Model Pasywnego Trasera w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
|
|
- Anatol Marciniak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 w Lokalnie Ergodycznym Środowisku Tymoteusz Chojecki UMCS, Lublin Tomasz Komorowski IMPAN, Warszawa Kościelisko, 10 września 2016, XLV Konferencja Zastosowań Matematyki T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
2 Zawartość Konstrukcja Pola Lokalnie Ergodycznego Główny Wynik Uwagi o dowodzie T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
3 Zawartość Konstrukcja Pola Lokalnie Ergodycznego Główny Wynik Uwagi o dowodzie T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
4 Zawartość Konstrukcja Pola Lokalnie Ergodycznego Główny Wynik Uwagi o dowodzie T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
5 Zawartość Konstrukcja Pola Lokalnie Ergodycznego Główny Wynik Uwagi o dowodzie T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
6 Zawartość Konstrukcja Pola Lokalnie Ergodycznego Główny Wynik Uwagi o dowodzie T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
7 Transport w skomplikowanym ośrodku. Turbulentna dyfuzja Turbulentny przepływ - transport masy, ciepła lub pędu w płynie w warunkach w pełni rozwiniętej turbulencji. liczba Reynoldsa Re = UL ν. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
8 założenie stacjonarności i ergodyczności - własności statystyczne nie zależą od przesunięć w czasie i przestrzeni Twierdzenie ergodyczne - w badaniu asymptotyki konieczne jest uśrednianie. Badamy pola lokalnie ergodyczne. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
9 [Taylor 20] Traser X (t) Pole losowe V (t, x) dx (t) dt X (0) = 0. = V (t, X (t)), Interpretacja fizyczna T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
10 Skalowanie dyfuzyjne Obserwacje zewnętrzne Dynamika procesu Skalowanie dyfuzyjne X ε (t) := εx (t/ε 2 ) dx ε (t) dt X ε (0) = 0. = 1 ( t ε V ε 2, X ε ) (t) ε T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
11 Klasyczne pytania Podstawowe pytania PWL - Istnienie granicy v := lim t + X (t)/t p.p, (dryf Stokes a). CTG X (t) v t t N(0, κ), t +? Macierz kowariancji κ = [κ i,j ], i, j = 1,... d jest nazywana turbulentną dyfuzyjnością. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
12 Klasyczne pytania Podstawowe pytania PWL - Istnienie granicy v := lim t + X (t)/t p.p, (dryf Stokes a). CTG X (t) v t t N(0, κ), t +? Macierz kowariancji κ = [κ i,j ], i, j = 1,... d jest nazywana turbulentną dyfuzyjnością. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
13 Zastosowanie w teorii homogenizacji Równanie Transportu. 1 ( t ε V ε 2, x ) x Φ ε (t, x) + t Φ ε (t, x) = 0, ε Φ ε (0, x) = Φ 0 (x). Φ 0, Φ ε (t, x) - pasywny skalar Badamy ε 0 Metoda charakterystyk, symetria rozkładu V (t, x) = lim EΦ ε(t, x) = lim EΦ 0 (Xx ε (t)), ε 0 ε 0 T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
14 Pola Lokalnie Ergodyczne Pole Nieściśliwe Gaussowskie Markowowskie Lokalnie Ergodyczne [Rodes 09, Olla,Siri 04]. dx ε (t) = 1 ( t dt ε W ε 2, X ε ) (t), X ε (t), ε X ε (0) = 0. (1) parametr lokalnej stacjonarności Pole W (t, x, εy) stacjonarne i ergodyczne dla ustalonego y. ε 1. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
15 Konstrukcja Pola Lokalnie Ergodycznego N N liczba modów, d-wymiar. W l (t, x, εy) := N j=1 gdzie procesy quasi-periodyczne po x ā (l) j (t; x, εy), l = 1,..., d, (t, x, y) R R 2d, ā j (t, x; y) := a j (t; y) cos(k j x) + b j (t; y) sin(k j x), j = 1,..., N, Stacjonarne procesy Ornsteina-Uhlenbecka a j (t; y), b j (t; y) T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
16 Procesy Ornsteina-Uhlenbecka Stacjonarne, d-wymiarowe [Komorowski, Fannjiang 99, Carmona, Xu 96] da j (t; y) = α j (y)a j (t; y)dt + 2α j (y)σ j (y)dw j,a (t), db j (t; y) = α j (y)b j (t; y)dt + 2α j (y)σ j (y)dw j,b (t), Miara niezmiennicza ν,y (da, db). w j,a (t), w j,b (t), t 0 - niezależne, standardowe d-wymiarowe ruchy Browna. funkcje α j (y), σ j (y), y R d. Przerwa Spektralna dla 1 j N, y R d 0 < α < min(α j (y), σ j (y)) < max(α j (y), σ j (y)) < σ. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
