AM 2009/200 Zadaia z wicze«8 i 22 I 200 Omówieie zada«z kolokwium i zada«domowych Zadaie Niech f : [a, + ) R b dzie fukcj ci gª Okre±lamy fukcj f wzorem f(t) = sup{f(x) : x t} Wyka»,»e f jest iemalej ca i ci gªa Ci gªo± a ci gªo± jedostaja Zadaie 2 Przykªad fukcji jedostajie ci gªej oraz przykªad fukcji ci gªej ale ie jedostajie ci gªej Zadaie 3 Zbadaj ci gªo± jedostaj fukcji f(x) c, f(x) = ax, f(x) = x 2 oraz f(x) = x Przypomieie twierdzeia z wykªadu: fukcja ci gªa okre±loa a zbiorze zwartym (a przedziale domki tym) jest jedostajie ci gªa x Zadaie 4 Zbadaj ci gªo± jedostaj fukcji x + i si x Zadaie 5 Ci gªa fukcja okresowa okre±loa a caªym R jest jedostajie ci gªa Kilka zada«o jedostajej ci gªo±ci dla ch tych (uogólieie iektórych zada«z wicze«) Zadaie domowe Fukcja ci gªa f : [a, + ) R która ma sko«czo graic przy x + jest jedostajie ci gªa Zadaie domowe 2 Fukcja ci gªa f : (a, b) R ma sko«czoe graice przy x a + oraz x b wtedy i tylko wtedy, gdy jest jedostajie ci gªa Michaª Jó¹wikowski, 22 styczia 200
AM 2009/200 Zadaia z wicze«5 I 200 Omówieie zada«domowych Zadaie Wyka»,»e ci gªa fukcja f : [a, + ) R, która ie jest ograiczoa ai z góry ai z doªu musi przyjmowa iesko«czeie wiele razy warto± 7 Przypomieie zwarto±, twierdzeie Weierstrassa Zadaie 2 Wyka»,»e fukcja f(x) = +x2 jest ograiczoa +x 6 Zadaie 3 Wyka»,»e dowola fukcja ci gªa f : R R posiadaj ca sko«czoe graice przy x + oraz x jest ograiczoa Zadaie 4 Wyka»,»e je±li f : R R jest fukcja ci gª, to obraz przedziaªu domki tego przy f te» jest przedziaªem domki tym Zadaie 5 Niech f, g : R R b d fukcjami ci gªymi Wyka»,»e h = max{f, g} jest fukcj ci gª Aalogiczy wyik jest prawdziwy dla miimum Kartkówka 6 graice Zadaie Oblicz Zadaie 2 Oblicz x 0 l x + l( + tg x) si(tg x) cos 2x ( l(2x + ) l(2x) ) l(2x)(x + 3) Zadaie domowe Niech f : R R b dzie fukcj ci gª Wyka»,»e f jest ci gªa Zadaie domowe 2 Niech f : [a, + ) R b dzie fukcj ci gª Okre±lamy fukcj f wzorem f(t) = sup{f(x) : x t} Wyka»,»e f jest ci gªa Zadaie domowe 3 Podaj przykªady (wystarczy arysowa ) fukcji Która ie ma wªaso±ci Darboux 2 Która ma wªaso± Darboux, ale ie jest ci gªa Zadaia dodatkowe - póªci gªo± Poi»ej zajduje si seria zadaek dotycz ca poj cia fukcji póªci gªej Zdaka same w sobie ie s trude wymagaj bardziej u»ywaia deicji i» pomysªów Zrobieie ich (lub przyajmiej cz ±ci z ich) b dzie traktowae jak zrobieia zadaia z gwiazdk Deicja Niech A b dzie podzbiorem R Fukcja f : A R azywa si póªci gª z doªu gdy x A ε>0 δ>0 je±li x y < δ to f(x) f(y) < ε Zadaie Zaobserwuj,»e fukcja ci gªa jest póªci gªa z doªu Zadaie 2 Podaj przykªad fukcji póªci gªej z doªu, która ie jest ci gªa Wskazówka - spróbuj ieco zmodykowa jak ± fukcj ci gª 2
Deicja Graic dol ci gu x azywamy liczb if x = sup{g R : ε>0 g ε < x dla prawie wszystkich } Iymi sªowy patrzymy a wszystkie istote ograiczeia dole ci gu x istote czyli ie zwracamy uwagi gdy sko«czoa ilo± wyrazów b dzie miejsza i bierzemy ajwi ksze z ich Na przykªad dla ci gu ( ) graica dola to ( ) Je±li x g to tak»e if x = g Zadaie 3 Wyka»,»e fukcja f : A R jest póªci gªa z doªu wtedy i tylko wtedy gdy dla ka»dego ci gu x x 0 w A zachodzi f(x 0 ) if f(x ) Zadaie 4 Udowodij aalog twierdzeia Weierstrassa Fukcja póªci gªa z doªu a zbiorze zwartym osi ga kres doly Zadaie 5 Dla fukcji f : [ a, + ) R deiujemy f(t) = if{f(x) : x t} Wyka»,»e f jest malej ca oraz,»e je±li f jest póªci gª z doªu to f tak»e Deicja Aalogiczie do poj cia fukcji póªci gªej z doªu deiujemy fukcj póªci gª z góry x A ε>0 δ>0 je±li x y < δ to f(y) f(x) < ε Zadaie 6 Wyka»,»e f jest ci gª wtedy i tylko wtedy gdy jest póªci gªa z góry i z doªu Jak ietrudo si domy±li fukcje póªci gªe z góry maj aalogicze wªaso±ci do póªci gªych z doªu ale»y w odpowiedich miejscach zamiei if a sup Michaª Jó¹wikowski, 5 styczia 200 3
