J Nwrocki MATEMATYKA cz Aliz mtemtycz I Politechik Wrszwsk
Politechik Wrszwsk Wydził Smochodów i Mszy Roboczych Kieruek "Edukcj techiczo iformtycz" -54 Wrszw, ul Nrbutt 84, tel () 849 4 7, () 4 8 48 ipbmvrsimrpwedupl/spi/, e-mil: sto@simrpwedupl Opiiodwc: prof dr hb Krzysztof CHEŁMIŃSKI Projekt okłdki: Norbert SKUMIAŁ, Stef TOMASZEK Projekt ukłdu grficzego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ Skłd tekstu: Jusz BONAROWSKI, J NAWROCKI Publikcj bepłt, przezczo jest dl studetów kieruku "Edukcj techiczo iformtycz" Copyright Politechik Wrszwsk Utwór w cłości i we frgmetch ie może być powiely i rozpowszechiy z pomocą urządzeń elektroiczych, mechiczych, kopiujących, grywjących i iych bez pisemej zgody posidcz prw utorskich ISBN 8-897-9-8 Druk i oprw: Drukri Epol P Rybiński, J Dąbek Spółk Jw, 87-8 Włocłwek, ul Brzesk 4
Spis treści I Ciągi liczbowe 7 II Szeregi liczbowe III Gric i ciągłość odwzorowń IV Pochod i różiczk fukcji 5 V Cłk ieozczo 79 VI Cłk Riem 97 Litertur
Przedmow Niiejsze mteriły zostły oprcowe w rmch relizcji Progrmu Rozwojowego Politechiki Wrszwskiej współfisowego ze środków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI Przezczoe są dl studetów pierwszego roku studiów iżyierskich kieruku uczi Edukcj techiczo-iformtycz prowdzoych Wydzile Smochodów i Mszy Roboczych Politechiki Wrszwskiej Swoim zkresem obejmują drugą część temtyki określoej w progrmie studiów dl przedmiotu p Mtemtyk opisym w sylbusie oprcowym dl tego przedmiotu Jest to przedmiot z grupy przedmiotów podstwowych W plie studiów przewidzio jego relizcję pierwszym i drugim roku studiów N pierwszym semestrze są to dw wykłdy -godzie i 5-godzie ćwiczei dl kżdego z ich: Mtemtyk cz Algebr i geometri litycz, Mtemtyk cz Aliz N drugim semestrze wykłdy -godzie i -godzie ćwiczei dl kżdego wykłdu: Mtemtyk cz Aliz, 4 Mtemtyk cz 4 Szeregi fukcyje i rówi różiczkowe zwyczje N trzecim semestrze - godziy wykłd: 5 Mtemtyk cz 5 Elemety probbilistyki i sttystyki mtemtyczej Niiejsze mteriły przezczoe są dl studetów pierwszego semestru W mteriłch zwrto podstwowe treści z lizy mtemtyczej fukcji jedej zmieej potrzebe studetom wydziłów techiczych Politechiki Wrszwskiej Postowiłem pomiąć iektóre dowody, strjąc się jedocześie ilustrowć kżde twierdzeie przykłdem Njwżiejsze defiicje i wszystkie twierdzei zostły zpise w rmkch, co pozwl studetom zwrócić uwgę te wże w mtemtyce zdi Kometrze przy rozwiązywiu zdń są oszczęde, strłem się jedk odwoływć do twierdzeń, wiosków i uwg podych wcześiej; używm ozczei T twierdzei, W wioski i U uwgi podjąc umer po literze, przed literą oddję literkę R z umerem rozdziłu, w którym zjduje się de twierdzeie, wiosek lub uwg (liter R jest pomij, jeżeli odwołie dotyczy dego rozdziłu) Kometrze podję tkże w specjlych wisch w ciągu wywodów, by skrócić zpisy
I Ciągi liczbowe
ROZDZIAŁ I Gric ciągu Niech A będzie dowolym zbiorem Kżde odwzorowie f: N A zywmy ciągiem (elemetów zbioru A) i ozczmy przez (,,,) lub krótko ( ) Wrtość odwzorowi f dl dowolego, czyli elemet A zywmy wyrzem ogólym ciągu ( ) Jeżeli (A,d) jest przestrzeią metryczą, to moż wprowdzić stępujące pojęci Ciąg ( ) zywmy ciągiem podstwowym w przestrzei (A, d), jeżeli jego wyrzy spełiją wruek Cuchy ego o postci : ε δ >, N : ( > δ > δ ) d(, ) < ε > Drug defiicj jest kluczowym pojęciem lizy mtemtyczej Ciąg ( ) zywmy zbieżym w przestrzei metryczej (A,d), jeżeli istieje tki pukt A, którego dowole otoczeie U() zwier prwie wszystkie wyrzy tego ciągu, tz ε > δ > N : >δ d(, ) <ε Pukt A zywmy gricą ciągu ( ), zdie gricą ciągu ( ) jest pukt zpisujemy stępująco: lim lub Ciąg, który ie m gricy, zywmy ciągiem rozbieżym Przykłd Wykzć,że w zbiorze R z metryką turlą lim, jeżeli α> α Nleży wykzć, zgodie z defiicją, że prwdziwe jest zdie: ε > δ > N : > δ < ε α Zuwżmy, że α ε ε α α < ε > > Stro 8
CIĄGI LICZBOWE Przyjmując δ ε stępujące zdie: α i wykorzystując powyższe rówowżości stwierdzmy, że δ ε > δ N : > δ α ε < ε jest prwdziwe, czyli lim α Wykorzystując włsości metryki (ierówość trójkąt), mmy implikcję: d(,) z której wyik stępujący < ε d(, ) d(,) d(, ) < ε, Wiosek Kżdy ciąg zbieży jest ciągiem podstwowym Implikcj odwrot ie jest prwdziw, le są przestrzeie, w których tk jest Przestrzeń metryczą, w której kżdy ciąg podstwowy jest ciągiem zbieżym, zywmy przestrzeią zupełą Przestrzeimi zupełymi są przestrzeie R, R, C Przykłdem przestrzei, któr ie jest zupeł, może być zbiór R z metryką turlą, gdyż p ciąg jest ciągiem podstwowym, le w R ie jest zbieży, bo lim R W przestrzei metryczej R k z metryką krtezjńską istieie gricy ciągu puktów w tej przestrzei jest rówowże istieiu k gric ciągów liczbowych w R, bo łtwo wykzć, że : Uwg lim (,,, k ) (,,, k ) ( lim,, lim k k ) Przykłd Wyzczyć grice ciągu ( ), jeżeli,, 4, Poiewż lim, lim, lim4 4, lim, więc lim (,,4,) Poiewż zbiór liczb zespoloych jest zbudowy kwdrcie krtezjńskim R, więc dl ciągu liczb zespoloych (z ) o wyrzch z iy mmy: Uwg lim( iy ) lim( ) i lim( y ) Stro 9
ROZDZIAŁ I Niech ( ) będzie ciągiem puktów przestrzei metryczej (A, d), (k ) iech będzie rosącym ciągiem liczb turlych : k < k < k < Ciąg ( k ) zywmy podciągiem ciągu ( ) Grice (o ile istieją) podciągów ciągu ( ) zywmy puktmi skupiei ciągu ( ) N przykłd podciągi : ( ) (, 4, 6 ), ( - ) (,, 5 ) są podciągmi ciągu ( ) Ciąg ( ) zywmy ogriczoym, jeżeli istieje tk kul B(,M), któr zwier wszystkie wyrzy tego ciągu, tz M> N: d(, ) < M Sformułujemy terz kilk twierdzeń o gricch ciągów w przestrzei metryczej (A,d) Twierdzeie Kżdy ciąg zbieży m tylko jede pukt skupiei, którym jest gric tego ciągu Wykorzystując prwo kotrpozycji : (p q) (q p ), mmy: Wiosek Ciąg mjący więcej iż jede pukt skupiei jest rozbieży Przykłd Wyzczyć gricę ciągu o wyrzie ogólym: ( ) Ciąg (() ) m dw pukty skupiei, bo ( ) (() ) i lim, zś ( ) (() ) i lim, Ztem, mocy wiosku ciąg (() ) jest rozbieży Sformułujemy dw twierdzei o ciągch ogriczoych Twierdzeie Ciąg zbieży jest ogriczoy Twierdzeie (Bolzo-Weierstrss) Kżdy ciąg liczbowy ogriczoy m przyjmiej jede pukt skupiei (Z kżdego ciągu liczbowego ogriczoego moż wybrć podciąg zbieży) Ciągi liczbowe o wyrzch rzeczywistych Ogriczymy się terz do bdi ciągów liczbowych o wyrzch rzeczywistych Zcziemy od twierdzei, które pozwl wyzczie gricy ciągów o brdziej złożoej budowie, gdy de są grice ciągów skłdowych Stro
