ODSTAWOWE TYY LAMIATÓW WASTWOWYCH LAMIATY SYMETYCZE I ATYSYMETYCZE Wybrane ypy regularnośi w uładzie warsw laminau Klasyfiaji laminaów Maierze szywnośi i podanośi dla ypowyh laminaów. 5.. Klasyfiaja ompozyów 5... Definije, oreślenia W elu uławienia dalszej leury zosaną poniżej podane sosowane w olejnyh wyładah oreślenia, definije i wyniająe z nih wniosi. Ze względu na bra w nieóryh przypadah dobryh polsih odpowiedniów erminów anglojęzyznyh, podano obo użyyh erminów polsih ih oryginały angielsie.. Warswa laminau - pod pojęiem ym rozumie się grupę połązonyh ze sobą pojedynzyh warsw ompozyowyh o ej samej orienaji. rzyładowo w laminaie o odzie [ /9 /-45 ] są rzy warswy, zn., 9 i -45.. Lamina symeryzny. Lamina jes symeryzny, jeżeli zahodzą nasępująe waruni θ(z) θ(-z) (5.) ij (z) ij (-z) (5.) ierwszy z yh warunów oznaza symerię ułożenia warsw wzg. płaszzyzny środowej (symeria geomeryzna), a drugi symerię modułów szywnośi (symeria maeriałowa). W dalszej zęśi będziemy przyjmować, że drugi warune jes zawsze spełniony, o oznaza że lamina złożony jes z warsw ego samego maeriału ompozyowego.. Lamina anysymeryzny. rzy założeniu symerii maeriałowej, warune anysymerii laminau doyzy wyłąznie jego eh geomeryznyh i ma posać θ(z) - θ(-z) (5.) 4. Lamina regularny. Jes o ai lamina, w órym wszysie warswy mają ę samą grubość, zn. i / i,,..., (5.4) gdzie oznaza lizbę warsw laminau, - jego grubość.
J. German: MECHAIKA KOMOZYTÓW 5. Lamina zrównoważony *). W elu zdefiniowania ego pojęia oznazmy symbolem K lizbę warsw o różnej orienaji ąowej (np. w laminaie [4 5 / - / -4 5 / - ], K ). Laminaem zrównoważonym będziemy nazywać lamina, w órym objęośiowy udział yh warsw jes ai sam, zn. v i / K i,,...,k (5.5) 6. Lamina o poprzeznym uładzie warsw lub róo lamina poprzezny lub zęśiej nazywany, jao rzyżowy (ang. ross-ply laminae) - lamina sładająy się wyłąznie z warsw i 9. 7. Lamina o ąowym uładzie warsw lub róo lamina ąowy (ang. angle-ply laminae) - lamina sładająy się wyłąznie z warsw +α, -α. 8. Lamina dowolny - lamina o ałowiie dowolnym uładzie geomeryznym warsw ( zn. ani nie symeryzny, ani nie anysymeryzny). Z podanyh powyżej definiji, a aże prosyh rozważań geomeryznyh wyniają nasępująe wniosi. Każdy lamina symeryzny musi się sładać z nieparzysej lizby warsw. Wynia o z fau, że wszysie warswy znajdująe się po jednej sronie powierzhni środowej mają swoih "bliźniaów" po jej przeiwnej sronie. Wyjąe sanowi warswa środowa, przez órą przehodzi płaszzyzna środowa, w związu z zym jes ona "jedynaiem", a zaem lizba warsw musi być lizbą nieparzysą ("n+").. Każdy lamina anysymeryzny musi się sładać z parzysej lizby warsw. Dowód jes prosym ćwizeniem dla zyelnia.. Lamina symeryzny i regularny nie może być zrównoważony. egularność oznaza, że grubośi wszysih warsw są idenyzne. Z symerii wynia, że lamina słada się z par warsw, o w połązeniu z pierwszym swierdzeniem prowadzi do onluzji, że objęośiowy udział ażdej pary musi być ai sam. ie doyzy o jedna warswy środowej laminau, óra nie worzy pary, jej udział objęośiowy musi zaem być dwuronie mniejszy od udziału pozosałyh warsw. W efeie lamina nie może być zrównoważony. 4. Lamina symeryzny i zrównoważony nie może być regularny. Ta własność jes onsewenją rozumowania odwronego do przedsawionego powyżej. 