AM 2009/200 Zadaia z wicze«i 200 Omówieie zada«domowych Zadaie Niech W (x) = a k x k +a k x k + +a x+a 0 b dzie wielomiaem Zbadaj graice W (x) przy x oraz x Zadaie 2 Wyka»,»e ka»dy wielomia ieparzystego stopia ma pierwiastek rzeczywisty Wªaso± Darboux Zadaie 3 Wyka»,»e wielomia x 6 999x 5 + 3x 0 7 ma pierwiastek rzeczywisty Zadaie 4 Zajd¹ pierwiastek wielomiau x 3 + x + 2x + z dokªado±ci lepsz i» 0 Zadaie 5 (Tw o pukcie staªym, Tw Brouwera w wymiarze ) Wyka»,»e dowola fukcja ci gªa f : [a, b] [a, b] ma pukt staªy, tz istieje c [a, b] takie,»e f(c) = c Zadaie 6 Dwa samochody pokoaªy drog z miasta A do miasta B w takim samym czasie Wyka»,»e w pewym momecie pr dko±ci obu samochodów musiaªy by takie same Zadaie domowe Oblicz Zadaie domowe 2 Oblicz x π 4 cos 2x si x cos x ( πx ) (x ) tg x 2 Michaª Jó¹wikowski, styczia 200 4
AM 2009/200 Zadaia z wicze«8 I 200 Sªówko przed kolokwium Zadaie Niech r ozacza -ty ogo szeregu a, tz r := k= a Wyka»,»e szereg a jest zbie»y wtedy i tylko wtedy gdy r 0 przy Zadaie 2 Niech a b dzie zbie»ym szeregiem o wyrazach dodatich Zdeiujmy r := m= a m Wyka»,»e szereg a r jest rozbie»y Zadaie 3 Oblicz graice (a) (c) (e) x x (b) x l x x 0 x 0 l x l( + x) (d) x x x 0 + x si(si x) x 0 x Zadaie domowe Oblicz graic x 0 x x (f) Zadaie domowe 2 Oblicz graic x + 3 si ( x + 2 x + ) tg x x 0 x Michaª Jó¹wikowski, 8 styczia 200 5
AM 2009/200 Zadaia z wicze«4 I 200 Zadaie Zajd¹ fukcj odwrot do sih x Zadaie 2 Wyka»,»e zªo»eie fukcji ci gªych jest fukcj ci gª Zadaie 3 Dla jakich parametrów a, b R fukcja si ax x dla x < 0 f(x) = x 3 dla 0 x < x 2 +x+2 b dla x jest ci gªa? Zadaie 4 Oblicz ast puj ce graice (a) (b) (c) (d) (e) si(2009x) x 0 si(200x) si(2009x) x si(200x) 3 x x 5 x π x x x 5 x ( x 3 + 3x x 2 + 5 ) 2x 2 + Zadaie 5 Podaj przykªad fukcji f o tej wªaso±ci,»e f(x) ie ma graicy przy x 0 ale f(x 2 ) ju» ma Zadaie 6 Fukcja ci gªa f : R R speªia waruek f(x+y) = f(x)+f(y) Wyka»,»e f(x) = ax dla pewego a R Zadaie domowe Zajd¹ fukcj odwrot do tah x := sih x cosh x = ex e x e x +e x Zadaie domowe 2 Czy istieje szereg a o tej wªaso±ci,»e dla wszystkich k = 0,, 2, 3, szereg (a ) 2k+ jest zbie»y, za± (a ) 2k jest rozbie»y? Zadaie domowe 3 Poda przykªad fukcji f, g : R R o tej wªaso±ci,»e x x0 f(x) = y 0, y y0 g(y) = c ale x x0 g(f(x)) c Przy jakich dodatkowych zaªo»eiach a pewo zajdzie rówo±? Michaª Jó¹wikowski, 4 styczia 200 6
AM 2009/200 Zadaia z wicze«8 XII 2009 Omówieie zada«domowych Zadaie Deiujemy rekurecyjie ci gi x i y x = a, y = b, x + = x y, y + = x + y 2 gdzie a, b 0 Wyka»,»e oba ci gi s zbie»e do wspólej graicy Liczb t azywamy ±redi arytmetyczogeometrycz Gaussa Graica fukcji przypomieie deicji i podstawowe wªaso±ci Zadaie 2 Oblicz graic fukcji Zadaie 3 Oblicz graic Zadaie 4 Zbadaj istieie graicy Naszkicuj wykres badaej fukcji Zadaie 5 Zbadaj istieie graicy x 2 2x 2 x x 0 w puktach x = 0,, cos x x 2 x 0 si x x si x 0 x Zadaie 6 Wyka»,»e je±li f(x) jest fukcj ograiczo a x x0 g(x) = 0 to x x0 f(x)g(x) = 0 Zadaie 7 Podaj przykªad fukcji f : R R, która ie ma graicy w»adym pukcie x R Zadaie 8 Podaj przykªad fukcji f : R R, która ma graic w dokªadie jedym pukcie x R Zadaie 9 Podaj przykªad fukcji f : R R, która ma graic w dokªadie puktach a, a 2,, a R Zadaie 0 Podaj przykªad fukcji f : R R, która ma graic w dokªadie puktach a, a 2,, a R i graica ta wyosi odpowiedio b, b 2,, b Zadaie domowe Wyka»,»e fukcje okre±loe a zbiorze D R o warto±ciach w R tworz przestrze«liiow (ad R) z aturalym dodawaiem (f + g)(x) = f(x) + g(x) Sprawd¹,»e fukcje posiadaj ce graic w pukcie x 0 D tworz podprzestrze«liiow tej przestrzei Zadaie domowe 2 (*) Czy dla ka»dego przeliczalego zbioru puktów A = {a : N} oraz odpowiadaj cego im zbioru warto±ci {b : N} istieje fukcja f : R R maj ca graic tylko w puktach zbioru A i tak,»e graica w pukcie a wyosi b Ewetualie mo»a zrobi w wersji bez ostatiego waruku wystarczy istieie graicy w puktach a i, warto±ci tych graic mog by byle jakie Michaª Jó¹wikowski, 8 grudia 2009 7