CIĄGI LICZBOWE Twierdzeie 4 Jeżeli ciągi ( ) i (b ) są zbieże orz lim i limb b, to zbieże są rówież ciągi: ( b ), ( - b ), ( b ), i zchodzą rówości: b () lim ( b ) b ; () lim ( b ) b ; () lim b b ; (4) lim, o ile N : b i b b b Uwg Twierdzeie odwrote ie jest prwdziwe, bo grice ciągów występujących w tezie twierdzei mogą istieć, mimo że de ciągi są rozbieże, p ciągi () i ( ) są rozbieże, le ich ilorz ( ) jest ciągiem zbieżym do zer Dl ciągów o wyrzch rzeczywistych moż zdefiiowć ciąg rozbieży do orz ciąg rozbieży do Ciąg ( ) o wyrzch rzeczywistych ieogriczoy jest rozbieży i jeżeli: () M > δ > >δ : > M, to mówimy, że ciąg ( ) jest rozbieży do, co zpisujemy : lim ; (b) M > δ > >δ : < M, to mówimy, że ciąg ( ) jest rozbieży do, co zpisujemy : lim Dl ciągów rozbieżych do orz rozbieżych do moż sformułowć twierdzeie logicze do twierdzei 4 Twierdzeie 5 Jeżeli ciąg ( ) jest zbieży i lim orz ciąg (b ) jest rozbieży i limb, to: () lim ( b ) ; [ ] () lim ( b ) ; [ ] () lim b, o ile > ; [ ( ), >] (4) lim b, o ile < ; [ ( ), <] (5) lim, o ile N : b [ ] b Uwg 4 Używjąc symboliki zstosowej w twierdzeiu 5, możemy w skrócie zpisć stępe tezy: [ ( ) ( ) ], [( ) ( ) ], [ ( )( ) ], [ ( )( ) ], [ ( )( ) ] [ ] ( ozcz, że ciąg w miowiku m wyrzy dodtie i dąży do zer ), [ ]( ozcz, że ciąg w miowiku m wyrzy ujeme i dąży do zer ) Stro
ROZDZIAŁ I Jeżeli jedk będziemy chcieli wyzczyć gricę iloczyu dwóch ciągów, z których jede m gricę rówą zeru drugi m gricę iewłściwą, to gric t zleży od postci tych ciągów, przykłd: jeżeli, b, to lim b ; jeżeli, b, to lim b ; jeżeli, b, to lim b ; jeżeli, b 5, to lim b 5, itd Symbol [ ] ie określ więc żdej kokretej wielkości, dltego zywmy go symbolem ieozczoym Symboli tkich jest więcej Uwg 5 Symbole ieozczoe: [ ], [ ],,, [ ], [ ], [ ] W stępym przykłdzie zobczymy jk moż przejść od symbolu ieozczoego [ ] do symbolu ozczoego, czyli tkiego jki występuje w twierdzeich 4 i 5 Przykłd 4 Wyzczyć gricę ciągu ( ), jeżeli lim ( ) mmy tu do czyiei z symbolem ieozczoym: [ ], b zstosujemy rówość: b b ( ) lim lim - terz mmy symbol ieozczoy: [ ] i dzieląc liczik i miowik przez otrzymmy lim stosując twierdzeie 4(4)mmy symbol ozczoy:[ gric jest już z ], czyli Przy sformułowiu stępych twierdzeń użyjemy zpisu skrócoego : N, który czytmy: dl prwie wszystkich turlych, który ozcz, że pewie wruek, który stoi po tym symbolu jest spełioy dl wszystkich turlych począwszy od pewej ustloej liczby turlej Twierdzeie 6 (o zchowiu ierówości w gricy) Jeżeli ciągi ( ) i (b ) są zbieże i lim, limb b orz to b N : b, Stro
CIĄGI LICZBOWE Uwg 6 Ostr ierówość ie zchowuje się przy przejściu do gricy, bo p ciąg spełi wruek : N : <, le ieprwdą jest, że lim < lim Twierdzeie 7 (o trzech ciągch) Jeżeli ciągi ( ) i (c ) są zbieże i lim lim c g orz N : b c, to ciąg (b ) jest zbieży i lim b g Wiosek Jeżeli ciąg ( ) jest zbieży do zer ciąg (b ) jest ogriczoy, to lim b Przykłd 5 Wykzć, korzystjąc z twierdzei o trzech ciągch, że lim Ozczmy >, wystrczy więc wykzć, że lim Wykorzystując wzór Newto mmy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) stąd ( ), czyli ( ) ( ) Poiewż lim, więc z twierdzei o trzech ciągch mmy : lim, czyli lim Przykłd 6 Wykzć, że lim, gdy > Jeżeli, to prwdziwe jest stępujące zdie : N:, stąd wyik, że N :, ztem z twierdzei o trzech ciągch mmy : lim dl Aby wykzć rówość : lim dl < <, wystrczy zuwżyć, że b >, czyli lim b lim lim, stąd lim dl < < Przykłd 7 Wyzczyć gricę : Zuwżmy, że : 5 lim 4 π N : 4 π 4 4 4 4 5 4 4 ( ), poiewż lim i lim ( ptrz przykłdy 5 i 6), więc z twierdzei o trzech ciągch mmy : Stro
ROZDZIAŁ I lim 5 π 4 4 Aby sformułowć stępe wże twierdzeie o zbieżości ciągów, wprowdzimy pojęcie ciągu mootoiczego Ciąg ( ) jest ciągiem rosącym (iemlejącym), jeżeli : N : > ( ) Ciąg ( ) jest ciągiem mlejącym (ierosącym), jeżeli : N : < ( ) Ciągi rosące, iemlejące, mlejące, ierosące oszą wspólą zwę ciągów mootoiczych Przykłd 8 Zbdć mootoiczość ciągu ( ), jeżeli ( )! Aby zbdć mootoiczość ciągu leży zbdć zk różicy, bądź sprwdzić - (dl ciągów o wyrzch dodtich), czy ilorz jest większy od, czy miejszy od Z uwgi to, że N : >, wygodie będzie bdć ilorz : - ( )! ( )! dl kżdego N, - ( ) ( )! ( )! co ozcz, że : Stro 4, czyli ciąg ( ) jest ierosący Twierdzeie 8 Ciąg mootoiczy jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy jest ogriczoy Wykorzystując powyższe twierdzeie, zbdmy zbieżość brdzo wżego ciągu Przykłąd 9 Zbdć zbieżość ciągu ( ), gdzie Wykżemy jpierw, że ciąg ( ) jest rosący : Stosując ierówość Beroulli ego ( () m > m, gdzie >,, m N{} ) dl i m mmy: >, stąd > >
CIĄGI LICZBOWE Poiewż, więc >,co dowodzi, że ciąg ( ) jest rosący Ciąg te jest tkże ogriczoy, bo stosujemy wzór Newto ( ) ( )!! <!!! < < wykorzystując ierówość: ()! >, dl > <!!! < < wykorzystując wzór sumę wyrzów ciągu geometryczego ieskończoego < Tk więc N : <, czyli ciąg te jest ogriczoy poiewż jest tkże mootoiczy, więc mocy twierdzei 8 ciąg ( ) jest zbieży Gricę tego ciągu ozczmy literą e (liczb Euler lub liczb Neper), więc e lim Liczb e jest liczbą iewymierą, jej wrtość przybliżo to e 78888459 Uwg 7 Wykorzystując twierdzeie o trzech ciągch łtwo wykzć, że prwdziw jest stępując implikcj: Jeśli przyjmiemy: Przykłd b α α lim e lim (wtedy lim b lim ), wtedy: α ( b ) e limb lim α 6 Wyzczyć gricę ciągu: 5 Aby wykorzystć gricę podą w uwdze 6 leży dy ciąg przedstwić w postci α Zuwżmy, że w wyiku dzielei otrzymmy: b - 5 5 Stro 5
ROZDZIAŁ I 5 - Biorąc pod uwgę, że: lim e i wykorzystując włsość dl fukcji 5 km k wykłdiczej: ( ) m 5 mmy możąc wykłdik potęgi przez : 5 lim 5 6 - lim 5 - lim 5 5 6 5 6 6 ( e ) e - lim 5 5 (6 ) 5 Twierdzeie Bch o pukcie stłym Sformułujemy i udowodimy twierdzeie o istieiu i jedozczości rozwiązi rówi f(), przy złożeiu, że odwzorowie f jest zwężjące Przypomimy defiicję odwzorowi zwężjącego i określimy pukt stły odwzorowi Odwzorowie f: A A jest zwężjące (kotrkcją ) w przestrzei metryczej (A,d), gdy λ (,),b A: d(f(),f(b)) λ d(,b) Odwzorowie f: A A m w przestrzei metryczej (A,d) pukt stły, gdy A: f() Twierdzeie 9 (Bch) Jeżeli f jest odwzorowiem zwężjącym przestrzei zupełej (A,d) w siebie, to istieje i jest tylko jede pukt stły A tego odwzorowi Dowód Niech będzie dowolym puktem przestrzei zupełej (A,d) Określmy ciąg ( ) stępująco: f( ), f( ) f(f( ), f( ) f(f(f( ))) f,, [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ - ] ( ) [ ] ( ) f( - ) f Poiewż odwzorowie f jest zwężjące, więc : - d(, - ) d ( f, f ) λ d ( f, f ) λ d(, ), przy czym λ (,) Wykorzystując powyższe oszcowie, wykżemy, że ciąg ( ) jest ciągiem podstwowym: d(, k ) z ierówości trójkąt dl metryki d(, ) d(, ) d( k, k ) λ d(, ) λ d(, ) λ k d(, ) λ d(, ) ( λ λ λ k ) λ k λ d(, ) λ d(, ) λ λ Stro 6
