OF_I_ Źródło: XX OLIMPIADA FIZYCZNA (97/97). Stopień I, zadanie teoretyczne Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Koitet Główny Olipiady Fizycznej; Waldear Gorzkowski: Olipiady fizyczne XIX i XX. WSiP, Warszawa 974. Analogia echaniczno elektryczna Elektryczność, echanika Siła, natężenie prądu, okres drgań, opór, prawa Kirchhoffa, ładunek, siła elektrootoryczna, pojeność kondensatora, indukcja, indukcyjność, ogniwo, obwód elektryczny, cewka Zadanie teoretyczne, zawody I stopnia, XX OF. Jeżeli siła jest funkcją położenia, to z ateatycznego punktu widzenia II prawo dynaiki Newtona ustala związek iędzy chwilową szybkością zian szybkości zian (drugą pochodną) położenia, czyli przyspieszenie, a położenie. Jeżeli dla jakiegoś probleu echanicznego znay ten związek oraz wszystkie własności ruchu, to ożey te wiadoości wykorzystać do rozwiązania innego probleu, niekoniecznie z echaniki. Rozpatrzy obwód złożony z kondensatora o pojeności C, zawierającego w chwili początkowej ładunek Q. Kondensator zwieray cewką o współczynniku saoindukcji L. Chwilową wartość natężenia łatwo ożna powiązać z szybkością zian ładunku Q na okładce kondensatora. Z kolei siła elektrootoryczna saoindukcji w prosty sposób wyraża się przez szybkość zian natężenia prądu (czyli przez szybkość zian Q). Jeżeli wyrazić napięcie na kondensatorze przez Q i skorzystać z odpowiedniego prawa Kirchhoffa dla obwodu, w który nie a oporów oowych, to otrzyay związek iędzy przyspieszenie ładunku a say ładunkie. Korzystając teraz ze znanych wiadoości z echaniki odpowiedz na następujące pytania: a) według jakiego prawa natężenie prądu zależy od czasu? b) ile wynosi okres drgań? c) jaka jest aksyalna wartość natężenia prądu? d) czy ożna ustalić analogię iędzy opore R (gdyby taki dodać do obwodu szeregowo z L) a pewną dodatkową siłą (jaką) w odpowiedni probleie echaniczny? e) czy ożna tą etodą rozwiązać proble zależności natężenia prądu od czasu w obwodzie złożony z ogniwa o stałej sile elektrootorycznej ε i znikoy oporze wewnętrzny, zwartego cewką o saoindukcji. Rozwiązanie Weźy pod uwagę obwód elektryczny pokazany na rysunku a. Niech q oraz i oznaczają odpowiednio ładunek na kondensatorze i natężenie prądu w obwodzie w chwili t =, a Q i I to sao w chwili t. Oprac. PDFiA US, 8, red..m.molenda - /9 -
OF_I_ a) b) Rys. W układzie nie a siły elektrootorycznej. Zate zgodnie z II prawe Kirchhoffa sua spadków napięć na kondensatorze i cewce usi równać się zero: di L + Q =, d t C ale dq I = zate d Q L = Q. () d t C Otrzyana zależność jest równanie różniczkowy, które przy danych L i C ożna rozwiązać i wyznaczyć funkcję Q(t), czyli określić, jak ładunek na kondensatorze zienia się w czasie. Widziy, że przyspieszenie ładunku, czyli jego druga pochodna, jest proporcjonalne do saego ładunku. Z podobną sytuacją zetknęliśy się już w echanice przy oawianiu ruchu haronicznego. Podczas takiego ruchu druga pochodna wychylenia od położenia równowagi (a więc zwykle przyspieszenie) jest proporcjonalna do wychylenia. Na przykład dla ciężarka (rys. b) o asie przyocowanego do unieruchoionej z jednego końca nieważkiej sprężyny o stałej sprężystości k, leżącej na pozioy gładki stole, ay a oznacza tu przyspieszenie ciężarka, a a = k x, x jego wychylenie od położenia równowagi. We wzorze ty po prawej stronie ay znak -. Oznacza on, że przyspieszenia i wychylenie x są zwrócone w przeciwne strony. Uwzględniając, że v = (v prędkość ciężarka) i że dv a =, ożey napisać d t d x = k x. () t d Zależność ta jest równanie różniczkowy, z który przy danych i k ożna wyznaczyć funkcję x(t), czyli zależność wychylenia od czasu. a Oprac. PDFiA US, 8, red..m.molenda - /9 -