AM 2009/200 Zadaia z wicze«4 XII 2009 Omówieie zada«domowych Wiosek (z trzeciego zadaia domowego) Sius jest fukcj ros c a przedziale ( π 2, π 2 ), czyli tam gdzie kosius jest dodati Zadaie Wyka»,»e Zadaie 2 Zbadaj zbie»o± szeregu Zadaie 3 Zbadaj zbie»o± szeregu Zadaie 4 Zbadaj zbie»o± szeregu cos(x + h) cos x = si x h 0 h =2 si = cos = ( si ( ) ) l Zadaie 5 (uogólieie poprzediego) Udowodij ast puj cy fakt: je±li a jest ci giem mootoiczie zbie»ym do 0, to zbie»y jest szereg si (( ) a ) = Deicja Kosiusem hiperboliczym azywamy fukcj Siusem hiperboliczym azywamy fukcj cosh x = 2 (ex + e x ) sih x = 2 (ex e x ) Badaie podstawowych wªaso±ci fukcji hiperboliczych Zadaie 6 Wyka»,»e sih 0 = 0, cosh 0 =, sih jest fukcj ieparzyst a cosh parzyst Zadaie 7 Naszkicuj wykresy fukcji sih i cosh 8
Zadaie 8 Udowodij to»samo± zwa jedyk hiperbolicz cosh 2 x sih 2 x = Zadaie 9 Udowodij wzór a sius hiperboliczy sumy k tów sih(x + y) = sih x cosh y + cosh x sih y Zadaie domowe Udowodij wzór a kosius hiperboliczy sumy k tów Zadaie domowe 2 Oblicz graic Zadaie domowe 3 Oblicz graic cosh(x + y) = cosh x cosh y + sih x sih y sih x x 0 x cosh x x 0 x 2 Michaª Jó¹wikowski, 4 grudia 2009 9
AM 2009/200 Zadaia z wicze«xii 2009 Omówieie zada«domowych Liczby zespoloe - deicja, podstawowe wªaso±ci Zadaie Wyprowad¹ wzór a sius i kosius sumy k tów Zadaie 2 Udowodij ast puj c to»samo± trygoometrycz Zadaie 3 Wyka»,»e szereg si x + si 2x + + si x = si ( 2 x) si ( + 2 x) si x 2 = si x jest zbie»y iezale»ie od x Zadaie 4 Zbadaj zbie»o± bezwzgl d szeregu z poprzediego zadaia Zadaie 5 Udowodij,»e cos x x 0 x 2 = 2 Zadaie domowe Udowodij,»e cos(2x) = 2 si 2 (x) Zadaie domowe 2 Zajd¹ posta trygoometrycz liczby zespoloej e iφ Zadaie domowe 3 Wyka»,»e si(x + h) si(x) = cos(x) h 0 h Wskazówka: wykorzystaj wzór a sius sumy k tów Zadaie domowe 4 (dla wytrwaªych) Zajd¹ wzór a cos x + cos 2x + cos 3x + + cos x Michaª Jó¹wikowski, grudia 2009 0
AM 2009/200 Zadaia z wicze«7 XII 2009 Omówieie zada«domowych Zadaie Zbadaj zbie»o± szeregu! (p + )(p + 2) (p + ) Wskazówka: skorzystaj z kryterium Raabego Zadaie 2 Zbadaj zbie»o± szeregu korzystaj c z kryterium Raabego w zale»o±ci od liczb dodatich p i q Zadaie 3 Zbadaj zbie»o± szeregu Doko«czymy a kolejych wiczeiach p(p + )(p + 2) (p + ) q(q + )(q + 2) (q + ) = si(x) Kartkówka 5 szeregi Zadaie Zbadaj zbie»o± szeregu = e Zadaie 2 Zbadaj zbie»o± bezwzgl d /warukow szeregu ( si π + π ) l 2 Zadaie domowe Zbadaj zbie»o± szeregu ( ) p(p + )(p + 2) (p + ) 2 q(q + )(q + 2) (q + ) w zale»o±ci od liczb dodatich p i q Zadaie domowe 2 Zbadaj zbie»o± szeregu ( ) 2 x +
Zadaie domowe 3 Zbadaj zbie»o± szeregu! (2)!! Symbol (2)!! (podwója silia) ozacza iloczy 2(2 2)(2 4)(2 6) 2 Zadaie domowe 4 (*) Oblicz graic + + 2 2! + 3 3! + +! + e Zadaie domowe 5 (*/2) Szereg a jest zbie»y Wyka»,»e wówczas + (a + 2a 2 + 3a 3 + + a ) = 0 Michaª Jó¹wikowski, 7 grudia 2009 2
AM 2009/200 Zadaia z wicze«4 XII 2009 Twierdzeie (o scalaiu) Niech a b dzie ci giem zbie»ym do 0 Rozwa»my dowoly ros cy ci g liczb aturalych l (te ci g b dzie mówiª jak rozstawiamy awiasy) (przyjmijmy dodatkowo l 0 = 0) i zdeiujmy A = a l + + a l +2 + + a l Je±li ci g l + l jest ograiczoy, to szeregi a oraz A s albo rówocze±ie zbie»e, albo rozbie»e (i maj t sam sum ) Omówieie zada«domowych Zadaie Twierdzeie o trzech szeregach (o wyrazach dowolych) Je±li a b c, oraz szeregi a i c s zbie»e to zbie»y jest tak»e szereg b Zadaie 2 Zbadaj zbie»o± szeregu ) l ( + ( ) Zadaie 3 Zbadaj zbie»o± szeregu 2 ) l ( + ( ) Zadaie domowe Zbadaj zbie»o± szeregu ) l ( + ( ) Zadaie domowe 2 Zbadaj zbie»o± szeregu (( ) ) + 2 Zadaie domowe 3 Zbadaj zbie»o± szeregu 2 l l W ajbli»szy poiedziaªek kartkówka z szeregów Michaª Jó¹wikowski, 4 grudia 2009 3
