ZASTOSOWANIE FUNKCJI KOPULI W MODELOWNIU INDEKSÓW GIEŁDOWYCH

ZASTOSOWANIE FUNKCJI KOPULI W MODELOWNIU INDEKSÓW GIEŁDOWYCH Jacek Leśkow, Jusyna Mokrzycka, Kamil Krawiec 1 Sreszczenie Współczesne zarządzanie ryzykiem finansowanym opiera się na analizie zwroów szeregów czasowych. Jednym z najbardziej isonych błędów częso popełnianych przez analiyków jes zby częse wykorzysywanie rozkładu normalnego, podczas gdy założenie o nie jes spełnione. Modele wykorzysujące funkcje kopuli oraz inne modele, w kórych nie wysępuje założenie normalności, dosarczają nowych narzędzi rozwiązania ego problemu, gdyż orzymane rezulay mogą być bezpośrednio zasosowane w zarządzaniu porfelem, wycenie opcji, pomiarze ryzyka z pominięciem założenia normalności. Dlaego eż zarówno eoreycy, jak i prakycy są zaineresowani wielowymiarowymi modelami dla zwroów oraz funkcjami kopuli. Teoria funkcji kopuli dosarcza efekywnej oraz ciekawej w swej prosocie echniki konsrukcji wielowymiarowego rozkładu wekora losowego. Dzięki wierdzeniu Sklara sformułowanemu w 1959 r. możemy każdą wielowymiarową dysrybuanę przedsawić w posaci jej dysrybuan brzegowych oraz specyficznej funkcji kopuli. W niniejszej pracy przedsawiono zasosowanie funkcji kopuli w konsrukcji wielowymiarowego warunkowego rozkładu szeregów czasowych. W osaniej części poddano analizie modele dynamiczne: model dynamicznej warunkowej kopuli oraz model DCC-MVGARCH. Ponado zaprezenowano również zasosowanie meody boosrap w konekście funkcji kopuli. Teoreyczne rozwiązania zosały podsumowane opracowanymi przykładami wskazującymi na możliwość sosowania funkcji kopuli w prakyce. Klasyfikacja JEL: C, C5 Słowa kluczowe: funkcja kopuli, model GARCH, warunkowa funkcja kopuli, model DCC-MVGARCH, dynamiczna warunkowa funkcja kopuli, boosrap Nadesłany: 14.03.011 Zaakcepowany: 7.06.011 Wprowadzenie Funkcje kopuli sały sie osanio bardzo popularnym narzędziem zasosowań w ekonomerii finansowej oraz zarządzaniu ryzykiem z uwagi na możliwość uniknięcia nieprawidłowości w sosowaniu rozkładów normalnych w syuacji, gdy ewidennie zwroy z akywa nie mają ego rodzaju rozkładu. Funkcje kopuli są ważnym narzędziem saysycznym z uwagi na możliwość konsruowania wielowymiarowych modeli na podsawie rozkładów brzegowych oraz specyficznej funkcji zwanej właśnie funkcją kopuli. Sandardowe podejście w zarządzaniu ryzykiem porfela opiera się na założeniu normalności, co pozwala na modelowanie zachowania się porfela w oparciu o analizę poszczególnych pozycji oraz kowariancji. W podobnym sensie echnika wykorzysująca funkcje kopuli jes uogólnieniem ej meody z uwagi na możliwość modelowania poszczególnych pozycji z wykorzysaniem szerokiej gamy dysrybuan oraz funkcji kopuli w miejsce kowariancji. To podejście daje nam możliwość elasycznego doboru funkcji kopuli, co pozwala na lepsze modelowanie zależności pomiędzy poszczególnymi pozycjami porfela. Prowadzi o bezpośrednio do lepszego 1 Dr hab. Jacek Leśkow, Wyższa Szkoła Biznesu Naional-Louis Universiy, ul. Zielona 7, 33-300 Nowy Sącz, leskow@wsb-nlu.edu.pl, mgr Jusyna Mokrzycka, mgr Kamil Krawiec. 35-5 Rzeszów 1

modelowania różnego rodzaju ryzyk powiązanych z porfelem, akich jak uraa płynności czy warość narażona na ryzyko (ang. Value a Risk, VaR) (Cherubini, Luciano i Vecchiao, 003). W celu przedsawienia eorii funkcji kopuli w sposób ławy do zrozumienia publikacja przedsawia szczegółową analizę porfela składającego się z dwóch indeksów giełdowych. W pracy pokazano, iż zasosowane meody z wykorzysaniem funkcji kopuli dają znacznie lepsze rezulay niż radycyjne meody z uwagi na brak konieczności zakładania normalności rozkładów. Praca ponado podejmuje ema modelowania zmiennej w czasie srukury zależności pomiędzy zmiennymi poprzez analizę zasosowania modelu dynamicznej warunkowej korelacji (DCC) oraz dynamicznej warunkowej kopuli. Prezenowane przykłady ilusrują eapy modelowania łącznego warunkowego rozkładu dwuwymiarowego szeregu zwroów o składowych WIG0 oraz DAX z zasosowaniem funkcji kopuli. Ogólna charakerysyka funkcji kopuli Adobe Sklar rozwinął eorię funkcji kopuli poprzez sformułowanie w 1959 r. ważnego wierdzenia, dzięki kóremu możliwe jes przedsawienie każdej wielowymiarowej dysrybuany w posaci jej dysrybuan brzegowych oraz odpowiedniej funkcji kopuli. W przypadku, gdy wielowymiarowa dysrybuana jes ciągła, funkcja kopuli wyznaczona jes jednoznacznie. Dla zilusrowania ego faku rozważmy dwuwymiarową dysrybuanę H( x1, x ) o dysrybuanach brzegowych F1( x 1) i F( x ), wówczas isnieje aka funkcja kopuli C, że zachodzi nasępujące równanie x1, x R, H( x1, x) C( F1 ( x1 ), F ( x)). (1) Odwronie, jeżeli C jes dwuwymiarową funkcją kopuli oraz F1, F są jednowymiarowymi dysrybuanami, wówczas możemy na podsawie równania (1) wyznaczyć aką dwuwymiarową dysrybuanę H, dla kórej F1, F są dysrybuanami brzegowymi H. Definicja funkcji kopuli wraz z innymi eoreycznymi zagadnieniami przedsawiona zosała w pracy Nelsena (1999). Poniżej przedsawiono przykłady wielowymiarowych dysrybuan orzymanych za pomocą funkcji kopuli. Przykład 1. Wielowymiarowa dysrybuana o składowych z rozkładu normalnego Niech F1, F będą jednowymiarowymi rozkładami normalnymi. Rozważmy nasępującą funkcję kopuli 1 ln (1 u ) ln (1 v ) C( u, v) u v 1 (1 u)(1 v) e. () Na podsawie wierdzenia Sklara dwuwymiarowa dysrybuana o rozkładach brzegowych F, F jes posaci: 1 1 ln (1 F ( x )) ln (1 F ( y )) 1 H( x, y) F ( x) F ( y) 1 (1 F ( x))(1 F ( y)) e. (3) 1 1 Przykład. Kopula -sudena Kopula -sudena podobnie jak kopula normalna konsruowana jes z wykorzysaniem meody odwroności (Nelsen, 1999). Jej równanie jes nasępujące: 35-5 Rzeszów

