7.. Cel ćwiczenia Ćwiczenie 7 MASZYNY ROSTE - WIELOKRĄŻKI Celem ćwiczenia jest teoretyczne i doświadczalne wyznaczenie sił w linach wielokrążka znajdującego się w położeniu równowagi i określenie sprawności wielokrążka. 7.. Wprowadzenie Obiektem badań jest układ mechaniczny składający się z kół o osiach nieruchomych i ruchomych opasanych linkami. Układ taki nazywany jest wielokrążkiem. Rozpatrywany układ może pozostawać w równowadze lub poruszać się w płaszczyźnie pionowej (układ ma jeden stopień swobody). omiary dokonywane na stanowisku badawczym polegają na poszukiwaniu obciążeń w położeniu równowagi układu. Rys. 7.. Wielokrążki: potęgowy i sumacyjny Wyniki pomiarów są porównywane z rezultatami obliczeń otrzymanych na podstawie analizy statycznej przeprowadzonej dla modelu fizycznego badanego układu. Autorzy ćwiczenia: J. Strzałko, J. Grabski
Maszyny proste wielokrążki 7.. Teoretyczny opis zjawiska ołożeniem równowagi statycznej nazywa się takie położenie, w którym układ znajduje się przez dowolnie długi czas, jeżeli w chwili początkowej znajdował się on w tym położeniu, a prędkości wszystkich jego punktów były równe zeru. Równania równowagi układu mechanicznego można otrzymać w różny sposób na przykład na podstawie: analizy układu sił czynnych i reakcji więzów działających na układ i na poszczególne ciała należące do układu (działające siły muszą spełniać warunki równowagi), twierdzenia o energii potencjalnej (dla układów zachowawczych w położeniu równowagi energia potencjalna spełnia warunki konieczne do istnienia jej ekstremum), zasady prac przygotowanych (dla układów o więzach idealnych suma prac przygotowanych na przemieszczeniach wirtualnych jest równa zeru), sił uogólnionych (przyjmujących zerowe wartości w położeniu równowagi). 7.4. Analiza modelu fizycznego badanego układu Wielokrążek może być rozpatrywany jako układ złożony z krążków osadzonych w idealnych łożyskach oraz idealnie wiotkich lin. Taki model wielokrążka nie pozwala na precyzyjny opis zachowanie rzeczywistego układu. Dla modelu idealnego równowaga wielokrążka jest możliwa tylko dla jednej wartości siły przyłożonej do liny. W układzie rzeczywistym wielokrążek pozostaje w spoczynku dla pewnego zakresu wartości siły przyłożonej do liny. rzyczyną tego są opory ruchu krążków oraz pewna sztywność liny przy jej zaginaniu i prostowaniu. 7.4.. Wpływ sztywności liny na zginanie na sprawność wielokrążka Jeżeli lina opasuje koło i będziemy starali się obrócić koło ciągnąc linę za jeden koniec z siłą, to lina przybierze postać jak wskazuje rys. 7. (po lewej stronie krążka jest pokazana część liny wchodzącej na koło, po prawej zaś stronie część liny schodzącej z koła). Taka właściwość odchylania się liny spowodowana jest sztywnością giętną liny. Rys. 7.. Odkształcenie liny na krążku W obliczeniach rzeczywistych układów można uwzględnić odchylenia liny od prostej stycznej do krążka. Oznaczając przez ξ i ξ wielkości tych odchyleń, można określić sumę momentów sił obciążających końce liny względem osi koła jako ( R + ξ ) ( R ξ ) 0. (7.) = Stąd wynika, że wartość siły, potrzebnej do utrzymania krążka w równowadze jest określona wzorem R + ξ R ξ =. (7.)
