UPORZĄDKOWANIE STOCHASTYCZNE ESTYMATORÓW ŚREDNIEGO CZASU ŻYCIA. Piotr Nowak Uniwersytet Wrocławski
|
|
- Wiktor Kuczyński
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 UPORZĄDKOWANIE STOCHASTYCZNE ESTYMATORÓW ŚREDNIEGO CZASU ŻYCIA Piotr Nowak Uniwersytet Wrocławski
2 Wprowadzenie X = (X 1,..., X n ) próba z rozkładu wykładniczego Ex(θ). f (x; θ) = 1 θ e x/θ, x > 0, θ > 0 gęstość rozkładu wykładniczego F (x; θ) = 1 e x/θ dystrybuanta rozkładu wykładniczego F (x; θ) = 1 F (x; θ) = e x/θ funkcja przeżycia Problem: Estymacja średniej rozkładu wykładniczego, tj. wielkości θ i zbadanie uporządkowania stochastycznego otrzymanych estymatorów.
3 Definicja (1) Rodzinę rozkładów {F (x; θ), θ Θ} nazywamy stochastycznie rosnącą względem θ jeśli dla każdego θ 1 < θ 2 zachodzi F (x; θ 1 ) F (x; θ 2 ), tzn. X (θ 1 ) st X (θ 2 ), gdzie X (θ i ) jest zmienną losową o dystrybuancie F (x; θ i ), i = 1, 2. Przykład (1) Rodzina rozkładów {F (x θ), θ R}, gdzie θ jest parametrem położenia, jest stochastycznie rosnąca względem θ. Przykład (2) Rodzina rozkładów {F ( x θ ), θ > 0} zdefiniowanych na R +, gdzie θ jest parametrem skali, jest stochastycznie rosnąca względem θ. Definicja (2) Mówimy, że estymator ˆγ funkcji γ(θ), θ Θ jest stochastycznie rosnący względem θ, jeśli rodzina rozkładów estymatora ˆγ jest stochastycznie rosnąca względem θ.
4 Metody dowodzenia stochastycznej monotoniczności Metoda couplingu Twierdzenie (2) Jeśli X st Y, to istnieje przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P) oraz X i Y na tej przestrzeni takie, że X = st X, Y = st Y oraz P(X Y ) = 1. Dowód Wystarczy przyjąć Ω = (0, 1), F = B((0, 1)), P = λ((0, 1)), gdzie λ jest miarą Lebesgue a oraz X = FX 1 (U), Y = FY 1 (U), gdzie U U(0, 1) i F 1 (t) = inf{x : t F (x)}.
5 Lemat o trzech monotonicznościach Załóżmy, że funkcję przeżycia estymatora ˆθ można przedstawić w postaci P(ˆθ > x) = d D P(D = d)p(ˆθ > x D = d), (3.1) gdzie D jest pewnym skończonym podzbiorem liczb naturalnych. Lemat (1) (Balakrishnan, Iliopoulos 2009) Załóżmy, że estymator ˆθ ma funkcję przeżycia postaci (3.1) oraz spełnione są następujące warunki: (M1) P θ (ˆθ > x D = d) jest rosnąca funkcją względem θ dla wszystkich x i d D, (M2) P θ (ˆθ > x D = d) jest malejącą funkcją względem d D dla wszystkich x i θ, (M3) zmienna losowa D jest stochastycznie malejąca względem θ. Wówczas estymator ˆθ jest stochastycznie rosnący względem θ.
6 Estymacja na podstawie całej próby ˆθ estymator NW parametru θ na podstawie próby X rozmiaru n. Funkcja wiarogodności jest postaci L(x; θ) = 1 θ exp ( n x ) i n i=1 θ. Twierdzenie (1) 1. Statystyka n i=1 X i jest dostateczna i zupełna dla parametru θ. 2. ˆθ = n i=1 X i /n = X jest estymatorem NJMW oraz NW parametru θ. 3. 2nˆθ θ χ2 (2n). Wniosek Estymator ˆθ jest stochastycznie rosnący względem θ. Prawdziwy jest mocniejszy fakt: rodzina rozkładów estymatora ˆθ ma monotoniczny iloraz wiarogodności, tzn. jeśli θ 1 < θ 2, to g θ2 (x)/g θ1 (x) jest rosnącą funkcją x, gdzie g jest gęstością estymatora ˆθ.