C 1 1 ( u1 ) ( u ) ( ) r rs s, ( u1, u ) (1 ) v ( ) 1 (1 ) 1 ( ) drds, (4) gdzie jes paramerem funkcji kopuli, liczbą sopni swobody, a funkcją Gamma. Modele finansowych szeregów czasowych Precyzyjne modelowanie warunkowych rozkładów brzegowych szeregu czasowego o isony krok algorymu wykorzysania funkcji kopuli w modelowaniu warunkowego łącznego rozkładu. Wielowymiarowe dysrybuany są najlepszym narzędziem modelowania porfela i dlaego konieczne jes rozszerzenie klasycznych narzędzi bazujących na założeniu normalności. Podczas analizy empirycznych szeregów czasowych odpowiadających zwroom na przykład z indeksów giełdowych bardzo częso obserwowane są akie zjawiska, jak efek skupienia (gromadzenia) zmienności (ang. volailiy clusering), co jes wynikiem zmiennej w czasie warunkowej wariancji. Innym rodzajem charakerysycznych zachowań szeregów czasowych jes wysępowanie grubych ogonów, gdy rozpięość zwroów jes znacznie większa, niż wynika o z rozkładu normalnego (Mandelbro, 1963; Fama, 1965). Ponado obserwowany jes również efek dźwigni finansowej rozumiany jako asymeryczny wpływ informacji pozyywnych i negaywnych na warość przyszłej wariancji. Ważny podkreślenia jes fak, iż wiele zwroów z finansowych szeregów czasowych nie spełnia założenia normalności. Dla zilusrowania użyjmy prosego narzędzia zwanego q-q plo. Orzymany wykres przesawia porównanie kwanyli rozkładu normalnego z kwanylami empirycznymi odpowiadającymi analizowanym zwroom. Jeżeli zwroy pochodziłyby z rozkładu normalnego, wówczas punky winny być położone na wykreślanej linii. Poniższy wykres wykonano dla dziennych zwroów indeksu WIG0 w okresie od sycznia 004 do luego 008 r. Rysunek 1: Porównanie kwanyli z rozkładu normalnego z kwanylami empirycznymi zwroów indeksu WIG0 Rysunek 1 wskazuje, iż użycie modelu, w kórym zakłada się rozkład normalny, może okazać się niepoprawnym rozwiązaniem dla ego rodzaju danych empirycznych. Wskazane jes 35-5 Rzeszów 3

