jest otoczeniem izolującym dla wszystkich ϕ λ, gdzie λ [λ 0, λ 1 ]. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 24 / 39
100 Własność kontynuacji dla indeksu Conleya Rozważmy ciągłą rodzinę potoków ϕ λ : R X X, gdzie λ (a, b). Definicja Niech N X będzie zwarty. Niech S λ = Inv(N, ϕ λ ). Mówimy, że dwa izolowane zwarte zbiory niezmiennicze S λ0 i S λ1 są połączone przez kontynuację, jeżeli N jest otoczeniem izolującym dla wszystkich ϕ λ, gdzie λ [λ 0, λ 1 ]. Indeks Conleya jest niezmienniczy ze względu na kontynuację. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 24 / 39
101 Własność kontynuacji dla indeksu Conleya Rozważmy ciągłą rodzinę potoków ϕ λ : R X X, gdzie λ (a, b). Definicja Niech N X będzie zwarty. Niech S λ = Inv(N, ϕ λ ). Mówimy, że dwa izolowane zwarte zbiory niezmiennicze S λ0 i S λ1 są połączone przez kontynuację, jeżeli N jest otoczeniem izolującym dla wszystkich ϕ λ, gdzie λ [λ 0, λ 1 ]. Indeks Conleya jest niezmienniczy ze względu na kontynuację. Twierdzenie Jeżeli dwa izolowane zwarte zbiory niezmiennicze S λ0 i S λ1 są połączone przez kontynuację, to CH (S λ0 ) = CH (S λ1 ). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 24 / 39
102 Własność kontynuacji dla pary atraktor-repeler P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 25 / 39
103 Własność kontynuacji dla pary atraktor-repeler Uwaga Własność kontynuacji można też sformułować dla rozkładów Morse a. W szczególnym przypadku pary atraktor-repeler własność kontynuacji formułujemy używając ciągu dokładnego homotopii lub homologii. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 25 / 39
104 Twierdzenie P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 26 / 39
105 Twierdzenie Przypomnijmy nasze twierdzenie. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 26 / 39
106 Twierdzenie Przypomnijmy nasze twierdzenie. Twierdzenie Dla pewnego θ istnieje orbita łącząca z (0, 0) do (1, 0) potoku fazowego generowanego przez układ równań dx/dt = y, dy/dt = θy x(x 1/3)(1 x). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 26 / 39
107 Szkic dowodu 1 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 27 / 39
108 Szkic dowodu 1 Załóżmy, że parametr θ (0, ). Przypuśćmy, że dla żadnej wartości parametru θ > 0 nie ma orbity łączącej z punktu (0, 0) do punktu (1, 0). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 27 / 39
109 Szkic dowodu 1 Załóżmy, że parametr θ (0, ). Przypuśćmy, że dla żadnej wartości parametru θ > 0 nie ma orbity łączącej z punktu (0, 0) do punktu (1, 0). Wtedy ciąg P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 27 / 39
110 Szkic dowodu 1 Załóżmy, że parametr θ (0, ). Przypuśćmy, że dla żadnej wartości parametru θ > 0 nie ma orbity łączącej z punktu (0, 0) do punktu (1, 0). Wtedy ciąg M 1 = (0, 0) < M 2 = (1, 0) < M 3 = (1/3, 0) P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 27 / 39
111 Szkic dowodu 1 Załóżmy, że parametr θ (0, ). Przypuśćmy, że dla żadnej wartości parametru θ > 0 nie ma orbity łączącej z punktu (0, 0) do punktu (1, 0). Wtedy ciąg M 1 = (0, 0) < M 2 = (1, 0) < M 3 = (1/3, 0) jest rozkładem Morse a dla dowolnej wartości parametru θ. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 27 / 39
112 Szkic dowodu 1 Załóżmy, że parametr θ (0, ). Przypuśćmy, że dla żadnej wartości parametru θ > 0 nie ma orbity łączącej z punktu (0, 0) do punktu (1, 0). Wtedy ciąg M 1 = (0, 0) < M 2 = (1, 0) < M 3 = (1/3, 0) jest rozkładem Morse a dla dowolnej wartości parametru θ. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 27 / 39
113 Szkic dowodu 2 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 28 / 39
114 Szkic dowodu 2 Jeżeli M 1 = (0, 0) < M 2 = (1, 0) < M 3 = (1/3, 0) jest rozkładem Morse a dla dowolnej wartości parametru θ, to para {M 2, M 3 } jest parą atraktor-repeler dla wszystkich θ > 0. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 28 / 39
115 Szkic dowodu 3 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 29 / 39
116 Szkic dowodu 3 Własności kontynuacji dla pary atraktor-repeler oznacza przemienność poniższego diagramu ciągów dokładnych homologii trójek indeksowych P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 29 / 39
117 Szkic dowodu 3 Własności kontynuacji dla pary atraktor-repeler oznacza przemienność poniższego diagramu ciągów dokładnych homologii trójek indeksowych H k (N 2, N 0 ) H k (N 2, N 1 ) H k 1 (N 1, N 0 ) H k (P 2, P 0 ) H k (P 2, P 1 ) H k 1 (P 1, P 0 ) P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 29 / 39
118 Szkic dowodu 3 Własności kontynuacji dla pary atraktor-repeler oznacza przemienność poniższego diagramu ciągów dokładnych homologii trójek indeksowych H k (N 2, N 0 ) H k (N 2, N 1 ) H k 1 (N 1, N 0 ) H k (P 2, P 0 ) H k (P 2, P 1 ) gdzie H k 1 (P 1, P 0 ) górny ciąg odpowiada wartości parametru: duże θ, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 29 / 39
