Ogólopolska Koferecja Naukowa Zagadieia Aktuariale Teoria i praktyka Warszawa, 9- czerwca 008 Estymacja współczyika dopasowaia w klasyczym modelu ryzyka Aa Nikodem Uiwersytet Ekoomiczy we Wrocławiu
Klasyczy model ryzyka N() t Ut () = u+ ct Xi, X, X, - iezależe zmiee o jedakowym rozkładzie, EX ( ) = µ T - momet zgłoszeia szkody, 0 < T < T < Wk = Tk Tk, k =, 3, - czas między szkodami Nt () = { : T t} - proces liczący szkody Nt (), X, X, - iezależe zmiee losowe i= Zakłada się, że jeśli W k mają rozkład wykładiczy z wartością oczekiwaą /λ, wtedy proces liczący N(t) jest jedorodym procesem Poissoa z itesywością λ
Współczyik dopasowaia Oszacowaie Ludberga ma postać Ψ( u) e Ru, gdzie R jest współczyikiem dopasowaia, który jest rozwiązaiem rówaia + ( + θ ) µr = m ( r) lub ( + θ ) µr = L ( r), X gdzie mx ( R ) jest fukcją tworzącą momety, a LX ( R ) jest trasformatą Laplace a Jeśli c = ( + θ ) µλ to cr cr + = mx ( r) lub = LX ( r) λ λ X
Estymator współczyika dopasowaia metoda podstawiaia [Csorgo i Teugels] Itesywość wypłaty odszkodowań λ jest zaa i próba prosta X, X,, X Empirycza trasformata Laplace a ma postać: sx = i = i= 0, L ( s) exp( sx ) e df ( x) = i gdzie F ( x) #{ i : X x} Estymator R ˆ jest wyzaczoy z cr = L( r) λ
Estymator współczyika dopasowaia metoda podstawiaia [Gradell] Itesywość wypłaty odszkodowań λ jest iezaa Obserwowae dae pochodzą z przedziału (0, T ], więc liczba szkód jest zmieą losową NT ( ) Estymator R ˆT jest dodatim rozwiązaiem rówaia cr + = mˆ T ( r), ˆ λ T gdzie N( T) rxi mˆ T () r = e NT ( ) i= Za estymator parametru λ przyjmuje się estymator ajwiększej wiarygodości ˆT λ
Estymator współczyika dopasowaia metoda podstawiaia Załóżmy, że T, T,, T = T, gdzie 0 < T < T < < T Zaobserwowao stay odpowiedio NT ( ), NT ( ),, NT ( ) Fukcja wiarygodości jest postaci N Ti+ ( T T ) ( NT NT ) ( ) N( T ) i λ L= ( ) ( )! i+ i λ( Ti+ Ti) e, i= i+ i log L= λt + N( T)logλ+ D, log L gdzie D jest ie zależe od λ Obliczając = 0 otrzymujemy λ estymator ajwiększej wiarygodości itesywości wypłat λ postaci NT ( ) ˆT λ = T
Estymator współczyika dopasowaia metoda podstawiaia 3 [Portoy] Niech podae są próby X, X,, X i W, W,, W Estymatorami fukcji tworzącej momety mx () r zmieej X i parametru λ są odpowiedio estymatory rxi mˆ () r = e, ˆ λ = i = Estymator ˆR jest dodatim rozwiązaiem empiryczego rówaia cr + = mˆ ( r) ˆ λ i= W i
Własości estymatorów metoda podstawiaia Rˆ R N(0, σ ), ( ) σ = ( ) m( R) m( R) c m ( R) λ T Rˆ R N(0, σ ), ( ) D T Rˆ R N(0, σ ), 3 ( ) D 3 cr m( R) ( m( R) ) + λ λ σ = c m ( R) λ cr m( R) ( m( R) ) + λ σ 3 = c m ( R) λ Jeśli λ (0,) to σ > σ > σ 3
Przykład metoda podstawiaia Wygeerowao 30 prób 00-elemetowych z rozkładu wykładiczego z wartością oczekiwaą 0,5 Liczba szkód ma proces Poissoa z parametrem 5 Składka wyosi 3 Dokłada wartość współczyika dopasowaia: Szukamy dodatiego rozwiązaia R = 0,33333 3r + = mˆ ( r) 5
Przykład metoda podstawiaia Wartości estymatora współczyika dopasowaia: 0,4844 0,45473 0,89 0,38866 0,44098 0,347 0,48564 0,38093 0,4038 0,5887 0,494084 0,48839 0,000049 0,8509 0,34068 0,94759 0,407 0,05048 0,9066 0,56496 0,69383 0,593433 0,68649 0,588365 0,63038 0,38964 0,46474 0,867 0,886 0,500849 Średia wartość estymatora dla 30 prób wyosi 0,3657
Przykład metoda podstawiaia Wygeerowao 30 prób o liczebości odpowiedio λ, λ,, λ30 z rozkładu wykładiczego z wartością oczekiwaą 0,5 Wielkości λ, λ,, λ 30 wygeerowao z rozkładu Poissoa z parametrem 5 Składka wyosi 3 Dokłada wartość współczyika dopasowaia: R = 0,33333 Szukamy dodatiego rozwiązaia cr + = mˆ T( rt) ˆT λ T
Przykład metoda podstawiaia Wartości estymatora współczyika dopasowaia: 0,57076 0,63743 0,3843 0,39366 0,3549 0,06087 0,5094 0,338885 0,36704 0,4309 0,4683 0,448789 0,440659 0,786006 0,74547 0,009 0,496609 0,86304 0,054793 0,047 0,9759 0,43404 0,33586 0,079 0,5885 0,357 0,00006 0,667069 0,5 0,49869 Średia wartość estymatora dla 30 prób wyosi 0,33677
