A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 96, 03 Anna Szymańsa * ROZKŁADY LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC. WPROWADZENIE Zgodne z Ustawą z dna 8 lca 990 r. o dzałalnośc ubezeczenowej ubezeczena omunacyjne należą do dzału II ubezeczeń majątowych ozostałych osobowych. Przy czym ubezeczena omunacyjne odowedzalnośc cywlnej OC stanową gruę 0. tego dzału. W Polsce w 0 r. słada rzysana brutto z tytułu ubezeczeń omunacyjnych stanowła ooło 56% sład ubezeczeń majątowych osobowych, z czego 34% to ubezeczena gruy 0. Ponadto sład z tytułu ubezeczeń omunacyjnych OC stanowły średno 39% słade ortfela ubezeczeń majątowych ażdego towarzystwa ubezeczenowego. Od rou 008 wyn technczny 3 w ubezeczenach gruy 0. na rynu jest ujemny, co wsazuje na otrzebę zman taryf w tych ubezeczenach. Zadanem ubezeczycela jest utrzymane równowag fnansowej słade śwadczeń orzez ustalene welośc funduszu ubezeczenowego, otrzebnego do wywązana sę z rzyjętych zobowązań oraz właścwe rozłożene omędzy ubezeczanych osztów tworzena tego funduszu. Welość funduszu ustala sę na odstawe rzewdywanych lczby welośc szód. Rozłożene osztów tworzena funduszu olega na różncowanu wysoośc słade ubezeczenowych. Pełna równowaga oeracj fnansowych to stan, w tórym sład orywają wszyste oszty ubezeczycela. W ubezeczenach omunacyjnych załada sę, że rozład lczby szód w ortfelu dla ażdego ubezeczonego jest tego samego tyu. Zmenna losowa osująca lczbę szód w jednostce czasu jest zmenną losową soową. W lte- * Dr, Katedra Metod Statystycznych, Unwersytet Łódz. Ustawa z dna 8 lca 990 r. o dzałalnośc ubezeczenowej, DzU 990, nr 59, oz. 344. Raort o stane setora ubezeczeń o I ółroczu 0 rou, KNF, Warszawa 0, www.nf.gov.l. 3 Wyn technczny rozumany ja w Rozorządzenu Mnstra Fnansów z dna 8 grudna 009 r. w srawe szczególnych zasad rachunowośc załadów ubezeczeń załadów reaseuracj, DzU 009, nr 6, oz. 85. [99]
00 Anna Szymańsa raturze atuaralnej dotyczącej metod wyznaczana słade w ubezeczenach omunacyjnych najczęścej do osu lczby szód w danym orese czasu stosuje sę rozład dwumanowy, Possona lub ujemny dwumanowy. Rozład lczby szód osywano za omocą rozładu ujemnego dwumanowego m. n. w racach Lemare 4, Ibwoye, Adelee Aduloju 5. Zastosowane rozładu Possona logarytmczno normalnego rzedstawa n. raca Atchson Ho 6. W racach Tremblay 7, Wllmot 8 do modelowana lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych wyorzystano rozład Possona odwrotny normalny, a w racy Saraba Gomez 9 rozład Possona beta. Rozład Possona gamma gamma do osu lczby szód użyto n. w racy Gomez, Saraba, Perez Vazquez 0. Uogólnony rozład Possona gamma zastosowano n. w oracowanu Saraba, Gomez Vazquez, rozład dwumanowy beta n. w racy Grffths, ujemny dwumanowy Pareto n. w racy Shengwang, Yuan Whtmore 3, geometryczny n. w oracowanu Mert Sayan 4. Rozład Neymana tyu A oraz uogólnony rozład Possona Pascala rezentuje raca Panjer Wllmot 5. 4 J. L e m a r e, Automobl Insurance. Actuaral Models, Kluwer, Boston 985; J. L e m a r e, Bonus-Malus Systems n Automoble Insurance, Kluwer, Boston 995. 5 A. I b w o y e, A. A d e l e e, S. A. A d u l o j u, Quest for Otmal Bonus-Malus n Automoble Insurance n Develong Economes: An Actuaral Persectve, Internatonal Busness Research 0, vol. 4, no. 4, s. 74 83. 