Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Podobne dokumenty
2ql [cm] Przykład Obliczenie wartości obciażenia granicznego układu belkowo-słupowego

Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami

2P 2P 5P. 2 l 2 l 2 2l 2l

Dr inż. Janusz Dębiński

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2

Laboratorium Dynamiki Maszyn

Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są

Część 2 8. METODA CROSSA 1 8. METODA CROSSA Wprowadzenie

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

NOŚNOŚĆ GRANICZNA

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

1. Obciążenie statyczne

( ) Płaskie ramy i łuki paraboliczne. η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi parabolicznej, opisanej funkcją

Praca siły wewnętrznej - normalnej

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH

2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów.

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH

OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15

Obliczanie naprężeń stycznych wywołanych momentem skręcającym w przekrojach: kołowym, pierścieniowym, prostokątnym 7

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ

gruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:

ZADANIA - POWTÓRKA

Politechnika Białostocka

Ć w i c z e n i e K 4

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1

Rozwiązanie stateczności ramy MES

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA

Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł

Uwaga: Linie wpływu w trzech prętach.

LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH Cel ćwiczenia

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

JANOWSCY. Reakcje, siły przekrojowe i ugięcia belek jednoprzęsłowych. ZESPÓŁ REDAKCYJNY: Dorota Szafran Jakub Janowski Wincenty Janowski

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Treść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów.

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Mechanika i Budowa Maszyn

METODA SIŁ KRATOWNICA

Zginanie proste belek

Dr inż. Janusz Dębiński

Wprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z

Zadanie 1. Dla ramy przestrzennej przedstawionej na rys. 1 wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił wewnętrznych. DANE

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Skręcanie prętów naprężenia styczne, kąty obrotu 4

Wprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Wewnętrzny stan bryły

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

CHARAKTERYSTYKI KINEMATYCZNE MECHANIZMÓW PŁASKICH PODSTAWY SYNTEZY GEOMETRYCZNEJ MECHANIZMÓW PŁASKICH.

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

MECHANIKA BUDOWLI LINIE WPŁYWU BELKI CIĄGŁEJ

MECHANIKA BUDOWLI 11

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Metody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

UTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego.

Politechnika Białostocka

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, weber@zut.edu.pl strona:

gruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił

Wytrzymałość Materiałów

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

materiał sztywno plastyczny Rys. 19.1

3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe dla struny ograniczonej. = f(x, t) dla x [0; l], l > 0, t > 0 (3.1)

Przykład 1.9. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego metodą kinematyczną

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Należy zwrócić uwagę, względem której zmiennej wykonujemy różniczkowanie. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami: pochodne po czasie t,

BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%:

9. Mimośrodowe działanie siły

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY

KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI. Laboratorium. Mechaniki Technicznej

Zadanie 1 Zadanie 2 tylko Zadanie 3

Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

MATERIAŁY DYDAKTYCZNE

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności. Magdalena Krokowska KBI III 2010/2011

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA

Mechanika Analityczna i Drgania

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA PRZEZ ZGINANIE

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI

Rozwiązywanie ram płaskich wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 7

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

Geometria i łuku (1) Wezg z ło ł w o ia ia punkty po dpa rcia ł a uku; Klucz ( cz zwornik) najw na y jw żs ż zy z punk łuku łu ; klu kl c u z ku;

Transkrypt:

23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm], P = q. W obiczeniach pominąć wpływ siły poprzecznej T. Rys. 8.2 Rozwiązanie: Energia sprężysta przedstawionego układu zaeży od funkcji momentu zginającego (siły normane i momenty skręcające nie występują). Zgodnie z twierdzeniem Castigiano współrzędna uogóniona przemieszczenia p i odpowiadająca sie uogónionej P i, jest równa pochodnej cząstkowej energii sprężystej U danego układu wzgędem tej siły (da stałej sztywności zginania EJ). p i = δu δp = 1 i EJ Σ M δm gi gi δp d xi i i Maksymane ugięcie da beki wystąpi w punkcie przyłożenia siły P, więc siłą uogónioną odpowiadającą maksymanemu przemieszczeniu (ugięciu) będzie siła P. Funkcja momentu zginającego oraz pochodna cząstkowa momentu zginającego podług siły P (rys. 8.3) wynosi da: x stąd: M g = - Px - 1 2 qx2, δm g δp i = - x

