Bayesowskie testowanie modeli tobitowych w analizie spłaty kredytów detalicznych

Transkrypt

1 Jerzy Marzec, Katedra Ekonometr Badań Oeracyjnych, Unwersytet Ekonomczny w Krakowe 1 Bayesowske testowane model tobtowych w analze słaty kredytów detalcznych Wstę Podstawowym narzędzem wsomagającym racę analtyka bankowego rzy ocene wnosku kredytowego jest system scorngowy. Jądrem każdego systemu scorngowego jest mechanzm, który umożlwa, na odstawe tylko wybranych, ale najstotnejszych cech klenta, redykcję ryzyka zwązanego z udzelenem mu kredytu. Jest to model klasyfkacj kredytoborców do danych gru ryzyka. W uroszczenu można owedzeć, że jego celem jest kalkulacja, dla konkretnego wnosku kredytowego, wskaźnka nformującego o ozome ryzyka kredytowego (stonu wyłacalnośc klenta), w oarcu o merzalne nemerzalne cechy klenta. Na tej odstawe klent otencjalny kredytoborca jest kwalfkowany najczęścej do jednej z dwóch rozłącznych gru, tj. gruy klentów odwyższonego bądź obnżonego ryzyka, złych dobrych. Bank uzależna swoją decyzję o udzelenu kredytu od tego, do której gruy ryzyka klent został rzydzelony. Osoby z erwszej gruy ne kwalfkują sę do uzyskana kredytu ze względu na wysoke ryzyko kredytowe. Udzelene kredytu osobom z drugej gruy wąże sę z akcetowalnym ozomem ryzyka. W celu klasyfkacj kredytoborców stosuje sę najczęścej modele statystyczno-matematyczne. Najbardzej znanym metodam statystycznym wykorzystywanym rzy konstrukcj model scorngowych są m.n. analza dyskrymnacyjna, drzewa klasyfkacyjne, metoda najblższego sąsedztwa oraz modele danych jakoścowych. W lteraturze olskej, o zastosowanu wsomnanych metod w systemach scorngowych sano m.n. w racach [], [3], [5], [6] [7]. Sośród model danych jakoścowych najczęścej stosuje sę modele z dychotomczną lub welomanową zmenną endogenczną: model robtowy lub logtowy. Natomast modele tobtowe (regresj cenzurowanej), których konstrukcja jest zblżona do model danych jakoścowych, są rzadko sotykane w systemach scorngowych. Zastosowane modelu tobtowego ozwala na uwzględnene ełnejszej nformacj o zmennej endogencznej, której wartośc są cenzurowane, ale merzone na skal mocnejszej lorazowej. Głównym celem racy jest rezentacja bayesowskego orównywana mocy wyjaśnającej czterech różnych secyfkacj modelu tobtowego, które zastosowano w emrycznej analze oóźnena w słace rat katałowo-odsetkowych w rzyadku kredytów detalcznych olskego banku. Zastosowane roste uogólnene standardowego modelu tobtowego, zaroonowanego rzez Tobna w 1958 r., olega na: () rzyjęcu rozkładu z szerszej klasy nż normalny, tj. rozkładu t Studenta o neznanej lczbe ston swobody, () wrowadzenu zależnośc mędzy zmenną

2 Jerzy Marzec, Katedra Ekonometr Badań Oeracyjnych, Unwersytet Ekonomczny w Krakowe ukrytą z t a zmennym egzogencznym w forme welomanu stona drugego, zamast zależnośc lnowej. Fakt, że () własnośc metody najwększej warygodnośc ne zostały w ełn oznane w rzyadku regresj z rozkładem t Studenta oraz że () dla modelu tobtowego brak jest dobrych mar dobroc doasowana modelu do danych, były motywacją do zastosowana wnoskowana bayesowskego. 