7 Estymacja średniej na podstawie prób uciętych Wymieńmy najbardziej powszechne typy cenzurowania. 1. I typ (ang. Type-I censoring) badanie jest kończone w z góry ustalonym momencie czasu T. Inne oznaczenie według Gniedenki: Plan [n,b,t ], co oznacza, że pracuje n elementów do chwili T, które nie są wymieniane na nowe w momencie awarii. 2. II typ (ang. Type-II censorig) badanie jest prowadzone do momentu ustalonej z góry r-tej awarii. Inne oznaczenie: Plan [n,b,r]. 3. Cenzurowanie losowe, tzn. czas cenzurowania jest zmienną losową.
8 Plan[n,B,T ] D = #{X i T } liczba awarii ma rozkład dwumianowy b(n, 1 e T /θ ). Funkcja wiarogodności dla próby z tego rodzaju badania jest postaci ( ) n ( L(x 1:n, x 2:n,..., x d:n, d; θ) = e T /θ) n d d ( 1 i:n/θ) d θ e x = i=1 ( ) n 1 = d θ d exp 1 d x i:n + (n d)t, gdy d = 1,..., n. θ i=1 W przeciwnym razie, gdy d = 0 L(x 1:n, x 2:n,..., x d:n, d; θ) = P(D = 0) = e nt /θ. Estymator NW parametru θ istnieje, gdy D 1 i jest postaci ˆθ = 1 ( D ) X i:n + (n D)T. (5.2) D i=1
9 Balakrishnan i Iliopoulos (2009) udowodnili następujące twierdzenie o stochastycznej monotoniczności estymatora (5.2). Twierdzenie (3) Estymator NW średniej w rozkładzie wykładniczym uzyskany na podstawie planu [n, B, T ] jest stochastycznie rosnący względem θ.
10 Dowód stochastycznej monotoniczności ˆθ przy użyciu metody couplingu przeprowadzimy dla estymatora otrzymanego z nieco ogólniejszego planu. Ustalmy chwilę T w której przerywamy badanie. Niech T i oznacza czas, jaki upłynął od chwili uruchomienia i-tego elementu do chwili T. Oznaczmy zmienne losowe C i następująco 1, gdy i-ty element uszkodził sie do chwili T, C i = 0, w przeciwnym przypadku, gdzie i = 1, 2,..., n.
11 Jeśli długość pracy każdego elementu jest zmienną losową o gęstości f i dystrybuancie F, to funkcja wiarogodności dla tak opisanego planu jest postaci L(x 1,..., x n ; T 1,..., T n ; θ) = = n 1 θ c i i=1 ( exp c ix i θ n f (x i ) c i (1 F (T i )) 1 c i = i=1 (1 c i)t i θ ). (5.3) Zauważmy, że C i b(1, F (T i )). Z kolei liczba awarii jest zmienną losową D = n i=1 C i. Z (5.3) otrzymujemy estymator NW postaci ˆθ = 1 D Twierdzenie (4) n i=1 (C i X i + (1 C i )T i ), gdy D > 0. (5.4) Estymator postaci (5.4) jest stochastycznie rosnący względem θ.