24 Rys. 8.3 Maksymane ugięcie wynosi: p max = 1 EJ M δm g g δp dx = 1 EJ - Px - 1 2 qx2 (- x) dx p max = 11q2 24EJ Po wstawieniu danych z tematu zadania oraz przyjęciu, że: otrzymamy: J = πd4 64 = π(4)4 64 J = 12,56 [cm 4 ], p max = 1,82 [cm]. Zadanie 8.4.2 Obiczyć ugięcie w punkcie A beki o sztywności EJ przedstawionej na rysunku 8.4. Wpływ sił poprzecznych na ugięcie beki pominąć. Dane: q. L. EJ. Rys. 8.4

25 Rozwiązanie: W ceu wyznaczenia ugięcia beki w punkcie A, przykładamy siłę fikcyjną P * = (rys. 8.5), o kierunku szukanego przemieszczenia. Funkcje wiekości sił wewnętrznych (momentów zginających) w poszczegónych przedziałach wynoszą odpowiednio: Rys. 8.5 x 1 x 2 2 M g1 = - P * x 1 q x2 1 2, M g2 = - P * x 2 q x 2-1 2 K, 2 x 3 3 M g3 = - P * x 3 q x 3-1 2 K P(x 3 2). Pochodne cząstkowe podług siły fikcyjnej P * wynoszą: δm g1 δp * = - x 1, δm g2 δp * = - x 2, δm g3 δp * = - x 3. Ugięcie w punkcie A wynosi więc:

26 p A = 1 EJ M g1 δm g1 δp * dx 1 + 2 M g2 δm g2 δp * dx 2 + 3 M δm g3 g3 δp * dx 3 2 Po wstawieniu odpowiednich wartości iczbowych i scałkowaniu otrzymamy: p A = 579q2 24EJ. Zadanie 8.4.3 W jakiej odegłości a od końca pręta (rys. 8.6), naeży przyłożyć siłę aby przemieszczenie punktu A było równe zero?. Dane: P,, EJ = const. Rys. 8.6 Rozwiązanie: Aby obiczyć przemieszczenie punktu A, przykładamy w tym punkcie fikcyjną siłę P * o wartości równej zero (rys. 8.7). Wartości momentów zginających w poszczegónych przedziałach ramy wynoszą odpowiednio: x 1 a M g1 = a x 2 2 M g2 = - P(x 2 a) x 3 M g3 = - P(2 a) x 4 2

27 M g4 = - P(2 a x 4 ) P * x 4 Rys. 8.7 Pochodne cząstkowe podług siły fikcyjnej P * wynoszą odpowiednio: δm g1 δp * =, δm g2 δp * =, δm g3 δp * =, δm g4 δp * = - x 4, czyi ugięcie w punkcie A będzie wynosiło: p A = 1 EJ [P(2 - a - x 4 )] ( - x 4 ) dx 4 p A = P EJ 2a - 4 3. Ugięcie punktu A będzie równe wtedy zero, kiedy siła P będzie przyłożona w odegłości a: a = 2 3 (od swobodnego końca beki). Zadanie 8.4.4 Zaprojektować przekrój staowej beki zamocowanej i obciążonej jak na rysunku (8.8) wiedząc, że dopuszczane maksymane ugięcie może wynosić p dop =,25 [cm].

28 Przyjąć, że naprężenia maksymane nie mogą przekroczyć wartości k g = 28 [Pa]. Dane: P = 1 [kn], = 2 [m], EJ = const, E = 2 1 5 [MPa]. Rys. 8.8 Rozwiązanie: W ceu zaprojektowania przekroju beki naeży wyznaczyć rzeczywiste maksymane ugięcie wywołane obciążeniem zewnętrznym. Ugięcie to nie może przekroczyć ugięcia dopuszczanego p dop. Z charakteru obciążenia wynika, że maksymane ugięcie beki wystąpi w punkcie A. Funkcje momentów zginających w poszczegónych przedziałach (rys. 8.9) i ich pochodne cząstkowe podług siły P wynoszą: Rys. 8.9 x 1 1 2 M g1 = - Px 1, δm g1 δp = - x 1,