6 J. A t c h s o n, C. H. H o, The Multvarate Posson Lognormal Dstrbuton, Bometra 989, vol. 76, s. 643 653. 7 L. T r e m b l a y, Usng the Posson Inverse Gaussan n bonus-malus systems, ASTIN Bulletn 99, vol., no., s. 97 06. 8 G. E. W l l m o t, The Posson-nverse Gaussan dstrbutonas an alternatve to the negatve bnomnal, Scandnavan Actuaral Journal 987, s. 3 7. 9 J. M. S a r a b a, E. G o m e z - D e n z, Dstrbucones multvarantes Posson beta con alcacones a datos de seguros, Investgacones en Seguros y Geston de Resgos, Resgo 007, s. 5 6. 0 E. G o m e z - D e n z, J. M. S a r a b a, J. M. P e r e z, F. V a z q u e z, Usng a Bayesan herarchcal model for fttng automoble clam frequency data, Communcatons n Statstcs: Theory and Methods 008, vol. 37, s. 45 435. J. M. S a r a b a, E. G o m e z - D e n z, F. V a z q u e z - P o l o, On the Use of Condtonal Models n Clam Count Dstrbutons: An Alcaton to Bonus-Malus Systems, ASTIN Bulletn 004, vol. 34, no., s. 85 98. D. A. G r f f t h s, Maxmum Lelhood Estmaton for the Beta-Bnomnal Dstrbuton and Alcaton to the Household Dstrbuton of the Total Number of Cases of Dsease, Bometrcs 973, vol. 9, s. 637 648. 3 M. S h e n g w a n g, W. Y u a n, G. A. W h t m o r e, Accountng for Indvdual Over- Dserson n a Bonus-Malus Automoble Insurance System, ASTIN Bulletn 999, vol. 9, no., s. 37 337. 4 M. M e r t, Y. S a y a n, On a Bonus-Malus System where the Clam Frequency Dstrbuton s Geometrc and the Clam Severty Dstrbuton s Pareto, Hacettee Journal of Mathematcs and Statstcs 005, vol. 34, s. 75 8. 5 H. H. P a n j e r, G. E. W l l m o t, Insurance rs models, Socety of Actuares, Schaumburg 99.
Rozłady lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych OC 0. WYBRANE ROZKŁADY LICZBY SZKÓD W nnejszej częśc racy doonano rzeglądu rozładów najczęścej stosowanych w lteraturze atuaralnej do osu lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych OC. Nech zmenna losowa oznacza lczbę szód z ndywdualnej olsy lub ortfela ols. Rozład dwumanowy Bernoulego osany jest funcją rozładu rawdoodobeństwa: P( n = ) = n n n! q, gdze = 0,,..., n oraz = ()!( n )! Wartość oczewana warancja rozładu wynoszą: E = n D = nq, gdze q =. Rozład Possona to rozład o funcj rawdoodobeństwa oreślonej wzorem: P( λ = ) = ex( λ), = 0,,... ()! z wartoścą oczewaną warancją ostac: E = λ D = λ. Zmenna losowa ma rozład ujemny dwumanowy (Polya), jeżel jej funcja rozładu rawdoodobeństwa ma ostać: α Γ( α + ) β P( = ) = (3) Γ( α)! + β + β β Przyjmując =, β > 0, funcja rozładu rawdoodobeństwa + β rozładu ujemnego dwumanowego z arametram α dana jest równanem: P( α + α = ) = ( ), = 0,,,...; α > 0 (4)
0 Anna Szymańsa α + Γ( α + ) gdze: = Γ( α) Γ( + ) Γ( α + ) =. Γ( α)! Wartość oczewana warancja rozładu ujemnego dwumanowego osanego równanam (3) (4) odowedno wynoszą: E α( ) = = α β oraz α( ) α D = = +. β β Rozład ujemny dwumanowy z całowtą wartoścą arametru α nazywany jest rozładem Pascala. Dla α = rozład ujemny dwumanowy nazywany jest rozładem geometrycznym. Nech zmenna losowa ma rozład Possona z arametrem λ oraz nech arametr λ ma rozład odwrotny normalny. Wówczas zmenna losowa ma rozład Possona odwrotny normalny. Funcja rozładu rawdoodobeństwa rozładu Possona odwrotnego normalnego (Posson Inverse Gaussan) dana jest wzorem: ( αθ / ) ( α θ ) K ( ) α P ( = ) = ex α, = 0,,... (5) π! gdze: K ( α) jest zmodyfowaną funcją Bessela trzecego rodzaju (dla dodatnch rzeczywstych argumentów) ostac: K ( + ) ( )! π! ( ) = ex( ) α α (α ),,... (6) α = 0! = Wartość oczewana warancja rozładu są ostac: αθ αθ ( θ ) E = D =, 0 < θ, α > 0. 3 / θ 4( θ ) Rozład można rzedstawć, używając nnej arametryzacj, za omocą funcj tworzącej rawdoodobeństwa ostac: ( + β ( ) µ P( t) = ex t) β (7)