Ćwiczenie nr 7 Łatwo zauważyć, że >, to jest, że siła czynna musi być większa od siły biernej. Wielkości ξ i ξ wyznaczyć można tylko drogą doświadczalną. Wzór (7.) uprości się, jeśli przyjmiemy (zgodnie z doświadczeniem), że odchylenia ξ i ξ posiadają bardzo małe wartości w stosunku do promienia R i niewiele różnią się między sobą. rzyjmując ξ = ξ = ξ otrzymuje się Dalsze uproszczenie wzoru jest możliwe po dokonaniu rozwinięcia wyrażenia pominięciu składników nieliniowych R + ξ R ξ R + ξ =. (7.) R ξ ξ ξ = + + R R ξ + R R + ξ R ξ +... w szereg Taylora, a następnie Odrzucając składniki zawierające ξ w drugiej i wyższych potęgach jako bardzo małe wartości, otrzymuje się wzór (7.4) ξ = +. (7.5) R Doświadczenia wykazały, iż wartości ξ zależą od materiału, z jakiego dana lina jest zrobiona i od jej średnicy. Na przykład dla lin konopnych wartości ξ mieści się w zakresie od ξ = 0,0 d do ξ = 0,09 d, gdzie d oznacza średnicę przekroju liny wyrażoną w centymetrach (cm). 7.4.. Wpływ tarcia w czopie i sztywności liny na zginanie na sprawność pojedynczego krążka Rozpatrzymy teraz przypadek, gdy ciągnąca siła podnosi ciężar za pomocą liny, przerzuconej przez krążek o promieniu R ciężarze G, który może się obracać wokół nieruchomej osi o promieniu r, z tym, że uwzględnione będzie tarcie w czopie i sztywność liny. Na rys. 7. są pokazane siły działające na krążek. Rys. 7.. Siły działające na krążek podparty w łożysku ślizgowym: a) krążek osadzony na nieruchomej osi, b) krążek z wałkiem osadzonym w łożysku W położeniu spoczynku suma momentów sił względem bieguna, który został obrany w środku krążka równa się zero, zatem ( R + ) ( R ξ ) + N r = 0 ξ µ. (7.6)
Maszyny proste wielokrążki Wielkość siły N wyznaczymy na podstawie sumy rzutów wszystkich sił działających na krążek na oś pionową + N cos ρ G + µ N sin ρ = 0. (7.7) skąd, po wykorzystaniu związku μ = tg ρ i przekształceniu otrzymuje się zależność N = ( + + G) cos ρ. (7.8) o wstawieniu do równania (7.6) zależności (7.8) i wykorzystaniu przybliżenia cos ρ (które jest dopuszczalne dla małych kątów ρ, podobnie jak przybliżenie µ = tg ρ sin ρ), uzyskuje się równanie ( R + ) ( R ξ ) + ( + G + ) r = 0 ξ µ. (7.9) odstawiając ξ= kd, gdzie k oznacza współczynnik określony na podstawie badań przeprowadzanych dla lin (d oznacza średnicę przekroju liny), otrzymuje się skąd ( R + kd + r) ( R kd µ r) + Gr = 0 µ µ, (7.0) R + kd R kd + µ r µ r + G. (7.) µ r R kd µ r = W przypadku, gdy ciężar krążka G ma małą wartość w porównaniu z obciążeniem oraz, gdy licznik ułamka przy G jest mały w porównaniu z licznikiem ułamka przy, to cały wyraz zawierający ciężar G można pominąć. Wówczas R + kd R kd + µ r µ r. (7.) R + kd + µ r Oznaczając ułamek symbolem χ i rozwijając go w szereg względem k, a następnie względem r, R kd µ r otrzymuje się (po pominięciu wyrażeń zawierających r, k, r, k...) R + kd + µ r µ r k d 4k µ r d χ = + + +. (7.) R kd µ r R R R Wielkość χ jest nazywana współczynnikiem oporu tarcia i sztywności lin dla układu lina-krążek (wartość współczynnika χ > ). odstawiając (7.) do (7.) otrzymuje się wzór określający przybliżoną wartość siły, która jest potrzebna do pokonania oporów w układzie lina-krążek i podniesienia ciała o ciężarze µ r k d 4 k µ r d χ = + + +. (7.4) R R R Sprawność układu (oznaczenie η) określa stosunek mocy uzyskanej (N u ) z układu do mocy doprowadzonej albo włożonej do układu (N w ). Sprawność pojedynczego krążka wobec jednakowej prędkości liny po obu stronach krążka może być wyrażona przez stosunek wartości siły po stronie biernej () do wartości siły po stronie czynnej () Nu v η = = =. (7.5) N v Dla lin konopnych wartość współczynnika k mieści się w zakresie od 0,0 do 0,09 (k = 0,0 0,09) w 4