1. Model tobtowy z rozkładem t Studenta. Rozważmy uogólnene standardowego modelu tobtowy ostac yt = max zt = G t ( zt,0) ( w, β ) + ε, t dla t = 1, K, T, gdze składnk losowy ε t ma jednowymarowy rozkład t Studenta z ν stonam swobody, z arametrem necentralnośc, czyl modalną µ równą zero recyzją τ (ν >0 τ >0). Funkcję gęstośc rozkładu zmennej ε t zasujemy w forme f ( ε µ = 0, ν, τ ), natomast funkcja (, β ) zdefnowana nastęująco G ( wt β ) = xt β = β1 + βhwth + h h h S, β w w () h t th t (1) G jest Powyższy, najogólnejszy model będze określany, jako model II rzędu, zob. [11], w odróżnenu do modelu I rzędu, w którym zakłada sę, że zmenna ukryta z t jest lnową funkcją zmennych objaśnających w th, czyl że β h = 0 dla każdego h oraz h. Z unktu wdzena estymacj, modele I II rzędu różną sę jedyne lczbą arametrów, czyl wymarem wektora β. W obu rzyadkach z t jest lnową funkcją β. Jedną z korzyśc z wrowadzena aroksymacj II rzędu jest to, że w modelu (1) efekty krańcowe względem ustalonej zmennej w th mogą osadać rzecwne znak dla różnych obserwacj, natomast w modelu I rzędu osadają dentyczne znak, zob. [9]. Ponadto konstrukcja modelu (1) może rzyczynć sę do leszego doasowana modelu do danych, gdyż weloman stona drugego (względem w th ) jest leszą aroksymacją (wyższego rzędu) nż weloman stona erwszego. Natomast wrowadzene dodatkowego, kluczowego arametru ν umożlwa naturalne uwzględnene standardowego modelu tobtowego jako rzyadku grancznego, gdy ν + β h = 0. w t. Secyfkacja modelu bayesowskego W modelu tobtowym z rozkładem t Studenta uogólnona funkcja gęstośc T-wymarowego wektora nezależnych obserwacj y = (y 1,,y T ), czyl rozkład róbkowy jest loczynem dystrybuanty gęstośc rozkładu t Studenta

3 Jerzy Marzec, Katedra Ekonometr Badań Oeracyjnych, Unwersytet Ekonomczny w Krakowe 3 ( y ) = FS ( xtβ θ ) f S ( yt xtβ, ν, τ ) θ. (3) t: yt = 0 t: y t > 0 gdze F S ( a) dystrybuantą rozkładu t Studenta zmennej ε t, oblczoną w unkce a. Bayesowsk model statystyczny jest jednoznaczne zdefnowany orzez łączny rozkład rawdoodobeństwa y θ θ θ to tzw. brzegowy rozkład dla obserwacj arametrów ( ) y,θ = ( ) ( ), gdze ( ) arametrów, zwany rozkładem a ror. Podejśce bayesowske wymaga dodatkowo określena rozkładu a ror na rzestrzen neznanych arametrów θ = (β ν τ) R k R + R +. Dla arametru recyzj, który jest wsólnym arametrem w rozważanych, szczegółowych modelach tobtowych, 1 rzyjęto newłaścwy rozkład a ror ostac ( τ ) τ. W rzyadku ozostałych arametrów rzyjmujemy właścwe rozkłady a ror, gdyż to umożlwa bayesowske testowane rozważanych w racy model. Zastosowane właścwego rozkład a ror dla β ν ozwala orównywać odowedno model I rzędu II rzędu oraz model z rozkładem normalnym z rozkładem t Studenta. Ponadto, właścwy rozkład a ror dla ν gwarantuje stnene rozkładu a osteror dla tego arametru; zob. [4]. Dla β rzyjęto a ror rozkład normalny scentrowany wokół wektora zerowego ( β = 0 ), o dagonalnej macerzy kowarancj ostac H 1 = s I, gdze k s jest warancją a ror dla ojedynczej składowej wektora β. Dla s rzyjęto wartość 1000, gdyż wówczas mlkowane rozkłady a ror dla welkośc odlegających bezośrednej nterretacj, tj. efektów krańcowych, są mocno rozroszony (z grubym ogonam). Mnejsze wartośc dla s, n. s = 10, czynły te rozkłady slne skuonym wokół zera. Natomast dla arametru ν, który jest arametrem swostym w modelu z rozkładem t Studenta, rzyjęto standardowo rozkład wykładnczy o wartośc oczekwanej odchylenu standardowym równym r = 10 lub r = 40, zob. także [4], [9] [11]. Dobór stałej r ne mał wływu na wynk a osteror dotyczące arametru ν. Nastęne, korzystając ze wzoru Bayesa, gęstość