Rozłady lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych OC 03 Wartość oczewana warancja rozładu Possona odwrotnego normalnego mają wówczas ostać: E = µ D = µ ( + β ), a wartośc rawdo- odobeństw można oblczyć reurencyjne ze wzorów: ( + ), µ 0 = P( = 0) = ex β β µ = P( = ) = 0, + β (8) β 3 = ) = + β 3 µ +, =,3,... + β ( ) = P( µ Ponadto zachodz zwąze: λ = ( + β ). β Nech zmenna losowa ma rozład Possona z arametrem λ oraz nech arametr λ będze zmenną losową o rozładze logarytmczno-normalnym. Wówczas zmenna losowa ma rozład Possona logarytmczno normalny z funcją rozładu rawdoodobeństwa daną równanem: P( = ) = ex( λ) λ σ π! = 0,,..., µ R, σ > 0 0 (ln λ µ ) ex σ dλ, (9) Wartość oczewana warancja rozładu mają ostać: E = ex µ + σ oraz D = ex( µ + σ ) + ex µ + σ ex( µ + σ ) gdze µ σ są odowedno wartoścą oczewaną warancją zmennej losowej Λ o rozładze logarytmczno normalnym.,
04 Anna Szymańsa Funcja rozładu rawdoodobeństwa rozładu Possona Possona (Neymana tyu A) wyraża sę wzorem: P( = λ ) = ex( ) n n λ ( λ ex( λ )), = 0,,,... (0)! n = n! 0 Wartość oczewana warancja rozładu Neymana tyu A wynoszą: E = λ λ oraz D = λ λ ( + λ ). Prawdoodobeństwa rozładu Neymana tyu A można wyznaczyć reurencyjne za omocą wzorów: λ = j= jq j j, =,,..., = ex{ λ[ ex( )]}, 0 λ () q λ = q. Uogólnony rozład Posona Pascala to rozład osywany za omocą funcj tworzącej momenty ostac: M α α [ β ( t )] ( + β ) ( t) = ex λ, α >, λ > 0, β > 0 α ( + β ) () Wartość oczewana, warancja oraz sośność rozładu wynoszą odowedno: α E = µ = λ[ ( + β) ] αβ, D = µ = µ [ + ( α + ) β] 3 + oraz = α ( µ µ ) γ µ 3µ µ +. α + µ
Rozłady lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych OC 05 Dla α > 0 rozład jest nazywany rozładem Possona Pascala. Dla α = rozład jest nazywany rozładem Polya Ael. Dla α = 0, 5 rozład nazywa sę rozładem Possona odwrotnym normalnym. Wartośc rawdoodobeństw uogólnonego rozładu Possona Pascala można wyznaczyć ze wzorów reurencyjnych ostac: λ = j= jq j j, =,,..., q 0 = ex( λ), + α β = q, =,3,..., + β α β q =. α ( + β ) + β (3) 3. WYBÓR ROZKŁADU LICZBY SZKÓD Helmann sugeruje wybór rozładu lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych odowedzalnośc cywlnej w zależnośc od relacj mędzy wartoścą oczewaną warancją z róby 6 rozważając trzy rozłady: dwumanowy, Possona oraz ujemny dwumanowy. Według racy Panjer Wllmot 7 wstęny wybór teoretycznego rozładu lczby szód może być oarty na oblczonych momentach z róby oraz wsółczynnach częstośc. Nech,,..., n będze róbą rostą oraz,,..., n nezależnym zmennym losowym o tym samym rozładze soowym. Momenty zwyłe rzędu r z róby mają ostać: n r M r =, r =,,3,... (4) n = W rzyadu danych zagregowanych, gdze znamy tylo lczbę ols dla danej lczby szód, momenty zwyłe z róby wynoszą: 6 W. R. H e l m a n n, Fundamentals of Rs Theory, Verlag Versecherungswrtschaft e.v., Karlsruhe 988, s. 46. 7 H. H. P a n j e r, G. E. W l l m o t, o. ct., s. 9.