5. Lamina anysymeryzny, a rzyżowy, ja i ąowy jes zawsze zrównoważony. Lamina anysymeryzny obu ypów można zapisać ogólnie w posai...α a /-α b /α /-α d /α d /-α /α b /-α a... (5.6) Dla laminau poprzeznego przez "α" należy rozumieć onfiguraję, a przez "-α" - 9. Z (5.6) wynia, że lizba pojedynzyh warsw "α" wynosi...+a++d+b+..., a warsw "- α" -...+b+d++a+..., zyli yle samo, o oznaza, że aże objęośiowy udział obu ypów warsw musi być ai sam, a o z olei oznaza, że lamina musi być zrównoważony. Jeżeli dodaowo zahodzi warune... a b d..., o lamina jes aże regularny. 6. Lamina anysymeryzny, o dowolnym ułożeniu warsw może nie być zrównoważony. Jao dowód wysarza przyład powierdzająy ezę - [ /5 /-4 /4 /-5 /- ]. Widać, że v v- / ; v 5 v- 5 /6 ; v 4 v - 4 /4. *) Oreślenie "lamina zrównoważony" używane jes w lieraurze w odniesieniu do laminaów ąowyh i oznaza laminay o jednaowej ilośi warsw +α i -α. Definija wprowadzona powyżej obejmuje ę syuaję jao przypade szzególny.
Wyład 4 5 5... Klasyfiaja ompozyów Doonanie lasyfiaji wszysih możliwyh ompozyów jes niemal niewyonalne ze wzg. na wielość ryeriów, wedle óryh można przeprowadzić aą lasyfiaję, ja i wręz nieogranizoną swobodę w szałowaniu ih uładu geomeryznego. Gdyby uwzględnić ompozyy hybrydowe zn. aie, w óryh warswy różnią się maeriałem, o sopień ompliaji radyalnie rośnie. Klasyfiaja przedsawiona w ym wyładzie przyjmuje jao ryerium - ehy geomeryzne ompozyów, a ponado ograniza się do ompozyów najzęśiej sosowanyh (pojedynze warswy i laminay). Klasyfiaja a przedsawiona jes na rys. 5., na órym uwidozniono aże możliwe ombinaje różnyh eh laminaów. a jej podsawie, w nasępnyh podrozdziałah będą podane maierze szywnośi dla poszzególnyh ypów ompozyów. Dla lepszego zrozumienia ej lasyfiaji, w abeli 5. zamieszzono zesawienie ypów, z podaniem przyładowyh odów laminaów. Doonana lasyfiaja służy przede wszysim wprowadzeniu porządu i przejrzysośi w nazewniwie laminaów (można powiedzieć, że w pewnym sopniu ma ona ai sam el ja podział maeriałów "sandardowyh - np. na sale węglowe, nisowęglowe, sopowe, żeliwo, saliwo, sopy, meale olorowe id.). ie można naomias powiedzieć, że z przynależnośią do ażdej z wyróżnionyh las wiążą się zawsze uproszzenia w budowie np. maierzy szywnośi. IZOTOOWA SECJALIE OTOTOOWA OGÓLIE OTOTOOWA WASTWA LAMIAT SYMETYCZY ATYSYMETYCZY WASTWY IZOTOOWE UASI-IZOTOOWY DOWOLY KĄTOWY OZECZY DOWOLY KĄTOWY OZECZY, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z - regularny, zrównoważony, Z - regularny, niezrównoważony, Z - nieregularny, zrównoważony, Z - nieregularny, niezrównoważony ys. 5.. Klasyfiaja podsawowyh laminaów i pojedynzyh warsw. Częso bywa a, że uproszzenia wysępują, ale nieogranizona dowolność w ułożeniu warsw laminaów, nawe należąyh do ej samej grupy, uniemożliwia ih wspólny zapis formalny i zarazem formalny zapis yh uproszzeń (przyładowo - z yh samyh warsw można zbudować laminay o odah: [/9 / /9/ /9/ /9 /], [ /9 //9/ /9//9 / ], [ /9 / /9 / /9 / ], id., wszysie należąe do grupy laminaów symeryznyh, poprzeznyh, zrównoważonyh, a przeież różniąe się lizbą warsw, ih grubośią i olejnośią). W olejnyh puah będą omówione podsawowe grupy ompozyów, wraz z możliwie najprosszymi, ogólnymi posaiami maierzy szywnośi. Oblizenia będą pominięe, gdyż w wielu przypadah są długie doieliwy zyelni może je poraować, jao zadanie do samodzielnego wyonania.
J. German: MECHAIKA KOMOZYTÓW KOFIGUACJA LAMIATU CECHY LAMIATU Krzyżowa Kąowa Dowolna egularny, zrównoważony nie isnieje nie isnieje nie isnieje SYMETYCZY egularny, niezrównoważony /9/ α/-α /α // ieregularny, zrównoważony /9 / α/-α /α / / ieregularny, niezrównoważ. /9 / α/-α /α / / egularny, zrównoważony /9 α/-α //-/9 ATY- egularny, niezrównoważony nie isnieje nie isnieje 9///-/9/ SYMETYCZY ieregularny, zrównoważony /9 / /9 α/-α /α /-α 9// /- /9/ ieregularny, niezrównoważ. nie isnieje nie isnieje 9// /- /9/ TABELA 5.. rzyłady odów ypowyh laminaów 5.. Kompozyy symeryzne odsawową i ważną właśiwośią wszysih ompozyów symeryznyh, bez względu na ih dalsze ehy, jes o, że maierz szywnośi sprzężeń jes maierzą zerową B ij (5.7) Wynia o wpros z posai równania (4.6), oreślająego elemeny ej maierzy. Ze względu na symerię, ażdej warswie odpowiada jej zwieriadlane odbiie względem płaszzyzny środowej, różniąe się jedynie znaiem współrzędnej środa iężośi. Ta wię sumy odpowiednih ilozynów dla ażdej pary warsw muszą się zerować. Z ego samego powodu o powyżej, w ompozyah symeryznyh nie mogą wysąpić wypadowe momeny ermizne, zn. {M T } {} (5.8) To sprawia m.in., że laminay symeryzne nie wyazują endenji do ulegania zwihrzeniu w zasie uwardzania po proesie laminaji. W onsewenji równań (5.7) i (5.8) równania fizyzne dla ompozyu symeryznego są zawsze rozprzęgnięe i przyjmują posać { } o [ A] { ε } { M} o [ D] { κ } (5.9) (5.) o odwróeniu powyższyh równań, odszałenia w dowolnej warswie laminau wyrażają się związiem { } [ A] { } + z [ D] { M} ε (5.) Korzysają z równania (4.5), równania fizyzne, oreślająe naprężenia w "-ej" warswie laminau symeryznego można zapisać w posai T { } [ ] [ A] { } + [ ] {[ A] { } { α} T } + z [ ] [ D] { M} σ (5.) Dla sanu arzowego równanie o upraszza się do posai T { } [ ] [ A] { } + [ ] {[ A] { } { α} T } σ (5.) Dalsze uproszzenia, doyząe w szzególnośi maierzy szywnośi arzowej i zginania, możliwe są dla laminaów haraeryzująyh się nie ylo symerią, ale dodaowo innymi, speyfiznymi ehami budowy geomeryznej. 4
Wyład 4 5 5... ojedynze warswy Indywidualna warswa, z ozywisyh powodów zawsze jes symeryzna względem płaszzyzny środowej. ie worzy ona ozywiśie laminau, ale dla ławiejszego zrozumienia dalszyh rozważań zosaną u przypomniane podsawowe wiadomośi jej doyząe. W równym sopniu odnoszą się one również do speyfiznego rodzaju laminau, jaim jes uład wielu pojedynzyh warsw połązonyh ze sobą, idenyznyh pod względem maeriałowym i ułożonyh w idenyzny sposób geomeryzny. Tai lamina marosopowo worzy jedną warswę. Omówiona będzie aże warswa izoropowa, óra może być ompozyem (np. ompozy z drobno poięymi włónami, losowo rozłożonymi w maryy), ale z reguły nim nie jes. Uład różnyh warsw izoropowyh sanowi już jedna lasyzny lamina (np. bimeale), oeż elowe jes włązenie do analizy aże pojedynzej warswy izoropowej. Warswa izoropowa Jedyne dwie niezależne sałe sprężyse dla warswy izoropowej o moduł Younga E i wsp. oissona ν. Moduł śinania G jes zależny od E i ν. Maierz szywnośi, znana z eorii sprężysośi, ma posać [ ] ν K ν ( ν ) / E K (5.4) ( ν ) Można ją aże uzysać jao szzególny przypade anizoropii, orzysają np. ze związów (.4), ładą w nih E E E, ν ν ν. Ze względu na fa, że maeriał izoropowy jes niewrażliwy na zmianę ierunu, zreduowana i ransformowana maierz szywnośi muszą być ozywiśie idenyzne. Wyazanie ego rywialnego sposrzeżenia w opariu o zależnośi obowiązująe dla maeriału anizoropowego może sanowić dobry sprawdzian poprawnośi yh zależnośi. Korzysają z maierzy (5.4), nayhmias widać z równań (.), że współzynnii ransformayjne U i U wynoszą, zaś pozosałe przyjmują posać U K U 4 K ν U 5 K ( - ν) / (5.5) Biorą pod uwagę (5.5) i zależnośi ransformayjne ujęe w abeli. ławo swierdzić, że prowadzą one dla przypadu izoropii do ozeiwanego rezulau, gdyż isonie orzymujemy z nih, że [ ] [ ] (5.6) Korzysają z równań (4.5) i (4.7) orzymujemy maierze szywnośi arzowej i gięnej [ A ] [ ] (5.7) [ D] [ ] / (5.8) Warswa ompozyowa w onfiguraji osiowej (warswa spejalnie ororopowa) Zreduowana maierz szywnośi [] oreślona jes przez związe (.4) i ma posać (5.9). Maierz ransformowana jes w ym przypadu ożsama z maierzą zreduowaną. Korzysają z ogólnyh posai maierzy szywnośi arzowej rów. (4.5) i szywnośi zginania rów. (4.7), orzymamy szzególne posaie yh maierzy dla warswy spejalnie ororopowej w formie równań odpowiednio (5.) i (5.) [ ] [ ] E ν ν E ν ν ν E ν ν ν E ν ν G (5.9) [ A ] [ ] (5.) [ D] [ ] / (5.) 5
J. German: MECHAIKA KOMOZYTÓW Warswa ompozyowa w onfiguraji nieosiowej (warswa ogólnie ororopowa) Zreduowana maierz szywnośi ma posać (5.9). Maierze: ransformowaną, szywnośi arzowej i zginania orzymuje się w wyniu zasosowania proedury przedsawionej na rysunu 4.5. osai yh maierzy dla warswy ogólnie ororopowej są osaeznie nasępująe [ A] (5.) [ ] / D (5.) ależy u zwróić uwagę na fa, że w warswie ogólnie ororopowej, w odróżnieniu od spejalnie ororopowej, wysępuje sprzężenie syzne (zn. sprzężenie sił osiowyh x i y z odszałeniami ąowymi γ x y), ja i sprzężenie normalne (sprzężenie sił syznyh x y z odszałeniami liniowymi ε x i ε y ), gdyż A 6 i A 6 mają warośi różne od zera ( w warswie spejalnie ororopowej są równe zero). odsumowanie a zaońzenie rozważań doyząyh pojedynzyh warsw a izoropowyh, ja i ororopowyh, należy zauważyć, że niezależnie od ypu warswy maierze szywnośi arzowej i zginania można zapisać w posai [ A] (5.4) [ ] / D (5.5) o odwróeniu yh zależnośi orzymujemy [ A] [ ] / (5.6) [ D ] [ ] / (5.7) Z równania (4.54) wynia, że weor sił ermiznyh w przypadu pojedynzej warswy jes oreślony związiem { T } T [ ] { α} (5.8) o wsawieniu powyższyh zależnośi do równania fizyznego w posai (5.) i wyorzysaniu zależnośi maierzowej [ ] [ ] [ ] orzymujemy równania oreślająe naprężenia w pojedynzej warswie w posai { } { } + z { M} (5.9) σ (5.) Z równań (5.) widać, że w ompozyie jednowarswowym naprężenia ałowie, na óre sładają się naprężenia mehanizne i ieplne nie zależą od różniy emperaury uwardzania (laminaji) i esploaaji, hoć same naprężenia ermizne przy T są niezerowe. 5... Laminay o ąowym ułożeniu warsw Symeryzne laminay ąowe o aie laminay, w óryh warswy są ułożone symeryznie względem płaszzyzny środowej i óryh położenie oreślone jes wyłąznie ąem ± α. Korzysają ze wzorów ransformayjnyh zamieszzonyh w abeli., sruurę ransformowanyh maierzy szywnośi dla warsw +α i warsw -α można przedsawić nasępująo 6
Wyład 4 5 + α i j 6 6 66 6 α, i j 6 (5.) 66 rzypomnijmy aże, że warune symerii powoduje, że lamina musi się sładać z nieparzysej lizby warsw, órą oznazmy symbolem. Lizbę warsw +α oznazmy, a lizbę warsw -α - lierą. Muszą zahodzić waruni + ± (5.) Objęośiowy udział dowolnej "-ej" warswy wynosi v (5.) / gdzie - grubość warswy "", - ałowia grubość laminau. W elu wyznazenia unormowanej maierzy szywnośi arzowej [A] należy oblizyć współzynnii oreślone równaniem (4.4) i wyorzysać zależnośi podane w abeli 4.. Każdy ze współzynniów V * i można rozłożyć na zęść odpowiadająą warswom +α i zęść odpowiadająą warswom -α. Dla przyładu oreślmy pierwszy z nih V * v os α + v os( α) (5.4) Wyorzysują parzysość funji os α oraz związe v + v (5.5) orzymujemy V * os α V * os 4α V * V sin α V4 * V sin 4 α (5.6) gdzie V v v (5.7) Elemeny unormowanej maierzy szywnośi arzowej mają wówzas posai przedsawione poniżej w formie abelaryznej U U A U os α os 4α A U - os α os 4α A U 4 - os 4α A66 U 5 - os 4α A6 / V sin α V sin 4α A6 / V sin α - V sin 4α TABELA 5.. Unormowana maierz szywnośi arzowej dla ąowego laminau symeryznego. Z posai abeli 5.. wyniają dwa podsawowe wniosi : 7
J. German: MECHAIKA KOMOZYTÓW w ąowyh laminaah symeryznyh, w ogólnym przypadu wysępuje sprzężenie syzne i normalne, gdyż A 6 i A 6 są różne od zera, A, A, A, A 66 dla ażdego ąowego laminau symeryznego nie zależą od objęośiowego udziału warsw ± α, są wię aie same ja dla pojedynzej warswy α (parz - abela.). Osaeznie zaem mają nasępująą posać A /, A /, A /, A66 / 66 (5.8) Elemeny maierzy szywnośi zginania, po wyorzysaniu (5.8), (5.), (5.) i prosyh przeszałeniah orzymują posai C D D C (5.9) C 66 D D 66 C D 6 C gdzie 6 6 ( C ) D ( C ) 6 C (5.4) C v + v z C v + v z (5.4) C v + v z C + C C (5.4) Dalsze uproszzenia możliwe są w przypadu szzególnyh ypów laminaów symeryznyh, ja laminay regularne i zrównoważone. Laminay symeryzne, ąowe, regularne egularność oznaza, że wszysie warswy (,,..., ) w laminaie mają aą samą grubość, zn. / (5.4) o oznaza, że również objęośiowy udział ażdej warswy jes ai sam (zauważmy, że mimo ego lamina nie jes zrównoważony) i wynosi v / (5.44) Współzynnii oreślone równaniami (5.7) i (5.4), po prosyh przeszałeniah, dają się eraz wyrazić zależnośiami V C (5.45) + z C + z (5.46) 8
Wyład 4 5 C + z Analiza uładu warsw w przeroju laminau pozwala znaleźć ogólne zależnośi oreślająe współrzędne środów iężośi poszzególnyh warsw. Odpowiednie oblizenia zosaną u pominięe, a zyelni może poraować je jao zadanie do samodzielnego rozwiązania. Wysępująe w (5.46) sumy dają się w wyniu yh oblizeń wyrazić prosymi związami z z z ( ) ( ) (5.47) Współzynnii oreślone równaniem (5.46) po wyorzysaniu (5.47) przyjmują posać C, C ( 4 ), C ( 4 ) (5.48) a sładowe maierzy szywnośi zginania są oreślone formułami D D 66, D, D, D66 (5.49) 6 C gdzie C 6 6 ( C C ), D6 ( C ) (5.5) C jeżeli jeżeli + Sładowe unormowanej maierzy szywnośi arzowej wynoszą (rów. 5.8, 5.45, ab. 5.. i.) (5.5) A /, A /, A /, A66 / 66 (5.5) A 6 6 6 6 (5.5) A Laminay symeryzne, ąowe, zrównoważone Zrównoważenie laminau oznaza, że objęośiowy udział warsw +α i -α jes ai sam i wynosi v α v α. 5 (5.54) Z równania (5.7) i (5.6) wyniają wówzas zależnośi V (5.55) V * osα V * * os4α V * V 4 (5.56) Biorą powyższe pod uwagę, a aże (5.8) i abelę 5., orzymujemy elemeny unormowanej maierzy szywnośi arzowej w posai 9
J. German: MECHAIKA KOMOZYTÓW A /, A /, A /, A66 / 66 (5.57) A A6 6 Widać, że w porównaniu z laminaem ąowym regularnym, w laminaie zrównoważonym nie wysępują sprzężenia zarówno syzne, ja i normalne. W odniesieniu do maierzy szywnośi zginania zrównoważenie laminau ąowego nie powoduje żadnyh uproszzeń, a jej elemeny są oreślone ogólnymi zależnośiami dla laminau symeryznego, zn. równaniami (5.9), (5.4) i (5.4). 5... Laminay o poprzeznym ułożeniu warsw Symeryzne laminay poprzezne haraeryzują się ym, że sładają się wyłąznie z ułożonyh symeryznie względem płaszzyzny środowej warsw oreślonyh ąami i 9, sąd bierze się ih nazwa. osai ransformowanyh maierzy szywnośi dla warsw i 9 wyniają wpros z definiji zreduowanej maierzy szywnośi dla warswy w onfiguraji osiowej i mają nasępująą sruurę 9 9 i j, i j ij i j (5.58) 66 66 ieh oznaza ałowią ilość warsw, - lizbę warsw, a - lizbę warsw 9. Celem wyznazenia unormowanej maierzy szywnośi arzowej [A] i maierzy szywnośi zginania [D], należy zasosować proedurę analogizną do ej z p. 5... W jej wyniu orzymujemy V * v v 9 * V * V * V 4 (5.59) W onsewenji powyższyh zależnośi unormowana maierz szywnośi arzowej w formie sabelaryzowanej przyjmuje posać U U A / U v v 9 A / U v v 9 A U 4 - A66 U 5 - A6 A6 TABELA 5.. Unormowana maierz szywnośi arzowej dla poprzeznego laminau symeryznego. Z abeli 5. wypływają dwa isone sposrzeżenia : w żadnym symeryznym laminaie poprzeznym nie wysępuje ani sprzężenie syzne, ani normalne ( A 6 A 6 ), A i A 66 dla ażdego symeryznego laminau poprzeznego nie zależą od objęośiowego udziału warsw i 9, są zaem idenyzne dla wszysih laminaów należąyh do ej lasy i wynoszą (por. równanie (.) i abela 5..) A / A / 66 66 (5.6)
Wyład 4 5 Elemeny maierzy szywnośi zginania w ogólnym przypadu symeryznego laminau poprzeznego można zapisać w posai (zyelniowi pozosawmy przeprowadzenie odpowiednih oblizeń) D E C + C E E D C + C (5.6) E C 66 D D 66 C (5.6) D6 6 D (5.6) gdzie C, C, C są oreślone równaniem (5.4). Uproszzenia w posaiah podanyh maierzy wysępują dla speyfiznyh ypów symeryznyh laminaów poprzeznyh zn. laminaów regularnyh oraz zrównoważonyh. Laminay symeryzne, poprzezne, regularne Ze względu na formalną zgodność wszysih rozważań doyząyh środów iężośi poszzególnyh warsw ompozyu regularnego, poprzeznego i przedsawionego wześniej ompozyu regularnego, ąowego (warswy są formalnie równoważne warswom +α, a warswy 9 - warswom -α ), obowiązują u zależnośi (5.4) - (5.48), a ponado zahodzi związe, v 9 v v (5.64) v 9 Wyorzysują wspomniane powyżej związi, a aże (5.6), abelę 5. i maierz (5.9) orzymujemy sładowe unormowanej maierzy szywnośi arzowej w posai E + A / E + A E / E (5.65) A / A 66 66 / A (5.66) A6 6 gdzie E i E oznazają odpowiednio podłużny i poprzezny moduł Younga dla warswy ororopowej. Sładowe maierzy szywnośi zginania wyniają z równań (5.6), (5.6), (5.6) (z wyorzysaniem (5.48) i (5.9)) i wynoszą E ( ) 4 + ( 4 ) D (5.67) E E ( ) 4 + ( 4 ) D (5.68) E D 66 D66 D6 D6 (5.69) Laminay symeryzne, poprzezne, zrównoważone Z warunu zrównoważenia wynia, że v. 5 v v (5.7) v 9 9 i w onsewenji - widać o z abeli 5. - żaden z elemenów maierzy szywnośi arzowej nie zależy od objęośiowego udziału warsw i 9. Osaeznie zaem mają one posać (wyorzysano u pomonizo równania (.))
J. German: MECHAIKA KOMOZYTÓW E + A / A / (5.7) E A / A 66 66 / A (5.7) A6 6 Zrównoważenie laminau nie powoduje żadnyh uproszzeń w ogólnej posai maierzy szywnośi zginania, a wię ma ona posać oreśloną równaniami (5.6), (5.6) i (5.6) z wyorzysaniem współzynniów oreślonyh związiem (5.4). 5.. Kompozyy anysymeryzne Analizę budowy i jej suów dla szzegółowyh posai maierzy szywnośi i podanośi dla ej lasy laminaów zyelni powinien poraować jao zadanie do samodzielnego opanowania w opariu o pełną wersję srypu auora niniejszyh wyładów. 5.4. Kompozyy quasi-izoropowe Kompozyami quasi-izoropowymi oreśla się ompozyy o aiej budowie, że elemeny maierzy szywnośi arzowej [A] w dowolnym uładzie odniesienia (x, y) spełniają waruni A A (5.7) A 6 A 6 (5.8) A [ A ] 66 A (5.9) Zauważmy, że w maeriale izoropowym (por. p. 5..) maierz szywnośi [], ja i w onsewenji maierz szywnośi arzowej [A] spełniają aie właśnie waruni. Formalne podobieńswo maierzy [A] dla maeriałów izoropowyh i pewnej szzególnej lasy ompozyów sprawia, że zosały one nazwane quasi-izoropowymi. azwa a, ja o będzie poazane, jes w pełni adewana aże i z ego powodu, że marosopowo ompozyy quasi-izoropowe zahowują się ja maeriały izoropowe, zn. ih haraerysyi maeriałowe nie zmieniają się przy obroie uładu odniesienia. Są o jedna w dalszym iągu ompozyy z ih wszysimi haraerysyznymi ehami, ja hoćby ą, że naprężenia po grubośi zmieniają się soowo od warswy do warswy (na sue różnyh szywnośi warsw), o różni je od "zwyłego" maeriału izoropowego - sąd w nazwie przedrose "quasi". Klasyznym przyładem ompozyu quasi-izoropowego jes ompozy o maryy zbrojonej losowo rozłożonymi włónami, o oznaza jednaowe prawdopodobieńswo ih rozmieszzenia w dowolnym ierunu. Można aże wyobrazić sobie zamias jednej warswy losowo zbrojonej, lamina o wielu warswah jednoierunowo zbrojonyh, ale losowo rozłożonyh po grubośi. W pierwszym przypadu przyjmuje się, a w drugim można o udowodnić, że współzynnii oreślone równaniem (4.4) zerują się * V i i,,, 4 (5.) Biorą o pod uwagę oraz orzysają z abeli 4.. możemy wyznazyć maierz szywnośi arzowej. Jej sładowe mają posać A / A / U A 66 / U 5 (5.) A A / U 4 (5.) A6 6 Spełnienie warunów (5.7) i (5.8) jes nayhmias widozne, zaś warune (5.9) jes ławy do wyazania po wsawieniu za U i wielośi wyniająyh ze związów (.). Zauważmy, że elemeny maierzy [A] wyrażają się jedynie przez U, U 4 i U 5, a zaem wielośi niezmiennize dla warswy ompozyu przy jej obroie względem dowolnego uładu odniesienia.
Wyład 4 5 Sanowi o dowód niezmiennizośi aże maierzy szywnośi arzowej, a jednoześnie dowód quasi-izoropowośi ompozyu. Cehę quasi-izoropii posiadają nie ylo wspomniane powyżej ompozyy o losowym rozładzie włóien w warswie, zy eż warsw w laminaie, ale aże "sandardowe" laminay warswowe o bardzo speyfiznym ułożeniu warsw w przeroju. odsawowe sewenje warsw dla ej lasy laminaów mają ody [ / ±π / ] i [ / ±π /4 / 9 ]. a ih bazie można worzyć inne laminay (np. [6 / / -6 ], [ 9 / 45 / / -45 ] ip.) quasi-izoropowe. Zauważmy, że w dla pierwszej sewenji - ąy między ierunami włóien wynoszą π / [rd], a dla drugiej π /4 [rd] - poazano o na rys. 5.. warswa warswa +6 6 6 6 6 6 6 warswa -6 warswa warswa 45 warswa -45 45 45 warswa 9 45 45 45 45 45 45 Lamina ypu π / Lamina ypu π / 4 ys. 5.. odsawowe ypy laminaów quasi-izoropowyh. Lizba warsw w pierwszym przypadu wynosiła rzy, a w drugim zery. Uogólniają e sposrzeżenia można powiedzieć, że dowolny lamina o "m" grupah warsw (przez grupę warsw należy rozumieć zbiór wszysih warsw o ej samej onfiguraji, nie onieznie połązonyh ze sobą w warswę lub warswy), pomiędzy ierunami óryh zawary jes ą π/m [rd] jes quasi-izoropowy, pod waruniem, że objęośiowy udział yh warsw zyni zadość równaniom (5.). Lamina o pierwszej sewenji warsw nosi w związu z ym nazwę laminau "π / ", a drugi "π /4 ". W elu wyznazenia quasi-izoropowyh sałyh inżyniersih zasosujemy proedurę opisaną w p. 4..5 rozdziału 4. Zapiszmy (5.) - (5.) w posai maierzy A ij U U4 U (5.) U 5 Maierz odwrona do maierzy [A] ma ogólną posać A A A A A A A A ij (5.4) A A A66 Korzysają z (5.) i (5.4) wyznazamy na podsawie równań (4.44) poszuiwane quasiizoropowe sałe inżyniersie U + 4 E x E y E U 5 (5.5) U
J. German: MECHAIKA KOMOZYTÓW U 4 ν xy ν yx ν G xy G U 5 U Wyrażają się one poprzez niezmiennii, są wię niezależne od onfiguraji laminau, a zależą jedynie od rodzaju maeriału ompozyowego. Mamy wię idenyzną syuaję ja dla onwenjonalnyh maeriałów izoropowyh. Laminay quasi-izoropowe mają nad nimi jedna ę zaleę, że onsruują odpowiednio lamina (zn. dobierają właśiwy maeriał i ułożenie warsw) można uzysać e same warośi sałyh inżyniersih o dla maeriału lasyznego, przy iludziesięioproenowej oszzędnośi na iężarze - (parz - przyład ). 5.5. Kompozyy o warswah izoropowyh ozważmy bardzo szzególny przypade maeriału ompozyowego, a mianowiie lamina zbudowany z warsw izoropowyh. Ze względu na izoropię rozróżnianie zreduowanej i ransformowanej maierzy szywnośi rai sens. Maierz szywnośi dla "-ej" warswy ma zgodnie z (5.4) posać [ ] ν K ν ( ν ) / K E ( ν ) (5.6) Dla laminaów o dowolnym ułożeniu warsw maierze szywnośi arzowej [A], sprzężeń [B] i gięnej [D] należy wyznazyć z ogólnyh wzorów oreślająyh e maierze zn. (4.5), (4.6) i (4.7). Laminaem symeryznym nazywamy w omawianym przypadu lamina, órego warswy symeryznie położone względem płaszzyzny środowej mają aie same grubośi oraz moduł Younga i współzynni oissona. Z ogólnyh rozważań doyząyh symerii laminaów wynia, że maierz sprzężeń [B] jes wówzas maierzą zerową. Inne isone uproszzenia nie wysępują. 4