AM 2009/200 Zadaia z wicze«30 XI 2009 Podstawowe iformacje o szeregach o wyrazach dowolych Zbie»o± bezwzgl da i warukowa Twierdzeie Liebiza i twierdzeie Dirichleta Omówieie zada«domowych Zadaie Zbadaj zbie»o± (bezwzgl d /warukow ) szeregu ( ) ( ) Zadaie 2 Zbadaj zbie»o± (bezwzgl d /warukow ) szeregu ( ) 2 + ( ) + Zadaie 3 Zbadaj zbie»o± (bezwzgl d /warukow ) szeregu ( ) 2 Zadaie 4 Zbadaj zbie»o± (bezwzgl d /warukow ) szeregu cos(π) + Zadaie 5 Zbadaj zbie»o± (bezwzgl d /warukow ) szeregu si(π) 2 Zadaie 6 Zbadaj zbie»o± (bezwzgl d /warukow ) szeregu 2 4 + 3 6 8 + 5 0 2 + Zadaie 7 Zbadaj zbie»o± (bezwzgl d /warukow ) szeregu 2 3 + 4 5 6 + 7 8 9 + Twierdzeie (o scalaiu) Niech a b dzie ci giem zbie»ym do 0 Rozwa»my dowoly ros cy ci g liczb aturalych l (te ci g b dzie mówiª jak rozstawiamy awiasy) (przyjmijmy dodatkowo l 0 = 0) i zdeiujmy A = a l + + a l +2 + + a l Je±li ci g l + l jest ograiczoy, to szeregi a oraz A s albo rówocze±ie zbie»e, albo rozbie»e Iymi sªowy, je±li waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy, to mo»emy dowolie rozstawi awiasy mi dzy wyrazami szeregu bez szkody dla zbie»o±ci, o ilo± wyrazów w ka»dym awiasie jest z góry ograiczoa 4
Zadaie domowe Wyka»,»e zaªo»eia o tym,»e ilo± wyrazów w ka»dym awiasie jest ograiczoa (ci g l + l jest ograiczoy) ie mo»a opu±ci Wystarczy poda przykªad szeregu rozbie»ego speªiaj cego waruek koieczy zbie»o±ci, który jest rozbie»y oraz istieje awiasowaie, który czyi te ci g zbie»ym (oczywi±cie awiasy b d musiaªy robi si dowolie dªugie) Zadaie domowe 2 Zbadaj zbie»o± (bezwzgl d /warukow ) szeregu ( ) + ( ) + Zadaie domowe 3 Zbadaj zbie»o± (bezwzgl d /warukow ) szeregu ( ) + ( ) + Zadaie domowe 4 Zbadaj zbie»o± (bezwzgl d /warukow ) szeregu + 3 2 2 2 + 5 2 + 7 2 4 2 + 9 2 + 2 6 2 + Michaª Jó¹wikowski, 30 listopada 2009 5
AM 2009/200 Zadaia z wicze«27 XI 2009 Omówieie zada«domowych Zadaie Zbadaj zbie»o± szeregu ( ) l α Zadaie 2 Zbadaj zbie»o± szeregu Zadaie 3 Zbadaj zbie»o± szeregu α l (l ) 2 Zadaie 4 W twierdzeiu o zag szczaiu 2 mo»a zast pi przez 0 Zadaie 5 Zbadaj zbie»o± szeregu Zadaie 6 Zbadaj zbie»o± szeregu l l(l ) l (l(l )) 2 Twierdzeie (Szeregi Abela) Niech l k ozacza k-krote zªo»eie logarytmu (a wi c l k (x) = l (l ( l(x) ))) Szereg l l(l ) l k () jest zbie»y dla p > i rozbie»y dla p ( ) p l (k+) () Szeregi powy»szej postaci azywamy szeregami Abela Twierdzeie dowodzi si przez idukcj po k z wykorzystaiem twierdzeia o zag szczaiu Zadaie 7 Zbadaj zbie»o± szeregu 0l(l ) Wskazówka: spróbuj zast pi podstaw pot gi przez e 6
Zadaie 8 Zbadaj zbie»o± szeregu 2 3 + 4 + 5 6 7 + Zadaie domowe Dlaczego w ostatim zadaiu mo»a byªo poª czy s siedie wyrazy w pary? Czy w sumie a + a 2 + a 3 + mo»a zawsze dowolie poustawia awiasy bez szkody dla zbie»o±ci? Zadaie domowe 2 Zbadaj zbie»o± szeregu 0 l Zadaie domowe 3 Zbadaj zbie»o± szeregu ( ) 2 + 2 Zadaie domowe 4 (*) Zbadaj zbie»o± szeregu si(x) Wskazówka: przydate mog by liczby zespoloe Michaª Jó¹wikowski, 27 listopada 2009 7
AM 2009/200 Zadaia z wicze«23 XI 2009 Omówieie zada«domowych Zadaie Zbadaj zbie»o± szeregu Zadaie 2 Zbadaj zbie»o± szeregu 2 3 + 7 + 8 ( 2 ) Zadaie 3 Zbadaj zbie»o± szeregu w zale»o±ci od warto±ci parametru α ( l( + ) ) α Zadaie 4 Wyka»,»e je»eli a > 0 oraz szereg a jest zbie»y, to zbie»y jest tak»e szereg a 2 Czy teza jest prawdziwa dla szeregów o wyrazach dowolych? Zadaie 5 Wyka»,»e dla szeregu o wyrazach dodatich a szereg te jest zbie»y wtedy i tylko wtedy gdy zbie»e s szeregi a 2 i a 2+ Czy podoba teza zachodzi dla szeregów o wyrazach dowolych? Zadaie 6 Zbadaj zbie»o± szeregu Kartkówka 4 szeregi Zadaie Oblicz sum Zadaie 2 Zbadaj zbie»o± szeregu =2! 00, 00 Zadaie domowe Zbadaj zbie»o± szeregu w zale»o±ci od warto±ci parametru α ( ) α 8
Zadaie domowe 2 Zbadaj zbie»o± szeregu ( + ) Zadaie domowe 3 Zbadaj zbie»o± szeregu l! Michaª Jó¹wikowski, 23 listopada 2009 9
AM 2009/200 Zadaia z wicze«20 XI 2009 Omówieie zada«domowych Przypomieie podstawowych kryteriów zbie»o±ci szeregów o wyrazach dodatich Zadaie Oblicz sum a a = (a ) 2 Zadaie 2 Zbadaj zbie»o± szeregu (!) 2 (2)! Zadaie 3 Zbadaj zbie»o± szeregu w zale»o±ci od warto±ci a > 0! a Zadaie 4 Zbadaj zbie»o± szeregu ( ) 2 + 3 Zadaie 5 Zbadaj zbie»o± szeregu ( ) 4 + ( ) 6 Zadaie 6 Zbadaj zbie»o± szeregu ( ) 4 + 3( ) 6 Zadaie 7 Zbadaj zbie»o± szeregu 2 + + 5 3 + 4 3 Zadaie domowe Oblicz sum 2 a Zadaie domowe 2 Niech a b dzie ci giem Wyka»,»e je»eli szeregi a 2 i a 2+ s zbie»e do g i h odpowiedio, to szereg a jest zbie»y do g + h Zadaie domowe 3 Zbadaj zbie»o± szeregu + si x 2 Michaª Jó¹wikowski, 20 listopada 2009 20