łącznego rozkładu a osteror można zasać w forme 1 ( ν, β, τ y) = ( ν, β, τ ) FS ( xtβ ν, β, τ ) f S ( yt xt β, ν, τ ), (4) ( y) t: yt = 0 t: y t > 0 gdze ( y) jest brzegową gęstoścą wektora obserwacj, zaś ( k ) 1 ( ν, β, τ ) f ( β β, s I ) f ( ν r) τ (5) N k EXP Skomlkowana struktura jądra rozkładu (4) ne ozwala na analtyczne wyznaczene ostac rozkładów a osteror bądź odstawowych momentów tego rozkładu, zarówno dla orygnalnych arametrów, jak nnych nteresujących welkośc, n. wartośc oczekwanej zmennej y t czy efektów krańcowych. W tym rzyadku wykorzystano, jak w racach [9] [11], algorytm Metroolsa Hastngsa, jedną z metod Monte Carlo oartych na łańcuchach Markowa. 3. Porównywane mocy wyjaśnającej model Bayesowske orównywane aram wykluczających sę model, srowadza sę do wyboru takego modelu, który charakteryzuje sę najwększym rawdoodobeństwem a osteror, które lczone jest wg wzoru Bayesa:

4 Jerzy Marzec, Katedra Ekonometr Badań Oeracyjnych, Unwersytet Ekonomczny w Krakowe 4 gdze ( y ) M ( M y) = J j= 1 ( y M ) ( M ) ( y M ) ( M ) j j dla {1,,J}, (6) ( ) są odowedno brzegową gęstoścą wektora obserwacj y określonym M rzez badacza rawdoodobeństwem a ror modelu M. Narzędzem, które umożlwa oddzelene subektywnego rzekonana badacza o rawdzwośc sformułowanych hotez od nezależnej nformacj, zawartej na ten temat w danych emrycznych, jest czynnk Bayesa. Rerezentuje on cężar dowodów dostarczanych rzez dane, a śwadczących na korzyść jednego z model. Dla ary model lczymy go wg formuły (zob. [4]) 4. Wynk emryczne j ( y M ) ( y M ) BF =. (7) j Przedmotem badana jest zbór kredytów konsumcyjnych hotecznych, udzelonych klentom detalcznym rzez bank komercyjny w okrese r. Zmenna endogenczna rerezentuje oóźnene ze słatą rat katałowo odsetkowych rzez kredytoborców, jake zaobserwowano na dzeń r. Welkość oóźnena, wyrażonego w dnach, defnujemy jako różncę mędzy datą r. a ustaloną w harmonograme słaty kredytu datą ostatnej nesłaconej w całośc raty katałowo odsetkowej. Oóźnene wynos zero, gdy kredyt słacany jest w termne rzewdzanym w umowe lub gdy został już całkowce słacony. Zbór otencjalnych zmennych egzogencznych wyjaśnających ryzyko ojedynczej umowy kredytowej zawerał (jak we wcześnejszych racach autora): łeć, wek kredytoborcy, wływy na rachunk tyu ROR, osadane rachunku ROR, nformację o tym, czy kredytoborca osada karty łatncze lub kredytowe wydane rzez ten bank, sosób udzelena kredytu (rzez ośrednka kredytowego albo bezośredno rzez bank), ty kredytu (kredyt konsumcyjny albo hoteczny), okres trwana umowy kredytowej, kwota rzyznanego kredytu, waluta kredytu, odstawowe źródło dochodu uzyskwanego rzez kredytoborcę (umowa o racę, albo renta lub emerytura, albo własna dzałalność, umowa o dzeło lub umowa zlecene, albo nne źródło). Szczegółowe nformacje na ten temat znajdują sę w racach [9], [10] lub [11]. W racy rozważylśmy cztery secyfkacje (J = 4), model najogólnejszy z rozkładem t Studenta o neznanej lczbe ston swobody (ν) z częścą regresyjną w ostac welomanu II stona (M 1 ), nastęne model I rzędu z rozkładem t Studenta (M ), model z rozkładem normalnym ze secyfkacją II rzędu (M 3 ) oraz standardowy model tobtowy (M 4 ). Rozkłady róbkowe model M, M 3 M 4 uzyskujemy z modelu M 1 orzez warunkowane względem wektora β lub arametru ν. Podobne ostęujemy konstruując rozkłady a ror. Zaroonowano dwa kerunk rozszerzena modelu standardowego. Perwszy olega na wrowadzenu rozkładu o grubych ogonach model M, drug na uwzględnenu wększej lczby czynnków wyjaśnających zaobserwowane wartośc zmennej y t. Rodz to nastęujące ytana: czy

