Teoria Pola Elektromagnetycznego

Transkrypt

1 Teoria Pola Elektroagnetycznego Wykład 4 Pole elektroagnetyczne Stefan Filipowicz

2 4. Pole elektroagnetyczne 4.1. Prąd całkowity Prąd elektryczny w środowisku przewodzący okreslono jako uporządkowany ruch ładunków elektrycznych zachodzący pod wpływe pola elektrycznego. Prąd taki nazwano prąde przewodzenia. Gęstość tego prądu jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E i zależy od przewodności właściwej środowiska. J γ E Jeżeli ciała naładowane lub cząstki poruszają się w środowisku nieprzewodzący lub w próżni z prędkością v, to cząstki te tworzą prąd zwany prąde unoszenia (prąde konwekcyjny). Gęstość prądu unoszenia J U jest proporcjonalna do gęstości objętościowej ładunków ρ i zależy od prędkości poruszających się cząstek: J U ρ v

3 4. Pole elektroagnetyczne 4.1. Prąd całkowity W cząsteczkach dielektryka które zostały wprowadzone do zewnętrznego pola elektrycznego, ładunki z nii związane będą się przeieszczały pod wpływe sił pola tworząc prąd polaryzacji. Gęstość prądu polaryzacji J pol jest proporcjonalna do pochodnej wektora poraryzacji względe czasu: J pol P/ t W przypadku środowisk w których wektor polaryzacji jest proporcjonalny do natężenia pola elektrycznego P 1 ε 0 E, gęstość prądu polaryzacji wynosi: J pol ε 0 E / t Wszystkie trzy oówione rodzaje prądu ówią o przeieszczaniu się ładunków elektrycznych. Każdeu z tych prądów towarzyszy pole agnetyczne.

4 4. Pole elektroagnetyczne 4.1. Prąd całkowity Maxwell także nazwać prądai elektrycznyi prądy, które powstaną w próżni pod wpływe zian pola elektrycznego, gdyż teu przypadkowi również towarzyszy pole agnetyczne. Prąd ten nazyway prąde przesunięcia w próżni. Gęstość tego prądu J przes jest proporcjonalna do prędkości zian natężenia pola elektrycznego: J przes ε 0 E / t Prąd przesunięcia w próżni różni się od innych prądów ty, że nie powoduje on powstawania strat na ciepło. Prądy przewodzenia i unoszenia ogą występować zarówno w polach agnetycznych stałych jak i ziennych w czasie. Prądy przesunięcia i polaryzacji ogą występować w polu elektryczny zarówno stały jak i zienny w czasie. Prądy polaryzacji i przesunięcia ogą występować w próżni tylko w przypadku ziennego pola elektrycznego.

5 4. Pole elektroagnetyczne 4.1. Prąd całkowity W ten sposób prąde elektryczny nazyway dwa różne zjawiska: ruch ładunków elektrycznych oraz zianę w czasie pola elektrycznego. Podstawową własnością każdego z tych prądów jest zdolność wytwarzania pola agnetycznego. Prąde całkowity nazyway całokształt wszystkich zjawisk, któreu towarzyszy pole agnetyczne. W przypadku ogólny gęstość prądu całkowitego równa jest suie gęstości prądu przewodzenia, unoszenia, polaryzacji i przesunięcia w próżni: J całk J + J u + J pol + J oprzes Suę prądu polaryzacji i prądu przesunięcia w próżni nazyway prąde przesunięcia w dielektryku. Gęstość prądu przesunięcia w dielektryku wynosi: J przes J oprzes + J pol ε 0 (1+ ) E / t ε E / t D / t

6 4. Pole elektroagnetyczne 4.1. Prąd całkowity Prądy przesunięcia aja własność rozprzestrzeniania się w dielektryku tak, jak prądy przewodzenia ają własność rozprzestrzeniania się w przewodniku. W dalszej części nie będziey uwzględniać prądów unoszenia. Dlatego prąd całkowity będziey rozuieli jako suę prądu przewodzenia i prądu przesunięcia. W taki przypadku gęstość prądu całkowitego wynosi: J całk J + J przes γe + ε E / t Prąd całkowity oże występować zarówno w środowiskach przewodzących jak i nieprzewodzących. W środowisku dobrze przewodzący prądy przewodzenia są znacznie większe od prądów przesunięcia i wobec tego ożna prądy przesunięcia nie uwzględniać. W dielektryku o ałych stratach jest odwrotnie prądy przesunięcia są znacznie większe od prądów przewodzenia i tych prądów ożna nie uwzględniać

