REZONANS W UKŁADZIE SZEREGOWYM RLC WYZNACZANIE WARTOŚCI REZYSTANCJI, INDUKCJI I POJEMNOŚCI.

Transkrypt

1 EZONANS W KŁADZIE SZEEGOWYM WYZNAZANIE WATOŚI EZYSTANJI, INDKJI I POJEMNOŚI. ele ćwiczenia:. Wyznaczenie krzywych rezonansowych dla szeregowego obwodu elektrycznego,. Określenie paraetrów krzywej rezonansowej, 3. Doskonalenie obsługi elektrycznych urządzeń poiarowych. Zagadnienia:. Prądy i napięcia dla eleentów czynnych i biernych. ezystancja, reaktancja, ipedancja 3. Prawo Oha dla eleentów czynnych i biernych 4. kład szeregowy, wykres wskazowy 5. ezonans w układzie szeregowy iteratura:. Stanisław Bolkowski Podstawy elektrotechniki. WSiP, Warszawa 980. ichard P. Feynan Feynana wykłady z fizyki. PWN, Warszawa J. Massalski, M. Massalska, Fizyka dla inżynierów, t.i, WNT, B. Jaworski, A. Dietłaf,. Miłkowska, Kurs Fizyki, t. II, PWN, I.W. Sawieliew, Wykłady z fizyki, PWN, I Pracownia Fizyczna. pod red. z. Kajtocha, Wydawnictwo Naukowe AP, Kraków 007

2 EZONANS W KŁADZIE SZEEGOWYM WYZNAZANIE WATOŚI EZYSTANJI, INDKJI I POJEMNOŚI. Wykonanie poiarów A) harakterystyki częstotliwościowe. Połączyć zestaw do badania rezonansu układu szeregowego,, według poniższego scheatu:. stawić (i zapisać w arkuszu kalkulacyjny) wartości indukcyjności, pojeności i rezystancji tak, aby zieniając częstotliwość generatora zasilającego zachodził rezonans w układzie. stawień dokonywać w zakresach: = 0,390,46 [H] = 0,40,43[F] = 400 lub 00 Aplitudę napięcia wyjściowego reguluje się w zakresie od 0 do 0V. (patrz rys. Generator GFG-305) Należy paiętać, aby dobroć układu Q nie była zbyt duża bo charakterystyki wyjdą bardzo stroe, ani też zbyt ała bo charakterystyki będą rozyte i trudno będzie ustalić oent rezonansu. Q

3 stalone wartości, i zapisać w arkuszu kalkulacyjny. Zieniać częstotliwości generatora f w zakresie: Hz i dokonać poiarów,,, I. Wyniki zapisywać w arkuszu kalkulacyjny. 3. Dla częstotliwości znacznie różniących się od częstotliwości rezonansowej poiary wykonywać co ok Hz, natoiast w pobliżu częstotliwości rezonansowej, gdy ay do czynienia z dużyi zianai prądu poiary należy zagęścić (co ok.0 Hz). 4. Wyłączyć generator napięcia i ooierze zierzyć wartość oporu indukcyjności dekadowej na zakresie, na który dokonywano poiaru. Wynik zapisać w arkuszu kalkulacyjny. 5. Wykreślić charakterystyki rezonansowe, częstotliwościowe: (f), (f), (f) na jedny wykresie, I(f) na drugi wykresie oraz X (f), X (f), Z(f) na trzeci wykresie. 6. Przeprowadzić dyskusję otrzyanych wyników. B) harakterystyki strojeniowe. stawić wartości, częstotliwości, indukcyjności i rezystancji tak, aby zieniając pojeność zachodził rezonans w układzie. stalone wartości zapisać w arkuszu kalkulacyjny.. Zieniając pojeność kondensatora dokonać poiarów,,, I. 3. Wyłączyć generator napięcia i ooierze zierzyć wartość oporu indukcyjności dekadowej na zakresie, na który dokonywano poiaru. Wynik zapisać w arkuszu kalkulacyjny. 4. Wykreślić charakterystyki rezonansowe, strojeniowe: (), (), () na jedny wykresie, I() na drugi wykresie oraz X (), X (), Z() na trzeci wykresie.