użycie rozkładu o ciężkich ogonach, np. rozkładu -sudena. Najczęściej sosowane w lieraurze modele do opisu ego rodzaju zjawisk w szeregach czasowych o uogólnienia modelu ARMA-GARCH z innowacjami o ciężkich ogonach rozkładu (Tsay, 00). Kluczem właściwego oraz precyzyjnego modelowania zwroów porfela, indeksów giełdowych jes modelowanie zmienności. Najbardziej popularna radycyjna ścieżka wykonania ego zadania wykorzysuje wariancję jako miarę zmienności. Jednak ego rodzaju miara zmienności jes właściwa w przypadku, gdy dane pochodzą z rozkładu normalnego, co jednak jak przedsawia powyższy rysunek, nie jes spełnione dla WIG0. Bardziej precyzyjne narzędzia w modelowaniu zmienności używają modeli ypu GARCH będących uogólnieniem modeli ARCH, kórych wórcą jes Rober Engle (Engle, 198). Zaleą ego rodzaju modeli jes zmienna w czasie warunkowa wariancja, podczas gdy bezwarunkowa wariancja pozosaje niezmienna. Wobec ego przyjrzyjmy się szczegółowo modelom GARCH(p,q). Szereg czasowy { } Z nazywamy szeregiem ypu GARCH(p,q), gdy h, gdzie h h q p 0 i i j j. (5) i 1 j 1 W równaniu (5) symbol oznacza innowacje. Model jes dobrze zdefiniowany, gdy p 0, q 0 oraz α 0 >0, α i 0, i =1,,,p, β j 0, j=1,,,q. W szeregu ypu GARCH(p,q) wariancja warunkowa w momencie zależy od kwadraów realizacji szeregu z momenów -1,, -q oraz od wariancji warunkowych z okresów -1,,-p. Dzięki wprowadzeniu wariancji z poprzednich okresów bieżąca zmienność procesu zależy od całej jego przeszłości. Modele GARCH podobnie jak ARCH zyskały swoją popularność ze względu na warunkową heeroskedasyczność. Model GARCH(p,q) jes bardzo ważny podczas modelowania klasrów zmienności (ang. volailiy clusering) dla zwroów { e } uzyskanych z modeli ARMA (Brockwell i Davis, 00). Efek dźwigni finansowej, jak już było wspomniane powyżej, określany jes jako wpływ informacji dobrych i złych na poziom przyszłej wariancji szeregu. Przez informację dobrą rozumiemy dodanią sopę zwrou, naomias informacja zła uożsamiana jes z ujemną sopą zwrou. Lieraura proponuje kilka sposobów modelowania omawianego zjawiska. Najpopularniejszymi modelami z ego zakresu są GJR-GARCH przedsawione w pracy Glosen, Jagannahan i Runkle (1993). Model GJR-GARCH(p,q) definiowany jes nasępująco: szereg czasowy { } Z jes szeregiem ypu GJR-GARCH(p,q), jeśli dla każdego zachodzi poniższe równanie: h, (6) gdzie q p q 0 i i j j i { i 0} i i 1 j 1 i 1 h h I oraz { } są dowolnymi innowacjami ze średnią zero oraz jednoskową wariancją. W równaniu (6) funkcja I [ ab, ] oznacza funkcję indykaorową dla przedziału [a,b], j. I ( ) 1 [ ab, ] x, gdy x [ a, b ] oraz I ( ) 0 [ ab, ] x, gdy x [ a, b ]. Ponado paramery spełniają nasępujące warunki 0 0, i 0, i 1,.., q, 1 0, j 1,.., p, i 0, i 1,.., q. W modelu GJR-GARCH paramer i odpowiada za asymerię modelu. Niech { } będzie Z szeregiem sóp zwrou z insrumenu finansowego, wówczas gdy warości paramerów są i, 35-5 Rzeszów 4

silnie większe od zera, wedy ujemne sopy zwrou mają większy wpływ na poziom warunkowej wariacji niż dodanie sopy zwrou. Im większa jes warość parameru, ym i efek dźwigni finansowej jes mocniejszy. Sąd eż paramer en idenyfikuje wrażliwość zmienności funkcji h w odpowiedzi na ujemne zwroy. Inną meodą parameryzowania braku symerii w reagowaniu rynku w sosunku do dodanich oraz ujemnych zwroów jes Asymmeric Power ARCH wprowadzony przez Ding, Granger i Engle (1993). Szereg czasowy { } Z jes nazywany szeregiem ypu APARCH(p,q), jeżeli dla każdego spełnione jes nasępujące równanie:, (7) gdzie 0 q ( ).\ n i i i i j j i 1 j 1 W równaniu (7) symbol { } odpowiada innowacjom o średniej zero i jednoskowej wariancji. Ponado model jes dobrze określony, gdy zachodzą nasępujące warunki: 0 0, i 0, i 1,.., q, 1 0, j 1,.., p, 1 i 1, i 1,.., q. Klasa modeli APARCH przy określonych warościach współczynników zawiera model ARCH, GARCH, jak również GJR- GARCH oraz inne modele omawiane w lieraurze (Wurz, Chalabi i Luksan, 00). Funkcje kopuli a modelowanie indeksów giełdowych W klasycznym podejściu do analizy zwroów z porfela zakłada się wielowymiarowy rozkład normalny. Na podsawie wcześniejszych rozważań założenie normalności okazuje się mało realisyczne. Współczesne narzędzia wykorzysywane w modelowaniu porfela bazują na funkcjach kopuli (Haerdle, 010). W dalszym ciągu ego rozdziału, uproszczając prezenowany algorym, ograniczono się do przypadku dwuwymiarowego. Wielowymiarowe uogólnienie dwuwymiarowego przypadku nie sprawia dużych problemów i można je znaleźć w lieraurze (por. Haerdle, 010). Rozpoczynając dopasowywanie funkcji kopuli do szeregów czasowych opisanych poprzez wcześniej omawiane modele (GJR, ARARCH ip.), należy precyzyjnie usalić, czy przyjęa meoda dopasowania może być zasosowana w konekście warunkowej funkcji kopuli, j. funkcji reprezenującej zmienną zależność zjawiska. Nasępnie esymując funkcję kopuli, najczęściej używa się meody IFM (Cherubini i in., 003). Szczegółowe kroki algorymu przedsawiają się nasępująco: KROK 1. Dla każdej pozycji porfela nasępuje idenyfikacja właściwego modelu (np. GARCH, GJR id.), esymującego funkcję zmienności { h } modelu oraz idenyfikującego warunkową dysrybuanę dla zmiennych { i }. W celu wyjaśnienia, w porfelu składającym się z dwóch pozycji, dwóch szeregów czasowych { x } p (8) T i { y } T przeprowadza się esymację osobno dla każdego szeregu. Idenyfikacja paramerów poszczególnych modeli wykonywana jes w oparciu o kryerium AIC (Mokrzycka, 008). KROK. Wykorzysując rezulay z kroku 1 dla każdego momenu czasowego {1,, T }, worzone są realizacje niezależnych o jednosajnych rozkładach na odcinku (0,1) zmiennych losowych { } u T i T { v } poprzez ransformacje 35-5 Rzeszów 5

