D I D A C T I C S O F M A T H E M A T I C S No. 8 0 OZKŁAD STATYSTYKI T-STUDENTA PZY DANEJ WAIANCJI Z PÓBY O OZKŁADZIE NOMALNYM Albrt Gardoń Abstract. It is ot so asy to lctur o highr mathmatics for coomy studts. Advacd otios must b oft prstd for popl without a appropriat thortical backgroud which forcs th tachr to simplify. Ufortuatly th praxis shows that th frotir btw a simplificatio ad a factual rror is oft vry subtl ad it happs this frotir is somtims crossd. Such a situatio occurs just i th cas of th problm which will b dscribd i this papr. It is a kow fact that th so calld Studt s T statistics from a ormal distributd sampl is t-studt distributd without ay doubt. But i hadbooks for coomy studts svral authors try to us this statistics for xrciss with mathmatical tabls of th t-studt distributio ordrig a calculatio of th probability that th sampl avrag will blog to th giv itrval i th cas wh th thortical variac is ukow but th sampl variac has b calculatd. Ufortuatly such a situatio has othig to do with th t-studt distributio ad this rror is systmatically copid i succssiv hadbooks. Kywords: Studt s T statistics t-studt distributio ormal distributio.. Wstęp Nich stadardowo będzi daa przstrzń probabilistycza Ω F P gdzi Ω jst tzw. przstrzią zdarzń czyli zbiorm wszystkich zdarzń lmtarych ω F jst tzw. -ciałm zbiorów mirzalych czyli zbiorm wszystkich zdarzń losowych A a więc takich podzbiorów A Ω dla których możliw jst okrśli ich miary atomiast P jst miarą probabilistyczą okrśloą a tj przstrzi zwaą krótko prawdopodobiństwm. Zakłada się ż czytlik za i rozumi formal dfiicj powyższych i iych pojęć probabilistyczych jak p. zmia losowa rozkład gęstość dlatgo i będą tu o szczgółowij objaśia moża się z imi zapozać dokładij p. w moografii Billigsly 009. Albrt Gardoń Dpartmt of Statistics Wrocław Uivrsity of Ecoomics Komadorska Strt 8/0 53-345 Wrocław Polad. E-mail: albrt.gardo@u.wroc.pl
8 Albrt Gardoń Dalj rozważaa będzi -lmtowa próba prosta Ξ z rozkładu ormalgo. Przd dokoaim obsrwacji wktor wartości dla tj próby i jst zay i formali jst traktoway jak wktor lub ciąg izalżych zmiych losowych o jdakowym rozkładzi ormalym co moża zapisać w astępujący sposób: Ξ X i i iid ~ N µ. Wykorzystując ormalość próby moża okrślić rozkłady poiższych popularych statystyk próbkowych ozaczaych tu przz Z T i H : S H X µ Z ~ N ~ χ 0 Γ X µ T ~ t S gdzi X i S są odpowidio śrdią arytmtyczą i wariacją w ssi ajwiększj wiarygodości z próby: S X i i X i X X. Jak to zostało zapisa statystyka Z przy zaych paramtrach µ i ma stadardowy rozkład ormaly co wyika z podstawowych własości rozkładu ormalgo: suma zmiych o rozkładzi ormalym ma dalj rozkład ormaly podobi ctrowai i ormalizowai i powoduj zmiay typu rozkładu w tym przypadku. Druga z statystyk H przy zaym paramtrz ma rozkład χ o stopiach swobody zob. Pawłowski 980 lub ogólij rozkład Γ z paramtrami i. Ostatia statystyka azywaa statystyką T Studta ma przy zaym paramtrz µ rozkład t -Studta o stopiach swobody co wyika imal bzpośrdio z jdj z dfiicji tgo rozkładu zob. rówiż i 3