CIĄGI LICZBOWE Dl λ (,): lim λ, więc k N : lim d(, k ), to zdie jest rówowże zdiu : ε >, N: d(, ) < ε (gdzie k), to ozcz, że ciąg ( ) jest ciągiem podstwowym Przestrzeń (A, d) jest zupeł, więc istieje A tkie, że lim Dl odwzorowi zwężjącego ( więc tkże ciągłego) prwdziw jest implikcj : lim lim f( ) f(), któr uzsdi stępujące rówości: lim lim f( ) f(), czyli jest puktem stłym odwzorowi f Aby wykzć, że pukt stły jest tylko jede, skorzystmy z metody dowodu ie wprost Przypuśćmy, że istieje tkie, że f( ), wtedy z defiicji odwzorowi zwężjącego mmy : d(, ) d(f(), f( ) ) λ d(, ), co ozcz, że λ, to przeczy złożeiu λ (,) Tk więc odwzorowie f m dokłdie jede pukt stły, co kończy dowód twierdzei Uwg Ciąg ( ), którego kostrukcj pod był w dowodzie twierdzei Bch osi zwę ciągu kolejych przybliżeń, metod wyzczi rozwiązi rówi f() z pomocą tego ciągu osi zwę metody kolejych przybliżeń Podmy terz przykłd zstosowi metody kolejych przybliżeń Przykłd Stosując metodę kolejych przybliżeń, obliczyć przybliżoą wrtość Liczb jest rozwiąziem rówi: Rówie to leży pisć w formie rówowżej (dl > ) tk, by moż było zstosowć twierdzeie Bch i skostruowć ciąg kolejych przybliżeń Mmy stępujący ciąg rówości rówowżych dl > : 4 4 4 Jeżeli przyjmiemy f ( ), to jest puktem stłym fukcji f 4 Wykżemy jpierw, że fukcj f jest zwężjąc w przedzile [, ) Dl dowolego, y [, ) mmy: y f ( ) f ( y) y y y 4 4 y 4 y 4 y ( y) 4 y Poiewż, y [, ), więc: y y y y Możemy więc oszcowć odległość między obrzmi f() i f(y): Stro 7
ROZDZIAŁ I f ( ) f ( y) ( y) y y, 4 y 4 y 4 Tk więc fukcj f jest zwężjąc ze stłą λ 4 Przedził domkięty [, ) jest przestrzeią zupełą, więc wystrczy wykzć, że fukcj f przeksztłc przedził [, ) w siebie Biorąc pod uwgę ierówość:, któr jest prwdziw dl kżdego dodtiego, możemy dl oszcowć wrtość fukcji f(): f ( ) >, 4 4 4 czyli f ([, ) [, ) Spełioe są złożei twierdzei Bch, więc fukcj f m w przedzile [, ) dokłdie jede pukt stły, którym jest (,7588 ) Zobczmy jk koleje wyrzy ciągu kolejych przybliżeń przybliżją Jko pukt strtu wybierzemy, wtedy: 7 f (),75, 4 7 97 f,748, 4 56 97 7 f,758 56 4 Widzimy więc, że już trzeci wyrz ciągu kolejych przybliżeń określ liczbę z dokłdością do siedmiu miejsc po przeciku Stro 8
CIĄGI LICZBOWE Ćwiczei N podstwie defiicji wykzć, że: ) lim, l( ) b) lim ( 5 ), c) lim 4, d) lim Zbdć mootoiczość ciągu ( ), jeżeli:! ), b) 4, c) Wyzczyć gricę ciągu ( ), jeżeli: π ) si, b) 8 7 5, c), 6 5 d) 5, e) 8 5 g), h) 4 4 4, f) ( ), i) 4 4 5, α si(! ) j) [l(6) l()], k) cos, α R, l), 5 m) 7 8, ) 5 4 4, o), ( ) 5 ( ) 7 p), r) s) si 4 5 4 Wyzczyć grice ciągu ( ), jeżeli: 4 si ), si, i i, b), c) i i 5 Wykorzystując twierdzeie 8, wyzczyć gricę ciągu ( ), jeżeli: ) 6 4 4 6 4 4 6 (ciąg ( ) moż określić rekurecyjie rzy 6, 6 ), b), 6 Wykzć, że rówie: 4 ( ( ) ) m w przedzile [,] 5 dokłdie jedo rozwiązie Wyzczyć cztery pierwsze przybliżei pierwistk tego wielomiu, przyjmując, Stro 9
ROZDZIAŁ I Stro
II Szeregi liczbowe
ROZDZIAŁ II Szereg liczbowy i jego sum Niech ( ) będzie dowolym ciągiem rzeczywistym, z którego wyrzów tworzymy owy ciąg (s ) o postci : s, s, s,, s k Prę ciągów ( ( ), (s ) ) zywmy szeregiem liczbowym o wyrzch i sumch częściowych s i ozczmy symbolem lub, lbo Jeżeli ciąg (s ) jest zbieży i lim s s, to mówimy, że szereg jest zbieży i jego sum jest rów s, co zpisujemy s Jeżeli ciąg (s ) jest rozbieży, to mówimy, że szereg jest rozbieży Liczbę r s s k zywmy -tą resztą szeregu k k Zdie szereg Zdie szereg jest zbieży zpisujemy krótko : < jest rozbieży zpisujemy krótko : Przykłd Wyzczyć sumę szeregu: ( ) Ciąg sum częściowych (s ) dego szeregu m postć : s rozkłdjąc ułmki proste: 4 ( ) k( k ) k k 4 Stąd lim s lim ( ), tk więc ( ) Szereg postci α ( α R ) zywmy szeregiem Dirichlet Szereg te jest zbieży dl α > i rozbieży, gdy α Zbdmy jpierw zbieżość tego szeregu, gdy α W tym szczególym przypdku szereg zywmy szeregiem hrmoiczym Aby wykzć rozbieżość tego szeregu, zstosujemy rozumowie ie wprost Przypuśćmy, że szereg jest zbieży i jego sum jest rów s Stro
SZEREGI LICZBOWE Poiewż s, więc s i otrzymujemy oceę: s s > Z twierdzei o zchowiu ierówości w gricy (RT6) mmy: lim (s s ) Poiewż ciąg (s ) jest zbieży, więc jego podciąg (s ) m tę smą gricę s (RT), czyli lim (s s ) Otrzymujemy więc ierówość fłszywą :, ztem przypuszczeie początkowe ie jest prwdziwe, czyli jest rozbieży Szereg postci q zywmy szeregiem geometryczym Ciąg sum częściowych tego szeregu m postć : s q q q q q Ciąg te m gricę wtedy i tylko wtedy, gdy q < i lim s, ztem q q, o ile q < q Sformułujemy i udowodimy terz wruek koieczy zbieżości szeregu Twierdzeie (wruek koieczy zbieżości szeregu) < lim (Jeżeli szereg jest zbieży, to ciąg ( ) m gricę rówą zero) Dowód < lim s s RT lim s s lim lim(s s ) Wiosek Jeżeli lim ie istieje lub ciąg ( ) jest rozbieży, to szereg jest rozbieży Przykłd Zbdć zbieżość szeregu ( ) lim () ie istieje (RP), więc z wiosku wyik, że ( ) (zpis te ozcz, że szereg jest rozbieży, ie że szereg m sumę ieskończoą) Nstępe twierdzeie pozwl rozstrzygąć zbieżość szeregu brdziej złożoego, gdy określimy zbieżość szeregów skłdowych Stro
ROZDZIAŁ II Twierdzeie Jeżeli szeregi i b są zbieże, to zbieże są rówież szeregi: ( b ), ( b ), λ ( λ R ) i zchodzą rówości: ( b ) b, ( b ) - b, λ λ Przykłd Wyzczyć sumę szeregu Szereg 9 sum jest rów (- 4) ( 4) - 4 Szereg jest szeregiem geometryczym: 9 4 9 4 jest rów 4 9 Wykorzystując twierdzeie mmy: ( 4) jest szeregiem geometryczym:, q, którego 4 4 9 6 4 4, q i jego sum 9 9 Nstępe twierdzeie podkreśl fkt wyikjący wprost z defiicji szeregu zbieżego, że początkowe wyrzy szeregu (dowol le skończo ich ilość) ie mją wpływu jego zbieżość Twierdzei 4 Szeregi i k mją tę smą turę, tz obydw są zbieże lub obydw rozbieże, przy czym, jeśli te szeregi są zbieże to k k Wiosek Szeregi, które różią się tylko skończoą liczbą wyrzów mją tę smą turę Szeregi o wyrzch ieujemych T grup szeregów m tką włsość, że ciąg sum częściowych tkiego szeregu jest ciągiem iemlejącym, więc do wykzi zbieżości tego szeregu wystrczy udowodić ogriczoość jego ciągu sum częściowych (RT8) Stro 4