wyjściowych danych { x } T i { y } T względem dysrybuan brzegowych (Cherubini in., 003). KROK 3. Wykorzysując szeregi czasowe { u } T oraz { v } T orzymane w kroku, wykonywana jes esymacja paramerów funkcji kopuli. Proces esymacji przebiegający w kroku 1 wymaga dużej precyzji z uwagi, iż odbywa się uaj określenie warunkowych dysrybuan. Ponado, krok 1 jes isony z uwagi na późniejszy właściwy dobór funkcji kopuli, kóry opiera się na rezulaach ego kroku. Nad ego rodzaju isonymi zagadnieniami rwają badania prowadzone przez auorów publikacji. W celu zilusrowania powyższej meody zaprezenowano poniżej przykład obejmujący dopasowanie dwuwymiarowej warunkowej funkcji kopuli odpowiadającej zależności pomiędzy indeksami WIG0 oraz DAX. Wykorzysano możliwości obliczeniowe pakieu R oraz algorymy dosępne na sronie inerneowej prof. Andrew Paona (Pozyskano z hp://www.nuffield.ox.ac.uk/users/nielsen/mphileconomerics/index008.hm). Przykład 3. (Esymacja warunkowego rozkładu dla WIG0 i DAX, 004-008) Analizie poddano dzienne zwroy z porfela składającego się z dwóch indeksów giełdowych: WIG0 oraz DAX w okresie od sycznia 004 do 7 luego 008 r. W przypadku noowań indeksu DAX w rozparywanym okresie wysępuje różnica w liczbie obserwacji ze względu na fak większej liczy dni wolnych od pracy w Polsce niż w Niemczech. Z ego powodu analizie poddano obserwacje pochodzące z części wspólnej. Algorym konsrukcji warunkowej dysrybuany przedsawiony powyżej rozpoczyna się od esymowania paramerów rozkładów brzegowych. Dla szeregu zwroów z indeksu WIG0 najlepszym modelem okazał się model GARCH(1,1) z innowacjami ze skośnego rozkładu -sudena. Naomias dla szeregu zwroów z indeksu DAX zidenyfikowano model APARCH(1,1) z paramerem oraz skośnym rozkładem -sudena. Poniżej przedsawiono wyniki będące podsumowaniem wykonanego kroku 1 kolejno dla zwroów z indeksu WIG0 oraz DAX. Tabela 1: Esymowane współczynniki modelu GARCH(1,1) dla zwroów WIG0 Parameers Esimae Sd. Error value Pr(> ) α 0 1.87e-06 1.391e-06 1.314 0.188973 α 1 4.076e-0 1.331e-0 3.061 0.0003 ** β 1 9.505e-01 1.787e-0 53.174 < e-16 *** LLF 3031.989 AIC -5.853544 Tabela : Esymowane współczynniki modelu APARCH(1,1) z dla zwroów DAX Parameers Esimae Sd. Error value Pr(> ) α 0 4.635e-06 1.515e-06 3.059 0.00 ** α 1 3.889e-0 1.67e-0.36 0.0004 * γ 1 0.99 3.70e-01.688 0.00719 ** β 1 8.703e-01.736e-0 31.81 <e-16 *** LLF 3400.805 AIC -6.566098 35-5 Rzeszów 6

Dla zwroów z indeksu DAX najlepszym modelem, biorąc pod uwagę kryerium AIC, jes model APARCH(1,1) z paramerem oraz innowacjami ze skośnego rozkładu -sudena. Ponado paramer γ 1 jes bliski warości 1, co implikuje dużą asymerię wpływu informacji pozyywnych i negaywnych. W powyższej abeli symbol AIC odpowiada warości kryerium informacyjnego Akaike orzymywanym podczas esymacji różnego rodzaju modeli z klasy modeli GARCH czy APARCH. Orzymana warość jes najmniejszą spośród uzyskanych w rakcie doboru modeli. Naomias oznaczenie LFF odpowiada logarymowi warości funkcji wiarygodności. Warość a w porównaniu modeli winna być maksymalizowana w celu wyboru najlepszego spośród analizowanych modeli. Przejdźmy do przedsawienia rezulaów orzymanych po wykonaniu kroku numer. W celu zweryfikowania poprawności wykonanych esymacji w kroku 1 wykonano dla ransformacji { u } T i { v } T es Kołmogorowa-Smirnowa zgodności z rozkładem jednosajnym na (0,1) oraz es LM na niezależność ransformacji. Tabela 3: p-warości wykonanych esów Transformed reurns p-value LM Tes p-value K-S Tes WIG0 0.898 0.5611 DAX 0.1185 0.348 W obu przypadkach, dla WIG0 i DAX, nie ma podsaw do odrzucenia hipoez zerowych zarówno dla niezależności obserwacji, co weryfikowano, używając esu LM, oraz dla zgodności rozkładu z rozkładem jednosajnym. W obu warianach p warości są większe od 5%, sąd nie ma wąpliwości co do poprawności modeli zasosowanych w kroku 1. Nasępnie przechodząc do kroku rzeciego, przeprowadzono idenyfikację oraz esymację warunkowej funkcji kopuli, używając ransformacji { u } T i { v } T. Tabela 4: Warości LLF oraz AIC esymowanych funkcji kopuli Copula LLF AIC Normal 10.765-0.346 Sym. Joe-Clayon 17.7099-0.499 Gumbel 10.3056-0.1990 -suden 18.6105-0.517 Największą warość logarymu funkcji wiarygodności LLF oraz najmniejszą warość kryerium Akaike orzymano dla kopuli -sudena. Esymowane paramery kopuli -sudena są nasępujące: liczba sopni swobody wynosi 8.1969, naomias paramer jes równy 0.4583. Szczegółowo posać kopuli -sudena przedsawia równanie nr 4. Podsumowując powyższy przykład, należy zwrócić szczególną uwagę na fak, iż orzymano różne warunkowe dysrybuany rozkładów brzegowych, a zwroy w obu przypadkach modelowane są za pomocą rozkładów o grubych ogonach. 35-5 Rzeszów 7