7 4.. Dywergencja gęstości prądu przewodzenia Prąd stały oże płynąć tylko w obwodzie zaknięty. Linie gęstości wektora prądu stałego są liniai ciągłyi i div J 0. Struień wektora gęstości prądu pr5zez dowolną powierzchnię zakniętą usi być zawsze równy zero. Ładunek znajdujący się w objętości ograniczonej tą powierzchnią zaknięta jest niezienny w czasie. Prądy przeienne ogą występować w obwodach tzw. otwartych, które stanowią przerwę dla prądu stałego (np. obwód z kondensatore). Dlatego w polach przeiennych, ogą płynąć prądy przewodzenia nawet w obwodach otwartych. W iejscu gdzie kończą się linie wektora gęstości prądu przewodzenia J, ogą groadzić sie ładunki; struień wektora gęstości prądu przewodzenia przez powierzchnię zakniętą nie usi się równać zero.

8 4.. Dywergencja gęstości prądu przewodzenia Załóży, że w objętości ograniczonej powierzchnią S uieszczony jest ładunek q, którego gęstość objętościowa wynosi ρ. Jeżeli przez powierzchnię S przechodzi prąd przewodzenia I, to ładunek q będzie zniejszał się i prąd: i q Wyrażając prąd za poocą gęstości prądu przewodzenia J otrzyujey postać całkową równania ciągłości prądu: S JdS q

9 4.. Dywergencja gęstości prądu przewodzenia Poprzednie równanie ożna przedstawić w postaci różniczkowej, wyrażając ładunek q w zależności od gęstości objętościowej: q ρd Oraz przekształcając struień wektora gęstości J zgodnie z twierdzenie Gaussa Ostrogradzkiego otrzyay: JdS S divjd

10 4.. Dywergencja gęstości prądu Zaś po uwzględnieniu przewodzenia S JdS q Otrzyay: ρ d divjd Ponieważ powierzchnia S, a zate i ograniczona ta powierzchnią objętość, były wybrane dowolnie, to otrzyana zależność nie zależy od granic całkowania i dlatego funkcje podcałkowe powinny być sobie równe, czyli: ρ divj

11 4.3. Ciągłość prądu całkowitego Wykażey teraz, ze prąd całkowity jest ciągły oraz, że dywergencja gęstości prądu całkowitego zawsze jest równa zero. Ponieważ gęstość prądu całkowitego jest równa suie gęstości prądu przewodzenia i gęstości prądu przesunięcia to ożey napisać: J calk J + J przes J + D Zate: divj calk divj + div D

12 4.3. Ciągłość prądu całkowitego Ponieważ współrzędne przestrzenne nie są funkcjai czasu, ożna zienić kolejność obliczania dywergencji i różniczkowania wzg. czasu: divj calk divj + ( divd) A zgodnie z tw. Gaussa w postaci różniczkowej divd ρ stąd ay: J div calk ρ + ρ 0

13 4.3. Ciągłość prądu całkowitego Co udowadnia, że dywerg. gęstości prądu całkowitego jest zawsze równa zero a to wskazuje, że wektor prądu całkowitego przedstawia sobą wektor solenoidalny; linie struienia nie ają początku ani końca. Pole tego prądu jest wirowy lub ieszany, ponieważ rozbieżność równa jest zeru.

14 4.3. Ciągłość prądu całkowitego Można sybol rozbieżności wynieść przed nawias, gdyż kolejność różniczkowania nie wpływa na wynik: D div( J prz + ) 0 t Wyrażenie to jest ogólniejszą postacią pierwszego prawa Kirchhoffa. Podstawiając za DεE oraz J prz γe otrzyay: E div( γe + ε ) Wyrażenie w nawiasie przedstawia całkowitą gęstość prądu: E γe + ε J 0

15 4.. Dywergencja gęstości prądu przewodzenia Pole tego prądu jest wirowy lub ieszany, ponieważ rozbieżność równa jest zeru. Linie gęstości całkowitego prądu nie ają dlatego ani początku ani końca, co znaczy, że zawsze tworzą krzywe zaknięte.