SZEREGI LICZBOWE Podmy terz kilk twierdzeń, które określją wruki wystrczjące zbieżości szeregu Tego typu twierdzei zywć będziemy kryterimi zbieżości Twierdzeie 5 (kryterium porówwcze) () N : b i b < ( < ) (Kryterium porówwcze dl szeregów zbieżych) (b) N : b i b ( ) (Kryterium porówwcze dl szeregów rozbieżych) Dowód Udowodimy tylko kryterium porówwcze dl szeregów zbieżych, bo dowód części (b) jest podoby Z wiosku do twierdzei 4 wyik, że tury obydwu szeregów ie zmieią się, jeżeli złożeie : N : b zstąpimy złożeiem : N : b Niech (s ) będzie ciągiem sum częściowych szeregu b, (σ ) - ciągiem sum częściowych szeregu Oczywiste są ierówości : Poiewż szereg b jest zbieży, więc istieje lim s s σ s Ciąg (σ ) jest więc ogriczoy, poiewż s jest rosący (wyrzy są ieujeme), wyik stąd (RT8), że ciąg (σ ) jest zbieży, co ozcz, że szereg jest zbieży Przykłd 4 Stosując powyższe kryterium łtwo moż wykzć rozbieżość szeregu Dirichlet dl α Mmy bowiem : N : α, jeśli tylko α Szereg hrmoiczy jest rozbieży, więc mocy kryterium porówwczego dl szeregów rozbieżych (Tw5(b)), szereg α jest rozbieży dl α Jeśli α, to N :, szereg α ( ) ( ) jest ( ) zbieży (ptrz P), więc mocy kryterium porówwczego dl szeregów zbieżych (RT5()), szereg α jest zbieży dl α Zbieżość szeregu Dirichlet dl α (,) udowodimy późiej stosując ie kryterium Przykłd 5 5 4 8 Zbdć zbieżość szeregu 8 5( 7 9) Do zbdi zbieżości tego szeregu zstosujemy kryterium dl szeregów zbieżych Oczywiste jest stępujące oszcowie dl dowolej liczby turlej : 5 4 8 5 4 8 7 7 8 5( 7 9) 8 5( 7 9) 8 7 7 Szereg Tw 4 jest zbieży jko szereg Dirichlet przy α > Stro 5
ROZDZIAŁ II Tk więc mocy kryterium porówwczego (T5()), szereg zbieży 5 8 5 4 8 ( 7 9) jest Szeregi liczbowe rzeczywiste o wyrzch dowolych Bdie zbieżości szeregu o wyrzch dowolych zczymy zwsze od bdi szeregu, który jest już szeregiem o wyrzch ieujemych Jeżeli szereg jest zbieży, to mówimy wtedy, że szereg jest bezwzględie zbieży Zbieżość bezwzględ jest mociejsz iż zbieżość szeregu, bo mmy stępujące Twierdzeie 6 ( < ) ( < ) Szereg bezwzględie zbieży jest zbieży Przykłd 6 Zbdć zbieżość szeregu: 4 8 6 64 Szereg wrtości bezwzględych tego szeregu m postć : Jest to szereg geometryczy (, q ) zbieży, ztem dy szereg jest bezwzględie zbieży Twierdzeie 7 (kryterium Cuchy ego) Jeżeli ciąg ( ) jest zbieży i jego gric jest rów µ, to: () jeśli µ <, to szereg jest bezwzględie zbieży ; (b) jeśli µ >, to szereg jest rozbieży Dowód () lim µ < N : < λ ε q < N : < q < Ostti implikcj wyik z kryterium porówwczego (RT5()) z uwgi to, że szereg geometryczy q jest zbieży (q < ) (b) lim N : µ > N : > λ ε q > > lim Ostti implikcj wyik z wruku koieczego zbieżości szeregu (W) Stro 6
SZEREGI LICZBOWE Podobie dowodzi się stępe kryterium Twierdzeie (kryterium d Alembert) Jeżeli ciąg jest zbieży i jego gric jest rów λ, to: () jeśli λ <, to szereg jest bezwzględie zbieży ; (b) jeśli λ >, to szereg jest rozbieży Uwg Jeżeli w kryterich d Alembert lub Cuchy ego gric odpowiediego ciągu jest rów, to bdy szereg może być zbieży lub rozbieży ( w tym przypdku kryterium ie rozstrzyg zbieżości szeregu) N przykłd dl szeregów : i odpowiedie grice są rówe, le pierwszy szereg jest rozbieży, drugi zbieży Uwg Kryterium Cuch ego jest mociejsze od kryterium d Alembert, bo prwdziw jest stępując implikcj: ( lim µ ) ( lim µ ) Przykłd 7 Zbdć zbieżość szeregów: (), (b) ( )!, (c) ( ) () Stosując kryterium Cuchy ego, otrzymmy : lim lim lim, ptrz RP5 <, tk więc szereg jest zbieży (b) Stosując kryterium d Alembert, otrzymmy : lim lim ( )! lim ( )!( )( ) ( ) ( ) ( )! lim i miowik kżdego ułmk przez lim ( ) 4 8 4 [( ) ] ( ) lim ( ) ( )! dzielimy liczik lim e,! ptrz RP9 e (c) Wyrzy tego szeregu ie są dodtie, bdmy więc szereg wrtości bezwzględych ( ) stosując kryterium d Alembert lim ( ) lim 8 >, tk więc szereg ( ) ( ) lim ( ) ( ) Stro 7
ROZDZIAŁ II Gric t ie istieje, bo ciąg (b ), gdzie b skupiei ( RW) Rzeczywiście: lim b lim lim b lim ( ) ( ) ( ) - ( ) jest to ciąg stły ( ) ( ) 4 4 4 jest to ciąg stły m dw pukty Brk gricy lim wyklucz stosowie kryterium d Alembert W tym przypdku jedk moż zstosowć mociejsze kryterium Cuchy ego (U) ( ) Obliczmy lim lim Stosujemy twierdzeie o trzech ciągch (RT7) : N: ( ) 4, orz lim i lim 4 (RP6), stąd lim i mocy kryterium Cuchy ego szereg Szeregi przemiee ( ) ( ) Szeregiem przemieym zywmy szereg postci ( ) < jest bezwzględie zbieży, jeżeli N: > W przypdku, gdy szereg przemiey ie jest bezwzględie zbieży, moż zbdć jego zbieżość stosując stępujące kryterium: Twierdzeie 9 (kryterium Leibiz) Jeżeli ciąg ( ) jest mlejący i lim, to szereg przemiey ( ) zbieży jest Dowód Rozptrzmy dw podciągi (s ) i (s ) ciągu sum częściowych (s ) szeregu ( ) Podciąg (s ) jest rosący, bo s ( - ) ( 4 ) ( 5 6 ) ( - ) i z złożei > Poiewż s ( ) ( 4 5 ) ( ), więc ciąg (s ) jest mlejący Obydw ciągi są ogriczoe, bo < s s < s < Stro 8
SZEREGI LICZBOWE Z twierdzei 8(R) wyik, że podciągi te są zbieże, przy czym lim s lim s, bo s s i lim ( ( ) jest podciągiem ciągu ( ), m więc tką smą gricę jk ciąg ( ) R,T ) Wyik stąd zbieżość ciągu (s ), czyli zbieżość szeregu ( ) Z ierówości występującej w dowodzie twierdzei wyik Wiosek Sum szeregu przemieego ( ) (, ) Wyzczymy terz -tą resztę szeregu przemieego ( ) jest liczbą z przedziłu r s s () () () () ( ) () [ ( ) ] Poiewż ciąg ( ) jest rosący, wyik z powyższych rówości stępujący ( ) Wiosek 4 N-t reszt szeregu przemieego r s s < spełi wruek: Przykłd 8 ( ) Zbdć zbieżość szeregu hrmoiczego Szereg te ie jest bezwzględie zbieży, bo ( ) (szereg hrmoiczy) Ciąg jest mlejący i lim, ztem mocy kryterium Leibiz, szereg ( ) jest zbieży Szereg zbieży, który ie jest bezwzględie zbieży zywmy szeregiem wrukowo zbieżym Uwg Stwierdzeie bezwzględej zbieżości szeregu jest mocym stwierdzeiem, które pozwl p przestwić wyrzy szeregu w sposób dowoly i tkie przestwieie wyrzów ie zmiei sumy szeregu W szeregu wrukowo zbieżym tk opercj jest iedozwolo, bo przestwieie wyrzów w tkim szeregu może zmieić sumę go szeregu, co zilustrujemy ( ) przykłdzie szeregu hrmoiczego Niech s będzie sumą tego szeregu : s Zgodie z wioskiem 4 5 6 sum s jest liczbą z przedziłu, Zmieńmy terz kolejość wyrzów w tym szeregu: Stro 9
ROZDZIAŁ II Stro { 8 6 4 ( ) ( ) 44 4 4 4 poiewż ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 4 ( 6 5 4 ) s Tk więc przestwieie wyrzów w tym szeregu spowodowło zmię sumy tego szeregu Przykłd 9 Zbdć zbieżość szeregu ( ) ( ) 6 Bdmy zbieżość bezwzględą tego szeregu : ( ) ( ) 6 6 Zstosujemy kryterium porówwcze dl szeregów rozbieżych ( gric w kryterium kryterium d Alembert lub Cuchy ego jest rów ) : Wykorzystując rówość: b b b mmy dl kżdego turlego stępujące oszcowie: 6 6 6 6 6 Szereg jest rozbieży (szereg hrmoiczy ), ztem mocy kryterium porówwczego szereg 6 jest rozbieży, czyli szereg ( ) ( ) 6 ie jest bezwzględie zbieży Zstosujemy kryterium Leibiz, by sprwdzić zbieżość szeregu ( ) ( ) 6 Ciąg ( 6 ) jest zbieży i ( ) 6 lim( ) 6 lim Wykżemy, że ciąg ( ), gdzie 6 6 jest mlejący Dl kżdego turlego, biorąc pod uwgę, że ułmek o licziku miejszym od miowik jest miejszy od, możemy pisć ierówość:, 6 4 9 4 6 6 : ) ( ) ( 6 ) ( ) ( <