Ćwiczenie nr 7 Innymi słowy sprawność krążka można określić jako stosunek obciążenia czynnego dla krążka idealnego ( = ideal ) do obciążenia czynnego dla krążka rzeczywistego ( = rzecz ) ideal η =. (7.6) Wykorzystując wzór (7.4) określający przybliżoną wartość siły sprawność pojedynczego krążka można wyznaczyć na podstawie współczynników charakteryzujących sztywność liny i tarcie w łożysku ślizgowym 7.4.. rzełożenie i sprawność wielokrążka rzecz µ r k d 4 k µ r d η = = +. (7.7) χ R R R Dla układu krążków (wielokrążka) wprowadzimy wielkości nazywane przełożeniem wielokrążka idealnego i przełożeniem wielokrążka rzeczywistego. rzełożeniem wielokrążka idealnego nazywa się wielkość określoną stosunkiem prędkości liny po stronie czynnej (v cz ) do prędkości liny po stronie biernej (v b ) v cz i =. (7.8) rzełożeniem siły dla wielokrążka idealnego będziemy nazywać wielkość określoną stosunkiem wartości obciążenia czynnego wielokrążka idealnego ( ideal ) do obciążenia biernego () v b ideal α = ideal. (7.9) rzełożenie siły dla wielokrążka rzeczywistego jest określone na podstawie rzeczywistej siły czynnej ( rzecz ) rzecz α = rzecz. (7.0) Do określenia sprawności wielokrążka konieczna jest znajomość prędkości odpowiednich punktów układu, a właściwie stosunku prędkości podnoszonego ciężaru (v ), a więc po stronie biernej, do prędkości końca liny po stronie czynnej (v ) N v u η w = =. (7.) N v Sprawność wielokrążka można określić stosunkiem rzeczywistego przełożenia siły do przełożenia idealnego siły rzykład wyznaczania sprawności dla układu krążków w ideal ideal η w =. (7.) rzecz rzecz = α α okażemy teraz jak dla przykładowego układu krążków przedstawionego na rysunku 7.4 obliczyć przełożenie sił oraz sprawność tego mechanizmu przy podnoszeniu ciała o ciężarze. Zakładamy przy tym, że dla każdego krążka i opasującej go liny znane są wartości µ, r, k, d, to jest, że można wyznaczyć współczynniki χ dla poszczególnych krążków i opasujących je lin. 5
Maszyny proste wielokrążki Rys. 7.4. Układ krążków Oznaczając przez S do S 6 siły w przekrojach lin, tak jak pokazano na rys. 7.4 i rozpatrując równowagę poszczególnych ciał można napisać następujące równania: + S = S 4, S + S =, 4 S5 + S + S. S = Wykorzystując wartości χ i charakteryzujące poszczególne krążki można podać zależności: = χ S, S4 = χ S, S = χ. 5 S Z podanych sześciu równań można wyrugować pięć wielkości (S, S,... S 5 ); pozostanie jedno równanie, określające zależność pomiędzy siłami i. Ma ono postać = χ χ χ + χ + χ + χ + χ χ + χ χ + χ χ. Jeśli mamy do czynienia z jednakowymi krążkami, to χ = χ = χ = χ w takim przypadku = χ + χ + χ. Zakładając, że układ jest idealny (to jest pomijając tarcie w łożyskach i przyjmując, że lina jest doskonale wiotka) należy podstawić χ = χ = χ = wówczas uzyskuje się wynik = = = 0,4857 + + 7. Dla układu rzeczywistego, na przykład dla wartości χ =,06 otrzymuje się 6