16 4.4. Pierwsze równanie Maxwella Pierwsze równanie Maxwella wyraża prawo przepływu w postaci różniczkowej: L Przekształcając zgodnie z twierdzenie Stokesa cyrkulację wektora H otrzyujey: L H H dl dl I S calk roth J calk ds ds Można więc napisać równanie: S roth ds S J calk ds Stąd: roth J calk

17 4.4. Pierwsze równanie Maxwella Równanie to nosi nazwę pierwszego równania Maxwella. Można go przedstawić w innej postaci uwzględniając zależności na gęstość prądu przewodzenia i gęstość prądu przesunięcia: roth γe + D W przypadku środowisk o stałej przenikalności elektrycznej ożna to zapisać (ε ε 0 ε r const): E roth γe + ε Sens Fizyczny tego równania oznacza, że pole agnetyczne bezźródłowe wytworzone jest zarówno prądai przewodzenia jak i pole elektryczny zienny w czasie.

18 4.4. Pierwsze równanie Maxwella Dla dielektryków idealnych o przewodności właściwej γ0 otrzyay: roth E ε Pierwsze równanie Maxwella ustala zależność iędzy zieniający się w czasie natężenie pola elektrycznego, a zieniający się w przestrzeni natężenie pola agnetycznego oraz wskazuje, że pole agnetyczne znajduje się w ciągły ruchu. Inaczej: równanie Maxwella określa ilościowy wiązek iędzy pole agnetyczny i wywołujący je pole elektryczny oraz szybkością zian w czasie tego pola. Wiadoo, że dywergencja rotacji równa jest tożsaościowo zeru, divh0. Dlatego i div J całk 0.

19 4.5. Drugie równanie Maxwella Drugie równanie Maxwella wyraża prawo indukcji elektroagnetycznej w postaci różniczkowej. Zgodnie z ty prawe powstaje w zwoju SEM (siła elektrootoryczna) przy zianie skojarzonego z ty zwoje struienie agnetyczny Φ czyli: e d Φ d t Maxwell uogólnił to prawo wskazując, że zieniający się w czasie struień agnetyczny wytwarza pole elektryczne nawet w przypadku gdy jest brak jest uzwojenia.

20 4.5. Drugie równanie Maxwella W polu o indukcji agnetycznej B struień agnetyczny przenikający dowolną powierzchnię S ograniczoną krzywą zakniętą L wynosi: Φ Zaś SEM wywołana przez struień zienny w czasie: e Jeśli powierzchnia S oraz obwód L są nieruchoe wtedy: L S B ds E dl L E dl Φ S B d S

21 4.5. Drugie równanie Maxwella Dodatni zwrot obiegu obwodu (linii zakniętej) L i dodatni zwrot noralnej do powierzchni S obieray tak, aby odpowiadały śrubie prawoskrętnej. Wprowadziłe tu pochodne cząstkowe, gdyż SEM oże powstać nie tylko wskutek zian w czasie pola agnetycznego ale także wskutek ruchu lub odkształcenia obwodu. Stosując tw. Stokesa ożey przekształcić cyrkulację wektora E w następujący sposób: L E dl S rote d S B Zate: rote d S d S stąd: S S rote B

22 4.5. Drugie równanie Maxwella Ostatnie równanie stanowi drugie równanie Maxwella. Należy przyponieć, że w polu elektrostatyczny, które jest pole bezwirowy ay rot E 0. Linie wektora natężenia pola E są zawsze liniai niezakniętyi, zaczynają się na ładunkach dodatnich a kończą na ładunkach ujenych. W odniesieniu do środowisk o stałej przenikalności agnetycznej, drugie równanie Maxwella otrzya postać: H rote µ Drugie równanie Maxwella ustala zależność iędzy zienny w czasie pole agnetyczny i zieniający się w przestrzeni natężenie pola elektrycznego

23 4.6. Układ podstawowych równań pola elektroagnetycznego Pole elektroagnetyczne charakteryzujey za poocą czterech wektorów E, D, B, H. W przypadku środowisk o przenikalnościach elektryczny i agnetycznych stałych, wektory te związane są zależnościai: Dε 0 ε r E i Bµ 0 µ r H Wobec tego przy wyznaczaniu pól wystarczy znać tylko dwa wektory. Zazwyczaj wyznacza się wektory E oraz H z równań Maxwella: roth γe E + ε H rote µ

24 4.6. Układ podstawowych równań pola elektroagnetycznego Jednak dla jednoznacznego wyznaczenia wektorów E i H wsponiane równania sa niewystarczające gdyż wektor rotacji nie jest jednoznacznie określony. Dlatego trzeba ieć jeszcze dywergencję wektorów E i H. Zate układ podstawowych równań pola elektroagnetycznego w odniesieniu do środowisk o stałej przenikalności elektrycznej ε ε 0 ε r const i agnetycznej µ µ 0 µ r const i przewodności właściwej (konduktywności) γ const ożna zapisać: roth H rote µ E γe + ε divh 0 dive ρ ε