AM 2009/200 Zadaia z wicze«6 XI 2009 Omówieie zadaia domowego Omówieie wybraych zada«z kolokwium Przypomieie podstawowych iformacji o szeregach (szeregi o wyrazach dodatich, sumowalo± a ograiczoo±, kryterium porówawcze, kryterium Cauchy'ego i D'Alemberta) Zadaie Oblicz sum szeregu (a) (b) (c) = =2 ( + ), 2, 2 7 Zadaie domowe Zajd¹ sum szeregu Zadaie domowe 2 Zajd¹ sum szeregu Zadaie domowe 3 Oblicz graic (2 + ( ) ) 2 7 2009! ( ) Zadaie domowe 4 (*) Rozwa»my szereg = Wyka»,»e dla dowolie wybraej liczby g R = R {, + } istieje taka permutacja σ : N N (permutacja to iaczej bijekcja),»e szereg z przestawioymi wyrazami ( ) σ() σ() ma sum rów g Ogólie jest prawd, dla ka»dego szeregu zbie»ego a, takiego»e a jest rozbie»y,»e zmieiaj c kolejo± sumowaia ( a σ(), gdzie σ jest permutacj ) mo»a otrzyma dowol z góry zada sum sko«czo lub iesko«czo Michaª Jó¹wikowski, 6 listopada 2009 2
AM 2009/200 Zadaia z wicze«3 (pi tek) XI 2009 Omówieie zada«domowych Iterpretacja geometrycza logarytmu Zadaie Oblicz graic F + F, gdzie F jest -tym wyrazem ci gu Fiboacciego Zadaie 2 Oblicz graic ( + ) 2 2 Przydate mo»e by ast puj ce zadaie pomocicze: Zadaie 3 Oblicz graic 2 Zadaie 4 Ci g a okre±loy jest rekurecyjie a = a + = ( a + 5 ) 2 a Wyka»,»e a jest zbie»y i oblicz jego graic Zadaie 5 Oblicz kresy zbioru k { :, k N} + + k Przydate mo»e by ast puj ce zadaie domowe: Zadaie domowe Niech A i gdzie i I b dzie rodzi ograiczoych podzbiorów R wyka»,»e sup i I A i = sup{sup A i : i I} Zadaie domowe 2 Napisa dobrze kolokwium Zadaie domowe 3 (*/2) Ci g x okre±loy jest rekurecyjie x > 0 x + = x + x 2 Wyka»,»e ci g x 3 jest zbie»y i oblicz jego graic Michaª Jó¹wikowski, 3 listopada 2009 22
AM 2009/200 Zadaia z wicze«9 XI 2009 Zadaie Wyka»,»e dla ka»dego N prawdziwa jest ierówo± ( )! > 3 Zadaie 2 Oblicz graic (!) 2 (2)! Zadaie 3 Wyka»,»e ci g a = ( + 2 )( + 4 ) ( + 2 ) jest zbie»y Zadaie 4 Wyka»,»e ci g a = + 2 + + l jest zbie»y do graicy wªa±ciwej Wskazówka: zapisz l w postaci sumy Graic tego ci gu azywamy staª Eulera- Mascheroiego i ozaczamy symbolem γ Liczbowo γ 0, 57725 Zadaie 5 Oblicz graic F + F, gdzie F jest -tym wyrazem ci gu Fiboacciego Doko«czymy a kolejych wiczeiach F Zadaie domowe Wyka»,»e ci gi 2 F 2 oraz F 2+ F 2 s mootoicze Zadaie domowe 2 Oblicz graic ci gu a = + + + + 2 Zadaie domowe 3 Oblicz graic ci gu a = ( + 2)! +! ( + 2)!! Zadaie domowe 4 (*) Zajd¹ graic ci gu a = ( + 2 )( + 4 ) ( + 2 ) Nie wiem czy to zadaie jest robiale Michaª Jó¹wikowski, 9 listopada 2009 23
AM 2009/200 Zadaia z wicze«6 XI 2009 Deicja i wªaso±ci logarytmu aturalego Zadaie Wyka»,»e logarytm jest fukcj ci gªa, tz je±li x x > 0 to l x l x Wskazówka: udowodij ajpierw dla x =, a potem skorzystaj z wªaso±ci logarytmu Zadaie 2 Wyka»,»e je±li x 0 to l( + x ) x Zadaie 3 Wyka»,»e x x > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy l x l x Zadaie 4 Wyka»,»e je±li x x > 0 oraz y y to x y x y Iymi sªowy fukcja x y jest ci gª fukcj swoich obu argumetów Omówieie zada«domowych Przypomieie twierdzeia Stolza Zadaie 5 Oblicz graic Zadaie 6 Oblicz graic Zadaie 7 Oblicz graic + + 2 + 3 + + l l +! + 3! + 5! + + (2 )! 2! + 4! + + (2)! Zadaie 8 Ci g a okre±loy jest rekurecyjie a =, a + = 2 a2 + 2a Wyka»,»e jest to ci g zbie»y i oblicz jego graic Zadaie domowe Oblicz graic + ( ) ( + ) 2 + Zadaie domowe 2 Ci g a przyjmuje tylko warto±ci dodatie i jest zbie»y do g Wyka»,»e ci g ±redich geometryczych tego ci gu s := a a 2 a jest tak»e zbie»y do g Zadaie domowe 3 Oblicz graic ( 2 + + 2 + 2 + + 2 + ) 24
Kartkówka 3 - graice Zadaie Oblicz graic Zadaie 2 Oblicz graic 3 + 3 + Michaª Jó¹wikowski, 6 listopada 2009 25