Rysunek : Porównanie empirycznych kwanyli zwroów z indeksu WIG0 z kwanylami rozkładu normalnego (wykres po lewej) oraz wykres sandaryzowanych residuów pochodzących z modelu GARCH (wykres po prawej) Ponado fak, iż najlepszą funkcją kopuli opisującą zależność pomiędzy zmiennymi jes kopula ypu -sudena, prowadzi do prosego wniosku, iż wielowymiarowy rozkład normalny nie powinien zosać w ym przypadku zasosowany. Wykazano, iż wykorzysanie możliwości, jakie daje eoria funkcji kopuli, prowadzi do lepszych rezulaów w porównaniu ze sandardowym podejściem do modelowania zwroów z porfela. Posępując dalej, wykorzysaliśmy prezenowany algorym do aproksymowania bardzo popularnej miary ryzyka rynkowego, jaką jes warość narażona na ryzyko (ang. Value a Risk). Poniżej przedsawiono ylko graficzne wyniki modelowania, naomias formalne ujęcie problemu przedsawione zosanie w przyszłych pracach auorów. Zwroy z porfela skalkulowane zosały na podsawie zwroów z indeksu WIG0 oraz DAX z wagami odpowiednio ½ i ½ w analizowanym w przykładzie nr 3 okresie. 35-5 Rzeszów 8

Rysunek 3: Zwroy z porfela oraz 95% VaR (zielona linia) Rysunek 3 wskazuje, iż użyy model poprawnie odzwierciedla zachowanie się warości narażonej na ryzyko nawe w przypadku gromadzenia się dużej zmienności obserwacji widocznej na rysunku nr 3 w osanim eapie obserwacji. Modele dynamiczne W poprzednim rozdziale zaprezenowano pozyywne aspeky zasosowania funkcji kopuli w opisie zachowania się porfela składającego się z pozycji wskazujących na fak, iż rozkłady warunkowe nie pochodzą z rozkładu normalnego. W powyższych rozważaniach przedsawiono model, zakładając, iż zależność pomiędzy składowymi porfela nie zmienia się w czasie, a co się z ym wiąże, również funkcja kopuli nie jes zmienna względem jednoski czasowej. W rzeczywisości obserwujemy jednak zmienną w czasie srukurę zależności. Posępując zgodnie za ego rodzaju przesłankami poddano analizie model DCC-MVGARCH (ang. dynamic condiional correlaion MVGARCH) oraz model warunkowej dynamicznej funkcji kopuli. W celu zapoznania się ze szczegółowymi zagadnieniami związanymi z wymienionymi modelami czyelnik odsyłany jes do nasępujących pozycji: Engle i Shephard (001) oraz Paon (001). Podsawowe informacje doyczące modelu DCC podano poniżej. Załóżmy, że dysponujemy k-wymiarowym wekorem r obserwacji w chwilach = 1; ; T np. r o wekor zwroów (w momencie ) z porfela zawierającego k akywów finansowych. Wekor en można przedsawić w równaniu warunkowej warości oczekiwanej jako model wekorowej auoregresji (VAR) A(L)r =ε, gdzie ε F -1 ~N k (0,H ) (9) oraz A(L) jes macierzą wielomianową operaora opóźnienia L (Lr 1, = r 1;-1 ), ε o wekor resz w modelu VAR z warunkową macierzą wariancji-kowariancji H { hij }, i, j 1,,..., k. W modelu zaprezenowanym w pracy Engle i Sheppard (001) macierz a zapisywana jes nasępująco: 35-5 Rzeszów 9

H =D R D, gdzie D jes diagonalną macierzą wymiaru k x k i zawiera warunkowe odchylenia sandardowe jednowymiarowych modeli GARCH, naomias R jes zmienną w czasie macierzą korelacji. Takie przedsawienie macierzy wariancji-kowariancji ma isony wpływ na uproszczenie procesu esymacji paramerów. Esymacja paramerów modelu odbywa się z wykorzysaniem meody największej wiarygodności. Przykład 4. Esymacja modelu DCC-MVGARCH dla szeregu zwroów DAX i WIG0 Analizie poddano en sam zbiór danych co w przykładzie numer 3. Wykonano esymację modelu DCC-MVGARCH bezpośrednio do zwroów, gdyż po weryfikacji część auoregresyjna nie jes isona. W celu powierdzenia zasadności zasosowania modelu dynamicznego wykonano es sałości korelacji opisany przez Engle i Shephard (001). Zgodnie z orzymaną p-warością esu model sałej korelacji zosał odrzucony na rzecz modelu o zmiennej macierzy korelacji w opóźnieniu rzędu 4. Dla kolejnych opóźnień p- warość wynosi odpowiednio: pvalue1= 0.908, pvalue=0.9504, pvalue3=0.994, pvalue4=0.0047. Sała esymowana warość współczynnika korelacji zwroów wynosi 0.4985. Naomias wykres zmiennego w czasie esymowanego w modelu DCC(1,1) współczynnika przebiega ak, jak zosało o zaprezenowane na rysunku 4. Rysunek 4: Esymowany współczynnik korelacji w modelu DCC(1,1) Warość logarymu funkcji wiarygodności dla modelu ze zmienną korelacją wynosi LLF=6496,8. Z kolei warość ej funkcji dla modelu Bollersleva (Bollerslev, 1986) ze sałą korelacją jes mniejsza i wynosi 6489,6. Wykonajmy porównanie zmiennej w czasie korelacji w modelu DCC-MVGARCH oraz zwroów w analizowanym przedziale czasowym. Rysunek 5 przedsawia przeskalowane w nasępujący sposób warości indeksów: { x R } T i { R R x y } T, gdzie x x i R y y 1 y oraz x oznacza dzienny kurs zamknięcia indeksu WIG0, 1 a y dzienny kurs zamknięcia indeksu DAX.. 35-5 Rzeszów 10