06 Anna Szymańsa gdze N jest lczbą r M r = N, r =,,... (5) n l=, dla tórych: =, ( = 0,,...), n = N oraz = N = 0 n = 0 Perwsze trzy momenty centralne z róby wynoszą: = M ; S = M M ; 3 M M 3 K = M 3 + M. Wsółczynn częstośc osuje równane: N+ T = ( + ), = 0,,,... (6) N Wyberając rozład lczby roszczeń najerw rozatruje sę rozłady z lasy (a,b,0) 8, czyl rozład Possona, dwumanowy lub ujemny dwumanowy. Nech: T = ( a + b) + a, = 0,,,... (7) będze równanem ewnej funcj. W rzyadu, gdy funcja dana równanem (7) jest rostą, tórej wsółczynn erunowy: wynos zero oraz = S, wówczas do modelowana rozładu lczby szód nadaje sę rozład Possona; jest ujemny oraz > S, wówczas rozład lczby szód można modelować rozładem dwumanowym; jest dodatn oraz < S, ownno sę wybrać rozład ujemny dwumanowy. W rzyadu, gdy funcja osana równanem (7) rośne szybcej nż lnowo należy rozważyć sośność rozładu. Jeżel sełnone jest równane: K ( S ) = 3S +, 8 Por. W. O t t o, Matematya w ubezeczenach. Ubezeczena majątowe, WNT, Warszawa 00.
Rozłady lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych OC 07 to rozład ujemny dwumanowy ownen dobrze modelować lczbę szód. Jeżel rawdzwa jest nerówność: K ( S ) < 3S +, to do osu rozładu lczby szód można użyć uogólnonego rozładu Possona Pascala lub jego secjalnego rzyadu rozładu Possona odwrotnego normalnego. W rzyadu, gdy rawdzwa jest nerówność: K ( S ) > 3S +, to do modelowana rozładu lczby szód nadają sę rozłady: Neymana tyu A, Polya Ael, Possona Pascala lub ujemnego dwumanowego. 4. STATYSTYCZNE METODY OCENY DOPASOWANIA ROZKŁADÓW EMPIRYCZNYCH I TEORETYCZNYCH Test zgodnośc χ test λ -Kołmogorowa to najczęścej stosowane w lteraturze atuaralnej testy, służące do oceny stona doasowana rozładu teoretycznego do danych emrycznych. Warto jedna zauważyć, że w rzyadu rozładu lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych OC lczba las często ne rzeracza czterech, co srawa, że lczba ston swobody testu zgodnośc ch-wadrat jest zbyt mała. Ponadto w ubezeczenach omunacyjnych w lase z lczbą szód zero oncentruje sę węszość ols owodując zneształcene rozładu. W rzyadu całych ortfel owstaje taże roblem z lczebnoścą róby. Test zgodnośc ch-wadrat z reguły rzy róbach owyżej 900 odrzuca hotezę zerową nawet mmo dużej zgodnośc danych emrycznych z badanym rozładem teoretycznym. W tach rzyadach w lteraturze statystycznej można znaleźć mary oceny stona doasowana rozładu teoretycznego do danych emrycznych, tae ja: odchylene standardowe różnc częstośc względnych, wsaźn odobeństwa strutur, wsaźn odobeństwa rozładów, wsaźn masymalnej różncy częstotlwośc względnych, czy wsaźn masymalnej różncy dystrybuant 9. 9 Por. J. K o r d o s, Metody analzy rognozowana rozładów łac dochodów ludnośc, PWE, Warszawa 973, s. 5 8.