Przykład metoda podstawiaia Wygeerowao 30 prób z rozkładu wykładiczego z wartością oczekiwaą 0,5 i 30 prób z rozkładu wykładiczego z wartością oczekiwaą 0, Składka wyosi 3 Dokłada wartość współczyika dopasowaia: R = 0,33333 Szukamy dodatiego rozwiązaia cr + = mˆ ( r) ˆ λ
Przykład metoda podstawiaia Wartości estymatora współczyika dopasowaia: 0,47806 0,44337 0,00 0,387644 0,03398 0,4954 0,33449 0,06863 0,7337 0,0494 0,00406 0,307067 0,0565 0,3749 0,5390 0,58566 0,34389 0,3836 0,453 0,483707 0,00805 0,95903 0,5700 0,8067 0,984 0,90650 0,6673 0,00007 0,387356 0,3647 Średia wartość estymatora dla 30 prób wyosi 0, 3978
Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych Estymatory bazujące a pomociczym ciągu Z, Z, zdefiiowaym astępująco: iech M = i [ ] 0 0 gdzie S = X cw oraz 0 0 M = M + S + dla =,,, ν = i ν mi{ : M 0} k νk = + = dla k =,,, wtedy Z k = max M dla k =,, ν k < νk
Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych
Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych Jeśli liczba szkód ma proces Poissoa, to Z, Z, spełiają: Az { } Rz PZ ( > z) = ce + Oe ( ), gdy z, gdzie R jest współczyikiem dopasowaia
Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych Niech wtedy F( z) = ce Rz, Rz y = l( F( z)) = l( ce ) = l c+ Rz Dla l c = d otrzymamy y = Rz d albo rówoważie z R ( y d) R y R d ay b = + = + = +, gdzie R d = b, R a =
Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych [Schultze, Steiebach] Estymator ajmiejszych kwadratów współczyika a w z = ay+ b: k ( zi ayi b) = mi ab, i= Obliczając pochoda po a i b otrzymujemy układ rówań: k ( zi ayi b) ( yi) = 0 i= k ( zi ayi b) ( ) 0 = i= k k k zy z y aˆ = i i i i i= k i= i= k k yi yi i= k i=
Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych Wstawiając za zi = z + i, ( i =,,, k ) aproksymujemy i yi = l( F( zi)) = l( F( z + i, )) = l( ) = l i Stąd k k k z + i, l z + i, l ˆ i= i i ˆ i k = = i a = R ( k ) = k k l l i= i k i= i
Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych [Schultze, Steiebach] Estymator wyzaczoy bezpośredio z rówaia y = Rz d: k ( zi Rzi + d) = mi ab, i= k ( zi Rzi + d) ( zi) = 0 i= k ( zi Rzi d) 0 + = i= Rˆ = zy z y k k k i i i i i= k i= i= k k yi yi i= k i=
Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych Po podstawieiu y i = l i, a za zi = z + i, otrzymamy k k k z + i, l z + i, l ˆ ˆ i= i k i= i= i R= R ( k ) = k k ( z + i, ) z + i, i= k i=
Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych 3 [Embrechts, Kluppelberg, Mikosch] Estymator ajwiększej wiarygodości bazujący a Z,, Z,,, Z k+, Fukcja wiarygodości ma postać k! ( ) k Rzk Rz L= ce cre dla zk < < z ( k)! Po obliczeiu otrzymujemy tzw estymator Hilla: i= k ˆ H( k) = R= Z + i, Z k+, k i= Dla dystrybuaty empiryczej estymator przyjmuje postać: k ˆ H( k) = R= Z + i, Z k+, k i=
Przykład metoda wartości ekstremalych Jeśli szkody mają rozkład wykładiczy to zmiea Z ma rozkład o dystrybuacie gdzie F( z) = αe α e ( α ) z µ ( α ) z µ dla z > 0, α = Do wygeerowaia daych pochodzących z rozkładu + θ wykorzystao fukcję kwatylową postaci 5 5 p Q( p) 3l 6 36 = p dla p [ 6/;]
Przykład metoda wartości ekstremalych ( z k+,,l( / k) ),, ( z,,l( /) ), ( z,,l( /))
Literatura: Csorgo S, Teugels J L, Empirical Laplace trasform ad approximatio of compoud distributio, Joural of Applied Probability, Vol, r, 990 s 88-0 Embrechets P, Kluppelberg C, Mikosch T, Modellig Extremal Evets for Isurace ad Fiace Spriger-Verlag, Berli 003 3 Fisz M, Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza PWN, Warszawa 969 4 Gradell, J, Aspect of Risk Theory, Spriger-Verlag, New York 99 5 Modele aktuariale, red W Ostasiewicz Wyd AE, Wrocław 000 6 Portoy E, A closer look at the adjustmet coefficiet, Actuarial research clearig house, Vol, 990, s 45-60 7 Serflig RJ, Twierdzeia graicze statystyki matematyczej PWN, Warszawa 99 8 Schultze J, Steiebach J, O least squares estimates of a expoetial tail coefficiet, Statistics ad Decisios r 4, 996, s 353-37 9 Steiebach JG, Estimatig rui probabilities i various risk models, Raport Techiczy Katedry Statystyki r 4, 998 Dziękuję za uwagę