SZEREGI LICZBOWE czyli <, więc ciąg ( ) jest mlejący Spełioe są złożei twierdzei Leibiz, ztem szereg ( ) ( ) zbieży Jest to oczywiście zbieżość wrukow, bo szereg te ie jest bezwzględie zbieży jest Stro
ROZDZIAŁ II Ćwiczei Wyzczyć sumę szeregu: ) 4, b), c) ( )( ) ( ) d) l, e) ( ) Zbdć zbieżość szeregu: ( ) 4 5, ) si, b) tg, c) 5 si tg, d), 7 4 e), f) ( 4 ) 7 5, g), h) 5 7 4 l Zbdć zbieżość szeregu: 5 (!) ) ()! f) rcsi, g)!( )!, b) ()! cos, c) 5 ( ) 6 4, h) 5 45, e) 5, 4 Wykorzystując zbieżość odpowiediego szeregu, wyzczyć gricę ciągu ( ), jeżeli: (!) ), b), c) ()! ()!! 5 Wykorzystując uwgę, wyzczyć gricę ciągu: lim 6 Zbdć zbieżość szeregów: si( ) ) 7 Zbdć zbieżość szeregów: ( ), b) ( ) cos cos, c) rctg ) ( ), b) ( ), c) ( ), 5 6 l d) ( ) ( l ), e) ( ), f) (cos π)tg 8 Wyzczyć liczbę wyrzów dego szeregu, którą leży zsumowć, by otrzymć sumę szeregu z dokłdością, jeżeli: - - ) ( ), b) ( ), c) ( )! ( )!5 Stro
III Gric i cigłość odwzorowń
ROZDZIAŁ III W rozdzile VII pierwszej części skryptu określo zostł kul, sfer, otoczeie i sąsiedztwo puktu w przestrzei metryczej Zuwżmy, że w zbiorze liczb rzeczywistych z metryką turlą otoczeie U(,δ) puktu m postć: { R: δ < < δ } ( δ, δ ), sąsiedztwo N(,δ) tego puktu m postć: ( δ, ) (, δ ) Wprowdzimy terz kilk podstwowych pojęć przydtych w defiiowiu pojęć lizy mtemtyczej Niech ( Ω,d) będzie dowolą przestrzeią metryczą Puktem wewętrzym zbioru A Ω zywmy tki pukt p A, dl którego istieje otoczeie U(p,δ) A Zbiór wszystkich puktów wewętrzych zbioru A zywmy wętrzem tego zbioru i ozczmy A lub ita Zbiór A, którego wszystkie pukty są jego puktmi wewętrzymi (wtedy A A ) zywmy zbiorem otwrtym w przestrzei Ω Zbiór A zywmy zbiorem domkiętym w przestrzei Ω, jeżeli jego dopełieie A Ω \ A jest zbiorem otwrtym w tej przestrzei Przykłd Przykłdy zbiorów otwrtych i domkiętych w przestrzei metryczej (Ω,d) () Kul domkięt B(p,r) {p Ω: d(p,p) r} jest zbiorem domkiętym w Ω; (b) Zbiór jedopuktowy jest zbiorem domkiętym; (c) W zbiorze R liczb rzeczywistych z metryką turlą przedziły otwrte włściwe ( (,b) ) lub iewłściwe ( (,), (, ) ) są zbiormi otwrtymi, zś przedziły domkięte włściwe ( [,b] ) lub iewłściwe ( (,], [, ) ) są zbiormi domkiętymi Twierdzeie W przestrzei metryczej (Ω,d) zchodzą stępujące włsości: () Zbiór pusty i cł przestrzeń Ω są otwrte; () Zbiór pusty i cł przestrzeń Ω są domkięte; () Ui dowolej ilości zbiorów otwrtych jest zbiorem otwrtym; (4) Ui skończoej ilości zbiorów domkiętych jest zbiorem domkiętym; (5) Przekrój dowolej ilości zbiorów domkiętych jest zbiorem domkiętym; (6) Przekrój skończoej ilości zbiorów otwrtych jest zbiorem otwrtym Stro 4
GRANICA I CIAGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ Zbiory domkięte moż schrkteryzowć z pomocą gricy ciągu Twierdzeie A jest zbiorem domkiętym wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego zbieżego ciągu ( ) puktów tego zbioru, gric tego ciągu jest tkże elemetem zbioru A Dowód (ie wprost) Złóżmy, że istieje tki zbieży ciąg ( ) puktów zbioru A, którego gric A Wyik stąd, że pukt leży do zbioru A Ω \ A, który jest otwrty Z defiicji zbioru otwrtego wyik, że rzem z puktem w zbiorze A zwier się pewe otoczeie tego puktu Z defiicji gricy ciągu wyik, że otoczeie to zwier prwie wszystkie wyrzy ciągu ( ), co jest sprzecze z złożeiem, że wszystkie wyrzy tego ciągu są elemetmi zbioru A Puktem brzegowym zbioru A zywmy tki pukt, w którego kżdym otoczeiu zjdują się zrówo elemety zbioru A jk i elemety ie leżące do tego zbioru Zbiór puktów brzegowych zbioru A zywmy brzegiem zbioru A i ozczmy A Zbiór otwrty A wrz ze swoim brzegiem jest zbiorem domkiętym, czyli dl A otwrtego mmy: A A A Niech f : A B będzie odwzorowiem określoym podzbiorze otwrtym A przestrzei metryczej (Ω, d ) o wrtościch w podzbiorze B przestrzei metryczej (Ω,d ) Podmy defiicje gricy odwzorowi Defiicj Heiego Mówimy, że odwzorowie f m w pukcie p A gricę q B, co zpisujemy w postci lim f ( p) q lub lim f ( p) q, jeżeli dl kżdego ciągu (p ) p p elemetów zbioru A \{p } zchodzi implikcj: ( lim p p ) ( lim f(p ) q ) p Defiicj Cuchy ego Mówimy, że odwzorowie f m w pukcie p A gricę q B wtedy i tylko wtedy, gdy ε> δ> p A: < d (p,p ) < δ d ( f(p), q) < ε lbo krócej: ε> δ> p N (p,δ) A: f(p) U(q,ε) Dl fukcji rzeczywistej jedej zmieej rzeczywistej (f : R R ) defiicj t przybier stępującą postć, gdy przyjmiemy w R metrykę turlą Defiicj Cuchy ego Mówimy, że odwzorowie f m w pukcie R gricę y R wtedy i tylko wtedy, gdy ε> δ> R: < < δ f() y < ε lbo krócej: Stro 5
ROZDZIAŁ III ε> δ> N (,δ) R: f() U(y,ε) Twierdzeie Defiicj Heiego Defiicj Cuchy,ego Defiicj Heiego pozwl zstosowie do obliczi gric fukcji zych twierdzeń dl ciągów Przykłd Obliczyć: lim f(, y) (,), gdy f: R R i f(,y) (y, y, y) Niech (p ) będzie tkim ciągiem, że p (,y ) (,) dl kżdego turlego i lim p lim (,y ) (,), wtedy stosując Uwgę z Wykłdu 5 i twierdzeie 4 z Wykłdu 5 mmy: lim f(, y) lim( (y ), y, y ) (,) ( lim (y ), lim ( y ), lim ( y )) (4,,5) Przykłd π Wykzć, że ie istieje lim si Wykorzystmy defiicję Heiego: weźmy ciąg ( ) tki, że, wtedy f( ) si π (ciąg stły), iech terz (y ) będzie ciągiem tkim, π że y, wtedy f(y ) si ( π ) (ciąg stły) Otrzymliśmy sprzeczość z defiicją Heiego, czyli gric t ie istieje Podmy terz kilk szczególych gric związych z obliczymi już gricmi ciągów Przykłd 4 Pewe szczególe grice: si sif () lim, lim ( ) f (b) f lim ( ) α f() ( ) ( ) f, f() e α, g ( ) f lim ( ) tgf f h ( αg() )g() lim ( ) ( ) e α Odwzorowi ciągłe Jeżeli w defiicji Heiego lub w defiicji Cuchy ego gricy odwzorowi przyjmiemy q f(p ), otrzymmy defiicję ciągłości odwzorowi f w pukcie Defiicj Heiego Mówimy, że odwzorowie f jest ciągłe w pukcie p A, jeżeli dl kżdego ciągu (p ) elemetów zbioru A zchodzi implikcj: ( lim p p ) ( lim f(p ) f(p ) ) Stro 6