17 Miara niezmiennicza ν,y (da, db) = Γ (a, b; y)dadb, gdzie N Γ (a, b; y) = Zy 1 exp a 2 j 2σ 2 j=1 j N exp b 2 j 2σ 2 j=1 j, gdzie Z y = (2π) Nd N j=1 σ 2 j. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
18 Główny Wynik Twierdzenie Proces X ε (t) X (t), gdy ε 0 słabo w C[0, ; R d ], gdzie X (t) dyfuzją, której generator wyraża się wzorem d { Lf (x) = yq f (x) w(a, b) y χ q (a, b, x) q=1 R 2S + { dαi (x) ( Θ i (a, b, x), Θ i (a, b, x) ) } ] } (a j, b j ) ν,x(da, db) dx n n,j Z d q=1 R 2S 2 y q f (x) j Z + ( b,j χ q (a, b, x)) 2 ]} ν,x (da, db). { 2α i (x) (σ j (x)) 2 [ ( a,j χ q (a, b, x)) 2 T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
19 Korektory czynnik 1/ε równania (1). Korektory - równanie Poissona L y χ q (a, b; y) = w q (a, b), q = 1,..., d. Wyrazy zawierające pochodne po y procesów a j (t; y), b j (t; y). T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
20 Opis dowodu Ciasność Problem Martyngałowy Stroocka-Varadhana. Twierdzenie Ergodyczne T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
21 Twierdzenie Ergodyczne Oznaczmy F (y) := F (a, b; y)ν,y (da, db). Pole Losowe F (t, x, y) := F (a(t; y), b(t; y); y), t 0, x, y R d. (2) Twierdzenie Ergodyczne Dla pola F zdefiniowanego w (2) i funkcji F spełniającej pewne dodatkowe założenia o tempie wzrostu, oraz dla dowolnego T > 0 zachodzi lim E ε 0 + T 0 ( t F ε 2, X ε ) (t) T, X ε (t) dt ε 0 F (X ε (t))dt = 0. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
22 Bibliografia Carmona, R., Xu, L., Homogenization For Time Dependent 2-d Incompressible Gaussian Flows. Preprint (1996). Fannjiang, A., Komorowski, T., Turbulent Diffusion in Markovian Flows, Ann. of Appl. Prob. 9, , (1999). Monin, A. S., Yaglom A. M., Statistical Fluid Mechanics of Turbulence, Vols I,II, MIT Press Cambridge,(1971), (1975). Olla, S., Siri, P., Homogenization of a bond diffusion in a locally ergodic random environment, Stochastic Processes and their Applications 109, pp , Rhodes, R., Diffusion in a locally stationary random environment, Probab. Theory Related Fields 143 (2009), no. 3-4, T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
23 Dziękuję za uwagę :) T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoSuperdyfuzja. Maria Knorps. Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 1/2 Superdyfuzja Maria Knorps maria.knorps@gmail.com Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p.
Bardziej szczegółowoRynek, opcje i równania SDE
Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień 2009 1 / 16 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż
Bardziej szczegółowoHypatia? 415 PROCESY KAWAŁKAMI DETERMINISTYCZNE I ICH ASYMPTOTYKA RYSZARD RUDNICKI ŚLADAMI KOBIET W MATEMATYCE RZESZÓW, Strona 1 z 36 Wróć
Strona 1 z 36 Wróć PROCESY KAWAŁKAMI Hypatia? 415 DETERMINISTYCZNE I ICH ASYMPTOTYKA RYSZARD RUDNICKI ŚLADAMI KOBIET W MATEMATYCE RZESZÓW, 23.06.2017 Strona 2 z 36 Wróć Plan: Co to sa procesy kawałkami
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych
Publiczna obrona rozprawy doktorskiej Twierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych Piotr Miłoś Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk 23.10.2008 Warszawa Plan 1 Układy
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoMetoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
Bardziej szczegółowoAfiniczne rekursje stochastyczne z macierzami trójkatnymi
Afiniczne rekursje stochastyczne z macierzami trójkatnymi Ewa Damek (Uniwersytet Wrocławski ) (wyniki wspólne z Witoldem Światkowskim, Jackiem Zienkiewiczem - Uniwersytet Wrocławski, Muneya Matsui - Nanzan
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji
Bardziej szczegółowoREGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