119 Szkic dowodu 3 Własności kontynuacji dla pary atraktor-repeler oznacza przemienność poniższego diagramu ciągów dokładnych homologii trójek indeksowych H k (N 2, N 0 ) H k (N 2, N 1 ) H k 1 (N 1, N 0 ) H k (P 2, P 0 ) H k (P 2, P 1 ) gdzie H k 1 (P 1, P 0 ) górny ciąg odpowiada wartości parametru: duże θ, dolny ciąg odpowiada wartości parametru: małe θ, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 29 / 39
120 Szkic dowodu 3 Własności kontynuacji dla pary atraktor-repeler oznacza przemienność poniższego diagramu ciągów dokładnych homologii trójek indeksowych H k (N 2, N 0 ) H k (N 2, N 1 ) H k 1 (N 1, N 0 ) H k (P 2, P 0 ) H k (P 2, P 1 ) gdzie H k 1 (P 1, P 0 ) górny ciąg odpowiada wartości parametru: duże θ, dolny ciąg odpowiada wartości parametru: małe θ, pionowe strzałki są izomorfizmami. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 29 / 39
121 Szkic dowodu 4 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 30 / 39
122 Szkic dowodu 4 Wyliczamy odwzorowanie brzegu dla dużego θ korzystając ze znajomości portretu fazowego. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 30 / 39
123 Szkic dowodu 4 Wyliczamy odwzorowanie brzegu dla dużego θ korzystając ze znajomości portretu fazowego. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 30 / 39
124 Szkic dowodu 5 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 31 / 39
125 Szkic dowodu 5 Po deformacji otoczenie izolujące dla pary atraktor-repeler ma postać P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 31 / 39
126 Szkic dowodu 5 Po deformacji otoczenie izolujące dla pary atraktor-repeler ma postać P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 31 / 39
127 Szkic dowodu 6 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 32 / 39
128 Szkic dowodu 6 Stąd ciąg dokładny dla pary A-R ma w tym wypadku postać P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 32 / 39
129 Szkic dowodu 6 Stąd ciąg dokładny dla pary A-R ma w tym wypadku postać H 2 (N 2, N 0 ) H 2 (N 2, N 1 ) H 1 (N 1, N 0 ) H 1 (N 2, N 0 ) 0 Z Z 0 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 32 / 39
130 Szkic dowodu 6 Stąd ciąg dokładny dla pary A-R ma w tym wypadku postać H 2 (N 2, N 0 ) H 2 (N 2, N 1 ) H 1 (N 1, N 0 ) H 1 (N 2, N 0 ) 0 Z czyli jest izomorfizmem. Z 0 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 32 / 39
131 Szkic dowodu 7 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 33 / 39
132 Szkic dowodu 7 Wyliczamy odwzorowanie brzegu dla małego θ wykorzystując znajomość portretu fazowego. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 33 / 39
133 Szkic dowodu 7 Wyliczamy odwzorowanie brzegu dla małego θ wykorzystując znajomość portretu fazowego. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 33 / 39
134 Szkic dowodu 8 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 34 / 39
135 Szkic dowodu 8 Ponieważ dla dużego θ nie orbity łączącej z M 3 do M 2, zatem = 0 na mocy twierdzenia o odwzorowaniu łączącym. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 34 / 39
136 Szkic dowodu 9 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 35 / 39
137 Szkic dowodu 9 Otrzymujemy stąd diagram przemienny P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 35 / 39
138 Szkic dowodu 9 Otrzymujemy stąd diagram przemienny H (N 2, N 1 ) iso H (P 2, P 1 ) H (N 1, N 0 ) iso iso 0 H (P 1, P 0 ) P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 35 / 39
139 Szkic dowodu 9 Otrzymujemy stąd diagram przemienny H (N 2, N 1 ) iso H (P 2, P 1 ) H (N 1, N 0 ) iso iso 0 H (P 1, P 0 ) co prowadzi do sprzeczności i dowodzi, że dla pewnej dodatniej wartości parametru θ istnieje orbita łącząca z (0, 0) do (1, 0). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 35 / 39
140 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 36 / 39
141 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu W książce Conleya znajduje się następujące uogólnienie poprzedniego wyniku. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 36 / 39
142 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu W książce Conleya znajduje się następujące uogólnienie poprzedniego wyniku. Założenia: P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 36 / 39
143 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu W książce Conleya znajduje się następujące uogólnienie poprzedniego wyniku. Założenia: F : R n R gładka taka, że F(x), gdy x, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 36 / 39
144 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu W książce Conleya znajduje się następujące uogólnienie poprzedniego wyniku. Założenia: F : R n R gładka taka, że F(x), gdy x, dla pewnego dużego ujemnego C zbiór {x F(x) C} jest wypukły, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 36 / 39
145 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu W książce Conleya znajduje się następujące uogólnienie poprzedniego wyniku. Założenia: F : R n R gładka taka, że F(x), gdy x, dla pewnego dużego ujemnego C zbiór {x F(x) C} jest wypukły, x = 0 jest globalnym maksimum funkcji F i F(0) = 0, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 36 / 39