5 Jerzy Marzec, Katedra Ekonometr Badań Oeracyjnych, Unwersytet Ekonomczny w Krakowe 5 w śwetle osadanego materału emrycznego dwukerunkowe uogólnene modelu M 4 w forme modelu M 1 jest otrzebne? Czy wystarczyłoby tylko jedno z tych uogólneń, jeżel tak, to które? Zatem, który z model leej osuje badane zjawsko? Odowedz na te ytana uzyskano oblczając czynnk Bayesa rawdoodobeństwa a osteror dla oszczególnych model. Tabela 1 rzedstawa szczegółowe rezultaty, w zależnośc od rzyjętych rawdoodobeństw a ror dla każdej ze secyfkacj. Rozważano wybór najleszego modelu, w erwszym rzyadku rzyjmując dentyczne rawdoodobeństwa a ror dla każdego modelu, zaś w drugm faworyzując secyfkacje oszczędne sarametryzowane, tj. model standardowy (M 4 ) model t Studenta z aroksymacją lnową dla z t (M ). Wartośc czynnków Bayesa wskazują, ż dane emryczne tak zdecydowane faworyzują model M 1, że założene badacza dotyczące rawdoodobeństw a ror dla każdego modelu ne wływa na wybór najleszego. Wynk a osteror wskazują, że najbardzej rawdoodobnym jest model M 1, który charakteryzuje sę najwększą mocą wyjaśnającą jest klkadzesąt rzędów welkośc bardzej rawdoodobny od drugego w kolejnośc modelu M 3. Prawdoodobeństwo a osteror ozostałych model, w tym także M 3, jest blske zero. Natomast, sośród dwóch możlwych rozszerzeń standardowego modelu M 4, dane lczbowe zdecydowane wskazują na aroksymację II rzędu (model M 3 ). Natomast, jeżel uzależn sę rawdoodobeństwo a ror modelu od jego rostoty, to model M jest o osem rzędów bardzej rawdoodobny a osteror nż model M 3. Zatem, samo zastosowane aroksymacj kwadratowej, orzez zwększena lczby arametrów β z 14 do 79, ne wystarcza, aby model M 3 był najleszy. Podobne, zastosowane rozkładu z grubym ogonam. Doero ołączene tych dwóch koncecj sowodowało, że otrzymano najleszy model M 1. Tabela 1. Brzegowe gęstośc wektora obserwacj rawdoodobeństwa a osteror badanych model. Model M 1 M M 3 M 4 Lczba arametrów (k ) ln y ( ) M BF 1 8, , , Log 10 BF ( M ) 0,5 0,5 0,5 0,5 M y 1 8, , , ( ) ( M ) ( M y) ' k ,3333 3, , , , , Źródło: oracowane własne. W modelu M 1 wartość oczekwana a osteror dla kluczowego arametru ν wynos 9,675, rzy odchylenu standardowym 0,6, co otwerdza uzyskane wcześnej wynk, że rawdoodobeństwo a osteror modelu z rozkładem normalnym wynos raktyczne zero. Tabela rezentuje sodzewane oóźnene słaty kredytu dla rzecętnego kredytoborcy. Model standardowy w stosunku do ozostałych model daje najnższe oczekwane oóźnene ze

6 Jerzy Marzec, Katedra Ekonometr Badań Oeracyjnych, Unwersytet Ekonomczny w Krakowe 6 słatą kredytu. Na odstawe modelu t Studenta (M 1 ) wnoskujemy, ż sodzewane rzecętne oóźnene w słace kredytu, bez względu na rzebeg słaty, wynos 89 dna, czyl rawe 3 mesące. Natomast, jeżel klent małby roblemy ze słatę rat katałowo-odsetkowych, to sodzewamy sę, ż oóźnene wynese 36 dn, czyl onad 7 mesęcy. Neewność zwązana z tym welkoścam, wyrażona orzez odchylene standardowe a osteror jest newelka wynos od 1 do 9 dn. Przyomnjmy, że zgodne z uchwałam Komsj Nadzoru Bankowego, gdy oóźnene w słace rat katałowo-odsetkowych kredytu konsumcyjnego rzekracza 6 mesęcy, to bank