Rysunek 5: Przeskalowane warości indeksów oraz zmienna w czasie korelacja Obserwacja dynamicznej korelacji oraz zachowania się { x R } T i { y R } T prowadzi do nasępującego wniosku. Jednoczesny spadek warości indeksów (w obrębie punku 1000) generuje wyższą warość współczynnika korelacji. Naomias w przypadku wysępowania wzrosowych endencji na rynkach zależność pomiędzy indeksami giełdowymi wyrażona współczynnikiem korelacji słabnie. Tendencja spadkowa cen indeksów wpływa zaś na zwiększenie warości korelacji. Jes o kolejny przykład powierdzający brak symerii podczas równoległych zachowań na rynku. Ponownie, złe informacje rozumiane uaj jako ujemne zwroy rozprzesrzeniają się dużo szybciej. Model dynamicznej warunkowej kopuli Poprzedni przykład wskazywał na brak symerii w zależności pomiędzy dwoma indeksami giełdowymi, fak en moywuje do dalszej szczegółowej weryfikacji ego zjawiska w konekście dynamicznych funkcji kopuli. Poszukiwanie lepszych modeli rozpoczęo od analizy warunkowej kopuli normalnej ze zmiennym w czasie współczynnikiem korelacji. Nasępnie pod uwagę wzięo inny rodzaj zależności pomiędzy zmiennymi, j. zależności ogonowe oraz kopule Joe-Clayona. Zacznijmy od przedsawienia dynamicznej kopuli normalnej. Posać dwuwymiarowej kopuli normalnej jes nasępująca: 1 1 ( u) ( v) 1 ( r rs s ) C ( u, v) exp{ } drds, 1 1. (10) 1 (1 ) Badania prowadzone przez Paona (006) wskazują na nasępującą srukurę zmienności parameru kopuli normalnej: 10 1 1 1 ( 1 ( u j ) ( j ), 10 j 1 35-5 Rzeszów 11

x 1 e gdzie ( x) jes logisyczną ransformacją pozwalającą na urzymanie warości x 1 e współczynnika korelacji w przedziale (-1,1). Przeprowadźmy esymację dynamicznej kopuli normalnej dla danych z poprzedniego przykładu. Przykład 5. Model dynamicznej kopuli normalnej Dane doyczą dziennych zwroów z indeksu WIG0 i DAX, podobnie jak w przykładzie 3. Po esymacji dynamicznej warunkowej kopuli, gdzie w procesie ym dla rozkładów brzegowych wykorzysano rezulay z przykładu 3, orzymano bardzo podobny przebieg współczynnika korelacji jak dla modelu DCC-MVGARCH. Rysunek 6: Esymacja współczynnika korelacji w modelu dynamicznej warunkowej kopuli Po dopasowaniu dynamicznej kopuli warość funkcji wiarygodności wynosi 18.976 i jes większa od wszyskich orzymanych warości w przykładzie 3 poza przypadkiem kopuli - sudena. W ym przypadku również obserwujemy zwiększenie warości współczynnika korelacji, gdy pojawiają się ujemne zwroy przez dłuższy okres. Z kolei kopula Joy-Clayona definiowana jes nasępująco: 1/ 1/ C ( u, v, ) 1 (1 {[1 (1 u) ] [1 (1 v) ] 1} ), (11) JC U L U L U L gdzie 1/ log (1 ), 1/ log ( ), (0,1), (0,1). Paramerami ej kopuli są L i U miary zależności zwane zależnościami ogonowymi (Paon, 006). Dla zmiennych losowych X 1 i X o ciągłych dysrybuanach brzegowych odpowiednio F 1 i F górna zależność ogonowa U jes posaci: U 1 1 1 1 lim Pr[ X F ( u) X F ( u)] lim Pr[ X F ( u) X F ( u )]. (1) u 1 1 1 u 1 1 1 L Z kolei dolna zależność ogonowa L 1 1 1 1 limu 0Pr[ X F ( u) X1 F1 ( u)] limu 0Pr[ X1 F1 ( u) X F ( u )]. (13) Zależności ogonowe odzwierciedlają zachowanie się zmiennych losowych w przypadku skrajnych obserwacji. Z ego eż powodu nauralne jes rozparywanie ego rodzaju zależności w przypadku modelowania wzajemnie zależnych pozycji porfela. Zasadniczym problemem jes uaj odpowiedź na pyanie, w jaki sposób wprowadzić zmienność współczynników w 1 35-5 Rzeszów

konekście empirycznie obserwowanych endencji, np. przy analizie indeksu WIG0 oraz DAX. Do ego celu posłuży nam symeryczna kopula Joe-Clayona, kórej posać jes nasępująca: C ( u, v U, L ) 0.5( C ( u, v U, L ) C (1 u,1 v U, L ) u v 1). (14) SJC JC JC U L W przypadku, gdy, wówczas kopula jes symeryczna. Równania przedsawiające srukurę zmiennych w czasie paramerów ej kopuli o: p p U U 1 L U 1 ( U U 1 U u j v j ), ( L L 1 L u j v j ), p p j 1 x 1 gdzie ( x) (1 e ) jes ransformacją pozwalającą na zachowanie warości L U i w przedziale (0,1) dla każdego. W prakyce warość p jes odpowiednio dobierana (Paon, 006), w naszym przypadku zakładamy, że jes równa 10. Przedsawmy zaem wyniki esymacji modelu dynamicznej warunkowej kopuli Joe-Clayona dla poprzednio analizowanych danych. Przykład 6. Esymacja modelu warunkowej symerycznej kopuli Joe-Clayon a Przeprowadzono esymację symerycznej dynamicznej kopuli Joe-Clayon a (ozn. SJC) dla zwroów z indeksu WIG0 oraz DAX. Zakres danych jes aki jak w przykładzie 3. Po wykonaniu esymacji ej kopuli warość funkcji wiarygodności wynosi LLFSJC =136.7780. Wykres esymowanych zmiennych w czasie paramerów jes posaci zaprezenowanej na rysunku 7. Rysunek 7: Paramery dynamicznej kopuli SJC j 1 Na rysunku 7 przerywaną linią wykreślona zosała sała warość paramerów esymowanych dla przypadku niedynamicznego. Funkcja wiarygodności dla ej kopuli przyjmuje największą warość, ze względu na en fak przyjmujemy, że dynamiczna symeryczna kopula Joe- Clayon a jes najodpowiedniejszą kopulą w modelowaniu zależności między zwroami z indeksu WIG0 oraz DAX. 35-5 Rzeszów 13