GRANICA I CIAGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ Defiicj Cuchy ego Mówimy, że odwzorowie f jest ciągłe w pukcie p A wtedy i tylko wtedy, gdy ε> δ> p A: d (p,p ) < δ d ( f(p), f(p )) < ε, lbo krócej: ε> δ> p U(p,δ) A: f(p) U(f(p ),ε) Wiosek Odwzorowie f jest ciągłe w pukcie p A, jeżeli spełioe są wruki: () odwzorowie f jest określoe w pukcie p ; lim f p ; () istieje gric ( ) () lim f ( p) p f(p ) p Jeżeli odwzorowie f jest ciągłe w kżdym pukcie zbioru otwrtego A, to zywmy je ciągłym zbiorze A Ciągłość odwzorowi zbiorze domkiętym A A A ozcz jego ciągłość zbiorze otwrtym A orz spełieie wruku: p Α (p ) (p A limp p ) ( limf(p ) f(p ) ) Zdie: fukcj f jest ciągł zbiorze A zpisujemy krótko f C(A), czyli zbiór fukcji ciągłych w kżdym pukcie zbioru A ozczmy C(A) Przykłd 5 Wykzć, że fukcj f, gdzie f(,y) w pukcie (,), y y, gdy (, y) gdy (, y) Poiewż f(,), więc leży wyzczyć gricę : p ( α, (,) (,) lim (,) α ) i α R jest stłą dowolą Wtedy f(p ) α ieskończeie wiele puktów skupiei, czyli jest ciągł w pukcie (,) Twierdzeie 4 lim (,) Jeżeli odwzorowie f: A B m gricę w pukcie p : lim f ( p) y y ie jest ciągł odwzorowie g: B C jest ciągłe w pukcie q, to lim( g f )( p) p y y Weźmy ciąg (p ), gdzie i (f(p )) jest ciągiem, który m ie istieje, ztem fukcj f ie p q B, o g(q ) Stro 7
ROZDZIAŁ III Wiosek Superpozycj odwzorowń ciągłych jest odwzorowiem ciągłym Uwg Tezę twierdzei 4 moż zpisć w postci: lim g[f ( p)] ozcz, że z gricą moż wejść do rgumetu odwzorowi ciągłego p g[ lim f ( p) p ], co Przykłd 6 si Wyzczyć gricę: lim Poiewż fukcj pierwistkow jest ciągł, więc zgodie z uwgą do twierdzei 4 mmy: si si lim lim W przypdku, gdy f jest fukcjołem rzeczywistym, moż określić tzw grice iewłściwe Fukcjoł f: Α R m w pukcie p gricę iewłściwą ( odpowiedio ), jeżeli dl kżdego ciągu (p ) elemetów zbioru A \{p } zchodzi implikcj: ( lim p p ) ( lim f(p ) ) (odpowiedio lim f(p ) ) Przykłd 7 Gric y lim e, poiewż ( y ) (,) lim i (,) lim (,) y Jeżeli odwzorowie f jest fukcjołem rzeczywistym (tz f: A R ), to z uwgi defiicję Heiego gricy odwzorowi możemy sformułowć twierdzei logicze do tych przedstwioych dl ciągów (R,T4,T5) Twierdzeie 5 Jeżeli fukcjoły: f: A R i g: A R mją grice w pukcie p A, to istieją rówież grice sumy, różicy, iloczyu i ilorzu tych fukcjołów i zchodzą rówości: lim f g p lim f p lim g p ; () ( )( ) ( ) ( ) p p p (b) lim( f g)( p) lim f ( p) lim g( p) ; p p p (c) lim( f g)( p) lim f ( p) lim g( p) ; p p p (d) lim( f / g)( p) lim f ( p) / lim g( p), o ile lim g( p) p p p p Stro 8
GRANICA I CIAGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ Prostym wioskiem z twierdzei 5 po uwzględieiu defiicji ciągłości fukcji jest stępujące twierdzeie Twierdzeie 6 ( f, g C(A) ) ( fg, fg, f g C(A) f/g C( A \ g () ) Uogólieiem twierdzeń dl ciągów: o zchowiu ierówości (R,T7) i o trzech ciągch (R,T8), przypdek fukcji, są stępujące twierdzei Twierdzeie 7 ( o zchowiu ierówości w gricy) Jeżeli fukcjoły: f: A R i g: A R mją grice w pukcie p A i istieje tkie sąsiedztwo N(p,δ) A puktu p, że: to p N(p,δ): f(p) g(p), lim f ( p) lim g( p) p p Twierdzeie 8 (o trzech fukcjołch) Jeżeli fukcjoły: f: A R, g: A R i h: A R spełiją w pewym sąsiedztwie N(p,δ) A puktu p wruek: p N(p,δ): f(p) g(p) h(p), orz lim f ( p) lim h( p), p p to istieje gric lim g( p) p i lim g( p) p Przykłd 8 Wyzczyć gricę: lim si Oczywist jest ierówość: R: si (fukcj sius jest ogriczo), poiewż lim lim( ), więc z twierdzei 8 wyik, że lim si Stro 9
ROZDZIAŁ III Metod przedstwio w powyższym przykłdzie może być uogólio Wiosek 4 Jeżeli fukcjoł: f: A R jest ogriczoy w pewym sąsiedztwie N(p,δ) A puktu p, tz M> p N(p,δ): f(p) M, zś fukcjoł g: A R m gricę w pukcie p rówą zeru, wtedy istieje gric lim f ( p) g( p) i lim f ( p) g( p) p p Fukcje rzeczywiste jedej zmieej rzeczywistej W przypdku, gdy dziedzi X fukcji f jest podzbiorem zbioru R ( f : X R ), to możemy wprowdzić pojęcie gricy jedostroej i ciągłości jedostroej Zmist sąsiedztw puktu leży wziąć lewostroe sąsiedztwo puktu : N (,δ) { R: δ<< } lub prwostroe sąsiedztwo puktu : N (,δ) { R: << δ} Fukcj f m w pukcie gricę lewostroą rówą g, co ozczmy przez ( ) g jeżeli: ε> δ> N (,δ) X: f() U(g,ε) lim f, Fukcj f m w pukcie gricę prwostroą rówą g, co ozczmy przez ( ) g jeżeli: ε> δ> N(,δ) X: f() U(g,ε) Fukcj f jest lewostroie ciągł w pukcie, jeżeli f ( ) f ( ) lim Fukcj f jest prwostroie ciągł w pukcie, jeżeli f ( ) f ( ) lim lim f, Z powyższych defiicji i defiicji gricy fukcji wyik stępujące twierdzeie Twierdzeie 9 Fukcj f: X R, gdzie X R jest zbiorem otwrtym, m gricę w pukcie X, wtedy i tylko wtedy, gdy istieją obydwie grice jedostroe fukcji f w pukcie i są sobie rówe Wiosek 5 Fukcj f jest ciągł w pukcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym pukcie lewostroie i prwostroie ciągł Stro 4
GRANICA I CIAGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ Określimy terz dw rodzje puktów ieciągłości Pukt jest puktem ieciągłości I rodzju fukcji f, jeżeli istieją obie grice jedostroe w pukcie o i co jmiej jed z ich jest róż od f( ) W przeciwym przypdku pukt ieciągłości zywmy puktem ieciągłości II rodzju Przykłd 9 Zbdć rodzj ieciągłości w pukcie fukcji f, jeżeli f() rctg dl i f() π Poiewż lim rctg rodzju i lim rctg π, więc jest puktem ieciągłości I Przykłd, gdy Q Zbdć ciągłość fukcji Dirichlet D(), gdy Q Niech Q, weźmy dw ciągi : ( ), gdzie (wyrzy tego ciągu są liczbmi wymierymi) i (y ), gdzie y (wyrzy tegi ciągu są liczbmi iewymierymi), które są zbieże do Wtedy ciąg (D( )) jest ciągiem stłym i m gricę rówą, ciąg (D(y )) jest ciągiem stłym i m gricę rówą Z defiicji Heiego wyik, że fukcj D ie m gricy w pukcie Q Niech terz y Q, rozwżmy dw ciągi : (r ), gdzie r y (wyrzy tego ciągu są liczbmi iewymierymi) i (s ) ciąg kolejych przybliżeń dziesiętych liczby y (wyrzy tego ciągu są liczbmi wymierymi), które są zbieże do y Wtedy ciąg (D(r )) jest ciągiem stłym i m gricę rówą, ciąg (D(s )) jest ciągiem stłym i m gricę rówą Z defiicji Heiego wyik, że fukcj D ie m gricy w pukcie y Q Fukcj Dirichlet jest przykłdem fukcji, któr jest ieciągł (ieciągłość II rodzju) w kżdym pukcie swojej dziedziy Grice w i w określimy wykorzystując defiicję Heiego gricy fukcji ( ) g lim f ( ) g lim f ( ): : lim f( ) g ( ): : limf( ) g Z pojęciem gricy związe jest pojęcie symptoty wykresu fukcji Prost o rówiu y b jest symptotą ukośą jedostroą (dwustroą) wykresu fukcji f, jeżeli zchodzi jed (zchodzą obie) z stępujących rówości: l im[ f ( ) b ] lub l im[ f ( ) b ] W przypdku, gdy symptotę ukośą zywmy symptotą poziomą Stro 4
ROZDZIAŁ III Z defiicji tej wyik tychmist sposób obliczi stłych i b Mmy miowicie p dl symptoty w mius ieskończoości: lim [ f ( ) b ] [ f ( ) b ] lim f ( ) b b lim, stąd z uwgi to, że lim otrzymmy: f ( ) lim i b [ f ( ) ] lim Asymptotą pioową wykresu fukcji f zywmy prostą prostopdłą do osi OX w pukcie (prostą o rówiu ), jeżeli fukcj f m w pukcie jedostroą lub obustroą gricę iewłściwą (tz jeśli lim f ( ) lub lim f ( ) ) Przykłd Wyzczyć symptoty ukośe wykresu fukcji f, jeżeli f() rctg f ( ) lim r ctg rctg lim fukcj rctg jest ogriczo, więc lim, tk więc π b lim[ f ( ) ] lim ( rctg), π b lim[ f ( ) ] lim ( rctg) π D fukcj m więc dwie symptoty ukośe: jedą o rówiu y (symptot π ukoś w mius ieskończoości), drugą o rówiu y (symptot ukoś w plus ieskończoości) Fukcje elemetre Podstwowe fukcje elemetre w puktch, w których są określoe jedej zmieej rzeczywistej są fukcjmi ciągłymi Wielomiy dl kżdego R Stro 4
GRANICA I CIAGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ Fukcje pierwistkowe (jko odwrote do fukcji potęgowej), gdy stopień pierwistk jest liczbą ieprzystą kżdego R, gdy stopień pierwistk jest liczbą przystą dl kżdego Fukcje wymiere w puktch leżących do dziedziy Fukcje trygoometrycze si i cos dl kżdego R Stro 4
ROZDZIAŁ III Fukcje trygoometrycze tg i ctg w puktch, leżących do dziedziy Fukcje cyklometrycze (kołowe) rcsi i rccos (jko odwrote do fukcji si i cos) dl Fukcje cyklometrycze (kołowe) rctg i rcctg (jko odwrote do fukcji tg i ctg) dl kżdego R Stro 44
GRANICA I CIAGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ Fukcje wykłdicze postci y (>, ) dl kżdego R Fukcje logrytmicze postci y log (>, ) jko odwrote do fukcji wykłdiczych dl kżdego > Wśród fukcji wykłdiczych specjlą uwgę zsługuje fukcj o podstwie e (stł Euler), przy pomocy której opisuje się wiele procesów techiczych, zjwisk fizyczych i procesów ekoomiczych Fukcję wykłdiczą e zywmy fukcją ekspoecjlą i ozczmy symbolem ep Z uwgi 7 rozdziłu wyik, że fukcj t może być zdefiiow wzorem: ep e lim Fukcję odwrotą do fukcji ekspoecjlej zywmy logrytmem turlym i ozczmy symbolem l Stro 45
ROZDZIAŁ III Z pomocą fukcji ekspoecjlej określimy ową klsę fukcji elemetrych fukcje hiperbolicze, których włsości są podobe do włsości fukcji trygoometryczych Fukcje te to: sius hiperboliczy sh kżdego R), e e (ciągł dl e cosius hiperboliczy ch (ciągł dl kżdego R), e tges hiperboliczy th kżdego R), sh ch (ciągł dl ch cotges hiperboliczy cth sh (ciągł dl kżdego ) Łtwo wykzć stępujące tożsmości, które zchodzą dl kżdego,y R: sh( y) sh chy ch shy, sh( y) sh chy ch shy, ch( y) ch chy sh shy, ch( y) ch chy sh shy Stro 46
GRANICA I CIAGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ W szczególości, jeśli y, otrzymujemy dl kżdego R: sh sh ch, ch ch sh, ch sh Sposób wyzczi fukcji odwrotych do fukcji hiperboliczych (fukcje re) przedstwimy przykłdzie fukcji sh (fukcj odwrot to resius hiperboliczy, który ozczmy rsh) Z defiicji fukcji odwrotej i określei fukcji sh mmy dl kżdego R: e y e y y y rsh shy e y y y ( e ) e e mmy rówie kwdrtowe z 4( ) i e y > e y y l( ), stąd rsh l( ) Jest to oczywiście fukcj ciągł dl kżdego R Włsości fukcji ciągłych Podmy terz kilk owych włsości fukcji ciągłych ogriczjąc się z dziedzią fukcji do podzbiorów zbioru R lub R Twierdzeie (o zchowiu zku przez fukcję ciągłą) Jeżeli fukcj f: X R jest ciągł w pukcie X R, to prwdziwe są implikcje: () ( f( ) > ) ( δ> X U(,δ): f() > ) ; (b) ( f( ) < ) ( δ> X U(,δ): f() < ) Dowód Przeprowdzimy dowód implikcji () Fukcj f jest ciągł w pukcie, więc prwdziwe jest stępujące zdie: ε> δ> U(,δ) X: f() U(f( ),ε) Zpiszmy zdie f() U(f( ),ε) w iej postci: f() U(f( ),ε) f() f( ) < ε f( ) ε < f() < f( ) ε Przyjmijmy terz ε f( ) >, dl tk wybrego ε prwdziwe jest zdie: δ> U(,δ) X: < f() < f( ), co kończy dowód implikcji () Przykłd Wykzć, że istieje tkie otoczeie puktu, że zchodzi ierówość: rsh > l() Fukcj g postci: g() rsh l() jest ciągł dl > jko różic fukcji ciągłych Poiewż g() rsh l l( ) l l >, więc z twierdzei () wyik, że istieje tkie otoczeie puktu, w którym g() >, czyli rsh > l() Stro 47
ROZDZIAŁ III Twierdzeie (Bolzo-Cuchy ego) ( f C([,b]) f() f(b) < ) ( (,b) : f( ) ) Uwg Z twierdzei tego wyik prost metod przybliżoego wyzczi pierwistków rówi f() w przedzile [,b] W kżdym kroku dzielimy kolejy przedził połowy i wybiermy te podprzedził, który spełi złożeie: f()f(b) < (jeśli jede z krńców przedziłu będzie już pierwistkiem rówi, procedurę przerywmy) Po krokch b otrzymmy podprzedził o długości, w którym zjduje się pierwistek rówi Dl dostteczie dużych, podprzedził te będzie mił dowolie młą długość, czyli pierwistek te może być wyzczoy z dowolą dokłdością Przykłd Z dokłdością do 5 wyzczyć w przedzile (,) pierwistek rówi: 5 4 8 Niech f() 5 4 8, będzie poszukiwym pierwistkiem, wtedy z twierdzei wyikją stępujące implikcje: ( f() 6 < i f() > ) (,) ; ( f() 6 < i f( ) 8 5 > ) (, ) ; 5 7 5 5 ( f( ) < i f( ) > ) (, ) ; 4 64 8 4 74 5 ( f( ) < i f( ) > ) (, ) 8 5 8 8 Przedził (, ) m długość, więc przyjmując środek tego przedziłu jko przybliżeie 8 8 pierwistk, otrzymmy: 475 z błędem mksymlym 65 6 6 Fukcj f:[,b] R m włsość Drbou, gdy:, [,b] y R: ( y leży między f( ) i f( ) ) ( (,, ): f( ) y ) (jeśli fukcj przyjmuje dwie wrtości, to przyjmuje wszystkie wrtości pośredie leżące między tymi wrtościmi) Twierdzeie (Drbou) Jeżeli f C([,b]) f m włsość Drbou w przedzile [,b] Dowód Niech, [,b] i f( ) < y < f( ) (jeśli f( ) < y < f( ), to dowód przebieg logiczie) Fukcj g określo wzorem g() f() y jest ciągł w przedzile [, ] jko różic fukcji ciągłych Poiewż g( ) f( ) y > i g( ) f( ) y <, więc mocy twierdzei istieje tkie (, ), że g( ) f( ) y, to ozcz, że istieje tkie (, ), że f( ) y Stro 48
GRANICA I CIAGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ Twierdzeie (Weierstrss) Jeżeli fukcj f: X R jest ciągł iepustym, domkiętym i ogriczoym zbiorze X R, to osiąg w tym zbiorze swoje kresy, tz istieją tkie pukty, X, że: f( ) if f() i f( ) sup f() X X Łuk zwykły i krzyw w R Niech odwzorowie Φ : [α,β] R będzie ciągłe, i odwzorowie odwrote Φ będzie tkże ciągłe (tkie odwzorowie zyw się homeomorfizmem) Obrz przedziłu [α,β] przy odwzorowiu homeomorficzym, czyli zbiór Γ Φ([α,β]) zywmy łukiem zwykłym w R Związek: Φ(t), t [α,β] zywmy opisem prmetryczym (rówimi prmetryczymi) łuku zwykłego w postci wektorowej, który po przepisiu współrzęde przyjmie formę opisu prmetryczego (rówń prmetryczych) w postci sklrej dl t [α,β]: ϕ(t), ϕ (t), Γ : ϕ (t) Pukt Φ(α) zywmy początkiem łuku, pukt Φ(β) końcem tego łuku Jeżeli dl dowolych t, t [α,β] zchodzi implikcj : t t Φ(t ) Φ(t ), to łuk zwykły zywmy łukiem Jord Uię skończoej liczby łuków Jord, których puktmi wspólymi kżdych dwóch kolejych są ich końce zywmy krzywą Jord (lbo krzywą) ϕ(t), Opis prmetryczy płskiego () łuku zwykłego Γ będziemy pisć w postci: y ψ(t) Uwg Jeżeli fukcj f: [α,β] R jest ciągł i y f(), to rówi prmetrycze t, są rówimi prmetryczymi łuku zwykłego, który moż przedstwić w postci jwej: y f(t) yf() Uwg 4 T sm krzyw (łuk zwykły) może mieć wiele różych prmetryzcji Jko przykłd podmy kilk prmetryzcji półokręgu Γ o środku w pukcie (,) i promieiu leżącego w górej półpłszczyźie: cost, () Γ: t [,π] ; y sit, Stro 49