29 x 1 1 2 M g2 = - Px 2 P(x 2 1), δm g2 δp = - x 2. Przemieszczenie punktu A wynosi: p A = 1 EJ p A = P3 4EJ. 2 M δm g1 g1 δp dx 1 + 2 M g2 δm g2 δp dx 2 Moment bezwładności przekroju wzgędem osi y wynosi: J y = a(2a)3 12 J y = 2 3 a4, czyi: stąd: p A = 3P3 8E a 4 p dop czyi: a 4 3P 3 8 E p dop. Naprężenia maksymane wystąpią w punkcie C i wyniosą: 3P σ max = M gmax 2 W = g 2a 3 k g, 3 a 3 9P 4k g. Po podstawieniu wartości podanych w temacie zadania otrzymamy: - z warunku na dopuszczany kąt ugięcia: a 8,81 [cm], - z warunku na dopuszczane naprężenie: a 5,44 [cm]. Ostatecznie przyjmujemy: a = 9 [cm].

21 Zadanie 8.4.5 Staowa beka o przekroju prostokątnym i długości, podparta w dwóch miejscach obciążona jest w sposób równomierny obciążeniem ciągłym q (rys. 8.1). Maksymane naprężenia normane powstałe w przekroju poprzecznym wynoszą σ max = 6 [Pa], a maksymane ugięcie p max = 6. Okreśić stosunek wysokości beki h do jej długości. Rys. 8.1 Rozwiązanie: Wartości reakcji podporowych wyznaczone z równań równowagi wynoszą: R Ax = R Ay = R By = 1 2 q. Z wykresu momentu zginającego przedstawionego na rys. 8.11 wynika, że maksymane naprężenia wystąpią w środku beki, czyi da x = 1 2. Rys. 8.11 Naprężenia normane wywołane momentem zginającym wynoszą:

211 σ max = M gmax W g k g Wskaźnik zginania da beki o przekroju prostokątnym wynosi: czyi: W g = bh2 6 σ max = 3q2 4bh 2 σ max = 6 [Pa]. Maksymane ugięcie wyznaczymy stosując twierdzenie Castigiano (wzór 8.5): δu δp = p. Z charakteru obciążenia wynika, że maksymane ugięcie wystąpi w środku beki. Przykładamy więc w tym miejscu siłę fikcyjną P * = (rys. 8.12). Rys. 8.12 x 1 1 2 Funkcje momentów zginających w poszczegónych przedziałach wynoszą: M g1 = R Ay x 1-1 2 qx2 1 = 1 2 q + 1 2 P* x 1-1 2 qx2 1 x 2 1 2 M g2 = R By x 2-1 2 qx2 2 = 1 2 q + 1 2 P* x 2-1 2 qx2 2 Pochodne cząstkowe podług uogónionej siły P * wynoszą: δm g1 δp * = 1 2 x 1,

212 δm g2 δp * = 1 2 x 2. Uwzgędniając symetrię układu, czyi: oraz, że: δm g1 δp * = δm g2 δp * = δm g δp *, P * =, ugięcie w punkcie C jest równe: czyi: p c = 2 2 1 EJ p c = 5g4 384EJ = p max M g δm g δp * dx = 2 EJ 2 1 Moment bezwładności przekroju da prostokąta wynosi: J = bh3 12, p max = 5g 4 32bh 3 E = 6 2 qx - 1 2 qx2 1 2 xdx Obiczamy szerokość przekroju b ze wzoru na maksymane naprężenia: b = 3q 2 6 4h 2 i podstawiając do wzoru na maksymane ugięcie otrzymamy: 6 = 5g 4 32h 3 2 1 7 1 3q 2 6 4 h 2 Po uporządkowaniu i obiczeniu otrzymujemy: h =,375.

213 Przykłady (twierdzenie Menabrea-Castigiano) Zadanie 8.5.1 Da beki dwuprzęsłowej (rys. 8.23) obciążonej na podporze A momentem skupionym K, obiczyć reakcje podporowe oraz sporządzić wykres momentów zginających. Dane: K,, EJ = const. Rys. 8.23 Rozwiązanie: Beka stanowi układ jednokrotnie statycznie niewyznaczany. Za wiekość hiperstatyczną przyjmujemy reakcję R A (rys. 8.24). Rys. 8.24 Funkcje momentów zginających w poszczegónych przedziałach mają postać:

