Dolne oszacowania wartości rekordowych

Transkrypt

1 Dole oszacowaia wartości rekordowych Agieszka Gorocy Uiwersytet Miko laja Koperika, Toruń Tomasz Rychlik Uiwersytet Miko laja Koperika, IM PAN, Toruń XXXV Koferecja Statystyka Matematycza, Wis la. 8 grudia 2009

2 1 Rozważay model 2 k- te rekordy Rozk lady -tych wartości rekordowych 3 Sformuowaie problemu 4 Klasycze (zwyk le) rekordy (k = 1) Wyiki dla 1 < p Wyiki dla p = 1 Przyrosty zwyk lych rekordów 5 k-te rekordy, k 2 Wyiki dla 1 < p < Wyiki dla p = 1 Wyiki dla p = Przyrosty k-tych rekordów

3 Rozważay model X 1, X 2,... iid F - ci ag la. Momety µ = EX 1 = 1 p = E X 1 µ p = 0 F 1 (x)dx, 1 0 F 1 (x) µ p dx > 0, 1 p <, σ = ess sup X 1 µ = sup F 1 (x) µ 0<x<1 = max{µ F 1 (0+), F 1 (1 ) µ}.

4 k-te rekordy Czasy rekordowe: T (k) 0 = k, T (k) = mi { j > T (k) 1 : } X j > X (k) (k) T, = 1, 2, k:t 1 Wartości rekordowe: R (k) 0 = X k, R (k) = X (k) T +1 k:t (k), = 1, 2....

5 Rozk lady -tych wartości rekordowych F (k) (x) = 1 [1 F (x)] k f (k) i=0 k i i! ( l[1 F (x)])i, (x) = k+1 ( l[1 F (x)]) [1 F (x)] k 1 f (x).! Jeżeli F U(0, 1), to G (k) (x) = 1 (1 x) k g (k) i=0 k i i! [ l(1 x)]i, 0 < x < 1, (x) = k+1 [ l(1 x)] (1 x) k 1, 0 < x < 1.!

6 Sformuowaie problemu Zaleźć optymale dole oszacowaia dla dla 1 p. E R(k) µ 1 = 0 UWAGA: Oszacowaia góre dla (1) s a zae: E R µ σ 2 - Nagaraja (1978), E R µ - Raqab (2000), E R(k) µ σ 2 - Raqab (1997), E R(k) µ - Raqab, Rychlik (2002). F 1 (x) µ g (k) (x)dx. (1)

7 Klasycze (zwyk le) rekordy (k = 1) Oszacowaia dole dla s a ieujeme. E R µ = 1 0 F 1 (x) µ g (x)dx

8 Wyiki dla 1 < p Twierdzeie E R µ 0. Gdy 1 < p <, to = osi agaa w graicy przez mieszaiy rozk ladów jedostajych a przedzia lach [α δ, α + δ] oraz [β δ, β + δ], z prawdopodobieństwami θ oraz 1 θ, odpowiedio, gdzie α = α(p, θ, δ) < β = β(p, θ, δ) s a rozwi azaiami rówań: µ = θα + (1 θ)β, 2δ(p + 1) p = θ[(µ α + δ) p+1 (µ α δ) p+1 ] gdy θ 1, zaś δ 0. + (1 θ)[(β µ + δ) p+1 (β µ δ) p+1 ],

9 Wyiki dla 1 < p, c.d. Gdy p =, to = osi agaa w graicy przez mieszaiy rozk ladów jedostajych a przedzia lach [µ σ, µ σ + δ] oraz [µ + θ 1 θ (σ δ), µ + θ 1 θ σ ] z prawdopodobieństwami θ oraz 1 θ, odpowiedio, gdy δ i θ d aż a do 0, i przez mieszaiy rozk ladów jedostajych a przedzia lach [µ 1 θ θ σ, µ 1 θ θ (σ δ)] i [µ + σ δ, µ + σ ] z prawdopodobieństwami θ oraz 1 θ, odpowiedio, gdy δ 0 zaś θ 1.

10 Wyiki dla p = 1 Twierdzeie E R µ σ 1 1 2, = osi agaa w graicy przez mieszaiy rozk ladów jedostajych a przedzia lach [µ σ 1 2θ δ, µ σ 1 2θ + δ, ] oraz [µ + σ 1 2(1 θ) δ, µ + σ 1 2(1 θ) + δ, ] z prawdopodobieństwami θ oraz 1 θ, odpowiedio, gdy θ i δ d aż a jedocześie do 0. UWAGA Wszystkie rozk lady, dla których oszacowaia s a osi agae ie zależ a od.

11 Przyrosty zwyk lych rekordów Dla 1 m < z 1 p oraz m = 0 < z 1 < p mamy E R R m = E R µ E R m µ 0, Jedyy wyj atek dla m = 0, p = 1: E R R 0 σ 1 = E R µ σ 1 1 2, 1.

12 -te wartości k-tych rekordów, k 2 Oszacowaia dla s a iedodatie. E R(k) µ 1 = 0 F 1 (x) µ g (k) (x)dx

13 Wyiki dla 1 < p < Twierdzeie Niech k 2, zaś 1 < p <. Mamy gdzie E R(k) µ B q = B q (k, ), Bq q = α[g (k) (α) g (k) (d )] q (g (k) (d ) g (k) d d α (x)) q dx, (g (k) dla d (α, 1) bȩd acego jedyym rozwi azaiem rówaia (x) g (k) (d )) q dx 1 (g (k) d (d ) g (k) (x)) q 1 dx = d (g (k) α +α(g (k) (x) g (k) (d )) q 1 dx (α) g (k) (d )) q 1,

14 Wyiki dla 1 < p <, c.d. oraz α, bȩd acego jedyym rozwi azaiem rówaia αg (k) (α) = G (k) (α). = zachodzi dla graiczego rozk ladu postaci (k) (θ+g (α)) 1/(p 1) B q, x [0, α), F 1 (x) µ (k) (θ+g = (x)) 1/(p 1) σ B p q, x [α, d ), ( g (k) (x) θ) 1/(p 1) B q, x [d, 1).

15 Wyiki dla p = 1 Twierdzeie Niech k 2, zaś p = 1. Mamy k +1 E R(k) µ 1 σ 1 2 g (k) (α) = 1 [ l(1 α)] (1 α) k 1, 2! gdzie α jest jedyym rozwi azaiem rówaia αg (k) (α) = G (k) (α). = zachodzi dla graiczego rozk ladu trzypuktowego postaci ( P X = µ σ ) 1 = α, 2α P(X = µ) = 1 ɛ α, ( P X = µ + σ ) 1 = ɛ, 2ɛ przy ɛ 0.

16 Wyiki dla p = Twierdzeie Niech k 2, p = oraz iech α bȩdzie jedyym rozwi azaiem rówaia Jeżeli α < 1 2, to αg (k) (α) = G (k) (α). E R(k) µ 1 2G (k) (α) = 1 σ 2 k 1 (k l(2)) i i=1 i! 1, zaś = zachodzi dla graiczego rozk ladu dwupuktowego postaci P(X = µ + σ ) = 1 2, P(X = µ σ ) = 1 2.

17 Wyiki dla p =, c.d. Jeżeli α > 1 2, to E R(k) µ σ 1 g (k) (α) = 1 k+1 [ l(1 α)] (1 α) k 1,! zaś = zachodzi dla graiczego rozk ladu dwupuktowego postaci 1 α P(X = µ σ α ) = α, P(X = µ + σ ) = 1 α.

18 Przyrosty k-tych rekordów Dla p > 1 lub p = 1, 1 m <, mamy E R(k) R m (k) 0, z jedyym wyj atkiem dla m = 0, p = 1: E R(k) R (k) 0 1 σ 1 2.