146 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu W książce Conleya znajduje się następujące uogólnienie poprzedniego wyniku. Założenia: F : R n R gładka taka, że F(x), gdy x, dla pewnego dużego ujemnego C zbiór {x F(x) C} jest wypukły, x = 0 jest globalnym maksimum funkcji F i F(0) = 0, x 0 0 jest lokalnym maksimum funkcji F, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 36 / 39
147 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu W książce Conleya znajduje się następujące uogólnienie poprzedniego wyniku. Założenia: F : R n R gładka taka, że F(x), gdy x, dla pewnego dużego ujemnego C zbiór {x F(x) C} jest wypukły, x = 0 jest globalnym maksimum funkcji F i F(0) = 0, x 0 0 jest lokalnym maksimum funkcji F, punkty krytyczne funkcji F inne niż 0 i x 0 mają wartości krytyczne mniejsze niż F(x 0 ) ɛ dla pewnego ɛ > 0, P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 36 / 39
148 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu W książce Conleya znajduje się następujące uogólnienie poprzedniego wyniku. Założenia: F : R n R gładka taka, że F(x), gdy x, dla pewnego dużego ujemnego C zbiór {x F(x) C} jest wypukły, x = 0 jest globalnym maksimum funkcji F i F(0) = 0, x 0 0 jest lokalnym maksimum funkcji F, punkty krytyczne funkcji F inne niż 0 i x 0 mają wartości krytyczne mniejsze niż F(x 0 ) ɛ dla pewnego ɛ > 0, 2F(x) + x, F(x) < 0 dla x 0. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 36 / 39
149 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu c.d. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 37 / 39
150 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu c.d. Twierdzenie Istnieje dodatnia wartość θ taka, że układ w R 2n P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 37 / 39
151 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu c.d. Twierdzenie Istnieje dodatnia wartość θ taka, że układ w R 2n dx/dt = y, dy/dt = θy F(x) P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 37 / 39
152 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu c.d. Twierdzenie Istnieje dodatnia wartość θ taka, że układ w R 2n dx/dt = y, dy/dt = θy F(x) posiada rozwiązanie z punktu stałego (x 0, 0) do punktu stałego (0, 0). P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 37 / 39
153 Uogólnienie twierdzenia z poprzedniego przykładu c.d. Twierdzenie Istnieje dodatnia wartość θ taka, że układ w R 2n dx/dt = y, dy/dt = θy F(x) posiada rozwiązanie z punktu stałego (x 0, 0) do punktu stałego (0, 0). Uwaga Z powyższych twierdzeń nie wynika jednoznaczność parametru θ. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 37 / 39
154 Pełny dowód P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 38 / 39
155 Pełny dowód Pełny dowód twierdzenia z książki Conleya wykorzystujący teorię macierzy połączeń można znaleźć w pracy P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 38 / 39
156 Pełny dowód Pełny dowód twierdzenia z książki Conleya wykorzystujący teorię macierzy połączeń można znaleźć w pracy J. Reineck, Travelling wave solutions to a gradient systems, Trans. Amer. Math. Soc. 307 (1988), , P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 38 / 39
157 Pełny dowód Pełny dowód twierdzenia z książki Conleya wykorzystujący teorię macierzy połączeń można znaleźć w pracy J. Reineck, Travelling wave solutions to a gradient systems, Trans. Amer. Math. Soc. 307 (1988), , w której puntem wyjścia jest układ równań reakcji-dyfuzji P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 38 / 39
158 Pełny dowód Pełny dowód twierdzenia z książki Conleya wykorzystujący teorię macierzy połączeń można znaleźć w pracy J. Reineck, Travelling wave solutions to a gradient systems, Trans. Amer. Math. Soc. 307 (1988), , w której puntem wyjścia jest układ równań reakcji-dyfuzji u i τ = 2 u i ξ 2 + f i(u 1,..., u d ), i = 1,..., d. P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 38 / 39
159 Polecane wprowadzenie do fal biegnących P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 39 / 39
160 Polecane wprowadzenie do fal biegnących Bogdan Kaźmierczak, Fale biegnące w ośrodkach z dyfuzją, Matematyka Stosowana 6 (2005), P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 39 / 39
ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Równanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Informacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Stabilność rozwiązań równań różniczkowych w ujęciu lokalnych układów dynamicznych. Adam Kanigowski Toruń 2010 1 Spis treści 1 Wprowadzenie
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Zagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Zastosowania twierdzeń o punktach stałych
16 kwietnia 2016 Abstrakt Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Ustalmy odwzorowanie ciągłe f : X X. Twierdzeniem o punkcie stałym nazywamy prawdę matematyczną postulującą pod pewnymi warunkami istnienie
Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego
z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Wykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu.
II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 1/1 Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu. Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki
VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
O procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna
Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1 {X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej
Zasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2
Twierdzenie Poincaré Bendixsona 1 TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2 1 TwierdzeniePoincaré Bendixsona W bieżącym podrozdziale zakładamy, że U jest otwartym podzbiorem płaszczyzny R 2 if:u R 2 jestpolemwektorowymklasyc
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
O geometrii semialgebraicznej
Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań
1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Funkcje wiodące i segmenty izolujące
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Jagiellońskiego Grzegorz Kosiorowski Funkcje wiodące i segmenty izolujące Rozprawa doktorska pod kierunkiem prof. dr hab. Klaudiusza Wójcika Kraków, 2011 Spis
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy
JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowych Postać normalna Chomsky ego Gramatyka G ze zbiorem nieterminali N i zbiorem terminali T jest w postaci normalnej Chomsky ego wtw gdy każda produkcja
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.
3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α
Definicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Temat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia
Formy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit
Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą
Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Podprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych
Podprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych, Markus Schmidmeier, FAU Maj, 2015 Oznaczenia K ciało algebraicznie domknięte α, β, γ partycje, tzn. nierosnące ciągi liczb naturalnych
Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Wstęp do układów statycznych
Uniwersystet Warszawski 1 maja 2010 Wprowadzenie Standardowe układy dynamiczne - przestrzeń X wraz z przekształceniem f : X X zachowującym strukturę. Typowe przykłady: X - przestrzeń metryczna, f - przekształcenie
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Analiza II.2*, lato komentarze do ćwiczeń
Analiza.2*, lato 2018 - komentarze do ćwiczeń Marcin Kotowski 5 czerwca 2019 1 11 2019, zadanie 2 z serii domowej 1 Pokażemy, że jeśli f nie jest stała, to całka: f(x f(y B B x y dx dy jest nieskończona.
Metoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Estymacja w regresji nieparametrycznej
Estymacja w regresji nieparametrycznej Jakub Kolecki Politechnika Gdańska 28 listopada 2011 1 Wstęp Co to jest regresja? Przykład regresji 2 Regresja nieparametryczna Założenia modelu Estymacja i jej charakterystyki
Zadania o transferze
Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :
Dyskretna teoria Morse a
Dyskretna teoria Morse a Toruńska Letnia Szkoła Matematyki 2011 Michał Kukieła Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu θ R θ Klasyczna teoria Morse a M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu, f : M n
Efekt motyla i dziwne atraktory
O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny
2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych
Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański 6 Wrzesień 2016 Zastosowania równań hiperbolicznych Nieliniowe równania hiperboliczne wykorzystywane
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną
Równanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autorzy: Tomasz Zabawa 2018 Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autor: Tomasz Zabawa Pojęcie stycznej do wykresu funkcji f w danym punkcie wykresu P( x 0, f( x 0
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Dwa przykłady z mechaniki
Rozdział 6 Dwa przykłady z mechaniki W rozdziale tym przedstawimy proste przykłady rozwiązań równań mechaniki Newtona. Mechanika Newtona zajmuje się badaniem ruchu układu punktów materialnych w przestrzeni
Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Podkowa Smale a jako klasyk chaosu
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 1/? Podkowa Smale a jako klasyk chaosu Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej, Politechnika Gdańska Konstrukcja odwzorowania
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do
Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale