Dyskretna transformata falkowa z wykorzystaniem falek Haara. Alfréd Haar

Transkrypt

1

2 Dyskretna transformata falkowa z wykorzystaniem falek Haara Alfréd Haar 88-9

3 Przypomnijmy, że istotą DWT jest podział pierwotnego sygnału za pomoą pary filtrów (górnoprzepustowego i dolnoprzepustowego) na dwie składowe i następnie hierarhizna dekompozyja jednej z tyh składowyh (niskozęstotliwośiowej) w analogizny sposób.

4 Pojedynzy krok wielopoziomowej dekompozyja danyh próbek dolnoprzepustowy Filtry górnoprzepustowy A ~ próbek ~ próbek ~ współzynników ~ współzynników D

5 Na każdym etapie realizaji piramidy Mallata wykonywana jest bazowa operaja splotu wejśiowego szeregu danyh (n) z dwoma zestawami współzynników wagowyh: Współzynniki aproksymaji współzynniki odpowiedzi impulsowej filtru dolnoprzepustowego a L ( i ) ( i ) n g m a n m, i m, K, detale współzynniki odpowiedzi impulsowej filtru górnoprzepustowego L ( i ) ( i) ( ) d n hm a n m, a m ( n) oraz operaja downsamplingu odrzuania o drugiej próbki odfiltrowanego sygnału w każdej ze składowyh w elu redukji nadmiarowośi zbioru danyh. n

6 Na dzień dzisiejszy istnieje wiele opraowanyh zestawów współzynników filtrów. Są to filtry Haara, Daubehies, Coiflety, Simflety i inne.

7 DWT w bazie Haara jest najprostszym, lez dość skuteznym sposobem wieloskalowej reprezentaji danyh. Zastosowanie filtrów Haara powoduje, że na każdym etapie dekompozyji proedura dolnoprzepustowej filtraji sprowadza się do oblizania znormalizowanej wartośi średniej sąsiednih elementów sekwenji danyh, zaś proedura filtraji górnoprzepustowej do oblizania znormalizowanej różniy tyh samyh elementów. 7

8 Filtr pasmowy H przekształa wejśie w wyjśie yh(). Jeśli filtr pasmowy jest liniowy, to odpowiednie transformaty mogą być reprezentowane jako maierz H, a oblizenie transformaty sygnału X osiąga się przez oblizenie mnożenia maierzy YH X. 8

9 9 Poniższy shemat pokazuje dobrze znany przykład filtru pasmowego stosowanego do analizy, który rozdziela zęstotliwośi sygnału dyskretnego na niskie i wysokie. H H X H n? X H n? X H D Y n n ) ( X H D Y n n ) ( Y Y Y

10 Jako przykład oblizmy maierz H dla filtru pasmowego Haara, biorą wejśie X zawierająe N próbek. Operaja ta dla filtru niskozęstotliwośiowego może być przedstawiona za pomoą maierzy: H ( n) O Należy przypomnieć, że filtr dolnoprzepustowy Haara H uśrednia sąsiednie elementy wejśia.

11 Filtr górnoprzepustowy Haara H obliza połowę różniy pomiędzy kolejnymi próbkami wejśiowymi, o może być przedstawione za pomoą maierzy: O n H

12 Operaja downsamplingu może być reprezentowana za pomoą maierzy: M n D która wybiera pierwszy, trzei, itd. element X.

13 Połązona operaja filtrowania dolnoprzepustowego i downsamplingu może być reprezentowana za pomoą maierzy: n n n... H D L

14 Podobnie, połązona operaja filtraji wysokoprzepustowej i downsamplingu jest reprezentowana jako: n n n... H D B

15 Górna i dolna gałąź filtru pasmowego wytwarza odpowiednio: n X L Y n X B Y Wyjśiem filtru pasmowego jest: n n n X H X B X L Y Y Y n n n B L H ) (, gdzie

16 Możemy także zbudować hierarhizną reprezentaję sygnału poprzez rekursywne filtrowanie niskoprzepustowego wyjśia filtru pasmowego:

17 W każdym kroku rekursji wielkość sygnału zmniejsza się dwukrotnie. Jeśli sygnał jest dyskretny i skońzony (i jego długość jest potęgą dwójki), to możemy w ostateznośi uzyskać sygnał o długośi jednej próbki. Suma wymiarów wszystkih wyjść jest równa wymiarowi oryginalnego sygnału wejśiowego. 7

18 Ostatezna, hierarhizna reprezentaja sygnału wejśiowego jest zbiorem współzynników szzegółowośi o różnyh poziomah rozkładu (skale) i gruboziarnistą wersją oryginalnego sygnału (wyjśie filtru dolnoprzepustowego). 8

19 9 Operaję analizy falkowej w ałym bloku filtrująym można przedstawić w postai maierzowej za pomoą następująego równania maierzowego: N N N N a a a M O M

20 Odwrotną transformatę Haara można przedstawić w następująy sposób:

21 Wzór na odtworzenie współzynnika aproksymaji będzie miał postać: a (n-) (L (n) ) T a (n) (B (n) ) T (n), gdzie maierze (L (n) ) T i (B (n) ) T wyglądają następująo:

22 ( L ( n) ) Τ M

23 ) ( n Τ M B

24 Operaja rekonstrukji sygnału w ałym bloku filtrująym będzie miała postać: N N N N a a a M O M

25 Przykłady: Transformata Falkowa Haara dla N8 X [ ] Τ 7 () H R n H ()?? a () () H () H ()?? a () () H () H ()?? a () ()

26 Krok : a () D () H () X L () X, () D () H () XB () X Maierze dla odpowiednih filtrów wyglądają następująo: () H () H

27 7 Operaja downsamplingu będzie reprezentowana przez maierz: () D Maierze przekształeń L i B mają wię postać: () L () B

28 8 W wyniku otrzymujemy wektory: Τ 7 () a Τ 7 ()

29 9 Krok : a () D () H () a () L () a (), () D () H () a () B () a () Maierze dla odpowiednih filtrów wyglądają następująo: H H

30 Operaja downsamplingu będzie reprezentowana przez maierz: D Maierze przekształeń L i B mają wię postać: () L () B

31 W wyniku otrzymamy wektory: T 7 () a T 7 ()

32 Krok : a () D () H () a () L () a (), () D () H () a () B () a () H H Operaja downsamplingu będzie reprezentowana przez maierz: ( ) D

33 Maierze przekształeń L i B mają wię postać: L B Otrzymamy skalary: 7 () a 7 ()

34 Odwrotna Transformata Falkowa Haara N8 Krok : a () (L () ) T a () (B () ) T () Τ ) ( L B () a

35 Krok : a () (L () ) T a () (B () ) T () () Τ ) ( B Τ ) ( L () a

36 Krok : X (L () ) T a () (B () ) T () () Τ ) ( L () Τ ) ( B

37 X

38 8 Graf algorytmu transformaty falkowej w baze Haara dla N

39 Dyskretna transformata falkowa z wykorzystaniem filtrów Daubehies Ingrid Daubehies 9

40 Jest kilka rodzajów filtrów Daubehies: DAUB, DAUB,..., DAUB. Najprostszą jest falka DAUB, która ma ztery współzynniki:, gdzie:,,,

41 Maierz pojedynzej iteraji transformaty Daubehies jest dana w postai: T gdzie puste pozyje oznazają zera. Wiersze nieparzyste reprezentują filtraję dolnoprzepustową, a wiersze parzyste operaję filtraji górnoprzepustowej

42 Proedura polega na przemnożeniu wektora danyh wejśiowyh X przez maierz transformaty T. Oryginalny wektor X ma długość N, gdzie N musi być potęgą dwójki. Konsekwentnie maierz filtrowania w pierwszym kroku rekursji ma rozmiar N N. W następnym kroku rekursji maierz ma rozmiar ½N ½N

43 Operaja odwrotna polega na przemnożeniu wektora współzynników przez maierz odwrotną, która jest po prostu transpozyją maierzy transformaty. Τ O T T

44 Maierz T T jest odwrotną do maierzy T, wtedy i tylko wtedy, gdy zahodzą dwa równania: Dodatkowo potrzebujemy zależnośi:

45 Równania te są zterema równaniami z zterema niewiadomymi,,, po raz pierwszy odkrytymi przez Ingrid Daubehies. Rozwiązaniem tyh równań są ztery współzynniki przedstawione już wześniej:,,,

46 DAUB jest najbardziej zwartym zbiorem ze zbiorów współzynników falkowyh. Jeśli będziemy mieli sześć współzynników w miejse ztereh, otrzymamy rozwiązanie postai.,,,,, To jest zbior wspólzynnikoów DAUB.

47 Przykład: Transformata Falkowa Daubehies-, N8 X [ ] Τ 7 Krok : a () L () X () B () X 7

48 8 Maierze dla odpowiednih filtrów wyglądają następująo: () L () B

49 9 W wyniku otrzymamy dwa wektory o wymiarze : a () i (). Krok : a () L () a () () B () a () Maierze dla odpowiednih filtrów mają postać: L B W wyniku otrzymamy dwa wektory o wymiarze : a () i ().

50 W ten sposób otrzymaliśmy zakońzyliśmy proes transformaty, którą można przedstawić za pomoą shematu: () () () () () () () () () () () 7 a a a a a a

51 Odwrotna transformata falkowa Daubehies-, N8 Krok : a () (L () ) T a () (B () ) T () Maierze dla odpowiednih filtrów wyglądają następująo: Τ ) ( L Τ ) ( B

52 Krok : X (L () ) T a () (B () ) T () Maierze dla odpowiednih filtrów mają postać: () Τ ) ( L () Τ ) ( B W ten sposób odzyskujemy wektor X o wymiarze 8.

53 Jeśli hemy podobnie jak w transformaie Haara w ostatnim kroku uzyskać skalary, musimy zastosować transformatę, w której współzynniki aproksymaji i szzegółowośi oblizamy z następująyh równań: i i i i i i i i i i a Maierze odpowiednih filtraji będą miały postać:

54 () L () B

55 W ostatniej iteraji współzynniki maierzy będą mnożone przez elementy sygnału: N-, N-, N i N. () L I tu pojawi się problem, ponieważ N i N nie istnieją. () B

56 Istnieją trzy metody radzenia sobie z tym problemem:. Potraktowanie zbioru danyh jako okresowyh. Na pozątek sekwenji danyh wstawiamy końowe elementy sygnału (w przypadku DWT), lub na końu wektora umieszzamy pozątkowe elementy sekwenji danyh (w przypadku IDWT).

57 . Powturzenie skrajnih elementów znajdująyh się po każdej stronie wektora danyh (na pozątku i na końu) tyle razy ile jest to koneznie dla uzupelnienia nezbędnej dlugośi wektora.. Dopisywanie po jednej lub obydwu stronah wektora danyh odpowiedniej liby zer. 7

58 8 Krok : W pierwszym kroku będziemy wię mnożyć maierz L () i maierz B () przez wektor: [ ] Τ 7 7 X Otrzymamy: () 7 7 a () 7 7

59 9 Krok : W drugim kroku będziemy oblizać równania: a () L () a () ; () B () a (), gdzie wektor a () jest wektorem a (), do którego pozątku dodano dwa końowe elementy, maierze L () i B () będą miały postać L B

60 Krok : będziemy oblizać równania: a () L () a () ; () B () a () [ ] L [ ] B

61 Operaja odwrotna składa się z następująyh kroków: Krok : a () (L () ) T a () (B () ) T () gdzie maierze (L () ) T i (B () ) T mają postać: Τ ) ( L Τ ) ( B

62 Krok : a () (L () ) T a () (B () ) T (), gdzie maierze (L () ) T i (B () ) T mają postać: Τ ) ( L Τ ) ( B

63 Krok : X a () (L () ) T () (B () ) T () Τ ) ( L () Τ ) ( B

64