Bardziej szczegółowoInstrukcja 2 Syntetyczna turbulencja
Wprowadzenie Instrukcja 2 Syntetyczna turbulencja W symulacjach przepływów turbulentnych z użyciem metod typu RANS wielkości turbulentne są modelowane np. przez dołączenie do równań przepływu dwóch dodatkowych
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoXI Konferencja Metody Ilościowe w Badaniach Ekonomicznych
Rafał M. Łochowski Szkoła Główna Handlowa w Warszawie O górnym ograniczeniu zysku ze strategii handlowej opartej na kointegracji XI Konferencja Metody Ilościowe w Badaniach Ekonomicznych Zależność kointegracyjna
Bardziej szczegółowoBładzenie przypadkowe i lokalizacja
Bładzenie przypadkowe i lokalizacja Zdzisław Burda Jarosław Duda, Jean-Marc Luck, Bartłomiej Wacław Seminarium Wydziałowe WFiIS AGH, 07/11/2014 Plan referatu Wprowadzenie Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW)
Bardziej szczegółowoMODELE STOCHASTYCZNE Plan wykładu
UNIWERSYTET WROCŁAWSKI Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny M.Majsnerowska rok akademicki 2018/2019 MODELE STOCHASTYCZNE Plan wykładu 1. Łańcuchy Markowa 1.1. Podstawowe pojęcia i przykłady
Bardziej szczegółowo19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 19 marzec, 2012 Przykłady procesów Markowa (i). P = (p ij ) - macierz stochastyczna, tzn. p ij 0, j p ij =
Bardziej szczegółowoAnaliza wektorowa. Teoria pola.
Analiza wektorowa. Teoria pola. Pole skalarne Pole wektorowe ϕ = ϕ(x, y, z) A = A x (x, y, z) i x + A y (x, y, z) i y + A z (x, y, z) i z Gradient grad ϕ = ϕ x i x + ϕ y i y + ϕ z i z Jeśli przemieścimy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoAlgorytmy MCMC (Markowowskie Monte Carlo) dla skokowych procesów Markowa
Algorytmy MCMC (Markowowskie Monte Carlo) dla skokowych procesów Markowa Wojciech Niemiro 1 Uniwersytet Warszawski i UMK Toruń XXX lat IMSM, Warszawa, kwiecień 2017 1 Wspólne prace z Błażejem Miasojedowem,
Bardziej szczegółowoLaboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
ANALIZA PRZEKAZYWANIA CIEPŁA I FORMOWANIA SIĘ PROFILU TEMPERATURY DLA NIEŚCIŚLIWEGO, LEPKIEGO PRZEPŁYWU LAMINARNEGO W PRZEWODZIE ZAMKNIĘTYM Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie obserwacja procesu formowania
Bardziej szczegółowoDyskretne procesy stacjonarne o nieskończonej entropii nadwyżkowej
Dyskretne procesy stacjonarne o nieskończonej entropii nadwyżkowej Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl i Instytut Podstaw Informatyki PAN Co to jest entropia nadwyżkowa? Niech (X i ) i Z będzie procesem
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE
Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 6 6.04.08 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 07/08 Własności rozkładu normalnego Centralne twierdzenie graniczne Funkcja charakterystyczna
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoSpacery losowe w R d
Politechnika Wrocławska 6 lipca 2010 Błądzenia po kracie Z d Błądzenie losowe (spacer losowy) to podstawowy przykład łańcucha Markowa, obowiązkowo pojawiający się na jednym z pierwszych wykładów o procesach
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoStosowana Analiza Regresji
Model jako : Stosowana Analiza Regresji Wykład XI 21 Grudnia 2011 1 / 11 Analiza kowariancji Model jako : Oprócz czynnika o wartościach nominalnych chcemy uwzględnić wpływ predyktora o wartościach ilościowych
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoJądrowe klasyfikatory liniowe
Jądrowe klasyfikatory liniowe Waldemar Wołyński Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań Wisła, 9 grudnia 2009 Waldemar Wołyński () Jądrowe klasyfikatory liniowe Wisła, 9 grudnia 2009 1 / 19 Zagadnienie
Bardziej szczegółowoZagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1 Tomasz Chwiej 6 czerwca 2016 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnicowych: iloraz
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne 2.
Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1 Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych,
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowoWstęp do układów statycznych
Uniwersystet Warszawski 1 maja 2010 Wprowadzenie Standardowe układy dynamiczne - przestrzeń X wraz z przekształceniem f : X X zachowującym strukturę. Typowe przykłady: X - przestrzeń metryczna, f - przekształcenie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne
Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoModelowanie stochastyczne Stochastic Modeling. Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W E, 2C
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Modelowanie stochastyczne Stochastic Modeling Poziom przedmiotu:
Bardziej szczegółowo26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarygodności
Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna
Bardziej szczegółowoRozpoznawanie obrazów
Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie
Bardziej szczegółowo2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7
Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoO procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna
Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1 {X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej
Bardziej szczegółowoPrognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik. Historia
1 Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik Całka stochastyczna ( t ) H s dx s = H X. t Historia K. Itô (1944) konstrukcja całki stochastycznej
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoStacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła
Stacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła autokorelacji Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl Instytut Podstaw Informatyki PAN autokorelacji p. 1/25 Zarys referatu Co to sa procesy
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego: MODEL BLACK-COX A
Modelowanie ryzyka kredytowego: MODEL BLACK-COX A Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2014 Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład 4 Podstawy teorii przepływów turbulentnych Zjawisko występowania dwóch różnych rodzajów przepływów, czyli laminarnego i
J. Szantyr Wykład 4 Podstawy teorii przepływów turbulentnych Zjawisko występowania dwóch różnych rodzajów przepływów, czyli laminarnego i turbulentnego, odkrył Osborne Reynolds (1842 1912) w swoim znanym
Bardziej szczegółowo1. Pojęcie normy, normy wektora [Kiełbasiński, Schwetlick]
1. Pojęcie normy, normy wektora [Kiełbasiński, Schwetlick] wektor x R d x =(x 1,x 2,..., x d ) T wektor, punkt w przestrzeni d-wymiarowej norma wektora własności (1) kxk > 0, kxk =0tylko wtedy, gdy x =0
Bardziej szczegółowoGeometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa
Geometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa Iwona Żerda Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Jagielloński 6 grudnia 2013 6 grudnia 2013 1 / 19 Plan prezentacji 1 Algorytm Gibbsa 2 Tempo zbieżności
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 Metody estymacji. Estymator największej wiarygodności Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową y o rozkładzie zero-jedynkowym
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoNumeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny
Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny Krzysztof Burnecki Aleksander Weron Centrum Metod Stochastycznych im. Hugona Steinhausa Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska www.im.pwr.wroc.pl/
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Bardziej szczegółowoWykorzystanie symetrii przy pomiarze rozkładu kąta rozproszenia w procesie pp pp
Wykorzystanie symetrii przy pomiarze rozkładu kąta rozproszenia w procesie pp pp M. Barej 1 K. Wójcik 2 1 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie 2 Uniwersytet Śląski w Katowicach 16 września 2016 M. Barej,
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoModele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Bardziej szczegółowoTematy prac magisterskich i doktorskich
Tematy prac magisterskich i doktorskich Stochastyczna dynamika z opóźnieniami czasowymi w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA
TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA Lech Longa pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej e-mail: lech.longa@uj.edu.pl Dyżury: poniedziałki 13-14 można się umówić wysyłając e-maila 1
Bardziej szczegółowoPorównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej
Porównanie modeli logicznej regresji z klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Małgorzata Bogdan Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika
Bardziej szczegółowoLaboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
FORMOWANIE SIĘ PROFILU PRĘDKOŚCI W NIEŚCIŚLIWYM, LEPKIM PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWÓD ZAMKNIĘTY Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie analiza formowanie się profilu prędkości w trakcie przepływu płynu przez
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoRozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
WYKŁAD 13 DYNAMIKA MAŁYCH (AKUSTYCZNYCH) ZABURZEŃ W GAZIE Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
Bardziej szczegółowo17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek
Bardziej szczegółowo. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest porównanie na drodze obserwacji wizualnej przepływu laminarnego i turbulentnego, oraz wyznaczenie krytycznej licz
ZAKŁAD MECHANIKI PŁYNÓW I AERODYNAMIKI ABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW ĆWICZENIE NR DOŚWIADCZENIE REYNODSA: WYZNACZANIE KRYTYCZNEJ ICZBY REYNODSA opracował: Piotr Strzelczyk Rzeszów 997 . Cel ćwiczenia Celem
Bardziej szczegółowoMaszyny wektorów podpierajacych w regresji rangowej
Maszyny wektorów podpierajacych w regresji rangowej Uniwersytet Mikołaja Kopernika Z = (X, Y ), Z = (X, Y ) - niezależne wektory losowe o tym samym rozkładzie X X R d, Y R Z = (X, Y ), Z = (X, Y ) - niezależne
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 7 Elektrodynamika 3 7.1 Siła elektromotoryczna................ 3 7.2
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowo}, gdzie a = t (n) )(f(t(n) k. ) f(t(n) k 1 ) 1+δ = 0,
Zadania z Procesów Stochastycznych II - 1 1. Niech π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) < t (n) 1
Bardziej szczegółowoOgólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008
Przemysław Klusik Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne -
Bardziej szczegółowo