08 Anna Szymańsa Odchylene standardowe różnc częstośc względnych to mara dana wzorem: S r = ( ˆ γ ) = γ (8) gdze: lczba las, γ częstośc emryczne, γˆ częstośc teoretyczne (oszacowane). Mara jest równa zeru w rzyadu ełnej zgodnośc rozładu emrycznego teoretycznego. Z raty wyna, że: wartość S r 0, 005 śwadczy o wysoej zgodnośc rozładów; jeżel 0,005 S r < 0, 0, to zgodność badanych rozładów jest zadawalająca; S r 0, 0 śwadczy o znacznych odchylenach mędzy badanym rozładam. Wsaźn odobeństwa strutur rzedstawa wzór: w mn(, ˆ γ ) = = γ (9) gdze: oznaczena ja wyżej. Wsaźn rzyjmuje wartośc z rzedzału [0,]. Im jego wartość blższa jednośc tym bardzej odobne strutury badanych rozładów. Wsaźn odobeństwa rozładów oreśla równane: W = ˆ γ = γ (0) gdze: oznaczena ja wyżej. Wsaźn odobeństwa rozładów jest równy 00% dla rozładów całowce zgodnych. Rozłady wyazują wysoą zgodność gdy W 0, 97. Jeżel W < 0,95 to rozłady wyazują znaczne rozbeżnośc.
Rozłady lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych OC 09 Wsaźn masymalnej różncy częstotlwośc względnych jest dany wzorem: r max max γ ˆ = γ () gdze: oznaczena ja wyżej. Wsaźn ten jest równy zeru dla rozładów całowce zgodnych. Jeżel r max < 0,0, to uważa sę, że rozłady są dość zgodne. Wsaźn masymalnej różncy dystrybuant defnuje równane: D max = max F Fˆ () gdze: F = γ j= Fˆ = ˆ j= j wartość dystrybuanty emrycznej, γ wartość dystrybuanty teoretycznej. Wsaźn ten jest równy zeru dla rozładów całowce zgodnych. We wstęnych analzach zgodnośc rozładów lczby szód z rozładam teoretycznym można orócz wsaźnów danych wzoram (8) () stosować orównana arametrów badanych rozładów, tach ja: średna, medana, erwszy trzec wartyl, erwszy dzewąty decyl, mary zróżncowana rozładów. Przyjmuje sę, że jeżel różnce względne ocen wszystch arametrów rozładu emrycznego teoretycznego ne rzeraczają 5%, to rozłady są dość zgodne. Można równeż stosować testy statystyczne weryfujące hotezy o wartoścach arametrów rozładu emrycznego. Zastosowane wszystch wymenonych metod ozwala dość doładne wybrać rozład teoretyczny doasowany do danych emrycznych. 5. PRZYKŁADY EMPIRYCZNE W częśc dotyczącej zastosowań doonano oceny rozładów lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych na dwóch rzyładowych zborach danych rzeczywstych. Doonano estymacj arametrów rozładów metodą momentów
0 Anna Szymańsa oraz doasowano rozład teoretyczny do emrycznego za omocą mar rzedstawonych w częśc 4 racy. Przyład. Rozład lczby szód dla ooło 35 000 ols ubezeczeń omunacyjnych OC dla rynu nemecego w rou 000 rzedstawa tab.. Zgodne z wcześnej rzedstawoną zasadą wyboru rozładu lczby szód ocenono relację wartośc oczewanej warancj rozładu emrycznego. Dla danych z tab. : = 0,04065, S = 0, 0405, czyl > S. Zatem rozład lczby szód można osać rozładem dwumanowym. Poneważ różnca omędzy wartoścą oczewaną, a warancją w rozładze emrycznym ne jest duża, zbadano równeż zgodność z rozładem Possona. Wartośc mar oceny stona doasowana rozładów emrycznego teoretycznych rzedstawa tab.. Rozłady lczby szód T a b e l a Prawdoodobeństwo Lczba szód Lczba ols rozład rozład emryczne dwumanowy Possona 0 338330 0,960084677 0,9606757 0,96067574 386 0,03905893 0,0390837 0,03908367 43 0,000689565 0,000793 0,0007930 3 6,7063E-05,0747E-05,0747E-05 4,8377E-06,09E-07,09E-07 Suma 35396 Ź r ó d ł o: oblczena własne na odstawe danych z racy: S. G s c h lőβl, C. C z a d o, Satal modellng of clam frequency and clam sze n non-lfe nsurance, Scandnavan Actuaral Journal 007, vol. 3, s. 0 5. Mara Mary stona doasowana rozładów dwumanowy Rozład teoretyczny Possona T a b e l a S r 0,000649 0,00009976 w 0,9997900 0,99983466 W 0,99999993 0,99983466 r max 0,00000007 0,0007757 D max 0,0004700 9,463E-05 Ź r ó d ł o: badana własne. Doonując analzy mar z tab. neco leej do danych emrycznych asuje rozład Possona.