OF_I_ Równania () i () jeżeli nie brać pod uwagę inny nazw poszczególnych paraetrów są takie sae. Jeżeli więc weźiey rozwiązanie jednego z nich i zaieniy oznaczenia na takie, jakie występują w drugi, to otrzyay rozwiązanie drugiego z tych równań. Oczywiście usi tak być, gdyż proces rozwiązywania równania nie zależy od tego, jakii literkai oznaczone są różne paraetry. Ustaly teraz odpowiedniość iędzy wielkościai wchodzącyi do rozpatrywanych równań. Jak widać, asie ożey przyporządkować współczynniki saoindukcji L, stałej sprężystości k odwrotność /C, a wychyleniu x ładunek Q. Pójdźy jeszcze dalej i zobaczy, jakie są odpowiedniki innych wielkości echanicznych, nie występujące bezpośrednio w równaniu (). Prędkość określay jako pochodną wychylenia: v =. W układzie elektryczny x przechodzi w Q, a t nie zienia się. Zate dq v = = I. Widziy, że elektryczny odpowiednikie prędkości jest natężenie prądu I. Energia kinetyczna ciężarka równa jest v Ek =. Korzystając z tego, że ay L i v I ożey napisać E k = v LI = E L. Jak widać, energii kinetycznej ciężarka odpowiada energia zgroadzona przez cewkę, przez którą płynie prąd. Dla energii potencjalnej napiętej sprężyny ay podobnie E p = k x Q E = C p = k x E C Zate energii potencjalnej odpowiada energia kondensatora, na który zgroadzono ładunek Analogii takich ożna by wypisać znacznie więcej. Na razie jednak wystarczy na to, co wyżej przytoczyliśy. Zajijy się teraz równanie (). Powiedzieliśy, że jest to równanie różniczkowe. W szkole nie rozwiązujecie takich równań, jednak rozwiązanie akurat tego równania różniczkowego łatwo wypisać, gdyż zależność x(t) w ruchu haroniczny, tj. zależność wychylenia ciężarka od czasu jest znana. Wiadoo przecież, że wychylenie ciężarka zienia się jak funkcja sinus: π x () t = x sin t + ϕ. Oprac. PDFiA US, 8, red..m.molenda - 3/9 -
OF_I_ We wzorze ty x oznacza największą wartość wychylenia, czyli aplitudę. okres ruchu, a ϕ fazę początkową, czyli wartość arguentu funkcji sinus w chwili t =. (Oczywiście ϕ zależy, od którego oentu zaczynay liczyć czas.) Zazwyczaj aby uniknąć postaci π π ułakowej wprowadza się wielkość ω równą. Możey więc napisać x(t) = x sin(ω t + ϕ ). (3) W rozwiązaniu zadania o windzie z zawodów drugiego stopnia poprzedniej Olipiady Fizycznej udowodniliśy, że dla ciężarka drgającego na sprężynie ay: i ω = = π Jak zienia się prędkość ciężarka? Skorzystajy z określenia prędkości: k k v =. Biorąc za x nasze wyrażenie na x(t) otrzyujey: v(t) = x ω cos(ω t + ϕ ). Prędkość a największą wartość bezwzględną v ax wtedy, gdy cosinus równa się ±. (zauważy, że wtedy x =.) May więc v ax = x ω. Skorzystajy teraz z ustalonej poprzednio odpowiedniości i zobaczy, w co przejdą nasze wyrażenia po przejściu od układu echanicznego (rys. a), czyli po zastąpieniu wielkości echanicznych odpowiednii wielkościai elektrycznyi. Łatwo zauważyć, że Q analogicznie jak x usi zieniać się sinusoidalnie według wzoru Q(t) = Q sin(ω t + ϕ ), gdzie ω = π. Q oznacza oczywiście największą wartość ładunku na kondensatorze. Jakie są teraz ω i? Ponieważ L, a k, więc: C k ω =, LC = π π LC. k Natężenie prądu ożey wyznaczyć dwoa sposobai. Możey obliczyć pochodną Q(t) po czasie lub skorzystać z zależności v od t dla układu echanicznego i zastąpić w niej wielkości echaniczne ich odpowiednikai elektrycznyi. Oczywiście w obu wypadkach otrzyujey to sao, a ianowicie: Oprac. PDFiA US, 8, red..m.molenda - 4/9 -