AM 2009/200 Zadaia z wicze«2 XI 2009 Omówieie zada«domowych Twierdzeie o ci gu mootoiczym i ograiczoym Zadaie Oblicz graic cos(!) Zadaie 2 Wyka»,»e ci g 2, 2 + 2, 2 + 2 + 2 jest zbie»y i oblicz jego graic Zadaie 3 Oblicz graic ci gu a = 2 + 4 + + 2 Zadaie 4 Wyka»,»e ci g s = + + + + jest zbie»y 2 2 2 Zadaie 5 Wyka»,»e ci g a = 2 + 2 + 3 + + 2 2 2 3 2 jest zbie»y i oblicz jego graic Zadaie 6 Oblicz ast puj ce graice (a) (b) (c) Zadaie domowe Oblicz graice ( + 5 ) +8, ( + 5 ) 2+3, ( ) 3 +4 3 + (a) (b) (c) ( 2 + 3 2 + ( + ( ) ( + 5 ) 2 ) 2 2 +5, ) ( ), Zadaie domowe 2 Ci g a jest zbie»y do graicy g Wyka»,»e ci g ±redich arytmetyczych tego ci gu s := (a + a 2 + + a ) jest tak»e zbie»y do g Michaª Jó¹wikowski, 2 listopada 2009 26
AM 2009/200 Zadaia z wicze«30 X 2009 Omówieie zada«domowych Graica ci gu - przypomieie deicji i podstawowe wªaso±ci (dziaªaia arytmetycze, tw o trzech ci gach) Zadaie Oblicz graice (przy ) ast puj cych ci gów a =, b =, 2 c = 2 +3, d = 2 +3 3 +2+5 Zadaie 2 Oblicz graice (a) (b) (c) 2 + 5 + 3 3 2 5 + 8, +, + 5 + 7 + 3 Zadaie 3 Zajd¹ graice ci gów a =, b = 2, c = 3, d = 3 +, e = 2 + 3 + 3 f = 2 2 Zadaie 4 Zbadaj zbie»o± ci gów a = ( ), b = ( ), c = ( ) 2 Zadaie 5 Oblicz graice przy ast puj cych ci gów a = 2 i b = 2 2 Zadaie domowe Oblicz graic ( 3 + 5 3 + 2)( 3 2 2 + 4 + 5) Zadaie domowe 2 Udowodij,»e je±li ci g a jest ograiczoy (tz dla pewego M > 0 zachodzi M < a < M dla wszystkich N), a ci g b zbie»y do 0, to ci g c := a b jest zbie»y do 0 Zadaie domowe 3 Podaj przykªad takiego ci gu a, który jest zbie»y do graicy wªa±ciwej (liczby) g, ale sup A g if A, gdzie A = {a : N} jest zbiorem wyrazów ci gu a Zadaie domowe 4 (*) Ci g x okre±loy jest rekurecyjie x = oraz x + = x ax 2, gdzie a (0, ) Wyka»,»e ci g x jest zbie»y i oblicz jego graic Michaª Jó¹wikowski, 30 pa¹dzierika 2009 27
AM 2009/200 Zadaia z wicze«26 X 2009 Omówieie zada«domowych Deicja Rozwa»my dwa podzbiory zbioru liczb rzeczywistych A i B Sum algebraicz zbiorów A i B azywamy zbiór zªo»oy z sum wszystkich par elemetów ze zbiorów A i B A + B = {a + b : a A, b B} (Ogóliej mo»a mówi o sumie algebraiczej dla podzbiorów dowolej przestrzei liiowej, grupy, pier±cieia albo iej straszej struktury algebraiczej Ogólie tam gdzie dodawaie, tam i dodawaie zbiorów) Zadaie Wyka»,»e je±li A, B R to sup(a + B) = sup A + sup B Lemat Liczba c jest kresem górym (odpowiedio: dolym) zbioru A R wtedy i tylko wtedy gdy liczba c jest ograiczeiem górym (odpowiedio: dolym) zbioru A, 2 istieje ci g elemetów a A (iekoieczie ró»ych) zbie»y do c Zadaie 2 Oblicz graic ci gu a = 2 przy Zadaie 3 Wyzacz kresy zbioru { } F = 2 : N Zadaie domowe Wyzacz kresy zbioru { } ( + m) 2 G = 2 m :, m N Zadaie domowe 2 Dla zbioru ograiczoego A R i liczby rzeczywistej λ deiujemy λ A := {λa : a A} Wyka»,»e sup(λ A) = { λ sup A dla λ > 0 λ if A dla λ < 0 Zadaie domowe 3 Wyzacz kresy zbioru { E = + } k k : k, N Trudiejsze 28
Kartkówka 2 - kresy Zadaie Wyzacz kresy zbioru { } k k 2 + 5 : k N Zadaie 2 Zbiory ograiczoe A, B R maj t wªaso±,»e dla ka»dego elemetu a A istieje b B taki,»e a < b Wyka»,»e sup A sup B Czy zak mo»a zast pi < (udowodij,»e tak lub podaj kotrprzykªad)? Michaª Jó¹wikowski, 26 pa¹dzierika 2009 29
AM 2009/200 Zadaia z wicze«23 X 2009 Ogªoszeia paraale W poiedziaªek b dzie kartkówka z kresów Pierwsze z zada«domowych ale»y przyie± ªadie spisae a karteczce Do zada«domowych doªo»yªem jeszcze jedo, którego ie podaªem a wiczeiach Omówieie zada«domowych Zadaie Wyzacz kresy zbioru A = Zadaie 2 Wyzacz kresy zbioru { } + : N B = { : N } Wskazówka: a jedych z poprzedich zaj szacowali±my warto± Zadaie 3 Wyzacz kresy zbioru { } C = k : k, N Zadaie 4 Wyzacz kresy zbioru D = { k + } : k, N Lemat Liczba c jest kresem górym (odpowiedio: dolym) zbioru A R wtedy i tylko wtedy gdy liczba c jest ograiczeiem górym (odpowiedio: dolym) zbioru A, 2 istieje ci g elemetów a A (iekoieczie ró»ych) zbie»y do c Udowodimy a kolejych wiczeiach Zadaie domowe Udowodij,»e dla dwóch podzbiorów ograiczoych A, B R zachodzi sup A B = max(sup A, sup B) Zadaie domowe 2 Wyzacz kresy zbioru { E = k } : k, N Michaª Jó¹wikowski, 23 pa¹dzierika 2009 30