Boosrap w konekście wyznaczania przedziału ufności dla VaR W niniejszym rozdziale przedsawiono zasosowanie wcześniej omawianej echniki wykorzysującej funkcje kopuli oraz meody boosrap do uzyskania przedziału ufności dla warości narażonej na ryzyko. Prezenowana meoda będzie analizowana równocześnie z wykonanymi obliczeniami dla danych empirycznych. Rozważmy porfel złożony z 4 akywów ryzykownych pochodzących z polskiego rynku akcji. Niech w jego skład wchodzą akcje spółek należących do różnych sekorów gospodarki: elekomunikacyjnego TP SA, bankowego PKO BP, paliwowo-echnologicznego PKN ORLEN, medialnego TVN. Wyznaczenie warości narażonej na ryzyko, dla funkcji zysku i sray L, przeprowadzono w oparciu o zwroy logarymiczne, kórych srukura zosała opisana za pomocą modelu GARCH(1,1). Nasępnie założono, że orzymane z modelu GARCH reszy charakeryzują się rozkładami -sudena, a ich łączny rozkład może być wyrażony za pomocą funkcji kopuli C. W procesie esymacji VaR wykorzysano kopulę - sudena o esymowanych, za pomocą meody IFM, paramerach zależności i sopniach swobody. W przypadku analizowanego zbioru obserwacji przeprowadzono również weryfikację możliwości zasosowania modelu dynamicznej warunkowej korelacji. Wykonany es saysyczny szczegółowo opisany w pracy Engle i Sheppard (001) nie dał podsaw do rozważania zmiennej srukury zależności dla ego rodzaju obserwacji. W abeli 5 znajdują się wyniki ego esu. Tabela 5: p-value esu idenyfikującego dynamiczną zależność Lag p-value 1 0.1095 0.1796 3 0.3006 4 0.589 5 0.3346 6 0.3949 7 0.3367 Proces esymacji paramerów modelu ze sałą zależnością przeprowadzono na danych pochodzących z okresu od sycznia 007 do czerwca 010 r. W celu wyznaczenia VaR zasosowano symulacje Mone Carlo z łącznego rozkładu innowacji, co pozwoliło na obliczenie prognozy funkcji zysku i sray L. Na ej podsawie wyznaczono VaR jako empiryczny α kwanyl z prognozowanego L. Dla obliczonej na podsawie powyższej meody warości narażonej na ryzyko wyznaczono przedziały ufności. W ym celu wykorzysano meodę boosrapu nieparamerycznego (Lahiri, 003, s. 00). Próbkowanie przeprowadzono na reszach (ε 1,,ε n ) wygenerowanych z łącznego rozkładu C, kóre posłużyły do wyznaczenia VaR w symulacjach Mone Carlo. Weryfikacja niezależności boosrapowanych resz zosała wykonana w oparciu o analizę funkcji auokorelacji (ACF) i auokorelacji próbkowej (PACF). Orzymane za pomocą próbkowania obserwacje boosrapowe (ε p 1,,ε p n ) pozwoliły na orzymywanie kolejnych realizacji zwroów posaci: r. (15) b b 35-5 Rzeszów 14

Przyjęo, że kwanyl empiryczny z funkcji zysku i sray obliczonej dla powyższych zwroów będzie boosrapowym esymaorem warości narażonej na ryzyko b. Esymaory ego ypu posłużyły do wyznaczenia przedziałów ufności dla VaR. Przedziałem ufności dla na poziomie ufności 1 β jes przedział ( u, u ), są kwanylami empirycznymi, z rozkładu esymaorów 1 b, rzędu odpowiednio i 1. Rysunek 8: 95-procenowy przedział ufności dla VaR na poziomie 5% 35-5 Rzeszów 15

Rysunek 9: 99-procenowy przedział ufności dla VaR na poziomie 1% Rysunki 8 i 9 przedsawiają zaleę użycia meod boosrap, jaką jes wyznaczenie przedziału ufności dla warości narażonej na ryzyko. Sandardowo 99-procenowy przedział ufności jes szerszy niż 95-procenowy. Konkluzje W pracy zaprezenowano ideę wykorzysania eorii funkcji kopuli w modelowaniu zwroów dwuwymiarowego porfela. Dzięki kopulom orzymano bardziej elasyczną pod względem doboru rozkładów brzegowych echnikę opisu analizowanego szeregu zwroów. Sosując ę echnikę założenie o normalności rozkładów nie miało uaj znaczenia. Ponado zależność pomiędzy zmiennymi losowymi określona zosała poprzez posać funkcji kopuli. Aspeky e przyczyniają się do coraz większej popularności ych funkcji w rachunku prawdopodobieńswa czy saysyce. W prezenowanych wynikach zaobserwowano isony wpływ modeli dynamicznych na poprawę dopasowania. Zesawienie warości funkcji wiarygodności dla rozparywanych modeli prezenuje abela: Tabela 6: Porównanie warości logarymu funkcji wiarygodności -sud. DCC(1,1) dyn. SJC dyn. normal LLF WIG0 3031.989 3031.989 3031.989 LLF DAX 3400.805 3400.805 3400.805 LLF Copula 18.6105 136.7780 18.976 LLF 6561.4045 6496.8 6569.57 6561.0916 Ze względu na warość funkcji wiarygodności model z zasosowaniem dynamicznej funkcji kopuli jes najlepiej dopasowany. Zauważmy, że modele wykorzysujące funkcje kopuli mają przewagę nad modelem DCC(1,1). Isone znaczenie ma uaj elasyczny dobór rozkładów brzegowych, kóry jes możliwy poprzez wykorzysanie rezulaów eorii funkcji kopuli. 35-5 Rzeszów 16

