Modelowanie rzeczywistości- JAK? Modelowanie przez zjawisa przybliżone Modelowanie poprzez zjawisa uproszczone Modelowanie przez analogie Modelowanie matematyczne
Przyłady modelowania Modelowanie przez zjawisa przybliżone np. poprzez zmianę sali: most zastępujemy modelem.
Przyłady modelowania Modelowanie poprzez zjawisa uproszczone np. zastępujemy linę odcinami sztywnymi połączonymi przegubowo
Przyłady modelowania Modelowanie przez analogie. Przepływ prądu zastępujemy przepływem wody.
Przyłady modelowania Modelowanie matematyczne Prognoza pogody.
Modelowanie matematyczne to użycie języa matematyi do opisania zachowania jaiegoś uładu zastąpienie zjawisa matematycznym ewiwalentem opisanym przez zespół cech, tóre uznajemy za charaterystyczne dla modelowanego zjawisa oraz zespół reguł pozwalających na wyliczenie zmian wartości cech w zależności od tzw. warunów brzegowopoczątowych.
Przyłady modelowania Modelowanie matematyczne Model zachowania się sprężyny. X F F= - x
Modele matematyczne Przyład: równania opisujące zachowanie płyt i powło
Metody numeryczne to metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. to przejście od stanów ciągłych do dysretnych. Zagadnienie to nazywamy dysretyzacją.
Począti MES Podstawy matematyczne to oniec XIX w Lata 30 XX wieu podstawy Direct Stiffness Method (Metoda przemieszczeń) II wojna światowa - onstrucje lotnicze Lata 50 omputery 60 80 lata świetności polsi wład: od 947 do 97 rou siąża Olgierda Zieniewicza była jedyną nt. MES
Dzień dzisiejszy Wielość zagadnień rozwiązywanych MES Problemy struturalne, w tym budowlane Problemy termodynamiczne, Problemy mechanii płynów, Problemy wibroaustyi, Analizie różnego rodzaju pól, Czyli we wszystich zagadnieniach, tóre możemy opisać poprzez równania różniczowe wraz z odpowiednimi warunami brzegowymi
MES ogólne reguły Metoda elementów sończonych oparta jest na ilu prostej idei: doonujemy sończonego podziału obszaru modelu na fragmenty, w tórych problem jest definiowany,,oddzielnie i najczęściej w sposób przybliżony. Tai wydzielony podobszar, nazywamy elementem sończonym
MES ogólne reguły Dobór elementów doonywany jest w tai sposób, aby: posiadały one niesompliowany ształt geometryczny, można było na nich zadać proste funcje aprosymujące, przybliżające rozwiązanie wewnątrz ażdego z nich.
Metoda Elementów Sończonych Idea inżyniersa
MES ogólne reguły Dysretyzowany model dzielimy na elementy zależnie od przyjętego modelu mogą to być elementy: wymiarowe (pręty) wymiarowe (powłoi) 3 wymiarowe (bryły) Rozwiązanie uzysujemy dla węzłów
MES: Funcje ształtu
Ja to działa Problem fizyczny idealizacja Model matematyczny dysretyzacja Model dysretny rozwiązanie Rozwiązanie dysretne
Idealizacja Rzeczywistość Model fizyczny Równania różniczowe Równania całowe
Dysretyzacja K x = F Podział na elementy sończone Zamiana wartości ciągłych na dysretne Zamiana równań całowych na algebraiczne
Rozwiązanie Rozwiązanie uładu równań Wyliczenie wielości zależnych i pochodnych Wizualizacja wyniów
Przyłady apliacji
Wady i zalety Zalety uzysiwanie wyniów dla sompliowanych ształtów, dla tórych niemożliwe są obliczenia analityczne Intuicyjność łatwość integracji z CAD, mnogość zastosowań
Wady i zalety Wady doładność oupiona jest znaczącym wzrostem zapotrzebowania na moc obliczeniową wzrost ilości oniecznych obliczeń powoduje wzrost znaczenia błędu zaorąglenia bra możliwości obliczeń w czasie rzeczywistym pozorna łatwość
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Sprężyna Pręt Bela i oczywicie złożenia powyższych Zajmijmy się sprężyną
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Weźmy sprężynę o sprężystości. Oznaczmy jej jeden oniec i a drugi j Przemieszczenie węzła i to u i a węzła j to u j.
Zagadnienia jednowymiarowe -D Węzeł i Jeżeli u j =0 to wtedy: bo zachodzi F i = u i F j = -u i F i = -F j
Zagadnienia jednowymiarowe -D Węzeł j Jeżeli u i =0 to wtedy: bo zachodzi F j = u j F i = -u j F j = -F i
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Co zrobiliśmy? Stablicowaliśmy wszystie rozwiązania! (patrz metoda przemieszczeń!!!) Zebraliśmy wszystie rozwiązania ze względu na przemieszczenia węzłów elementu sończonego
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Możemy więc uzysać dowolne rozwiązanie jao ombinację liniową rozwiązań tablicowych : F i F j u i u i u j u j
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Co możemy zapisać w wygodnym zapisie macierzowym: u i F i u j F j
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Czym jest to równanie? u i F i u j F j Równanie Macierz równowagi elementu sończonego sztywności elementu sończonego Wetor przemieszczeń (niewiadome) Wetor obciążeń zewnętrznych
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Czym więc jest to równanie? u i F i u j F j Odpowiedzią na pytanie: Ja zachowa się element sończony gdy do jego węzłów przyłożymy obciążenie!
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Weźmy sprężyny o sprężystościach i. Oznaczmy węzły onstrucji,,3 Przyłóżmy obciążenie zewnętrzne R w węźle 3.
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Postąpimy ja poprzednio uładając równania równowagi dla ażdego węzła Sorzystamy z macierzowej metody zapisu Oprzemy się na poprzednio stablicowanych wzorach
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Macierze sztywności dla naszych dwu elementów sończonych: Element Element 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MES MES zagadnienia jednowymiarowe zagadnienia jednowymiarowe -D Równania równowagi całego uładu sładają się z równań równowagi elementów: R P P P R P u u u 3 3 0? 0 0 0
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Zauważmy, że macierz jest źle uwarunowana!!!! Mamy trzy równania a 4 niewiadome! Z warunów brzegowych wynia : u = 0 Co daje: 0 0 u P u 0 u 3 R
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Wyreślone równanie posłuży nam do obliczenia reacji w węźle po rozwiązaniu uładu równań: u 0 u 3 R u u R R R
MES zagadnienia jednowymiarowe -D Wracamy do wyreślonego równania aby obliczyć reacje R siła reacji u u R
MES MES zagadnienia jednowymiarowe zagadnienia jednowymiarowe -D Analogicznie możemy postąpić dla wszystich sił węzłowych orzystając z fatu, że elementy pozostają w równowadze a my znamy już wartości przemieszczeń! P P u u R R u R u 3 3 P P u u
olowium Oreśl stopień statycznej i geometrycznej niewyznaczalności Oblicz reacje metodą sił Oblicz reacje z ZPP Oblicz przemieszczenia