4 5. Otworzyć arkusz kalkulacyjny do badania rezonansu napięć przy zianie indukcyjności. 6. stawić wartości, częstotliwości, pojeności i rezystancji tak, aby zieniając indukcyjność według wartości zawartych w arkuszu kalkulacyjny zachodził rezonans w układzie. stalone wartości zapisać. 7. Dokonać poiarów,,, I zieniając indukcyjność według wartości zawartych w arkuszu kalkulacyjny. 8. Wykreślić charakterystyki rezonansowe, strojeniowe: (), (), () na jedny wykresie, I() na drugi wykresie oraz X (), X (), Z() na trzeci wykresie. 9. Przeprowadzić dyskusję otrzyanych wyników.

5 II. Wstęp teoretyczny. Podstawowe pojęcia Napięcia i prądy sinusoidalne występujące w obwodzie badany, ają często jednakową częstotliwość, a różnią się aplitudą i fazą początkową. óżnicę faz początkowych dwóch przebiegów o tej saej częstotliwości nazyway przesunięcie fazowy przebiegów sinusoidalnych. u u u - 0 t -, ys.: Przebiegi czasowe dwóch napięć sinusoidalnych przesuniętych w fazie. Na rysunku przedstawiono dwa napięcia sinusoidalne o fazach początkowych i. Przesunięcie fazowe tych przebiegów wynosi -. Ponadto stwierdzay, że napięcie u wyprzedza w fazie napięcie u. Wyprzedzający jest więc przebieg o większej fazie początkowej. Przy badaniu obwodów prądu sinusoidalnego istotną rolę odgrywa przesunięcie fazowe poiędzy prąde i napięcie na dany eleencie obwodu. Przesunięcie fazowe prądu względe napięcia oznaczay zwykle przez. Przy analizie obwodów prądu sinusoidalnego zachodzi potrzeba dodawania, odejowania, nożenia lub dzielenia wielkości sinusoidalnie ziennych o różnych aplitudach, różnych fazach początkowych lecz o jednakowej częstotliwości. Działania te ożey przeprowadzać analitycznie, korzystając ze wzorów

6 trygonoetrycznych. Istnieje jednak prostsza droga polegająca na przedstawieniu przebiegów sinusoidalnych w postaci obracających się wektorów. Zbiór kilku wektorów położonych na tej saej płaszczyźnie odwzorowujących wielkości sinusoidalnie zienne jednakowej częstotliwości nazyway wykrese wektorowy. ys. : Związek poiędzy przebiegie sinusoidalny a wirujący wektore Jak widać z rysunku rzut na oś rzędnych pewnego wektora o odule równy aplitudzie przebiegu sinusoidalnego odpowiada wartości chwilowej przebiegu, przedstawionego po prawej stronie dla tych saych wartości kątów, Wektory obracają się z prędkością kątową, równą pulsacji tego przebiegu sinusoidalnego. Związek poiędzy wektore obracający się a jego rzute znany jest z geoetrii. W przypadku przebiegu chwilowego napięcia sinusoidalnego o aplitudzie pulsacji, fazie początkowej związek ten wygląda następująco: u sin( t ) W chwili t = 0, arguent t = 0 i wartość chwilowa napięcia u 0 sin Aplitudę suy dwóch napięć sinusoidalnych o tej saej częstotliwości: u sin( t ) u sin( t )

7 uzyskay stosując wzór na suę dwóch wektorów tworzących kąt ostry - : () cos( ) W celu znalezienia kąta fazowego suy dwóch napięć sinusoidalnych o tej saej częstotliwości stosujey znane z geoetrii twierdzenie, że sua rzutów dwóch wektorów jest równa rzutowi suy geoetrycznej tych wektorów. Zate dodając rzuty wektorów i na oś odciętych i na oś rzędnych otrzyujey rzuty na te osie wektora wypadkowego. Tangens kąta nachylenia wektora wypadkowego względe osi odciętych jest równy stosunkowi jego rzutu na oś rzędnych do rzutu na oś odciętych, czyli: () tg sin cos sin cos ys. 3: Dodawanie przebiegów sinusoidalnych na wykresie czasowy i na wykresie wektorowy. Jeżeli dwa wektory, które zaierzay dodać, są przesunięte względe siebie o kąt, czyli - = (rysunek 4) to: (3)

8 ys. 4: Dodawanie wektorów przesuniętych o kąt Jeśli ponadto, tak jak rysunku jeden z wektorów a fazę początkową równą zeru, to wtedy wektor drugi a fazę początkową równą. Po podstawieniu tych wartości do wzoru na tangens : (4) tg Jeśli dodawane wektory są zgodne w fazie (rysunek 5) czyli = =, to = +. ys. 5: Dodawanie wektorów zgodnych w fazie. Jeśli dodawane wektory są w przeciwfazie (rysunek 6), to: = - ys. 6: Dodawanie wektorów będących w przeciwfazie Ponieważ w teorii obwodów posługujey się przeważnie nie aplitudai lecz wartościai skutecznyi, zate wykresy wektorowe wykonujey w odniesieniu do wartości skutecznych. W ty celu oduły obracających się wektorów odwzorowujących odpowiednie przebiegi sinusoidalne dzieliy przez.

9 . Eleenty rzeczywiste i eleenty idealne Każdy rzeczywisty eleent obwodu elektrycznego charakteryzują: oporność, pojeność i indukcyjność, a często także indukcyjność wzajena M. Z sybole graficzny eleentu obwodu elektrycznego kojarzyy tylko jeden z wyienionych paraetrów - ten doinujący. Jednak zwykle nie ożna poinąć występowania pozostałych paraetrów, chociaż w wielu przypadkach ają one znaczenie drugorzędne. W zależności od częstotliwości, napięcia i prądu płynącego przez obwód ten sa eleent rzeczywisty oże ieć różny scheat zastępczy. Opornik o uzwojeniu spiralny jednowarstwowy charakteryzuje się przede wszystki opornością, jednakże nie oże być całkowicie poinięta indukcyjność, a niekiedy nawet pojeność. W opornikach drutowych, pojeność i indukcyjność ające charakter pasożytniczy, zależą od konstrukcji opornika. Opornik o uzwojeniu bifilarny a poijalnie ałą indukcyjność, ale dość znaczną pojeność iędzy warstwai. Poijalnie ałą indukcyjność i pojeność ają oporniki ceraiczne. Każda cewka nawinięta z drutu charakteryzuje się dużą indukcyjnością, ale oporność cewki nie oże być całkowicie poinięta. Większość kondensatorów a dielektryk częściowo przewodzący, w związku z czy nie oże być poinięta tzw. oporność upływowa, odpowiadająca strato w dielektryku. W celu przeanalizowania zjawisk i ustalenia związków poiędzy napięcie i natężenie prądu dla każdego z eleentów obwodu,, zajiey się na wstępie analizą obwodów zawierających tylko jeden z wyienionych paraetrów. Takie obwody nazwiey obwodai z eleentai idealnyi. 3. Opornik o oporności Gdy do opornika o oporności jest przyłożone napięcie sinusoidalne: (5) u = sint

10 płynie przez niego prąd, którego wartość chwilową ożey wyznaczyć z zależności: sin t (6) i I sin t gdzie aplituda prądu : (7) u I względniając relację poiędzy aplitudą a wartością skuteczną w odniesieniu do natężenia prądu i napięcia: (8), I I otrzyay: (9) I Z powyższych wzorów wynika, że dla idealnego opornika o oporności spełnione jest prawo Oha zarówno w odniesieniu do aplitud jak i wartości skutecznych napięcia i prądu. Z porównania zależności przedstawiających wartości chwilowe napięcia i prądu (wzory 5 i 6) w obwodzie z idealny opornikie napięcie i prąd nie są przesunięte w fazie (=0). u,i i u I - 0 t -,5 ys. 7: Przebiegi prądu i napięcia w obwodzie z idealny opornikie

11 4. ewka o indukcyjności W idealnej cewce o indukcyjności prąd sinusoidalny: (0) i =I sint na skutek zienności w czasie indukuje siłę elektrootoryczną indukcji własnej zgodnie ze wzore: () di Napięcie na zaciskach cewki jest równe sile elektrootorycznej ze znakie przeciwny, czyli: () u =- stąd: (3) u di dt Po podstawieniu do ostatniego wzoru wyrażenia na prąd i wykonaniu różniczkowania otrzyay: (4) u =I cost= cost= sin(t+ ) Wynika stąd, iż: (5) =I a po podzieleniu przez : (6) =I Wyrażenie: (7) X ==f nazyway reaktancją indukcyjną lub opore bierny, indukcyjny. Jednostką reaktancji jest O. Zate powyższy wzór ożey zapisać następująco: (8) I X ównanie to nazyway prawe Oha dla wartości skutecznych cewki idealnej. Z porównania zależności przedstawiających wartości chwilowe dt

12 napięcia i prądu w obwodzie z idealną cewką (wzory 0 i 4) widziy, że napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy =. u,i u - I i t -,5 ys. 8: Przebiegi prądu i napięcia w obwodzie z idealną cewką. 5. Kondensator o pojeności W obwodzie z idealny kondensatore prąd jest proporcjonalny do prędkości zian w czasie napięcia na jego okładkach: (9) i du dt Gdy do wzoru tego podstawiy wyrażenie na napięcie chwilowe: (0) u = sint po wykonaniu różniczkowania otrzyujey: () i = cost=i cost=i sin(t+ ), gdzie jak widać: () I = Po podzieleniu obu stron równania przez otrzyujey: (3) I= lub I,

13 gdzie wielkość: (4) X f nazyway reaktancją pojenościową lub opore bierny pojenościowy. Zate prawo Oha dla wartości skutecznych obwodu z idealny kondensatore przyjuje postać: (5) I X Z porównania zależności przedstawiających wartości chwilowe napięcia i prądu w obwodzie z idealny kondensatore (wzory 0 i ) widziy, że napięcie opóźnia się względe prądu o kąt fazowy = -. Znak inus wynika stąd, że kąt liczyy jako kąt od wektora natężenia prądu do wektora napięcia, a więc w rozpatrywany przypadku w kierunku przeciwny do przyjętego dodatniego wzrostu kątów. u,i u I i - t -, ys. 9: Przebiegi prądu i napięcia w obwodzie z idealny kondensatore. Należy zwrócić jeszcze uwagę na to, że reaktancja pojenościowa jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości f, a więc przy f reaktancja pojenościowa dąży do zera, a przy f 0 dąży do nieskończoności. Dla prądu stałego kondensator stanowi więc przerwę w obwodzie, a przy nieskończenie wielkiej częstotliwości prądu stanowi zwarcie.

14 6. Obwód szeregowy,,. Gdy opornik, cewka i kondensator połączone są szeregowo na poszczególnych eleentach idealnych powstaną napięcia u,u,u. Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa : (6) u=u +u +u =I sint+i sin(t+ ) - I sin(t+ ) powyższy wzór ożey zapisać: (7) u= sint+( - )sin(t+ ) ponieważ (8) u= sin(t+) korzystając ze wzoru na dodawanie wartości wektorów (3) ożey wyznaczyć aplitudę napięcia: (9) ( ) stąd po uwzględnieniu, że =I, = X I, =X I (30) (I ) (X I X I ) (X X ) I a po podzieleniu przez : (3) (X X ) I Wielkość: (3) Z (X X ) X nazyway zawadą, ipedancją lub opore pozorny, a wielkość X nazyway reaktancją obwodu. Ostatecznie otrzyujey prawo Oha dla wartości skutecznych obwodu szeregowego,, : (33) =Z I