= 0, 577. Ćwiczenie nr 7 Bez rozpatrywania kinematyki układu na podstawie wzoru (7.) można wyznaczyć sprawność rozpatrywanego wielokrążka jako ideal 0,48 η w = = = 0,905. 0,577 7.5. Opis stanowiska badawczego rzecz Stanowisko badawcze przedstawione jest na rys. 7.5. W jego skład wchodzą: obciążniki (), krążki stałe (), krążki ruchome (), rama (4), krążki pomocnicze (5), uchwyty lin (6). Rys. 7.5. Schemat stanowiska badawczego rzykładowe układy wielokrążków zostały przedstawione w tabeli 7. (pogrubiona linia pozioma na końcu liny oznacza ostoję, do której zamocowana jest lina). rowadzący zajęcia ustala, który układ wielokrążków będzie badany. Zespół studentów wykonujący ćwiczenie otrzymuje zestaw bloczków, obciążniki i linki pozwalające na wykonanie odpowiedniego układu wielokrążków. Tabela 7.. rzykładowe układy wielokrążków Schemat Schemat 7
Maszyny proste wielokrążki Tabela 7.. - c.d. Schemat Schemat 4 Schemat 5 Schemat 6 Schemat 7 Schemat 8 Schemat 9 Schemat 0 8
7.6. rzebieg pomiarów Ćwiczenie nr 7 W tabeli 7. notowane są wartości sił obciążających końce liny opasującej pojedynczy krążek. omiary wykonywane są dla jednej liny przy różnych obciążeniach po stronie biernej i czynnej. Tabela 7.. Wyniki badań doświadczalnych krążka stałego dla liny o średnicy d =... mm Lp Masa po stronie biernej m b Siła po stronie biernej b =g m b Masa po stronie czynnej m cz Siła po stronie czynnej cz =g m cz Sprawność b η = 00 -- kg N kg N % 4 5 6 W tabeli 7. zapisywane są wartości siły czynnej dla liny opasującej pojedynczy krążek, przy stałym obciążeniu biernym. omiary dokonywane są dla czterech lin o różnych średnicach. Tabela 7.. Wyniki badań doświadczalnych krążka stałego dla obciążenia biernego b =... N Lp Średnica liny opasującej krążek d Masa po stronie czynnej m cz Siła po stronie czynnej cz = m cz g Sprawność b η = 00 -- mm kg N % 4 W tabeli 7.4 notowane są wartości sił obciążających układ (po stronie czynnej i biernej) dla układu złożonego z dwóch krążków jednego ruchomego i jednego nieruchomego (rys. 7.6). onadto mierzone są przemieszczenia punktów przyłożenia siły czynnej i siły biernej. omiary dokonywane są dla jednej liny. Rys. 7.6. Układ dwóch krążków cz cz 9
Maszyny proste wielokrążki Lp Tabela 7.4. Wyniki badań doświadczalnych dwóch krążków dla liny o średnicy d =... mm Siła po stronie czynnej cz Siła po stronie biernej b rzemieszczenie h 0 punktu przyłożenia siły cz rzemieszczenie h punktu przyłożenia siły b η Sprawność h b = 00 h -- N N m m % 4 5 6 W tabeli 7.5 wpisywane są wartości sił obciążających wielokrążek o układzie krążków zgodnym z zadanym schematem (wielokrążek naszkicowany w tabeli 7.). onadto są mierzone i zapisywane w tabeli przemieszczenia (h 0 ) punktu przyłożenia siły czynnej ( cz ) i przemieszczenia (h, h ) punktów przyłożenia sił biernych ( b, b ). omiary dokonywane są dla jednej liny. Lp Tabela 7.5. Wyniki badań doświadczalnych wielokrążka dla liny o średnicy d =... mm Siła po stronie czynnej cz Siła po stronie biernej b Siła po stronie biernej b rzemieszczenie h 0 punktu przyłożenia siły cz rzemieszczenie h punktu przyłożenia siły b rzemieszczenie h punktu przyłożenia siły η b = 0 cz Sprawność h + h -- N N N m m m % 4 5 6 7.7. Opracowanie wyników pomiarów i sprawozdanie W sprawozdaniu należy zamieścić: a) schemat badanego wielokrążka, b) wypełnione tabele 7. 7.5, c) wykres sprawności w funkcji średnicy liny sporządzony na podstawie danych z tabeli 7., d) obserwacje i wnioski. 7.8. ytania sprawdzające. Co to jest przełożenie wielokrążka?. Jaki efekt powoduje niezerowa sztywność giętna liny opasującej krążek?. Jak modelowany jest wpływ tarcia w łożysku ślizgowym? 4. Jak określa się sprawność pojedynczego krążka? 5. Jak wyznacza się sprawność wielokrążka? b h 0 cz b 00 0