Granica funkcji 16 grudnia 2010
Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym zachodzi zwiazek f (x) g(x) h(x) to istnieje granica funkcji g w punkcie x 0 i jest równa granicy funkcji f i h w tym punkcie.
o zachowaniu nierówności w granicy Twierdzenie Niech będzie dana funkcja f : R D R która posiada granicę w punkcie x 0 D. 1 Jeżeli dla pewnego a R istnieje otoczenie punktu x 0 w którym zachodzi nierówność f a zachodzi nierówność f (x) a) to lim x x0 f (x) a. 2 Jeżeli lim x x0 f (x) > 0 to istnieje otoczenie x 0 w którym f > 0. Jeżeli w punkcie 1) powyższego twierdzenia dla pewnego otoczenia x 0 otrzymamy nierówność silna f > a to dla granicy dalej mamy tylko nierówność słaba lim f (x) a. x x0
o zachowaniu nierówności w granicy Twierdzenie Niech będzie dana funkcja f : R D R która posiada granicę w punkcie x 0 D. 1 Jeżeli dla pewnego a R istnieje otoczenie punktu x 0 w którym zachodzi nierówność f a zachodzi nierówność f (x) a) to lim x x0 f (x) a. 2 Jeżeli lim x x0 f (x) > 0 to istnieje otoczenie x 0 w którym f > 0. Jeżeli w punkcie 1) powyższego twierdzenia dla pewnego otoczenia x 0 otrzymamy nierówność silna f > a to dla granicy dalej mamy tylko nierówność słaba lim f (x) a. x x0
WYBRANE GRANICE FUNKCJI 1 lim x 0 a x = 1, dla a > 0, 2 lim x 0 sin x x = 1, ( ) 3 lim 1 + 1 x x x = e, ( ) 1 + 1 x x = e, 4 lim x 5 lim x 0 a x 1 x = ln a, dla a > 0.
Granice jednostronne Definicja Niech f : R D R oraz x 0 D : 1 jeżeli dla każdej liczby δ > 0 zbiór (x 0 δ, x 0 ) D czyli zbiór skupia się po lewej stronie punktu x 0, oraz ɛ>0 δ>0 : x D (0 < x x 0 < δ) f (x) g < ɛ, to liczbę g nazywamy granica lewostronna funkcji f w punkcie x 0 co oznaczamy lim f (x) = g. x x 0 2 jeżeli dla każdej liczby δ > 0 zbiór (x 0, x 0 + δ) D czyli zbiór skupia się po prawej stronie punktu x 0, oraz ɛ>0 δ>0 : x D (0 < x 0 x < δ) f (x) g < ɛ, to liczbę g nazywamy granica prawostronna funkcji f w punkcie x 0 co oznaczamy lim f (x) = g. x x + 0
Granice jednostronne a granica funkcji Każdy punkt skupienia zbioru D musi skupiać się z przynajmniej jednej strony, tzn. dla każdego punktu x 0 D ma sens próba określenia granicy przynajmniej z jednej strony. Twierdzenie Niech będzie dana funkcja f : R D Roraz punkt x 0 D taki, że jest punktem skupienia zarówno z lewej jak i z prawej strony. Wówczas funkcja ma f ma w punkcie x 0 granicę równa g wtedy i tylko wtedy gdy ma w tym punkcie granice prawostronna i lewostronna i granice te wynosza g.
Granice jednostronne a granica funkcji Każdy punkt skupienia zbioru D musi skupiać się z przynajmniej jednej strony, tzn. dla każdego punktu x 0 D ma sens próba określenia granicy przynajmniej z jednej strony. Twierdzenie Niech będzie dana funkcja f : R D Roraz punkt x 0 D taki, że jest punktem skupienia zarówno z lewej jak i z prawej strony. Wówczas funkcja ma f ma w punkcie x 0 granicę równa g wtedy i tylko wtedy gdy ma w tym punkcie granice prawostronna i lewostronna i granice te wynosza g.
Granice w ± Definicja Niech f : R D R : 1 jeżeli dla każdej liczby M > 0 zbiór (M, ) D jest niepusty, oraz ɛ>0 M>0 : x D (M, f (x) g < ɛ, to liczbę g nazywamy granica funkcji f w +. 2 jeżeli dla każdej liczby M < 0 zbiór (, M) D jest niepusty, oraz ɛ>0 M<0 : x D (,M) f (x) g < ɛ, to liczbę g nazywamy granica funkcji f w.
Rozbieżność funkcji Definicja Niech D x f (x) R, x 0 D. Jeżeli K R δ>0 : x D x x 0 < δ f (x) > K to mówimy, że funkcja f jest w x 0 rozbieżna do. Jeżeli K R δ>0 : x D x x 0 < δ f (x) < K to mówimy, że funkcja f jest w x 0 rozbieżna do.
Definicja Niech f : R D R. Załóżmy, że dla dowolnego M zachodzi (M, + ) D. Wtedy: 1 lim f (x) = +, jeśli x + K R M R x D x > M = f (x) > K, 2 lim f (x) =, jeśli x + K R M R x D x > M = f (x) < K. Załóżmy że dla dowolnego M zachodzi (, M) D, wtedy 3 lim f (x) = +, jeśli x K R M R x D x < M = f (x) > K, 4 lim f (x) =, jeśli x K R M R x D x < M = f (x) < K.
Dla szacowania granic funkcji zarówno jednostronnych jak i dwustronnych można stosować tabele znane z twierdzenia o ciagach.
Asymptoty poziome Definicja Niech f : R D R. Przyjmijmy, że sa spełnione założenia dotyczace dziedziny przy których poniższe granice maja sens. 1 Jeśli lim f (x) = b R, to mówimy, że funkcja f ma w x + + asymptotę pozioma o równaniu y = b. 2 Jeśli lim f (x) = b R, to mówimy, że funkcja f ma w x asymptotę pozioma o równaniu y = b. 3 Jeśli lim f (x) = b = lim f (x), to mówimy, że funkcja f x + x ma asymptotę pozioma o równaniu y = b.
Asymptoty pionowe Definicja Niech f : R D R. Przyjmijmy, że sa spełnione założenia dotyczace dziedziny przy których poniższe granice maja sens. 1 Jeśli lim x x + 0 f (x) = ±, to mówimy, że funkcja f ma asymptotę pionowa prawostronna o równaniu x = x 0. 2 Jeśli lim x x 0 f (x) = ±, to mówimy, że funkcja f ma asymptotę pionowa lewostronna o równaniu x = x 0. 3 Jeśli lim f (x) = ± i lim f (x) = ±, to mówimy, że x x + 0 x x 0 funkcja f ma asymptotę pionowa (obustronna) o równaniu x = x 0.
Asymptoty ukośne Definicja Niech f : R D R. Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptota ukośna w ( ), jeśli: lim (f (x) (ax + b)) = 0, lim x (f (x) (ax + b)) = 0. x Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptota ukośna, jeśli sa spełnione oba warunki. WZÓR a = f (x) lim x + x, b = lim (f (x) ax). x +