15 A) = I X = IZ = I X I = I B) I = I X = I = I X = IZ ) = I X = I X I ys. 0: Wykresy wektorowe przebiegów prądu i napięć w szeregowy układzie,, dla a)x >X, b)x <X, c)x =X. = = I Wobec założenia fazy początkowej prądu równej zeru, faza początkowa napięcia wypadkowego jest jednocześnie kąte przesunięcia fazowego napięcia względe prądu. eaktancja całkowita X obwodu,, w zależności od wartości,, oże być dodatnia, gdy X >X, ujena, gdy X <X, równa zero, gdy X =X. Ponieważ zgodnie ze wzore: (34) zate przy: tg X I X I I X X X>0 kąt fazowy jest dodatni i obwód a charakter indukcyjny, X<0 kąt fazowy jest ujeny i obwód a charakter pojenościowy, X=0 kąt fazowy jest równy zero i obwód a charakter rezystancyjny. X

16 7. ezonans w układzie szeregowy,, W oencie gdy częstotliwość generatora wyuszającego drgania w układzie zrówna się z częstotliwością własną obwodu ówiy, że wystąpił rezonans. W rezonansie opór indukcyjny jest równy oporowi pojenościoweu Warunek rezonansu ożey więc zapisać: (35) stąd częstotliwość rezonansowa (36) f r r. r. V V V ys. : kład do badania rezonansu napięć. A harakterystyczne cechy rezonansu:. Natężenie chwilowe prądu i napięcie chwilowe iędzy punktai punktai A i B układu z rysunku są w fazie, czyli =0.. Dla danego napięcia skutecznego S i oporu prąd skuteczny I S a największą wartość równą: (37) I S S

17 3. Przy rezonansie skuteczna wartość napięcia na indukcyjności jest równa skutecznej wartości napięcia na pojeności, ale napięcia te są przesunięte względe siebie w fazie o 80 i sua ich równa się zeru 4. Przy rezonansie napięcia skuteczne na kondensatorze i na indukcyjności ogą osiągać duże wartości. 5. W rezonansie napięcie : (38) I r I r Może więc zajść taki przypadek, że, względnie oże być znacznie wyższe od napięcia zasilającego. Mówiy wtedy. że w obwodzie występuje przepięcie. Stosunek, względnie do nosi nazwę dobroci obwodu Q. (39) Q W przypadku rezonansu napięć wskazania woltoierzy będą następujące: Wskazania woltoierzy V i V woltoierz V wskazałby zero. 8. Obwód równoległy,,. oraz V i V będą sobie równe. Ewentualny A A A V ys. : Scheat układu do badania rezonansu prądów.

18 Gdy do obwodu równoległego,, podłączone jest napięcie sinusoidalne: (40) u= sint o fazie początkowej równej zero przez poszczególne eleenty idealne płyną prądy sinusoidalne, które oznaczay odpowiednio i, i, i. Prądy te wynoszą odpowiednio: (4) i sin t (4) i sin( t ) sin( t ) (43) i sin( t ) Zgodnie z pierwszy prawe Kirchhoffa: (44) i= i + i + i Zate suując powyższe wzory otrzyujey: (45) i I sin t (I I )sin( t ) przy czy:, I = G to aplituda w gałęzi z opornikie, I = =B to aplituda w gałęzi z kondensatore, I = B to aplituda w gałęzi z cewką. Jak widać wielkości B i B są wielkościai odwrotnyi do reaktancji indukcyjnej i pojenościowej: X. X (46) B =, B Nazyway je odpowiednio susceptancją indukcyjną i susceptancją pojenościową. Odwrotność oporności nazyway konduktancją. Korzystając z zależności: (47) I I (I I ) otrzyay:

19 (48) I (G ) (B B ) po wyciągnięciu przed pierwiastek i podzieleniu przez otrzyujey: (49) I G (B B ) Wielkość (50) Y G (B B ) nazyway aditancją lub przewodnością pozorną obwodu równoległego,,. Stąd prawo Oha dla obwodu równoległego,, ożey zapisać następująco: (5) I = Y Susceptancja B w obwodzie równoległy,, w zależności od wartości,, oże być dodatnia, gdy B >B, ujena, gdy B <B, równa zero, gdy B =B. A) I = B I= Y I = B I= G B) I = B I= G I = B I= Y ) I = B I = B I= I= G ys. 3: Wykres wektorowy prądów i napięcia w układzie równoległy,, dla: a) B >B, b) B <B, c) B =B.