214 x 1 x 2 2 M g1 = R A x 1 + K M g2 = R A x 2 + K + R B (x 2 ) Występującą w równaniach reakcję R B wyrazimy za pomocą reakcji hiperstatycznej R A (korzystając z równań równowagi): R B = - 2 R A - K, czyi równania okreśające momenty zginające mają postać: M g1 = R A + K, M g2 = 2 R A R A x 2 - Kx 2 + 2 K. Pochodne cząstkowe podług reakcji hiperstatycznej R A wynoszą: δm g1 δr A = x 1, δm g2 δr A = 2 x 2. Wykorzystując twierdzenie Menabrea-Castigiano otrzymujemy (wzór 8.7): δu δr A = 1 EJ δm 2 g1 Mg1 δr dx 1 + δm g2 Mg2 A δr dx 2 = A Po podstawieniu wartości i scałkowaniu otrzymamy: R A = - 5K 4. Pozostałe reakcje zostały wyznaczone z równań równowagi i wynoszą: R B = 3K 2, R C = - K 4. Wykres momentów zginających przestawiony został na rysunku 8.25.

215 Zadanie 8.5.2 Wyznaczyć wiekości podporowe (reakcje) da beki jak na rysunku 8.26. Dane: q,, EJ = const. Rys. 8.25 Rys. 8.26 Rozwiązanie: Równania równowagi da danego układu mają postać (rys. 8.27): Y A + Y B + Y C 2 q = - Y A 2 Y B + 2 q 2 + M C = Rys. 8.27

216 Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczany. Jako reakcje hiperstatyczne przyjmujemy reakcje Y A oraz Y B. Da okreśonych przedziałów zmienności obciążenia (rys. 8.27) wypisujemy funkcje sił wewnętrznych w poszczegónych przedziałach: x 1 x 2 2 M g1 = Y A x 1-1 2 qx2 1 M g2 = Y A x 2-1 2 qx2 2 + Y B (x 2 ) Pochodne cząstkowe podług reakcji hiperstatycznych (wiekości hiperstatyczne są od siebie niezaeżne δy A δy B =, δy B δy A = ) wynoszą: δm g1 δy A = x 1, δm g2 δy A = x 2, δm g1 δy B =, δm g2 δy B = x 2 1. Stosujemy dwukrotnie twierdzenie Menabrea-Castigiano i otrzymujemy: δu δy A = 1 EJ δm 2 g1 Mg1 δy dx 1 + δm g2 Mg2 A δy dx 2 = A δu δy B = 1 EJ δm 2 g1 Mg1 δy dx 1 + δm g2 Mg2 B δy dx 2 = B Po podstawieniu danych i scałkowaniu otrzymujemy: 8 3 Y A + 5 6 Y B 2 q =, 5 6 Y A + 1 3 Y B - 17 24 q =. Powyższe równania wraz z równaniami równowagi pozwaają na okreśenie wartości wiekości podporowych, które wynoszą: Y A = 11 28 q, Y B = 8 7 q, Y C = 13 28 q, M C = - 1 14 q2.

217 Zadanie 8.5.3 Da beki jak na rysunku (8.28) obiczyć dopuszczane obciążenie q, stosując metodę na dopuszczane naprężenie. Dane: b, h,, k g. Rys. 8.28 Rozwiązanie: Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczany. Dodatkowe równanie potrzebne do rozwiązania przedstawionego układu dostarczy twierdzenie Menabrea-Castigiano. Jako wartość hiperstatyczną przyjmujemy reakcję R A (rys. 8.29). Rys. 8.29 x 1 Funkcje momentów zginających w poszczegónych przedziałach mają postać: M g1 = - 1 2 qx2 1

218 x 2 5 M g2 = - 1 2 qx2 2 + R A (x 2 ) Pochodne cząstkowe momentów zginających podług reakcji hiperstatycznej R A wynoszą: δm g1 δr A =, δm g2 δr A = x 2 - Po zastosowaniu twierdzenia Menabrea-Castigiano: otrzymamy: δu δr A = 1 EJ δu δr A = 1 EJ 5 R A = 2,66 q. δm 5 g1 Mg1 δr dx 1 + δm g2 Mg2 A δr dx 2 = A - 1 2 qx2 2 + R A (x 2 ) (x 2 ) dx 2 = Na rysunku (8.3) został przedstawiony wykres momentów zginających Mg. Rys. 8.3 Maksymany moment zginający (wartość bezwzgędna) wynosi: M gmax = 1,86 q 2. Wskaźnik zginania sprężystego da przekroju prostokątnego o wymiarach jak na rysunku (8.28) wynosi: W g = 2 3 bh3.