OF_I_ gdzie π I () t = Qω cos t + ϕ, = π LC. Największa wartość natężenia prądu w obwodzie wynosi więc I = Q ω Q. LC ax = Jak widziy, w obwodzie występują drgania sinusoidalne, przy czy fazy drgań Q oraz I są przesunięte względe siebie o π/, co oznacza, że gdy Q =, to I a wartość aksyalną i odwrotnie. Parę słów należy poświęcić wielkościo Q i ϕ występujący we wzorze na Q(t). Ławo stwierdzić, że niezależnie od tego, jakie są wartości tych paraetrów, jeżeli ω =, LC to Q(t) spełnia równanie (). ak więc, w zasadzie Q(t) nie jest jedną funkcją, lecz cały zespołe funkcji, z których każda opowiada jakiś konkretny wartościo Q i ϕ. Wszystkie te funkcje są rozwiązaniai równania (). Na pierwszy rzut oka wydaje się, że coś tu nie jest w porządku. Przecież, jeżeli ay jakiś konkretny układ, to należałoby sądzić, że istnieje tylko jedna funkcja Q(t) opisująca zależność ładunku Q od czasu. Otóż nie jest to prawdą. W dany układzie ogą zachodzić różne drgania różniące się np. aplitudą zian ładunku. Jasne jest, że dwa drgania o różnej aplitudzie nie ogą odpowiadać takiej saej zależności Q(t). Aby wyznaczyć konkretną funkcję Q(t), czyli aby określić wartość Q i ϕ dla danego układu, usiy o ty układzie wiedzieć nieco więcej niż tylko to, jak poszczególne eleenty są ze sobą połączone. W naszy wypadku oprócz saego scheatu układu do wyznaczenia Q i ϕ usiy znać np. wielkość ładunku na kondensatorze oraz natężenie prądu w obwodzie w chwili t =. Są to tzw. wartości początkowe. Znajoość warunków początkowych pozwala z całej rodziny funkcji Q(t) wybrać tę konkretną funkcję, która odpowiada naszeu przypadkowi. Układ opisany w tekście zadania charakteryzuje się następującyi warunkai początkowyi: Q() = q I () = Druga równość oznacza, że w chwili przyłączenia cewki do kondensatora (t = ), natężenie prądu równa się zeru. May więc Q sin + ϕ = q, LC Q cos +ϕ =. LC LC Z równań tych ożey wyznaczyć Q i ϕ. Po krótkich obliczeniach otrzyujey: Q = q i π ϕ = Zate w rozpatrywany przez nas układzie przy warunkach początkowych takich, jak w tekście zadania, Q i I zieniają się według wzorów Oprac. PDFiA US, 8, red..m.molenda - 5/9 -
OF_I_ π Q () t = q sin t +, LC czyli π I () t = q cos t +, LC LC I Q () t () t t = q cos, LC q t = sin. LC LC Największyi wartościai bezwzględnyi Q oraz I są odpowiednio q oraz q LC. Okres zian Q oraz I wynosi = π LC. W ten sposób otrzyaliśy odpowiedź na pierwsze trzy pytania. Aby znaleźć odpowiedź na pytanie d, rozpatrzy obwód z rysunku. Na podstawie II prawa Kirchhoffa sua spadków napięć na poszczególnych eleentach obwodu usi równać się zeru, gdyż obwód nie zawiera żadnej siły elektrootorycznej. Zate czyli di Q L + + RI =, d t C d Q dq L = Q R. d t C d t Mechaniczny odpowiednikie tej zależności jest: czyli d x = k x γ, d{ t v a = k x γ v. dq Widziy, że spadek napięcia na oporze R tj. R R odpowiada sile haującej (tłuiącej) ruch, proporcjonalnej do prędkości (γ v). Został na jeszcze jeden punkt do rozwiązania. Chcey znaleźć zależność natężenia prądu od czasu w obwodzie złożony z ogniwa o stałej sile elektrootorycznej i zerowy oporze wewnętrzny oraz cewki o saoindukcji L. Obwód taki jest pokazany na rysunku 3. Rys. Rys. 3 Oprac. PDFiA US, 8, red..m.molenda - 6/9 -
OF_I_ Z II prawa Kirchhoffa dla tego obwodu ay: di L d t =ε, co oznacza, że spadek napięcia na cewce usi równać się sile elektrootorycznej. Równanie to ożna napisać w postaci: Mechaniczny odpowiednikie lewej strony tego równania jest czyli d Q L =ε. (4) d x, a. Z echaniki wiey, że a równa się sile F działającej na punkt asie, nadającej u przyspieszenie a. Zate echaniczny odpowiednikie stałej siły elektrootorycznej jest siła F. Odpowiednikie równania (4) jest więc równanie ( = const) a = F. Równanie to opisuje ruch punktu aterialnego o asie pod działanie stałej siły F. Punkt F ten porusza się ruche jednostajnie przyśpieszony z przyśpieszenie a =. Jak wiey, prędkość w ruchu