ROZDZIAŁ III (b) Γ: (c) Γ: (d) Γ: cost, π t y sit,, ; t, t [,] ; y - t, t, t t [,] t y, t Stro 5
GRANICA I CIAGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ Ćwiczei N podstwie defiicji Cuchy ego gricy fukcji, wykzć, że: ) lim, b) Wyzczyć grice: lim 5 si ) lim, b) lim, c) lim, 4 rctg d) lim ( π ), e) lim ( 5 ), f) lim ( ) tg, e cos g) lim, h) lim ( th ), i) lim e Zbdć ciągłość fukcji f, jeżeli:, gdy <, π cos, gdy, ) f() ( ), gdy, b) f(), gdy >,, gdy > 4 Dl jkiej wrtości R fukcj f jest ciągł, jeżeli: si rctg,,,, ) f() b) f(),,, 5 Wyzczyć pukty ieciągłości fukcji f i określić ich rodzj, jeżeli: ) f() rctg, gdy i f(), b) f(), gdy i f(), - e c) f() f(), gdy R \ {, },, gdy {, } 6 Podć przykłd dwóch fukcji ieciągłych, których: ) sum, b) iloczy, jest fukcją ciągłą 7 Wyzczyć symptoty wykresu fukcji f, jeżeli: ) f(), b) f() ( ), c) f() - e 8 Wykzć, że rówie m w przedzile [,] pierwistek rzeczywisty Wyzczyć przedził o długości 5, w którym zwrty jest te pierwistek 9 Wykzć, że dowoly wielomi zmieej rzeczywistej W stopi ieprzystego m co jmiej jede pierwistek rzeczywisty Wykzć, że fukcj f, gdzie f()e sh m miejsce zerowe, wyzczyć przedził, w którym się oo zjduje Stro 5
ROZDZIAŁ III Stro 5
IV Pochod i różiczk fukcji
ROZDZIAŁ IV Niech f będzie fukcją rzeczywistą zmieej rzeczywistej X R określoą w pewym otoczeiu U(,δ) puktu, i iech ozcz przyrost zmieej przy czym U(,δ) Rozptrzmy fukcję zmieej postci : f f ( ) f ( ) zwą ilorzem różicowym fukcji f w pukcie Pochodą fukcji f w pukcie zywmy gricę włściwą w zerze (o ile istieje) ilorzu różicowego i ozczmy przez f (), więc f () : lim f ( ) f ( ) Pochodą fukcji y f() ozczmy różymi symbolmi: y, f () (symbole te wprowdził dy df ( ) Lgrge),, (symbole te wprowdził Leibiz), y& (symbol te wprowdził d d Newto, jczęściej używ się go w mechice) Przez D (X) ozczć będziemy zbiór wszystkich fukcji, które mją pochodą w kżdym pukcie zbioru X Przykłd Wyzczymy podstwie defiicji pochodą fukcji f, gdy f() l, (>) (l) lim l( ) l( ) lim l, gdzie y y y ( ) y lim i lim l ( ) y e, zś le, więc y y l lim l, poiewż fukcj l jest ciągł w swojej dziedziie (l) Stro 54
POCHODNA I RÓŻNICZKA FUNKCJI Fukcję f określoą w pewym otoczeiu U(,δ) puktu zywmy różiczkowlą w tym pukcie, jeżeli istieje tkie zleże tylko od, że: <δ : f( ) f() () o( ), gdzie o( ) jest tzw ieskończeie młą rzędu wyższego iż, tz tką fukcją, dl której lim o ( ) Iloczy () występujący w defiicji osi zwę różiczki fukcji f w pukcie i ozczy jest zwykle przez df(, ) lbo krótko przez df Jeśli przez f ozczymy przyrost fukcji f odpowidjący przyrostowi rgumetu, to rówość występującą w defiicji moż zpisć w postci: f df(, ) o( ) Wykżemy terz, że różiczkowlość fukcji f w pukcie i istieie pochodej fukcji f w tym pukcie są pojęcimi rówowżymi (pojęci te ie są rówowże dl fukcji wielu zmieych) Twierdzeie Fukcj rzeczywist f jedej zmieej jest różiczkowl w pukcie wtedy i tylko wtedy, gdy posid w tym pukcie pochodą, przy czym df df(, ) f () Dowód (koieczość wruku) ( ) f ( ) o( ) f Z defiicji fukcji różiczkowlej mmy: () Przechodząc do gricy, gdy otrzymmy: () f () (dostteczość wruku) Jeżeli fukcj f m pochodą w pukcie, to moż określić fukcję f ( ) f ( ) g( ) f (), dl której istieje gric: lim g( ), czyli g( ) o( ) Stąd otrzymujemy rówość : f( ) f() f () o( ), co ozcz różiczkowlość fukcji f w pukcie Z osttiej rówości występującej w dowodzie twierdzei wyik stępując rówość: f( ) f(), mmy więc stępujący: lim Wiosek Fukcj f różiczkowl w pukcie jest w tym pukcie ciągł Wyik stąd stępując ikluzj: D (X) C(X), czyli zbiór fukcji różiczkowlych jest podzbiorem zbioru fukcji ciągłych Twierdzeie odwrote ie jest prwdziwe, co widzimy przykłdzie fukcji ciągłej f dej wzorem f(), R, któr ie m pochodej w pukcie Uwg Różiczkę fukcji f w pukcie zpisujemy tkże w postci: df f ()d Stro 55
ROZDZIAŁ IV Dl młych przyrostów otrzymujemy wzór przybliżoy : f df, czyli f(d) f() f ()d Wzór te służył do obliczi przybliżoych wrtości fukcji w pukcie bliskim puktu, w którym z był wrtość fukcji i jej pochodej Przykłd Wyzczyć przybliżoą wrtość liczby : Przyjmijmy: f(),, d, wtedy f () i otrzymmy : f() f( ) f() f () 46 Jeżeli ie istieje gric ilorzu różicowego fukcji f, le istieje przyjmiej jed z gric jedostroych, to fukcj f posid w pukcie pochodą lewostroą f() względie prwostroą f(), tk więc f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f () lim ; f () - lim Oczywiste jest, że fukcj f m pochodą w pukcie wtedy i tylko wtedy, gdy m rówe obydwie pochode jedostroe w tym pukcie Pojęcie pochodych jedostroych pozwl określić różiczkowlość fukcji f przedzile domkiętym [,b] Przez pochode fukcji f w puktch i b rozumiemy wtedy pochodą prwostroą w pukcie i pochodą lewostroą w pukcie b Przykłd Wyzczyć pochodą fukcji f w pukcie, jeżeli f(), gdy, Poiewż f() więc pochode jedostroe mją postć:, gdy <, f () lim - f ( ) f ( ) ( ) f ( ) lim - ( ) lim ( ), - ( ) f f () lim lim lim ( ) Pochode jedostroe są rówe, więc f () istieje i f () Iterpretcj geometrycz pochodej f Niech f będzie fukcją różiczkowlą w pewym otoczeiu puktu W iterpretcji geometryczej ilorz f ( ) f ( ) różicowy określ d tges kąt β - chylei sieczej do osi OX Gdy, to ilorz różicowy dąży do pochodej f ( ), zś siecz dąży do styczej do wykresu fukcji f w pukcie (, f( )), ztem współczyik kierukowy styczej jest rówy f ( ) Stro 56
POCHODNA I RÓŻNICZKA FUNKCJI Rówie styczej do wykresu fukcji o rówiu y f() w pukcie (, f( )) możemy zpisć w postci : y f ( ) ( - ) f( ) Przykłd 4 Npisć rówie styczej do krzywej o rówiu y l w pukcie o odciętej Poiewż f() l, więc f () i f (), tk więc rówie styczej m postć: y () f() y Twierdzei o pochodych Twierdzeie (liiowość opertor pochodej) Jeżeli fukcje f, g D (X), to λ, µ R : λf µg D (X), przy czym d(λf µg) λdf µdg X : [λf() µg()] λf () µg () Z twierdzei wyik, że zbiór D (X) jest przestrzeią liiową d ciłem R Twierdzeie Jeżeli f, g D (X), to rówież f g D (X) orz g f D (Xg - ( )) i zchodzą rówości: d(f g) df g f dg X: (f g) () f () g() f() g () ; f df g - f d( ) g g dg f g (Xg - ( )): ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) g ( ) Przykłd 5 Wyzczyć pochodą fukcji f, jeżeli f() tg si ( si ) cos si ( cos ) (tg) cos cos cos cos si ( si ) tg cos cos Twierdzeie 4 (o pochodej fukcji złożoej) Jeżeli fukcj f jest różiczkowl w pukcie X R i fukcj g jest różiczkowl w pukcie y f() f(x), to fukcj złożo go f jest różiczkowl w pukcie i zchodzi rówość: (go f) () g [f()]f () Stro 57