25 4.6. Układ podstawowych równań pola elektroagnetycznego Przy obliczaniu konkretnych zadań powinny być uwzględnione warunki początkowe i brzegowe. Na przykład w chwili t0 powinny być podane wartości wektorów E i H we wszystkich punktach objętości, w której rozciąga się pole. Oprócz tego powinno być wiadoe jakie są wartości tych wektorów na powierzchni brzegowej S. Na granicy dwóch środowisk wartości paraetrów ε, µ i γ zieniają się skokowo, dlatego na powierzchni granicznej dwóch ośrodków wystąpi skokowa ziana wektorów pola przy czy warunki brzegowe otrzyane dla pól stałych w czasie zachowują swoją ważność i w odniesieniu do składowych wektorów pola elektroagnetycznego: ε E ε E 1 1n n ρ ε 0 E1 t E H t 1t H t τ pow µ 1 H1 n µ H n

26 4.6. Układ podstawowych równań pola elektroagnetycznego Sens fizyczny podstawowych równań pola elektroagnetycznego polega na ty, że pole agnetyczne jest zawsze pole bezźródłowy i wytworzone jest przez ładunki będące w ruchu oraz przez zieniające się w czasie pole elektryczne. Pole elektryczne oże być bezźródłowe (w ty przypadku wytworzone przez zieniające się w czasie pole agnetyczne) lub bezwirowe, jeżeli wytworzone jest poprzez niezieniające się w czasie ładunki elektryczne. Pole elektryczne i agnetyczne, są związane ze sobą ciągły i wzajeny przetwarzanie przedstawiają sobą dwie różne postacie pola elektroagnetycznego znajdującego się w ruchu i niosącego ze sobą energię w ilości: W e εe d + µ H d

27 4.7. Twierdzenie Uowa-Poyntinga Twierdzenie Uowa-Poyntinga przedstawia prawo zachowania energii w polu elektroagnetyczny. Twierdzenie to wiąże zianę energii w dowolnej objętości ze struienie gęstości tej energii, przepływający przez powierzchnię ograniczającą tą objętość. Energia pola elektroagnetycznego w objętości wynosi: W e εe d + µ H d Energia ta zienia się w sposób ciągły i ziana jej w rozpatrywanej objętości wynosi: We E H d d t εe + µ H

28 4.7. Twierdzenie Uowa-Poyntinga W odniesieniu do środowiska o przenikalności elektrycznej, przenikalności agnetycznej oraz przewodności właściwej stałej, z równań Maxwella ożna obliczyć: E ε roth - γe E ε roth Wtedy ziana energii (przyrost) pola elektroagnetycznego oże być przedstawiona w następujący sposób: W e E roth d γ E d H rote d

29 4.7. Twierdzenie Uowa-Poyntinga Z analizy wektorowej wynika, że: div( E H ) H rote E roth Zate: We div(e H)d γ E d Iloczyn wektorowy EâH oznaczay przez P i nazwiey wektore Poyntinga. Wartość wektora P ierzyy w watach na etr kwadratowy (W/ )

30 4.7. Twierdzenie Uowa-Poyntinga Zgodnie z twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego a więc ay: S divp d P d P d S Otrzyane równanie wyraża twierdzenie Uowa-Poyntinga. Struień wektora Poyntinga wchodzący do powierzchni zakniętej S równy jest suie dwóch ocy. γ E d Pierwsza przedstawia oc strat cieplnych: Druga odpowiada zianie energii pola W elektroagnetycznego w rozpatrywanej objętości: e S γ E d S + W e

31 4.7. Twierdzenie Uowa-Poyntinga Moc strat cieplnych P jest zawsze dodatnia. Moc p e odpowiadająca zieniającej się w czasie energii pola elektroagnetycznego, oże być dodatnia i ujena, w zależności czy energia pola elektroagnetycznego wewnątrz objętości zwiększa się czy zniejsza. Składowa noralna wektora ds. jest dodatnia, jeżeli jest skierowana na zewnątrz powierzchni zakniętej. Aby struień wektora P przechodzący przez powierzchnię S był dodatni, wektor P powinien być przede wszystki skierowany do wnętrza objętości (kąt iędzy wektore S i wektore ds powinien być rozwarty)

32 4.7. Twierdzenie Uowa-Poyntinga Wektor Poyntinga ożna określić jako wielkość, która równa jest liczbowo energii przechodzącej w ciągu 1 sekundy przez pole powierzchni 1 prostopadłej do kierunku wektora Poyntinga P. Przy rozpatrywaniu twierdzenia Uowa-Poyntinga założono, że w rozpatrywanej objętości ograniczonej powierzchnią zakniętą S nie było źródeł energii. Jeżeli istnieją źródła energii w rozpatrywanej objętości a wartość chwilowa ocy źródła energii wynosi p ź to twierdzenie Poyntinga ożna przedstawić następująco: p ź P d S + γ E S d + W e

33 4.7. Twierdzenie Uowa-Poyntinga p ź P d S + γ E S d + W e Co oznacza, że oc źródła w objętości równa jest suie ocy strat cieplnych, ocy idącej na zianę energii pola elektroagnetycznego w objętości i ocy wypływającej przez powierzchnię graniczną S rozpatrywanej objętości.

34 4.7. Równania Maxwella w postaci zespolonej Jeżeli składowa wektora natężenia pola elektrycznego E i agnetycznego H zienia ja się w czasie sinusoidalnie i fazy wszystkich trzech składowych sa takie sae, to równanie Maxwella ożna zapisać w postaci zespolonej. Przyjujey, że wektor natężenia pola elektrycznego na następujące składowe: E E E x y z E E E x y z sin( ω t + ψ ) sin( ω t + ψ ) sin( ω t + ψ ) I[ E I[ E I[ E Aplitudą zespoloną wektora natężenia pola elektrycznego nazyway wektor: E ( ie + je + ke ) e x y z x y z E e e e jψ jψ jψ e e e e jψ jψ jωt jωt jωt ] ] ]

35 4.7. Równania Maxwella w postaci zespolonej Wartość chwilowa wektora: E I[ E e jψ ] W sposób analogiczny ożna przedstawić aplitudę zespolona natężenia pola agnetycznego: H ( ih + jh + kh ) e x y z H e jψ jψ Oraz jego wartość chwilową: H I[ H e jψ ]

36 4.7. Równania Maxwella w postaci zespolonej Jeżeli w równaniach Maxwella podstawiy wielkości zespolone w iejsce wektorów E i H, to otrzyay równania które będą słuszne nie tylko dla części urojonych występujących w równaniach Maxwella ale również dla części rzeczywistych. W ten sposób zapis równań Maxwella znacznie się uprości i tak dla pierwszego równania ay: roth γe E + ε W wyniku podstawienia otrzyay: e jωt rot jωt H e γ E + ε E e jωt

37 4.7. Równania Maxwella w postaci zespolonej Po uproszczeniu otrzyujey pierwsze równanie Maxwella w postaci zespolonej: rot H γ E + jωε E W analogiczny sposób ożna otrzyać drugie równanie Maxwella: rot E jωµ H oraz div( µ H ) 0 div( ε E ) ρ

38 4.7. Równania Maxwella w postaci zespolonej Dogodność przedstawienia podstawowych równań pola elektroagnetycznego w postaci zespolonej polega na ty, że równaniach tych nie występuje czas t. Wektore zespolony Poyntinga nazywana jest wielkość: H P 1 [ ] E H Gdzie jest wartością sprzężoną aplitudy zespolonej natężenia pola agnetycznego. Struień zespolonego wektora Poyntinga wchodzącego do powierzchni zakniętej S S Pd S divpd div( E H ) d

39 4.7. Równania Maxwella w postaci Uwzględniajac, że: Oraz: div (E H ) zespolonej H rot E E roth E E H H Otrzyay wyrażenie określające struień wektora Poyntinga przenikającego przez powierzchnię zakniętą S S E µ H + εe P d S γ d jω ( ) d 4 4 E H

40 4.7. Równania Maxwella w postaci zespolonej Część rzeczywista poprzedniego wyrażenianrówna jest średniej ocy strat cieplnych za jeden okres; jest to oc czynna: E γ d P Re{ Część urojoną ożna traktować jako oc bierną w objętości S P ds} I{ S P ds} I{ [ E H ] ds} S