jednostajnie zienny zależy od czasu według wzoru: v(t) F v + at = v + t. = Wróćy teraz do wielkości elektrycznych. Korzystając z odpowiedniości otrzyujey: v I, F ε, L, ε I( t) = I + t. L W ten sposób otrzyaliśy odpowiedź na ostatnie pytanie. Widziy, że natężenie prądu zienia się jednostajnie wraz z czase. I oznacza natężenie prądu w obwodzie w chwili t =. Przy okazji warto wsponieć jeszcze o zachowaniu energii. Układ z rysunku b jest układe izolowany. W układzie taki energia całkowita, równa suie energii kinetycznej i potencjalnej, usi być cały czas stała: v + k x = const. Dla układu elektrycznego z rys. a oznacza to, że wielkość Oprac. PDFiA US, 8, red..m.molenda - 7/9 -
OF_I_ LI + również usi być stała. Fakt ten wykorzystay w zadaniu o neonówce z zawodów trzeciego stopnia tej Olipiady. Równanie () ożey obustronnie ponożyć przez dowolną stałą, co więcej stałą tę d f ( x) d β f ( x) ożey włączyć pod znak drugiej pochodnej, gdyż jak wiadoo β =. ak więc równanie to ożey napisać w bardzo wielu różnych postaciach, np. tak: Q C d Q C = Q, d t L d ( CQ) C = ( CQ), L a ogólnie d ( LQ) L = ( LQ), C L d ( β Q) α α L = ( β Q), C gdzie α i β są dowolnyi stałyi różnyi od zera. Korzystając z pierwszego z podanych tu przykładów oraz równania () oglibyśy tu ustalić inną analogię elektryczno-echaniczną: C, x Q, k. L Analogię tę ożna by rozwinąć dalej i wyznaczyć odpowiednik innych wielkości, które nie występują bezpośrednio w naszych równaniach. Oczywiście wnioski fizyczne, które otrzyalibyśy stosując powyższą analogię, były by takie sae jak poprzednio, co Czytelnik oże sa sprawdzić. Z tego względu słowo inną wzięliśy w cudzysłów. Jasne jest, że różnych analogii iędzy naszyi układai ożna ustalić nieskończenie wiele, gdyż stałe α i β ogą być zupełnie dowolne. Jednakże wszystkie te analogie prowadzą do identycznych wniosków fizycznych. Można to dość prosto udowodnić, ale nie będziey tego robili, aby zbytnio nie odbiegać od teatu. Warto jeszcze wsponieć, że niektóre z analogii, a w szczególności analogia, którą oawialiśy na początku, ają tę własność, że odpowiednikai energii potencjalnej i kinetycznej są energia naładowanego kondensatora i energia cewki z prąde, a nie wielkości do nich proporcjonalne, jak w pozostałych analogiach. Fakt ten upraszcza wiele rozważań w przypadkach, gdy energia elektryczna zaienia się na echaniczną lub odwrotnie. Między innyi z tego względu przy oawianiu analogii echaniczno-elektrycznych w podręcznikach zwykle wyienia się tylko tę, którą oawialiśy na początku, otrzyaną przez porównanie współczynników w nieprzekształconych równaniach wynikających wprost z praw fizycznych. Oprac. PDFiA US, 8, red..m.molenda - 8/9 -
OF_I_ Zadanie powyższe jest ilustracją bardzo prostej i oczywistej zasady, którą chyba zbyt rzadko sobie uświadaiay, chociaż często się nią posługujey. Zasada ta ówi, że: takie sae równania ają takie sae rozwiązania niezależnie od tego, jaki sens fizyczny ają poszczególne wielkości w nich występujące. Zasada ta jest bardzo ważna i upraszcza wiele badań. Między innyi dzięki tej zasadzie ożna odelować różnego rodzaju procesy echaniczne i inne w aszynach analogowych lub innych podobnych urządzeniach. Modelowanie takie pozwala określić zachowanie się jakiegoś urządzenia bez potrzeby jego budowania. Wystarczy działanie tego przyrządu zodelować za poocą odpowiednich obwodów elektrycznych. W ten sposób często ożna stwierdzić, czy dane urządzenie w ogóle warto budować. Ważność wsponianej zasady polega nie tylko na tego rodzaju praktycznych zastosowaniach. Ma ona głęboki sens fizyczny, gdyż wyraża jedność różnych zjawisk fizycznych. Oprac. PDFiA US, 8, red..m.molenda - 9/9 -