20 Ponieważ zgodnie ze wzore: (5) tg = zate przy: I I I B B G B B B<0 kąt fazowy jest dodatni i obwód a charakter indukcyjny, B>0 kąt fazowy jest ujeny i obwód a charakter pojenościowy, B=0 kąt fazowy jest równy zero i obwód a charakter rezystancyjny. W obwodzie równoległy,, tak, jak w obwodzie szeregowy napięcie oże wyprzedzać prąd, oże się opóźniać względe prądu i oże pozostawać w fazie z prąde (rysunek 3). 9. Analogia echaniczna Jeżeli ładunek na kondensatorze będziey traktować jako odpowiednik wychylenia x w drgający układzie echaniczny, to widziy, że prąd I=dq/dt jest odpowiednikie prędkości, / odpowiada stałej sprężystości k, współczynnikowi oporu, a współczynnik - indukcyjność jest odpowiednikie asy. Zate równanie ruchu układu drgającego: d x dx (t) c kx dt dt F odpowiada równaniu opisująceu drgania w szeregowy układzie,, : d q (t) dt Obydwa równania rozwiązuje się podobnie. dq dt q G B G

21 0. Pytania sprawdzające. o nazyway przesunięcie fazowy przebiegów sinusoidalnych?. o obrazuje wykres wektorowy? 3. Jaka jest różnica iędzy eleentai rzeczywistyi a idealnyi? 4. Jakie wielkości ierzą ierniki: aksyalne czy skuteczne? 5. Jakie jest przesunięcie fazowe iędzy prąde, a napięcie w obwodzie zawierający jedynie: a) idealny opornik, b) idealną cewkę, c) idealny kondensator. 6. Napisz prawo Oha dla obwodu zawierającego jedynie: a) idealny opornik o oporności, b) idealną cewkę o indukcyjności, c) idealny kondensator o pojeności. 7. o nazyway reaktancją obwodu,, i jaka jest jej jednostka? 8. o nazyway zawadą obwodu,, i jaka jest jej jednostka? 9. Napisz prawo Oha dla obwodu szeregowego i równoległego,,. 0. Narysuj wykresy wektorowe przebiegów natężenia prądu i napięć w szeregowy układzie,, dla X >X, X <X, X =X.. Kiedy obwód,, a charakter pojenościowy, kiedy pojenościowy, a kiedy rezystancyjny?. Na czy polega zjawisko rezonansu?. Podaj wzór na częstotliwość rezonansową układu,, 3. Wyień charakterystyczne cechy rezonansu. 4. Napisz wzór na dobroć obwodu,,. 5. Napisz wzory na susceptancje indukcyjną i pojenościową oraz na aditancję. VII. iteratura Stanisław Bolkowski Podstawy elektrotechniki. WSiP, Warszawa 980 ichard P. Feynan Feynana wykłady z fizyki. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 968

22 Naciskając przycisk FN ustawić sinusoidalne napięcie wyjściowe generatora. I. stawienie aplitudy:. nacisnąć przycisk AMP ;. wprowadzić żądaną wartość z klawiatury nuerycznej; 3. zaakceptować przyciskie 3 HzVpp. II. stawianie częstotliwości:. nacisnąć przycisk 4 FEQ ;. wprowadzić żądaną wartość z klawiatury nuerycznej; 3. zaakceptować przyciskie 3 HzVpp. Niewielkich zian częstotliwości ożna dokonać pokrętłe 5. ys. Generator GFG-305

23 3