219 Korzystając ze wzoru: czyi: M gmax W g k g, 1,86 q 2 2 3 bh3 k g. Stąd wyznaczamy dopuszczane obciążenie q, które wynosi: Zadanie 8.5.4 q dop,358 bh3 2 k g. Porównać energie sprężyste pochodzące od zginania da układów jak na rysunku (8.31). Da obu beek przyjąć stałą sztywność zginania równą EJ. Rys. 8.31 Rozwiązanie: Energię sprężystą układu obiczymy z zaeżności: U = U N + U T + U Mg + U Ms Ponieważ obiczamy tyko energię sprężystą pochodzącą od zginania, w naszym przypadku będzie: U = U Mg = M 2 g 2EJ d. Funkcje momentów zginających da poszczegónych beek mają postać (rys. 8.32):

22 beka a: x M g = - 1 2 qx2 beka b: x M g = R B x - 1 2 qx2, Rys. 8.32 Czyi energia sprężysta da układu a (statycznie wyznaczanego, rys. 8.32a) wynosi: U (a) = U (a) = 1 2EJ M 2 g dx 1 q 2 x 4 2EJ 4. Po scałkowaniu otrzymujemy: U (a) = q2 5 4EJ. Układ drugi stanowi beka jednokrotnie statycznie niewyznaczana. Aby obiczyć jej energię sprężystą, naeży najpierw wyznaczyć wiekości podporowe. W tym ceu skorzystamy z twierdzenia Menabrea-Castigiano. Jako reakcję hiperstatyczną przyjmujemy R B. Funkcja

221 momentu zginającego i pochodna cząstkowa podług reakcji hiperstatycznej wynoszą (rys. 8.32b): M g = R B x - 1 2 qx2 δm g δr B = x Wykorzystując twierdzenie Menabrea-Castigiano otrzymamy: δu = 1 δm g Mg dx = δr B EJ δr B δu δr = 1 B EJ R B x - 1 2 qx2 xdx =. Po scałkowaniu i rozwiązaniu otrzymamy: R B = 3 8 q. Energia sprężysta da układu b (statycznie niewyznaczanego) wynosi: U (b) = 1 2EJ M 2 g dx U (b) = 1 2EJ 3qx 8 - qx2 2 Po uporządkowaniu i scałkowaniu otrzymamy: U (b) = q 2 5 32EJ.. Jak z powyższego wynika, energia układu drugiego (b) jest osiem razy mniejsza od energii układu pierwszego (a). Zadanie 8.5.5 Jaka wartość powinna mieć siła P, aby reakcja w prawej podporze była równa zero. Schemat beki przedstawiono na rysunku 8.33. Dane: q = 1 kn m, = 1 [m], EJ = const.

222 Rys. 8.33 Rozwiązanie: Beka stanowi układ jednokrotnie statycznie niewyznaczany. Jako wiekość hiperstatyczną przyjęto reakcję R C (rys. 8.34) prawej podpory, która przy danej sie P powinna być równa zero. Momenty zginające w poszczegónych przedziałach beki mają postać (rys. 8.34): Rys. 8.34 x 1 M g1 = R C x 1 x 2 2 2 x 2 M g2 = R A x 2-1 2 qx2 2, M g3 = R A x 3-1 2 qx2 3 P x 3-2, Ponieważ występująca w równaniach rekcja R A jest wiekością niewiadomą nie hiperstatyczną, naeży ją przedstawić za pomocą reakcji hiperstatycznej R C. W tym ceu skorzystamy z równań równowagi i otrzymamy:

223 R A = R C + 1 2 P Po wstawieniu do równań sił wewnętrznych otrzymamy: M g1 = R C x 1, M g2 = R C x 2 + 1 2 Px 2-1 2 qx2 2, M g3 = R C x 3 + 1 2 Px 3-1 2 qx2 3 - P x 3-2. Pochodne cząstkowe podług reakcji hiperstatycznej wynoszą odpowiednio: δm g1 δr C = x 1 δm g2 δr C = x 2 δm g3 δr C = x 3 Wykorzystując twierdzenie Menabrea-Castigiano możemy napisać: δu δr C = 1 EJ δm 2 g1 Mg1 δr dx 1 + g2 Mg2 C δr dx 2 + g3 Mg3 C δr dx 3 C = 2 Po podstawieniu wartości, scałkowaniu i uwzgędnieniu, że R C =, otrzymujemy wartość siły P, która wynosi: P = 4 q P = 4 [kn].