12 Plany [n, B, r] i [n, W, r] Czas badania jest losowy i trwa do momentu r-tej awarii. Rozróżniamy dwa przypadki: z odnową, tzn. w momencie awarii element natychmiast zostaje zastąpiony nowym, tj. plan [n, B, r], i bez odnowy, tj. plan [n, W, r]. Dla planu [n, B, r] estymator parametru θ dany jest wzorem ˆθ = 1 ( r ) X i:n +(n r)x r:n = 1 r (n i+1)(x i:n X i 1:n ) = 1 r W i, r r r i=1 i=1 i=1 (5.5) gdzie W i, i = 1, 2,..., n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych Ex(θ). (Przyjmujemy X 0:n = 0.) Estymator parametru θ dla planu [n, W, r] wyraża się wzorem ˆθ = n r X (r) = n r ( ) n r X(i) X r (i 1) = W i, (5.6) r i=1 gdzie W i, i = 1, 2,, n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych Ex(θ/n). i=1
13 Z postaci wzorów (5.5) i (5.6) wynika natychmiast następujące twierdzenie. Twierdzenie (5) Estymatory (5.5) i (5.6) średniego czasu życia uzyskane z próby uciętej w chwili r-tej awarii są stochastycznie rosnące względem parametru θ. Co więcej, są uporządkowane rosnąco względem porządku ilorazu wiarogodności.
14 Plan [n, W, (r, T )] W tym planie badanie kończymy w chwili T, bądź w chwili min[t, x (r) ]. Estymator NW parametru θ wyraża się wzorem nt, gdy D = 1, 2,..., r 1, D ˆθ = nx (r), gdy D r. r (5.7) W przypadku z wymianą elementów natychmiast w momencie awarii, chwile uszkodzeń tworzą strumień Poissona o intensywności n/θ. Dlatego liczba awarii na przedziale [0, T ] jest zmienną losową o rozkładzie Poissona Poi(nT /θ), zaś odstępy między kolejnymi awariami są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych Ex(θ/n).
15 Twierdzenie (6) Estymator NW średniej w rozkładzie wykładniczym otrzymany na podstawie planu [n, W, (r, T )] jest stochastycznie rosnący względem θ.
16 Plan [n, B, (r, S 0 )] Zdefiniujmy najpierw wielkość S(t), którą będziemy nazywać czasem nagromadzonym do chwili t. S(t) = nx (1) + (n 1)(x (2) x (1) ) (n d)(t x (d) ), (5.8) gdzie d jest liczbą awarii, które wystąpiły do chwili t, zaś x (1), x (2),..., x (d) są kolejnymi momentami awarii.
17 W tym planie badanie przerywa się w chwili t 0, gdy S(t 0 ) = S 0, tj. nagromadzony czas pracy elementów do chwili t 0, osiągnie poziom S 0, bądź w chwili r-tego uszkodzenia, jeśli S(x (r) ) < S 0. Wiadomo, że zmienne losowe nx (1), (n 1)(X (2) X (1) ),..., (n r + 1)(X (r) X r 1 ) są niezależne o jednakowym rozkładzie wykładniczym Ex(θ), co w rzeczywistości oznacza, że obserwujemy poissonowski strumień uszkodzeń o intensywności 1/θ i badanie przerywamy bądź w chwili S 0, bądź w chwili S(x (r) ) wystąpienia r-tego uszkodzenia. Aby otrzymać estymator NW parametru θ wystarczy zauważyć, że problem ten był już rozważany dla planu [N, W, (r, T )] i we wzorze (5.7) podstawić X (r) := S(X (r) ), T := S 0 oraz n := 1.
18 Wniosek Estymator NW parametru θ dla planu [n, B, (r, S 0 )] dany jest wzorem S 0, gdy D = 1, 2,..., r 1, D ˆθ = S(X (r) ), gdy D r. r (5.9) Zmienna losowa D występująca w (5.9) jest zmienną o rozkładzie Poissona Poi(S 0 /θ) i oznacza liczbę awarii do chwili t 0. Wniosek Estymator dany wzorem (5.9) jest stochastycznie rosnący względem θ.