41 4.8. Potencjały elektrodynaiczne opóźnione lub uogólnione Aby określić wektory E i H przy dany wektorze gęstości prądu J i gęstości objętościowej ładunków ρ należy rozwiązać układ równań Maxwella: roth J E + ε H rote µ divµh dive Zakładając stałe paraetry środowiska, poszukiwane wektory E i H przy danych J i ρ, zależą od trzech współrzędnych przestrzennych i czasu. Bezpośrednie rozwiązanie równań Maxwella związane jest zazwyczaj z dużyi trudnościai. Można je uprościć wprowadzając funkcje poocnicze φ i A. Nazyway je potencjałai elektrodynaicznyi uogólnionyi ρ ε 0

42 4.8. Potencjały elektrodynaiczne opóźnione lub uogólnione Zależności poiędzy E i H a także φ i A ustala się w ten sposób, aby podstawowe równania przyjęły postać jak najbardziej dogodną z punktu widzenia rozwiązania. Przyjuje się: rot A µh B (div B0) (W celu jednoznacznego określenia wektora A trzeba wyznaczyć ponadto jego dywergencję, którą dobieray również z yślą uproszczenia otrzyanych zależności). Więc natężenia pola agnetycznego ożna wyrazić poprzez potencjał wektorowy uogólniony A: H 1/µrot A podstawiając wielkość H do drugiego równania Maxwellai po pewnych uproszczeniach otrzyay: A rot( E + ) t 0

43 4.8. Potencjały elektrodynaiczne opóźnione lub uogólnione Ponieważ pole wektora E + A jest potencjalne, ożna określić taką funkcję skalarną φ dla której istnieje gradient: E + A gradϕ Wielkość fizyczną φ nazyway potencjałe skalarny uogólniony. W ten sposób ożna powiązać potencjały uogólnione z wektorai natężenia pola elektrycznego E i agnetycznego H. 1 H rota µ E A gradϕ

44 4.8. Potencjały elektrodynaiczne opóźnione lub uogólnione Uwzględniając powyższe zależności, pierwsze równanie Maxwella ożna przedstawić w postaci: Lub: 1 rot( rota) µ J ( - + ε A gradϕ) rot rota µ J + A εµ ϕ grad( εµ )

45 4.8. Potencjały elektrodynaiczne opóźnione lub uogólnione Po rozwinięciu rotacji rotacji wektora: rot rot A grad div A - A oraz oznaczeniu: µε 1/v Otrzyay: A 1 v Można tak dobrać A aby równanie uprościło się przyjując postać: Wtedy potencjał wektorowy A: A 1 ϕ µ J + grad( diva + ) v diva - 1 v ϕ 1 A v A µ J

46 4.8. Potencjały elektrodynaiczne opóźnione lub uogólnione Jeżeli powyższe równanie przedstawiy przyjując współrzędne prostokątne: A ia + ja + ka, J ij + jj + x y Otrzyay trzy równania d Aleberta: z 1 x A x µ J x v A 1 Ay A y µ J y v 1 z A z µ J z v A x y kj z

47 4.8. Potencjały elektrodynaiczne opóźnione lub uogólnione Oraz jeszcze czwarte równanie dla potencjału skalarnego: ϕ 1 ϕ v Wprowadzając więc potencjały uogólnione A i, sprowadziliśy równania Maxwella do czterech równań d Aleberta, które sa równaniai tego saego typu. W ten sposób rozwiązanie równań pola elektroagnetycznego uprościło się znacznie. ρ ε

48 4.8. Potencjały elektrodynaiczne opóźnione lub uogólnione Rozwiązanie równań d Aleberta ożna przedstawić w postaci całkowej: ϕ t r ρ( t ) v πεr Gdzie w celu obliczenia potencjałów skalarnych w punkcie N i chwili t, należy podzielić objętość na eleentarne objętości d, następnie obliczając ładunek w tej eleentarnej objętości w chwili (t-r/v), gdzie r to odległość od eleentarnej objętości d v d 1 do punktu N a εµ jest prędkością rozchodzenia się fali elektroa- gnetycznej w dielektryku o przenikalności bezwzględnej ε i µ. A t µ A( t πr r v ) d

49 4.8. Potencjały elektrodynaiczne opóźnione lub uogólnione W ten sposób ożey dojść do postaci równań które określają potencjały uogólnione Które nazyway równaniai falowyi. 0 1 t v ϕ ϕ 0 1 t v A A

50 4.8. Potencjały elektrodynaiczne opóźnione lub uogólnione Aby rozwiązać równania falowe i równania d Aleberta należy dla każdego pzrypadku uwzględnić warunki początkowe i brzegowe. E 1t E t ; D 1n D n σ H 1t H t t pow ; B 1n B n Φ 1 φ ; A 1 A