zobowązany jest do tworzena rezerw celowych w kwoce równej wartośc kredytu ozostającego do słaty (omnejszonej o ewentualne zabezeczena). Zatem z unktu wdzena zarządzana ryzykem kredytowym w banku, nteresującym zagadnenem jest określene sły kerunku oddzaływana czynnków egzogencznych wływających na kształtowane sę welkośc oóźnena słaty kredytu. Tabela. Wartośc oczekwane odchylena standardowe a osteror dla średnej wartośc E(y t y t >0) E(y t ). Model M 1 M M 3 M 4 E( y) D( y) E( y) D( y) E( y) D( y) E( y) D( y) E(y y >0) E(y) Źródło: oblczena własne Sośród zmennych objaśnających znaczący wływ na okres zwłok w słace kredytu osada sosób udzelena kredytu oraz nformacja o tym, czy klent osadana rachunek ROR w badanym banku. Udzelene kredytu orzez ośrednka owoduje zwększene hotetycznego oóźnena o onad 117 dn (rawe 4 mesące) oraz wydłużene już stnejącego oóźnena (y t >0) o 76 dn. Posadane rachunku ROR zmnejsza oóźnene rzecętne o 8 dn albo zmnejsza je o 18 dn, gdy kredytoborca ne słaca regularne kredytu. Wzrost weku wływów klenta oraz krótk okres trwana kredytu owoduje zmnejszene oóźnena w słace, aczkolwek z unku wdzena zarządzana ryzykem wływ ten jest mało znaczący. Ponadto, udzelene kredytu klentom rowadzącym własną dzałalność gosodarczą owoduje newelk wzrost oóźnena ze słatą, w stosunku do osób zatrudnonych na umowę o racę, aczkolwek wnoskowane o tych welkoścach jest obarczone neewnoścą, gdyż charakteryzują sę one dużym wartoścam odchyleń standardowych a osteror. Natomast oberane renty emerytura lub styendum zmnejsza otencjalne zadłużene o 4 lub 8 dn, gdy kredytoborca ne słaca kredytu. Te ostatne źródła dochodu stwarzają mnmalne zagrożene zwązane z ryzykem kredytowym, mnejsze nawet nż umowa o racę. Szczegółowe nformacje o efektach krańcowych oczekwanym oóźnenu ze słatą kredytu, także w rzyadku wybranych kredytoborców, są rezentowane w racach [9] [10].

7 Jerzy Marzec, Katedra Ekonometr Badań Oeracyjnych, Unwersytet Ekonomczny w Krakowe 7 Podsumowane Wynk a osteror wskazują, że sośród czterech secyfkacj, model t Studenta o rawe dzesęcu stonach swobody z aroksymacją kwadratową charakteryzuje sę najwększą mocą wyjaśnającą, najleszym doasowanem. W warstwe emrycznej uzyskano nteresujące wynk dotyczące sodzewanego oóźnena ze słatą kredytu w rzyadku rzecętnego kredytoborcy. Możlwość rognozowana oóźnena, a tym samym określena ewentualnych kosztów utraconych korzyśc (zwązanych z rezerwam celowym), daje rzewagę modelom tobtowym nad modelam dychotomcznej zmennej endogencznej. Wydaje sę, że modele tobtowe odejśce bayesowske są nteresującym kerunkam dalszego rozwoju model metod statystycznych, stosowanych w scorngu bankowym. Lteratura 1. Amemya T., Tobt Models: A Survey, Journal of Econometrcs 1984, 4.. Gruszczyńsk M., Modele rognozy zmennych jakoścowych w fnansach bankowośc, Monografe Oracowana SGH, nr 6, Warszawa Janc A., M. Kraska, Credt scorng. Nowoczesna metoda oceny zdolnośc kredytowej. Bbloteka Menadżera Bankowca, Warszawa Koo G. Bayesan Econometrcs, Wley, Chchester Kulawk J., Modele scorngowe w kredytowanu rolnctwa USA Kanady, Bank Kredyt 1996, 7, nr Kuryłek W., Credt scorng odejśce statystyczne, Bank Kredyt 000, nr Lasek M., Data Mnng. Zastosowane w analzach ocenach klentów bankowych. Bbloteka Menadżera Bankowca, Ofcyna Wydawncza Zarządzane Fnanse S. z o.o., Warszawa Maddala