Rozłady lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych OC Przyład. Tabela 3 rzedstawa rozład lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych dla ooło 00 tys. ols z rynu belgjsego z lat 975/76. W rzyadu rzyładu arametry rozładu lczby szód wynoszą: = 0,0, S = 0, 074, czyl < S. Dodatowo ocenono sośność rozładu K = 0, 647 oraz wartość wyrażena: ( S ) 3S + = 0,098. ( S ) Poneważ K 3S +, to rozważono nastęujące rozłady teoretyczne: Possona, ujemny dwumanowy, Possona odwrotny nor- malny oraz Neymana tyu A. Uogólnony rozład Possona Pascala w tym rzyadu ne mógł być rozważany ze względu na nesełnene rzez rozład emryczny założeń dotyczących arametrów rozładu. Lczba szód Lczba ols emryczne Rozłady lczby szód Possona Prawdoodobeństwo ujemny dwumanowy Possona odwrotny normalny T a b e l a 3 Neymana tyu A 0 96978 0,906556733 0,90386046 0,90666067 0,9065739 0,9066846 940 0,0863769 0,0936759 0,086574 0,0863596 0,00855395 704 0,00658038 0,00467503 0,006653076 0,0083039 0,00478738 3 43 0,00040967 0,0005558 0,000473678 0,0007557 0,008559 4 9 8,436E-05 3,9353E-06 3,3096E-05,5E-05 0,0039389 06974 Ź r ó d ł o: oblczena własne na odstawe danych z racy: J. L e m a r e, Automobl Insurance. Actuaral Models, Kluwer, Boston 985. Mara Possona Mary stona doasowana rozładów ujemny dwumanowy Rozład teoretyczny Possona odwrotny normalny T a b e l a 4 Neymana tyu A S r 0,0068554 0,0000944 0,00980 0,034976 w 0,9950389 0,9997846 0,996333 0,954730 W 0,9950333 0,99999998 0,9999907 0,9969598 r max 0,00498663 0,00000003 0,0000406 0,00605653 D max 0,00696588 0,000094 0,0037504 0,0844479 Ź r ó d ł o: badana własne.
Anna Szymańsa Na odstawe tab. 4 należy stwerdzć, że do danych emrycznych najleej doasowany jest rozład ujemny dwumanowy. 6. PODSUMOWANIE W rzyadu rozładu lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych OC ne można w sosób jednoznaczny oreślć tyu rozładu teoretycznego. Dla ażdego rynu ubezeczenowego rozład lczby szód może być zgodny z nnym rozładem teoretycznym. Należy równeż odreślć, że na ocenę stona doasowana rozładów na ewno ma wływ metoda estymacj arametrów rozładu, czego ne badano w nnejszej racy. Na uwagę zasługuje równeż fat, że ne wszyste rozłady teoretyczne mogą być w ogóle rozważane dla onretnych danych emrycznych, co wyna z formalnych defncj tych rozładów. BIBLIOGRAFIA A t c h s o n J., H o C. H., The Multvarate Posson Lognormal Dstrbuton, Bometra 989, vol. 76. G o m e z - D e n z E., S a r a b a J. M., P e r e z J. M., V a z q u e z F., Usng a Bayesan herarchcal model for fttng automoble clam frequency data, Communcatons n Statstcs: Theory and Methods 008, vol. 37. G r f f t h s D. A., Maxmum Lelhood Estmaton for the Beta-Bnomnal Dstrbuton and Alcaton to the Household Dstrbuton of the Total Number of Cases of Dsease, Bometrcs 973, vol. 9. G s c h lőβl S., C z a d o C., Satal modellng of clam frequency and clam sze n non-lfe nsurance, Scandnavan Actuaral Journal 007, vol. 3. H e l m a n n W. R., Fundamentals of Rs Theory, Verlag Versecherungswrtschaft e.v., Karlsruhe 988. I b w o