AM 2009/200 Zadaia z wicze«9 X 2009 Zadaie Wyka»,»e liczba 3 2 jest iewymiera Wskazówka: spróbuj rówocze±ie pokaza,»e 3 + 2 jest iewymiera Zadaie 2 Wyka»,»e dla ka»dego N liczba + jest iewymiera Potrzeby b dzie lemat,»e spo±ród liczb i + co ajmiej jeda jest iewymiera Omówieia zadaia z kartkówki Omówieie zada«domowych Deicja kresu górego (dolego) dla zbioru ograiczoego z góry (z doªu) i rozszerzeie a przypadek zbiorów ieograiczoych Zadaie 3 Wyzacz kresy zbioru Zadaie 4 Wyzacz kresy zbioru A = {x R : x 2 7x + 6 < 0} B = {x 2 + 6x + 8 R : x ( 2, 3)} Zadaie domowe Wyzacz kresy zbioru C = {x R : x + 3 + x 7 < } Zadaie domowe 2 Wyzacz kresy zbioru D = {( 2)( 5) : N} Zadaie domowe 3 (**) Na zamku Camelot obraduje 2 rycerzy Ka»dy z ich ma co ajmiej przyjacióª spo±ród pozostaªych rycerzy Udowodij,»e m»y król Artur przy pomocy m drego maga Merlia b dzie umiaª ich tak usadzi przy okr gªym stole aby ka»dy z rycerzy miaª za s siadów swoich przyjacióª Bycie przyjacielem jest symetrycze, ale iekoieczie przechodie Wyka»,»e miimalej liczby przyjacióª ie mo»a zmiejszy, to zaczy gdyby byªo wiadomo,»e ka»dy z rycerzy miaª co ajmiej to mogªoby si zdarzy,»e ie mo»a ich dobrze usadzi Dla tych, którzy lepiej orietuj si w legedzie - wolego miejsca czekaj cego dla sir Galaharda ie uwzgl diamy Moim zdaiem jest do± trude - swoje rozwi zaie poprawiaªem dwa razy Ale mo»e kto± zrobi pro±ciej, do czego gor co zach cam Michaª Jó¹wikowski, 9 pa¹dzierika 2009 3
AM 2009/200 Zadaia z wicze«6 X 2009 Zadaie Ci g Fiboacciego zdeioway jest rekurecyjie F = F 2 = oraz F + = F + F Udowodij,»e -ty wyraz tego ci gu day jest wzorem Bieta ( F = + ) ( 5 ) 5 5 2 5 2 Zadaie 2 Rozstrzygij czy ci g 2, 2 + 2, Zadaie 3 Wyka»,»e dla ka»dego N 2 + 2 + 2 jest ograiczoy + 2 Zadaie 4 Udowodij,»e dla dowolych liczb rzeczywistych a, a 2,, a oraz b, b 2,, b zachodzi ast puj ca ierówo± Schwarza (a b + a 2 b 2 + a b ) 2 < ( a 2 + + a 2 ) ( b 2 + + b 2 ) Zadaie 5 Udowodij ierówo± mi dzy ±redi arytmetycz i kwadratow Zadaie domowe Oszacowa z góry tempo wzrostu sumy + 2 + 3 + + Zadaie domowe 2 Wyka»,»e dla ka»dego N oraz x R si(x) si(x) Zadaie domowe 3 Udowodij,»e dla dowolego k ta h ie b d cego caªkowit wielokroto±ci 2π i dla dowolego N prawdziwy jest wzór si h + si 2h + + si h = si ( 2 h) si ( + 2 h) si h 2 Zadaie domowe 4 (*) kwadratow Udowodi ierówo± mi dzy ±redi stopia 3 a ±redi Michaª Jó¹wikowski, 6 pa¹dzierika 2009 32
AM 2009/200 Zadaia z wicze«2 X 2009 Omówieie zada«domowych Zadaie Udowodij,»e dla wszystkich sesowych, k, m prawdziwa jest rówo± ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) + m m m m = + + k 0 k k k 0 Zadaie 2 Udowodij,»e prawdziwy jest ast puj cy wzór ( ) ( ) ( ) + + ( ) = 0 0 Zadaie 3 Udowodij,»e prawdziwy jest ast puj cy wzór ( ) ( ) ( ) + + + = 2 0 2 4 Zadaie domowe Udowodij,»e prawdziwy jest ast puj cy wzór ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + 2 + ( ) = 0 0 2 Zadaie domowe 2 Wyka»,»e dla ka»dego N (2)! < 2 2 (!) 2 Michaª Jó¹wikowski, 2 pa¹dzierika 2009 33
AM 2009/200 Zadaia z wicze«9 X 2009 Deicja Dwa ci gi -elemetowe a i i b i azywamy jedomootoiczymi gdy oba s rówocze±ie ieros ce lub iemalej ce (a wi c mówi c iaczej maj tak sam mootoiczo± ), tz albo albo a a 2 a 3 a oraz b b 2 b 3 b, a a 2 a 3 a oraz b b 2 b 3 b T deicj ªatwo rozci g a wi ksz liczb ci gów -» damy wówczas aby ka»de dwa byªy jedomootoicze Zadaie Udowodij ierówo± Czebyszewa Rozwa»my dwa ci gi ieros cych liczb rzeczywistych a a 2 a 3 a oraz b b 2 b 3 b (takie ci gi azywamy jedomooticzymi) Wówczas dla dowolej permutacji σ S (σ to fukcja, która zamieia kolejo± umerków, S to stadardowe ozaczeie zbioru wszystkich permutacji -elemetowych) prawdziwa jest ierówo± a b σ() + a 2 b σ(2) + + a b σ() a b + a 2 b 2 + a b (dowód przez idukcj, wzgl dem ajmiejszej liczby k takiej,»e σ(k) k) Zadaie 2 (wiosek z poprzediego) Udowodij,»e dla ka»dych liczb dodatich x, x 2,, x zachodzi ierówo± mi dzy ±redi arytmetycz i kwadratow ( x 2 + x 2 2 + + ) /2 x2 x + x 2 + x Zadaie 3 Udowodij,»e dla dowolych liczb aturalych i k takich,»e k ( ) ( ) ( ) + + = k k k (poza dowodem rachukowym mo»a te» u»y iterpretacji kombiatoryczej) Zadaie 4 Wywioskuj,»e symbole Newtoa s liczbami caªkowitymi Zadaie 5 Udowodij wzór dwumiaowy Newtoa (a+b) = ( 0 ) a + ( ) a b+ ( 2 ) a b 2 + + Zadaie 6 Udowodij,»e prawdziwy jest ast puj cy wzór ( ) ( ) ( ) + + + = 2 0 ( ) b, dla dowolych a, b R oraz N Zadaie domowe Udowodij,»e prawdziwy jest ast puj cy wzór ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + + 2 + = 2 0 2 34