G., Lmted-deendent and Qualtatve Varables n Econometrcs, Cambrdge Unversty Press, Cambrdge Marzec J., Bayesowsk model tobtowy z rozkładem t Studenta w analze nesłacalnośc kredytów, [w:] Metody loścowe w naukach ekonomcznych, red. A. Welfe, Wydawnctwo SGH, Warszawa Marzec J., Zastosowane standardowego modelu tobtowego w rognozowanu słacalnośc kredytów, [w:] Prognozowane w zarządzanu frmą, red. P. Dttmann, Prace Naukowe AE, Wrocław 005, w druku 11. Osewalsk J., J. Marzec, Model dwumanowy II rzędu skośny rozkład Studenta w analze ryzyka kredytowego, Fola Oeconomca Cracovensa 004, vol. 45. Streszczene Głównym celem badań było rzedstawene bayesowskego testowana konkurencyjnych secyfkacj w odnesenu do model tobtowych. Modele te zastosowano w emrycznej analze nesłacalnośc kredytów detalcznych.

8 Jerzy Marzec, Katedra Ekonometr Badań Oeracyjnych, Unwersytet Ekonomczny w Krakowe 8 Przyjęto, ż w modelu tobtowym zmenna objaśnana rerezentuje okres (w dnach) oóźnena w słace kredytu detalcznego (rat odsetek). W rzyadku znaczącej lczby kredytoborców zaobserwowano termnową słatę zadłużena. Wówczas zmenna objaśnana rzyjmuje wartość zero, zaś w ozostałych rzyadkach rzyjmuje wartośc wększe od zera. Wykorzystano dwa uogólnena najczęścej stosowanego modelu regresj cenzurowanej, tj. standardowego modelu tobtowego. Perwsze uogólnene olegało na zastosowanu rozkładu t Studenta o neznanej lczbe ston swobody jako naturalnego uogólnena rozkładu normalnego. Druge rozszerzene oerało sę na rzyjęcu aroksymacj kwadratowej zamast lnowej dla cągłej zmennej ukrytej, determnującej zaobserwowane wartośc zmennej cenzurowanej. Jednakże rzyjęce rozkładu t Studenta wymagało zastosowana nnej metody estymacj nż metoda najwększej warygodnośc. Podejśce bayesowske zostało realzowane orzez zastosowane metod Monte Carlo oartych na łańcuchach Markowa (ang. Markov Chan Monte Carlo). Sośród rozważanych secyfkacj dokonano wyboru najleszego modelu w oarcu o rawdoodobeństwa a osteror każdego z nch. Wynk a osteror wskazały, ż secyfkacje oerające sę na rozkładze t Studenta aroksymacj kwadratowej (zamast lnowej) leej osują badane zjawsko nż modele rostsze ( n. z rozkładem normalnym). Bayesan comarson of Tobt models for the analyss of the consumer loans reayment Summary The man ont of ths research s to resent Bayesan comarson of varous Tobt models whch are usng n analyss of the consumer loans reayment. A exlaned varable s exressed as follows: a delay (n days) n ayng off loan. Than the deendent varable s zero for a sgnfcant fracton of the observatons, but n the other cases, are great than zero. Extensons of the classcal Tobt model are used. The frst generalzaton reles on t, that the errors are Student-t dstrbuted wth unknown degrees of freedom. Secondly, n the standard tobt model, a latent varable s assumed to reresent a utlty assocated wth loans reayment s lnear combnaton of the exlanatory varables. We aled second-order olynomal. The uses t-student dstrbuton requres emloyment other method of estmaton than maxmum lkelhood estmator. In Bayesan aroach we use an Markov Chan Monte Carlo methods as the most feasble numercal methods for the estmaton. Bayes factors were then used to comare the evdence one model aganst comettve models. The data gve very strong evdence that Student-t model wth second-order aroxmaton comared to the other models.