y e A., A d e l e e A., A d u l o j u S. A., Quest for Otmal Bonus-Malus n Automoble Insurance n Develong Economes: An Actuaral Persectve, Internatonal Busness Research 0, vol. 4, no. 4. K o r d o s J., Metody analzy rognozowana rozładów łac dochodów ludnośc, PWE, Warszawa 973. L e m a r e J., Automobl Insurance. Actuaral Models, Kluwer, Boston 985. L e m a r e J., Bonus-Malus Systems n Automoble Insurance, Kluwer, Boston 995. M e r t M., S a y a n Y., On a Bonus-Malus System where the Clam Frequency Dstrbuton s Geometrc and the Clam Severty Dstrbuton s Pareto, Hacettee Journal of Mathematcs and Statstcs 005, vol. 34. O t t o W., Matematya w ubezeczenach. Ubezeczena majątowe, WNT, Warszawa 00. P a n j e r H. H., W l l m o t G. E., Insurance rs models, Socety of Actuares, Schaumburg 99. Raort o stane setora ubezeczeń o I ółroczu 0 rou, KNF, Warszawa 0, www.nf.gov.l.
Rozłady lczby szód w ubezeczenach omunacyjnych OC 3 S a r a b a J. M., G o m e z - D e n z E., Dstrbucones multvarantes Posson beta con alcacones a datos de seguros, Investgacones en Seguros y Geston de Resgos, Resgo 007. S a r a b a J. M., G o m e z - D e n z E., V a z q u e z - P o l o F., On the Use of Condtonal Models n Clam Count Dstrbutons: An Alcaton to Bonus-Malus Systems, ASTIN Bulletn 004, vol. 34, no.. S h e n g w a n g M., Y u a n W., W h t m o r e G. A., Accountng for Indvdual Over-Dserson n a Bonus-Malus Automoble Insurance System, ASTIN Bulletn 999, vol. 9, no.. T r e m b l a y L., Usng the Posson Inverse Gaussan n bonus-malus systems, ASTIN Bulletn 99, vol., no.. W l l m o t G. E., The Posson-nverse Gaussan dstrbutonas an alternatve to the negatve bnomnal, Scandnavan Actuaral Journal 987. Dane źródłowe: Rozorządzene Mnstra Fnansów z dna 8 grudna 009 r. w srawe szczególnych zasad rachunowośc załadów ubezeczeń załadów reaseuracj, DzU 009, nr 6, oz. 85. Ustawa z dna 8 lca 990 r. o dzałalnośc ubezeczenowej, DzU 990, nr 59, oz. 344. Anna Szymańsa ROZKŁADY LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC Ustalene wysoośc sład ubezeczenowej jest odstawowym zadanem ażdego towarzystwa ubezeczenowego. W ubezeczenach omunacyjnych OC wyznaczene sład wymaga znajomośc rozładów lczby wartośc szód w ortfelu. W racy rzedstawono najczęścej wyorzystywane w ubezeczenach omunacyjnych rozłady modelujące lczbę szód oraz zwrócono uwagę na metodologczne roblemy dotyczące oceny doasowana danych emrycznych do rozładów teoretycznych. Słowa luczowe: rozład lczby szód, ubezeczena omunacyjne OC. DISTRIBUTIONS OF THE NUMBER OF CLAIMS IN MOTOR LIABILITY CAR INSURANCE Determnng the amount of the nsurance remum s the rmary tas of each nsurance comany. In motor lablty car nsurance determnng of remums requres the nowledge of dstrbuton of the number and amount of clams n the ortfolo. The aer resents the most commonly used n motor nsurance dstrbutons modelng the number of clams and hghlghts the methodologcal roblems to evaluate the ft of emrcal data to theoretcal dstrbutons. Key words: dstrbuton of the number of clams, motor lablty car nsurance.