Zadaie domowe 2 (ieco trudiejsze) Udowodij,»e dla ka»dego N zachodzi ierówo± 2 3 4 2 < 2 2 Zadaie domowe 3 Udowodij,»e prawdziwy jest ast puj cy wzór ( ) 2 + 0 ( ) 2 + + ( ) 2 = ( ) 2 Zadaie domowe 4 (*) Udowodij uogólieie ierówo±ci Czebyszewa dla ci gów jedomootoiczych Rozwa»my ci gi ieros cych liczb rzeczywistych ieujemych (by mo»e to zaªo»eie ie jest potrzebe) a a 2 a 3 a 0, b b 2 b 3 b 0 oraz c c 2 c 3 c 0 Wyka»,»e dla dowolych dwóch permutacji σ, τ S prawdziwa jest ierówo± a b σ() c τ() + a 2 b σ(2) c τ(2) + + a b σ() c τ() a b c + a 2 b 2 c 2 + a b c (dowód ie jest du»o trudiejszy i» dowód zwykªej ierówo±ci Czebyszewa Mo»a próbowa te» uogóli a wi ksz liczb skªadików Zaªo»eie o tym,»e wyrazy ci gów s ieujeme jest jedak koiecze prosty argumet: mo» c wszystkie wyrazy przez - zmieimy zak wszystkich potrójych iloczyów i tym samym zwrot ierówo±ci) Kartkówka - idukcja Zadaie Wyka»,»e liczba 3 + 20 dzieli si przez 48 (= 3 2 4 ) dla wszystkich parzystych Zadaie 2 Udowodij,»e dla ka»dego N 2 + 2 2 + 3 2 + 2 < 2 Michaª Jó¹wikowski, 9 pa¹dzierika 2009 35
AM 2009/200 Zadaia z wicze«5 X 2009 Przypomieie: symbole Newtoa i wzór dwumiaowy Zadaie Wyka»,»e dla dowolych liczb dodatich a i b oraz dla ka»dego aturalego prawdziwa jest ierówo± (a + b) 2 (a + b ) Dla jakich a, b, zachodzi rówo±? Zadaie 2 Udowodij ierówo± Berouliego korzystaj c z rozwii cia dwumiaowego dla ( + a) Wskazówka dla a < 0 koleje wyrazy rozwii cia b d przyjmowa ró»e zaki - zastaów si dla jakich a moduªy kolejych wyrazów b d male? Zadaie 3 Udowodij,»e dla ka»dego N ( ) +! < 2 Wskazówka: przy dowodzie idukcyjym mo»e by przydata Berouliego Zadaie 4 Wyka»,»e dla ka»dych liczb dodatich x, x 2,, x speªiaj cych zale»o± x x 2 x = prawdziwa jest ierówo± x + x 2 + + x Kiedy zachodzi rówo±? Zadaie 5 Korzystaj c z wyików poprzediego zadaia udowodij,»e dla ka»dych liczb dodatich a, a 2,, a zachodzi ierówo± mi dzy ±redi arytmetycz a geometrycz a + a 2 + + a a a 2 a Zadaie domowe Udowodij,»e ( ) +! < 2 korzystaj c z ierówo±ci ±redich Zadaie domowe 2 Udowodij,»e dla ka»dych liczb dodatich x, x 2,, x zachodzi ierówo± mi dzy ±redi geometrycz i harmoicz ( ) x x x 2 x + x 2 + x Zadaie domowe 3 Udowodij,»e dla ka»dych liczb dodatich x, x 2,, x prawdziwa jest ierówo± x + x 2 + + x + x x 2 x 3 x x Zadaie domowe 4 (*) Udowodij,»e dla ka»dych liczb dodatich x, x 2,, x zachodzi ierówo± mi dzy ±redi arytmetycz i kwadratow ( x 2 + x 2 2 + + ) /2 x2 x + x 2 + x Michaª Jó¹wikowski, 5 pa¹dzierika 2009 36
AM 2009/200 Zadaia z wicze«2 X 2009 Przypomieie: zasada idukcji zupeªej Zadaie Wyka»,»e dla ka»dego N + 2 + 3 + = Zadaie 2 Wyka»,»e dla ka»dego N ( + ) 2 2 + 2 2 + 3 2 2 ( + )(2 + ) = 6 Zadaie 3 Wyka»,»e dla ka»dego N liczba 3 7 jest podziela przez 6 Zadaie 4 Wyka»,»e dla ka»dego N liczba 3 jest podziela przez 3 (oraz 2) Zadaie 5 Wyka»,»e dla ka»dego N liczba 5 jest podziela przez 5 Zadaie 6 Wyka»,»e dla ka»dego aturalego wi kszego i» 2 Zadaie 7 Wyka»,»e dla ka»dego N Zadaie 8 Wyka»,»e dla ka»dego N Zadaie 9 Wyka»,»e dla ka»dego N Zadaie 0 N + + + + > 2 3 2 + 2 3 + 3 4 + + ( + ) < + 2 + 3 + + 2 > 2 + 2 + 4 + + 2 = 2 2 Udowodij ierówo± Berouliego Dla ka»dego a >, dla ka»dego ( + a) + a Zadaie domowe Udowodij,»e dla ka»dego N 3 + 2 3 + 3 3 + 3 = 2 ( + ) 2 4 Zadaie domowe 2 Czy liczba 7 jest podziela przez 7 dla ka»dego N? Co z podzielo±ci 9 przez 9? Zadaie domowe 3 Udowodij ierówo± Weierstrassa, która jest uogólieiem ierówo±ci Berouliego Dla liczb a, a 2,, a, które wszystkie s tego samego zaku i z których ka»da jest wi ksza od zachodzi ( + a )( + a 2 ) ( + a ) + a + a 2 + + a Michaª Jó¹wikowski, 2 pa¹dzierika 2009 37