19 Przykłady zastosowań Definicja (2) Powiemy, że przedział losowy I 1 = (L 1, U 1 ) jest mniejszy w porządku stochastycznym od przedziału I 2 = (L 2, U 2 ), ozn. I 1 st I 2, jeśli L 1 st L 2 oraz U 1 st U 2. Definicja (3) Powiemy, że długość przedziału losowego I 1 = (L 1, U 1 ) jest stochastycznie mniejsza od długości przedziału losowego I 2 = (L 2, U 2 ), ozn. d(i 1 ) st d(i 2 ), jeśli U 1 L 1 st U 2 L 2.
20 Przykład (3) Korzystając z asymptotycznych własności estymatorów NW łatwo podać asymptotyczny przedział ufności na poziomie 1 α dla θ w oparciu o plan [n, B, T ]. I = ( ( ˆθ 1 z ( α/2 ), ˆθ 1 + z α/2 )). (6.10) r r Zatem jeśli θ 1 < θ 2 i r > (z α/2 ) 2, to I 1 st I 2. Co więcej, ponieważ d(i ) = 2z α/2 ˆθ/ D, więc d(i 1 ) st d(i 2 ).
21 Przykład (4) Podamy przedział ufności I na poziomie 1 α dla θ w oparciu o plan [n, B, r]. Ponieważ 2r ˆθ/θ ma rozkład χ 2 (2r) więc I = ( 2r ˆθ 2r ˆθ ) χ 2 α/2 (2r), χ 2 1 α/2 (2r). (6.11) Jeśli θ 1 < θ 2, to I 1 st I 2 oraz d(i 1 ) st d(i 2 ). Rozważmy teraz estymację niezawodności R(t; θ) = e t/θ w chwili t > 0. Jest oczywiste, że estymatorem NW wielkości R(t; θ) jest ˆR = e t/ˆθ, gdzie ˆθ jest estymatorem NW parametru θ. Funkcja R(t; θ) jest rosnąca względem θ przy ustalonym t > 0. Porządek stochastyczny jest zachowany przy przekształceniach rosnących, zatem prawdziwy jest następujący wniosek.
22 Wniosek Estymatory NW funkcji niezawodności uzyskane na podstawie planów: [n, B, T ], [n, B, r], [n, W, T ], [n, W, r], [n, B, (r, T )], [n, W, (r, T )], [n, B, (r, S 0 )] są stochastycznie rosnące względem θ. Przykład (5) Estymator NJMW dla niezawodności na podstawie planu [n, B, r] dany jest wzorem (6.12). ˆR = ( 1 t ) r 1, (6.12) r ˆθ + gdzie estymator ˆθ dany jest wzorem (5.5) Estymator (6.12) jest stochastycznie rosnący względem θ.
23 Przykład (6) Estymator NJMW dla niezawodności na podstawie planu [n, W, T ] dany jest wzorem (6.13). ˆR = ( 1 t ) nt /ˆθ, (6.13) nt + gdzie ˆθ = nt /D i D Poi(nT /θ). Estymator (6.13) jest stochastycznie rosnący względem θ. Przykład (7) Estymator NJMW dla niezawodności na podstawie planu [n, W, r] dany jest wzorem (6.14). ˆR = ( 1 t ) r 1, (6.14) r ˆθ + gdzie estymator ˆθ dany jest wzorem (5.6). Estymator (6.14) jest stochastycznie rosnący względem θ.
24 Przykład (8) Estymator NJMW niezawodności dla planu [n, B, T ] nie istnieje ponieważ statystka dostateczna (D(T ), S(T )) nie jest zupełna. Możemy jednak podać nieobciążone estymatory niezawodności, np. 1 D(t) n, gdy t (0, T ], ( ) ( ˆR(t) = 1 D(T ) n 1 D(t pt ) n p ), gdy t (pt, (p + 1)T ], (6.15) gdzie p = 1, 2,..., n 1, zaś D(t), 0 < t T, oznacza liczbę awarii do chwili t. Lemat (2) Wektor losowy (D(t), D(T )) jest stochastycznie malejący względem θ, tzn. (D θ2 (t), D θ2 (T )) st (D θ1 (t), D θ1 (T )), gdy θ 1 < θ 2.