ozkład statystyki t-studta przy daj wariacji z próby 9 Pawłowski 980. Mówi oa ż rozkład t -Studta o daj liczbi stopi swobody ma zmia losowa będąca ilorazm dwóch izalżych zmiych losowych pomożoym przz pirwiastk kwadratowy z liczby stopi swobody; liczik wspomiago ilorazu musi być zmią losową o stadardowym rozkładzi ormalym a jgo miaowik zmią losową o rozkładzi χ o daj liczbi stopi swobody.. Problm Dotychczasow stwirdzia i budzą wątpliwości. Problm pojawia się jdak gdy alży okrślić rozkład statystyki T przy zaym paramtrz µ izaym paramtrz al daj wariacji z próby S s. W wilu podręczikach do statystyki dla uczli koomiczych zob. p. Kassyk-okicka 00; Ostasiwicz usak Sidlcka 004; Wawrzyk 007; Witkowski 00 rozkład t -Studta jst wykorzystyway w zadaiach do obliczaia prawdopodobiństwa ż śrdia arytmtycza X z izbyt liczj < 30 próby prostj o rozkładzi ormalym z zaą wartością oczkiwaą µ i izaą wariacją zajdzi się w okrśloym przdzial dla ustalia uwagi ich to będzi półprosta u]. Prztowa tam rozwiązaia wyglądają mij więcj tak: X µ P X u P S u µ S sic! u µ u µ PT FT s s gdzi F T ozacza dystrybuatę statystyki T czyli dystrybuatę rozkładu t -Studta o stopiach swobody. Pirwsz przjści polga a zamiai zmij losowj X a T w wyiku wykoaia tgo samgo przkształcia a obu stroach irówości dfiiującj zdarzi losow. Błąd popłiay jst w drugim kroku a iwłaściw przjści zostało zazaczo ad odpowidim zakim rówości która w tym przypadku i zachodzi! Przyczyą takigo stau jst ikoskwt potraktowai sic! Jśli zmia losowa ma rozkład χ to jj pirwiastk kwadratowy ma rozkład χ o tj samj liczbi stopi swobody.
0 Albrt Gardoń iformacji o zaj dysprsji z próby. Z lwj stroy waruku traktowaa jst oa jako zmia losowa S ω współtworząca zmią losową T ω atomiast z prawj jako liczba s. Nistty jst to idozwolo! Ni moża utożsamiać fukcji z jdą z jj wartości! I iczgo i zmiia tu fakt ż przy ormalj próbi prostj ma mijsc izalżość: X S zob. Pawłowski 980. Zrsztą w powyższym rozwiązaiu awt i da się zauważyć momtu gdzi się z tj izalżości korzysta co zrsztą jst koljym idociągięcim. A przciż awt a podstawowych kursach rachuku prawdopodobiństwa uczy się studtów ż wszlki iformacj da przd obliczaim zadago prawdopodobiństwa alży umiszczać w waruku. 3. ozwiązai Aby rozwiązać powstały problm alży wrócić do podstaw. Nich u µ A ω Ω : T ω S ω B { ω Ω : S ω s}. 4 Powstaj pytai jaki jst rozkład statystyki X gdy zaa jst wariacja z próby S s lub rówoważi jaki jst rozkład statystyki T pod warukim ż S s. Iformacja ż zaa jst dysprsja z próby i wyosi s ozacza ż alży ograiczyć rozważaia dotycząc prawdopodobiństwa P zdarzia A w przstrzi Ω tylko do tych zdarzń lmtarych ω dla których S ω s czyli do zbioru A B. Iymi słowy alży rozważyć rozkład zmij losowj T uwzględiając i całą dzidzię tj fukcji czyli Ω lcz jdyi zbiór B. W pwym ssi moża powidzić ż przstrzń Ω w wyiku tj iformacji zostaj ograiczoa do zbioru B -ciało F do jgo przkroju z zdarzim B a miara P zastąpioa prawdopodobiństwm warukowym P B. W pwym ssi gdyż P B 0 z względu a ciągłość rozkładu statystyki S więc i moża bzpośrdio zastosować klasyczgo wzoru a prawdopodobiństwo warukow. Nimij jdak w owoczsj torii prawdopodobiństwa opartj a torii miary warukowai względm zdarzń prawi imożliwych i staowi już zapory i do przjścia zob.
ozkład statystyki t-studta przy daj wariacji z próby Billigsly 009. Zatm powio to być oblicza w astępujący sposób: X S u µ u µ P X u S s P X u P Z Φ gdzi Z da jst rówaim a Φ to dystrybuata stadardowgo rozkładu ormalgo. Pirwsz przjści jst wyikim izalżości X S w koljych dokouj się już tylko stadaryzacji zmij losowj o rozkładzi ormalym. ówoważi odosząc wyiki do statystyki T Studta moża zapisać: Z S ~ T Z T N 0 S s S s poiważ drugi czyik Z ma stadardowy rozkład ormaly a pirwszy który jst od igo izalży przy podaym waruku staj się stałą skalującą jdyi rozkład ormaly. Podsumowując: warukowy rozkład statystyki T Studta przy daym S s jst ormaly z śrdią 0 i wariacją. s 4. Gęstość warukowa statystyki T Studta Powyższy wyik moża uzasadić jszcz bardzij formali wyzaczając warukową gęstość zmij losowj T S s. W tym clu wystarczy korzystając z izalżości Z H gdzi zmi t da są odpowidio wzorami i przkształcić wktor losowy Z H w astępujący sposób zob. Fllr 007: ξ X µ Z H T W S S. Wtdy jśli przz f ZH ozaczy się gęstość łączą tgo wktora co moża zapisać Z H ~ f to: ZH z t w h t w dt J t T W ξ Z H ~ f t w f w 7 TW ZH ξ 5 6
Albrt Gardoń gdzi f TW jst gęstością łączą wktora T W a J ozacza jakobia przkształcia który w tym przypadku day jst wzorm: t z h t z h z t w z t w z h t w Jξ z h J t w. w z h w z h ξ h t w h t w z h t w Ostatczi wystarczy wyzaczyć gęstość warukową f za pomocą formuły: gdzi ftw t s T T ~ f t S s W s T W s f s fw w ftw t w dt W T W s jst gęstością brzgową zmij losowj W. Tyl ogólj torii dotyczącj przkształcń wktorów losowych. W tym kokrtym przypadku zmi losow Z i H da rówaiami i mają astępując gęstości: f f Z z z π h h Γ h H gdzi Γ to tzw. fukcja spcjala gamma Eulra: Γ u 0 y u y I dy h atomiast Ι to tzw. fukcja charaktrystycza idykator zbioru: Ι A u 0 : : u A. u A 8 9
ozkład statystyki t-studta przy daj wariacji z próby 3 Z izalżości tych zmiych losowych wyika ż gęstość łącza wktora Z H jst iloczym gęstości brzgowych czyli: f ZH z h z h f Z z f H h h I π Γ z h 3 h I π Γ h. h Wyrażając star zmi Z H za pomocą owych T W przy użyciu zalżości 6 otrzymuj się przkształci ξ : W W Z T H a astępi wykorzystując 8 wyzaczik jgo jakobiau: w z t w 3 w w dt J t w dt. ξ 6 0 Pozwala to a obliczi gęstości łączj wktora T W zdfiiowaj rówaim 7: f TW 3 w w w t w f ZH t 6 w π w t Γ I w Dalj całkując TW f po pirwszj zmij otrzymuj się gęstość brzgową zmij losowj W :
Albrt Gardoń 4 dt w w w f w t w W Γ I π w dt w w w t w Γ I 444 4 3 444 4 π π. 3 3 w w w Γ I Ostati przjści birz się z faktu ż całka umiszczoa w awiasi jst z dokładością do stałj π w całką po całj prostj rzczywistj z gęstości rozkładu ~N w 0. Ostatczi zastosowai wzoru 9 a gęstość warukową daj astępujący wyik: 3 3 443 64748 s s s s t f s t s s T W Γ Γ I I π. s t t s s s π π
ozkład statystyki t-studta przy daj wariacji z próby 5 W powyższj formul idykator I s poiważ zaobsrwowaa wartość wariacji z próby s. Jak łatwo zauważyć otrzymaa gęstość warukowa to gęstość rozkładu ormalgo o śrdij 0 i wariacji czyli: s ~ 0 T N S s s co potwirdza wyik 5 poday w poprzdij skcji. 5. Symulacj komputrow ozważay w tym artykul problm pojawia się w książkach któr traktują rachuk prawdopodobiństwa jako tortycz arzędzi do praktyczgo stosowaia p. w aukach koomiczych. Nistty wydaj się ż tzw. praktycy iufi podchodzą do tortyczych uzasadiń szczgóli gdy t w jakiś sposób i są zgod z ich ituicją. Na szczęści obci auka dyspouj bardzo szybkimi maszyami oblicziowymi któr pozwalają a praktyczą wryfikację wilu torii probabilistyczych za pomocą tzw. mtod Mot Carlo czyli przybliżaia tortyczych prawdopodobiństw częstościami z bardzo dużych prób tworzoych za pomocą gratorów liczb psudolosowych. Dlatgo traz zostaą przdstawio wyiki ksprymtów komputrowych dotyczących rozkładu statystyki T Studta przprowadzoych z wykorzystaim aplikacji MATLAB w którj growa będą liczby psudolosow wykoywa obliczia i tworzo rysuki oraz aplikacji Statistica która posłuży do wykoaia tstów ormalości.
6 Albrt Gardoń Źródło: opracowai włas. ys.. PP-plot K 0 8 ralizacji zmij losowj T dla 8 Każdorazowo dla 3 4 oraz K 0 growaa była K - -lmtowa macirz ralizacji izalżych zmiych losowych o rozkładzi ormalym z śrdią i dysprsją czyli [X ij ] K iid ~ N. Na podstawi poszczgólych wirszy tj macirzy obliczo zostały ralizacj statystyki T Studta 3. Pirwszy ksprymt ma charaktr kotroly. Chodzi o krótką wryfikację działaia gratora liczb psudolosowych programu MATLAB oraz tstów ormalości programu Statistica. Sprawdzoy zostai ibudzący wątpliwości fakt ż bzwarukowy rozkład statystyki T Studta jst rozkładm t -Studta odpowidio o 3 stopiach swobody. Dla wykrs prawdopodobiństwo-prawdopodobiństwo pirwsza współrzęda to prawdopodobiństwo mpirycz druga odpowidi prawdopodobiństwo tortycz czyli tzw. PP-plot moża zobaczyć a rys.. ozkład mpiryczy został a im poróway obok rozkładu ~t liia kropkowaa rówiż z rozkładm ~N 03379 liia ciągła oraz ~N 3 0 liia przrywaa. Drugi paramtry w tstowych rozkładach ormalych zostały
ozkład statystyki t-studta przy daj wariacji z próby 7 wybra a podstawi daych. W pirwszym przypadku została wystymowaa mtodą ajwiększj wiarygodości a bardzo wysoką wartość tgo stymatora łatwo wytłumaczyć faktm ż dla stopia swobody zmia losowa o rozkładzi t -Studta i ma okrśloj dysprsji odpowidia całka i jst zbiża. W drugim przypadku dysprsja została dobraa tak by wizuali gęstość odpowidigo rozkładu ormalgo możliwi ajlpij pokrywała się z histogramm gęstości mpiryczj. Ni zmiiło to jdak oczywistgo faktu ż do daych ajlpij dopasoway był w tym przypadku rozkład ~t którgo PP-plot ułożył się imal idali a przkątj czyli prawdopodobiństwa mpirycz imal idali pokrywały się z tortyczymi. Poadto wszystki trzy tsty ormalości obliczo w programi Statistica Kołmogorowa- Smirowa Liliforsa i χ dały w wszystkich trzch przypadkach 34 mpirycz poziomy istotości p-valu dużo poiżj czyli 00 sugrowały odrzuci hipotzy o rozkładzi ormalym a więc wszystko zgodi z torią. ys.. PP-plot K s 5947 ralizacji zmij losowj T S dla 3 Źródło: opracowai włas.
8 Albrt Gardoń Traz kolj a właściw tsty. Dla wygrowaych już ralizacji statystyk T Studta tym razm pod warukim zadaj wartości statystyki S zostaą porówa rozkłady mpirycz z dwoma rozkładami tortyczymi: iwłaściwi sugrowaym w wspomiaych podręczikach rozkładm t -Studta i tortyczi uzasadioym w iijszym artykul rozkładm ormalym 5. Aby wyzaczyć t mpiryczy rozkład warukowy alżało ustalić wartość statystyki S. Problm polga jdak a tym ż ma oa rozkład ciągły a więc odpowidi zdarzi B zdfiiowa rówością 4 będzi prawi imożliw. Aby go rozwiązać alży postąpić podobi jak przy uogóliaiu wzoru a prawdopodobiństwo warukow dla prawi imożliwych waruków czyli potraktować to zdarzi jako graicę lim d 0 { S [ s d s d]}. Wtdy dla wystarczająco małgo d otrzyma się pwi podzbiór ralizacji statystyki 3 wywołay zdarziami lmtarymi w przybliżiu zawartymi w B. Ostatczi 4 w ksprymtach zostało przyjęt d 5 0 oraz s. To ostati z względu a bliskość modalj rozkładu statystyki S co zwiększa szas a wygrowai ralizacji S bliskich. Wyiki symulacji zostały zawart w poiższj tabli. K s D T S K-S Lil. χ 973.i..i. 044 3 5947 6 3.i..i. 035 4 4065 3.i..i. 050 Pirwsza koluma zawira liczbę zmiych losowych iid ~N składających się a statystykę T Studta druga liczbę K S ralizacji 8 statystyki T dla których S [ d d] wśród wszystkich K 0 ralizacji czyli tych dla których był wyzaczay mpiryczy rozkład T S. Trzcia koluma zawira warukową dysprsję T S obliczoą a podstawi 5 a ostati trzy kolumy wartości mpiryczych poziomów istotości tstów ormalości: Kołmogorowa-Smirowa Liliforsa i χ. Poadto PP-plot dla odpowidich rozkładów ormalgo i t -Studta został przdstawioy a rys.. Jak widać rozkład mpiryczy T S
ozkład statystyki t-studta przy daj wariacji z próby 9 pokrywa się imal idali z rozkładm ormalym co zrsztą potwirdzają wysoki wartości p-valu w wszystkich tstach ormalości. Na koic przprowadzoy został jszcz aalogiczy ksprymt przy waruku S a powstały w jgo wyiku PP-plot przy dla K 589 ralizacji moża zobaczyć a rys. 3. ówiż i w tym S przypadku p-valu były bardzo wysoki p. w tści których dotyczy wspomiay PP-plot p 07. χ dla daych ys. 3. PP-plot K s 589 ralizacji zmij losowj T S dla Źródło: opracowai włas. 6. Podsumowai Autor ma adziję ż przdstawio powyżj aalitycz i mpirycz uzasadiia dfiitywi przkoały wszystkich wątpiących ż warukowy rozkład statystyki T Studta przy daj wariacji z próby i jst rozkładm t -Studta lcz rozkładm ormalym 5. Do rozwiązaia Program Statistica podaj p-valu.i. gdy jst oo tak duż ż i pozwala a odrzuci hipotzy zrowj przy żadym ssowym poziomi istotości.
30 Albrt Gardoń pozostał już tylko jd problm. Skoro właściwy rozkład statystyki 3 zalży od izaj wartości to jak sobi poradzić z obliczaim prawdopodobiństw p. z omawiaym a początku artykułu zadaim: u µ P X < u S s Φ? Jśli taki problm pojawi się w praktyc to ajssowijszym rozwiązaim wydaj się być wystymowai paramtru a podstawi próby za pomocą jdgo z zaych stymatorów dysprsji lub po spirwiastkowaiu wariacji co oczywiści i zmii faktu ż rozkład T S s pozostai ormaly. Często jdak t problm jst wywoływay sztuczi przz autorów podręczików do statystyki dla koomistów w clu przćwiczia wiadomości dotyczących rozkładu t -Studta p. umijętości korzystaia z tablic tgo rozkładu. W takich wypadkach ajlpij po prostu zrzygować z tgo typu ćwiczń i zastąpić j zadaiami o ij trści choćby takimi jak p.: Jaki jst prawdopodobiństwo ż zmia losowa o rozkładzi ~t i przkroczy wartości u?. Moż mij wysublimowa al przyajmij popraw... Litratura Billigsly P. 009. Prawdopodobiństwo i miara. Wydawictwo Naukow PWN. Warszawa. Fllr W. 007. Wstęp do rachuku prawdopodobiństwa. Wydawictwo Naukow PWN. Warszawa. Kassyk-okicka H. rd. 00. Statystyka. Zbiór zadań. PWE. Warszawa. Ostasiwicz S. usak Z. Sidlcka U. 004. Statystyka. Elmty torii i zadaia. Wydawictwo Akadmii Ekoomiczj w Wrocławiu. Wrocław. Pawłowski Z. 980. Statystyka matmatycza. PWN. Warszawa. Wawrzyk J. 007. Mtody opisu i wioskowaia statystyczgo. Wydawictwo Akadmii Ekoomiczj w Wrocławiu. Wrocław. Witkowski M. rd. 00. Statystyka matmatycza w zarządzaiu. Wydawictwo Uiwrsyttu Ekoomiczgo w Pozaiu. Pozań.