Dodakowo esymacja warunkowych rozkładów brzegowych dla ych szeregów uwzględnienia omawiane zjawiska wysępujące w finansowych szeregach czasowych. Jeseśmy przekonani, że eoria funkcji kopuli oraz jej zasosowanie będzie miało isone znaczenie dla prakyków. Powierdzeniem ego przekonania jes chociażby osani rozdział publikacji, w kórym bazując na eorii funkcji kopuli, wykonano esymację VaR, a nasępnie sosując meody boosrap, uzyskano konrolę nad poziomem błędu wykonanych kalkulacji. Zachęcamy prakyków do wykorzysania prezenowanych echnik prognozowania warości narażonej na ryzyko z uwagi na fak, iż meoda a dla danych finansowych daje lepsze rezulay niż meody, w kórych zakłada się normalność rozkładów. Lieraura Bollerslev, T. (1986). Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy, Journal of Economerics, 31, 307-37. Brockwell, P. J., Davis, R. A. (00). Inroducion o Time Series and Forecasing, New York: Springer-Verlag. Cherubini, U., Luciano, E., Vecchiao W. (003). Copula Mehods in Finance, Wiley Series in Finance. Ding, Z., Granger C. W. J., Engle R. F. (1993). A Long Memory Propery of Sock Marke Reurns and a New Model, Journal of Empirical Finance, 83-106. Engle, R. (198). Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance of UK Inaion, Economerica 50 (4), 987-1007. Engle, R., Sheppard, R. (001). Theoreical and Empirical Properies of Dynamic Condiional Correlaion Mulivariae GARCH, Universiy of California a San Diego, Economics Working Paper Series. Fama, E. G. (1965). The Behavior of Sock-Marke Prices, The Journal of Business, 38 (1), 34-105. van den Goorbergh, R. W. J. (004). A Copula-Based Auoregressive Condiional Dependence Model of Inernaional Sock Markes, Pozyskano z hp://ideas.repec.org/p/dnb/dnbwpp/0.hml. Glosen, L., Jagannahan, R., Runkle, D. (1993). On he Relaion Beween he Expeced Value and he Volailiy of he Nominal Excess Reurn on Socks, Journal of Finance, 48, 1179-1801. Haerdle, W., Durane, F., Jaworski, P. and Rychlik, T. (010). Copula Theory and Is Applicaions, Lecure Noes in Saisics, Springer. Lahiri, S. N. (003). Resampling Mehods for Dependen Daa, Springer Series in Saisics. Leśkow, J., Napoliano, A. (00). Quanile Predicion for Time Series in he Fracion-of- Time Probabiliy Framework, Signal Processing, 8, 177-1741. Mandelbro, B. (1963). The Variaion of Cerain Speculaive Prices, The Journal of Business, 36 (4), 394-419. Mokrzycka, J. (008). Applicaions of Copula Funcions o Analysis of Characerisics of Time Series, MSc heses (in Polish), Academy of Mining and Meallurgy, Cracow. Nelsen, R. B. (1999). An Inroducion o Copulas, Springer-Verlag. Nelson, D. B. (1991). Condiional Heeroscedasiciy in Asses Reurns: A New Approach, Economerica, 59 (), 347-370. Paon, A. J. (001). Modeling Time-Varying Exchange Rae Dependence Using he Condiional Copula, Discussion Paper 001-09, Universiy of California, San Diego. 35-5 Rzeszów 17

Paon, A. J. (006). Modeling Asymmeric Exchange Rae Dependence, Inernaional Economic Review, 47 (). Pesaran, M. H., Ullah, A., Yamagaa, T. (008). A Bias-Adjused LM Tes of Error Cross- Secion Independence, Economeric Journal, 11 (1), 105-17. Sklar, A. (1959). Foncions de Répariion à n Dimensions e Leurs Marges, Publicaions de l'insiu de Saisique de L'Universié de Paris 8, 9 31. Tsay, R. (00). Analysis of Financial Time Series, Chicago: Wiley and Sons. Wurz, D., Chalabi, Y., Luksan, L. (00). Parameer Esimaion of ARMA Models wih GARCH/ARCH Errors. An R and SPlus Sofware Implemenaion, Journal of Saisical Sofware. Absrac Modeling Sock Marke Indexes wih Copula Funcions Conemporary financial risk managemen is significanly based on he analysis of ime series of reurns. One of he mos significan errors frequenly commied by analyss is he predominan use of normal disribuions when i is clear ha he reurns are no normal. Copula models and models for non-normal mulivariae disribuions provide new ools o solve he problem because he obained resuls are immediaely applicable in porfolio managemen, opion pricing and measuring risk wihou assuming normaliy. Therefore, boh a heoreician and a praciioner are ineresed in mulivariae models for reurns and copula funcions. The copula funcion models provide an effecive and ineresing echnique of consrucing mulivariae disribuion saring from marginal ones. Due o Sklar's resul esablished in 1959, we can presen any mulivariae disribuion wih a help of corresponding marginal disribuions and a seleced copula funcion. In his work we presen an applicaion of copula funcion o consruc mulivariae condiional disribuions of imes series. In he las par of his paper dynamic models such as DCC-MVGARCH and condiional copula are analyzed. Moreover, we also presen an applicaion of boosrap in he conex of copula funcion. This work is appended by examples showing pracical applicaion of our work. JEL classificaion: C, C5 Key words: copula funcion, GARCH model, condiional copula, DCC-MVGARCH, dynamic condiional copula, boosrap 35-5 Rzeszów 18