25 Dowód lematu 2 polega na sprawdzeniu kolejno warunków: 1) D θ2 (t) st D θ1 (t), 2) [D(t) θ2 D θ2 (T ) = d] st [D θ1 (t) D θ1 (T ) = d], dla wszystkich d, 3) [D θ (t) D θ (T ) = d 2 ] st [D θ (t) D θ (T ) = d 1 ], gdy d 2 d 1 i dla wszystkich θ. Twierdzenie (7) Estymator niezawodności w chwili t (0, nt ] dany wzorem (6.15) jest stochastycznie rosnący względem θ.
26 Literatura Literatura [1] N. Balakrishnan, G. Iliopoulos, Stochastic monotonicity of the MLE of exponential mean under different censoring schemes, Annals of the Institute of Statistical Mathematics 61 (2009), [2] N. Balakrishnan, C. Brain, Jie Mi, Stochastic order and MLE of the mean of the exponential distribution, Methodology and Computing in Applied Probability 4 (2002), [3] B.W. Gniedenko, J.K. Bielajew, A.D. Sołowiew, Metody matematyczne w teorii niezawodności, WNT Warszawa 1968.
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoEstymacja gęstości prawdopodobieństwa metodą selekcji modelu
Estymacja gęstości prawdopodobieństwa metodą selekcji modelu M. Wojtyś Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska Wisła, 7 grudnia 2009 Wstęp Próba losowa z rozkładu prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoW4 Eksperyment niezawodnościowy
W4 Eksperyment niezawodnościowy Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Badania niezawodnościowe i analiza statystyczna wyników 1. Co to są badania niezawodnościowe i
Bardziej szczegółowoWykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoNa podstawie dokonanych obserwacji:
PODSTAWOWE PROBLEMY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Niech mamy próbkę X 1,..., X n oraz przestrzeń prób X n, i niech {X i } to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie P θ P. Na podstawie obserwacji chcemy
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie
Bardziej szczegółowoWłasności porządkowe w modelu proporcjonalnych szans
Własności porządkowe w modelu proporcjonalnych szans Wisła, 8 grudnia 2009 Oznaczenia Wprowadzenie Oznaczenia Porządki stochastyczne Klasy rozkładów czasu życia X F, Y G zmienne losowe o gęstościach f
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoWykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów
Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowo1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.
Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.. Metoda odwracania Niech X oznacza zmienna losowa o dystrybuancie F. Oznaczmy F (t) = inf (x : t F (x)). Uwaga Zauważmy, że t [0, ] : F ( F (t)
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy
Bardziej szczegółowoInstytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2
Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoW3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego
W3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Niezawodność elementu nienaprawialnego 1. Model niezawodności elementu nienaprawialnego
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoProces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 6
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Zmienne losowe dyskretne. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych dyskretnych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 14 18 stycznia 2010 Model statystyczny ROZKŁAD DWUMIANOWY ( ) {0, 1,, n}, {P θ, θ (0, 1)}, n ustalone P θ {K = k} = ( ) n θ k (1 θ) n k, k k = 0, 1,, n Geneza: Rozkład Bernoulliego
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowoWykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób
Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wrocław, 18 kwietnia 2018 Test rangowy Testem rangowym nazywamy test, w którym statystyka testowa jest konstruowana w oparciu o rangi współrzędnych wektora
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowo2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7
Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoPARAMETRY, WŁAŚCIWOŚCI I FUNKCJE NIEZAWODNOŚCIOWE NAPOWIETRZNYCH LINII DYSTRYBUCYJNYCH 110 KV
Elektroenergetyczne linie napowietrzne i kablowe wysokich i najwyższych napięć PARAMETRY, WŁAŚCIWOŚCI I FUNKCJE NIEZAWODNOŚCIOWE NAPOWIETRZNYCH LINII DYSTRYBUCYJNYCH 110 KV Wisła, 18-19 października 2017
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowo6.4 Podstawowe metody statystyczne
156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowo