MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym. Będziemy oznaczać : a n (b n, c n itd.) - n-ty wyraz ciągu (wyraz o numerze n), (a n ) 0 n=, (b n ) n= (lub krócej (a n ), (b n )...) cały ciąg. Sposoby określania ciągów liczbowych. Przez wypisanie wszystkich wyrazów (tylko dla ciągu skończonego), np. 2, 5, 5 2, 3, 6, 3, 2, 5 (czyli: a = 2, a 2 = 5,..., a 8 = 5 ). 2. Przez podanie wzoru na wyraz ogólny, np. a n = n 2 6 więc w tym przypadku a = 5, a 2 = 2, a 3 = 3,... a 0 = 94... 3. Przez podanie wzoru rekurencyjnego, np. lub (ciąg Fibonacciego). b =, b n+ = (n + ) b n czyli b n = n! a = a 2 =, a n+ = a n + a n dla n = 2, 3,...
.2. CIĄGI MONOTONICZNE Ciąg (a n ) jest: rosnący jeżeli każdy jego wyraz jest większy od poprzedniego: n a n > a n np. a n = n, b n = n 2 6 ; malejący jeżeli każdy jego wyraz jest mniejszy od poprzedniego, n np. a n = n 2, b n = n ; a n < a n niemalejący jeżeli żaden jego wyraz nie jest mniejszy od poprzedniego, n np. a n = [ n], b n = 2n + ( ) n ; każdy ciąg rosnący; a n a n nierosnący jeżeli żaden jego wyraz nie jest większy od poprzedniego, n a n a n stały jeżeli wszystkie jego wyrazy są jednakowe np. n a n = 4. Jeśli ciąg spełnia którykolwiek z tych warunków, to jest monotoniczny. Przykłady ciągów które nie są monotoniczne: c n = ( ) n ; d n = sin nπ 2.3. CIĄGI OGRANICZONE I NIEOGRANICZONE Ciąg (a n ) jest: ograniczony z dołu jeżeli istnieje liczba m R (ograniczenie dolne) nie większa od każdego wyrazu ciągu m : n a n m, np. a n = n, b n = n 2 56, c n = 5 n ; ograniczony z góry jeżeli istnieje liczba M R (ograniczenie górne) nie mniejsza od każdego wyrazu ciągu : a n M, M n np. a n = n, b n = n+2 n ;
ograniczony jeżeli jest ograniczony z góry i z dołu np. b n = n+2 n, c n = ( ) n, każdy ciąg skończony ; nieograniczony jeżeli nie jest ograniczony (z góry lub z dołu) np. a n = n, b n = n 2 999, c n = n. Uwaga.. Każdy ciąg niemalejący jest ograniczony z dołu, a każdy ciąg nierosnący z góry. 2. Ciąg będący sumą (różnicą, iloczynem) ciągów ograniczonych jest ograniczony. 3. Ciąg będący sumą lub różnicą ciągu ograniczonego i nieograniczonego jest nieograniczony..4. Szczególny przypadek: CIĄGI ARYTMETYCZNE I GEOMETRYCZNE Ciąg arytmetyczny: (r - różnica ciągu arytm.) a n = a + (n ) r Np. 5, 2,, 4, 7,... ; 2, 6,, 6,, 4, 9. Wzór na sumę ciągu arytmetycznego: m n= a n = m (a + (n ) r) = m n= n= = ma + r m (n ) = ma + r n= a + m (n ) r = n= m(m ) 2.
Ciąg geometryczny: b n = b q n (q - iloraz ciągu geom. dowolna liczba różna od 0 i ). Np., 2, 4, 8, 6, 32... ;,,,,,... ; 8, 6, 2, 2 3, 2 9, 2 27 Wzór na sumę ciągu geometrycznego: m n= b n = b qm q. Uwaga.. Ciąg arytmetyczny jest rosnący jeżeli r > 0, a malejący jeżeli r < 0. 2. Nieskończony ciąg arytmetyczny jest nieograniczony (z góry gdy r > 0, a z dołu gdy r < 0). 3. Ciąg geometryczny jest rosnący jeżeli a 0 > 0 i q > oraz jeżeli a 0 < 0 i 0 < q <, malejący jeżeli a 0 > 0 i 0 < q < oraz jeżeli a 0 < 0 i q >, a nie jest monotoniczny jeżeli q < 0. 4. Nieskończony ciąg geometryczny jest ograniczony gdy < q <, a nieograniczony gdy q >. Uwaga. Ciągi arytmetyczne i geometryczne można określić także przy użyciu wzorów rekurencyjnych (jak?)
.5. CIĄGI ROZBIEŻNE ( = o granicy nieskończonej) Dotyczy tylko ciągów nieskończonych! Ciąg (a n ) n= jest rozbieżny do nieskończoności (ma granicę równą ) jeżeli M R K N takie że n K a n > M. Czyli : każde ewentualne ograniczenie górne (M) zostanie przekroczone przez pewien (K-ty) wyraz ciągu i wszystkie dalsze. Inaczej: dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu (tj. wszystkie z wyjątkiem skończonej ilości) są większe od M. Zapisujemy to: a n n =. Przykłady: a n = n ; b n = n ; c n = n!, Uwaga. każdy rosnący ciąg arytmetyczny,.... Każdy ciąg rozbieżny do nieskończoności jest nieograniczony z góry. 2. Każdy ciąg niemalejący i nieograniczony z góry jest rozbieżny do. 3. Odwrotnie niekoniecznie: ciąg może być rozbieżny do, ale nie monotoniczny. Ciąg (b n ) n= jest rozbieżny do minus nieskończoności (ma granicę równą ) gdy ciąg ( b n ) jest rozbieżny do. Na przykład: b n = n ; c n = n2 n Uwaga. Każdy ciąg monotoniczny i nieograniczony jest rozbieżny (do jeśli jest niemalejący, do jeśli jest nierosnący).
.6. CIĄGI ZBIEŻNE ( = o granicy skończonej) Także dotyczy tylko ciągów nieskończonych! Ciąg (a n ) n= jest zbieżny do liczby a (ma granicę równą a) jeżeli ɛ>0 K N takie że n K a ɛ < a n < a + ɛ. Czyli : w każdym otoczeniu granicy a (przedziale ]a ɛ, a + ɛ[ ) znajdzie się pewien (K-ty) wyraz ciągu i wszystkie dalsze. Inaczej: w każdym otoczeniu granicy znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu (tj. wszystkie z wyjątkiem skończonej ilości). Zapisujemy to: a n n = a. Jeśli ciąg nieskończony ma skończoną granicę, to tylko jedną. Przykłady: n n n + =, n n = 0, każdy nieskończony ciąg stały jest zbieżny (do czego?) 5 n = n n n 5 = (nietrywialne!) każdy ciąg geometryczny o ilorazie q takim że q < jest zbieżny do zera... Uwaga.. Każdy nieskończony ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny do skończonej granicy 2. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Działania na granicach ciągów Jeżeli ciągi (a n ), (b n ) są zbieżne i n a n = a, n b n = b, to :. n (a n + b n ) = a + b ( granica sumy = suma granic ) ;
2. n (a n b n ) = a b ; 3. dla każdej liczby rzeczywistej c n (c a n ) = ca ; 4. n (a n b n ) = ab ( granica iloczynu = iloczyn granic ) ; 5. jeżeli b n nie ma wyrazów równych zeru i b 0, to n b n = b oraz a n = a n b n b. Ponadto jeżeli ciąg (a n ) jest ograniczony (w szczególności gdy jest zbieżny), a (b n ) rozbieżny, to (a a n n n + b n ) = n (b n a n ) = n b n, zaś n = 0. b n Natomiast jeżeli a n = b n = 0 lub a n = b n =, to ciąg a n b n może mieć granicę skończoną albo nieskończoną, albo żadnej ( nieoznaczoność typu 0 0 i ). Zasada zachowania nierówności przy przejściu granicznym: Jeżeli ciągi (a n ), (b n ) są zbieżne i dla każdego n a n b n, to n a n n b n. (W szczególności : jeżeli n N Twierdzenie o trzech ciągach: a n a i ciąg (a n ) jest zbieżny, to n a n a). Jeżeli n a n = n c n = z i dla każdego n a n b n c n, to n b n = z. Na przykład: n n z = dla każdej liczby dodatniej z bo dla z > : < n z < + z n, a = i + z = + 0 = ; n n n dla 0 < z < : n n z = n n /z = n n /z = ;
n n 3 n + 5 n + 2 n = 5 bo n 5 = n 5 n n < n 3 n + 5 n + 2 n n < n 5 n + 5 n + 5 n n = n 3 5 n n = n n 3 n 5 n = 5. Granice typowych rodzajów ciągów: funkcji potęgowych zmiennej n : n nt = wielomianów zmiennej n (stopnia k): t > 0 0 t < 0 (a n kn k + a k n k +... + a n + a 0 ) = ilorazów wielomianów: a k n k + a k n k +... + a n + a 0 = n b l n l + b l n l +... + b n + b 0 a k > 0 a k < 0 a k n k l + a k n k l +... + a n l + a 0 n l = n b l + b l n +... + b n l + b 0 n l n (a k n k l + a k n k l +... + a n l + a 0 n l ) = n... ; n (b l + b l n +... + b n l + b 0 n l ) b l licznik = 0 gdy l > k, a k gdy l = k, lub gdy k > l (zależnie od znaku a k ), więc = 0, a k /b l lub ±. Parę szczególnie ważnych granic: n n n =, n + n n =? Ten ciąg ( a n = ( + n )n ) jest rosnący: + n + ograniczony z góry: n n+ > + n + n n n < 3,,
więc jest zbieżny do skończonej granicy. Granicę tę oznaczamy przez e ; e 2, 78. Stąd: ( n) + a nb ( n = n + a )n a ab ( == n n + a n )n ab a = e ab..7. ZASTOSOWANIE CIĄGÓW LICZBOWYCH PIENIĄDZ W CZASIE Procent prosty (o%owanie proste) ze stopą r w pojedynczym okresie o%owania: odsetki nie są oprocentowane, kapitał K daje w każdym okresie odsetki r K, stany konta w kolejnych okresach tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy rk, po n okresach kapitał wraz z odsetkami wynosi K ( + nr). Procent składany ze stopą r w pojedynczym okresie oprocentowania: odsetki są doliczane do kapitału, a więc oprocentowane, kapitał K daje w każdym okresie odsetki r K, stany konta w kolejnych okresach tworzą ciąg geometryczny o ilorazie (r + ), po n okresach kapitał wraz z odsetkami wynosi K ( + r) n. Wartość bieżąca przyszłych płatności Wartość bieżąca płatności w wysokości X otrzymanej po t okresach oprocentowania przy o%waniu składanym i stopie procentowej r za okres: PV(X, t) = ( + r) t X równowartość tej płatności w pieniądzach dziś. (Gdyby tę wielkość umieścić w banku na (00r)%, to po t okresach oprocentowania na koncie byłoby dokładnie ( + r) t PV(X, t) = X).
Typowe schematy spłacania kredytu Kredyt w wysokości K na procent składany (00r)% na czas T okresów oprocentowania spłaca się zwykle w ratach malejących co okres jednakowa rata kapitałowa ( K T ) plus odsetki od jeszcze nie spłaconej części kredytu; rata za okres numer t R(t) = K t + r T t + T raty tworzą wtedy ciąg arytmetyczny malejący, albo K, w ratach równych jednakowej wysokości R() = R(2) =... R(T ) = R dobranej tak, by ich łączna wartość bieżąca PV = T t= PV(R, t) = R T t= była równa wielkości kredytu, K. δt = Rδ ( + r) t δ, gdzie δ = + r Zwiększona częstość naliczania odsetek : np. przy oprocentowaniu składanym ze stopą r w skali rocznej po roku na lokacie będzie przy naliczaniu odsetek raz do roku: K ( + r) ( przy naliczaniu odsetek co kwartał: K + r ) 4 4 ( co miesiąc: K + r ) 2 (, co dzień: K + r ) 365 e r 2 365 przy naliczaniu ciągłym : e r.
2. Granica i ciągłość funkcji 2.. OKREŚLENIE Granica funkcji w nieskończoności f(x) = takie że f(x) > M x M Z x>z granica nieskończona w nieskończoności. Np. x = x x x + 9 =, x (4x x 2 ) =. f(x) = a takie że a ɛ < f(x) < a + ɛ x ɛ>0 Z x>z granica skończona w nieskończoności. Np. x Równoważna definicja ciągowa: x = ( x + 2x 9 x) = 0, x x x + 3 = 2. f(x) = dla każdego ciągu (x x n) rozbieżnego do ciąg y n = f(x n ) jest rozbieżny do nieskończoności, f(x) = a dla każdego ciągu (x x n) rozbieżnego do ciąg y n = f(x n ) jest zbieżny do a. Nie istnieją np. granice: x cos x, x x(x x ). Granica funkcji w punkcie x 0 f(x) = takie że x x 0 M δ x x 0 (x 0 δ < x < x 0 + δ) f(x) > M granica nieskończona w punkcie. Np. x 0 x 2 = x Π 2 tg x =.
f(x) = a takie że x x 0 ɛ δ x x 0 (x 0 δ < x < x 0 + δ) a ɛ < f(x) < a + ɛ granica skończona w punkcie. Np. x 2 Równoważne definicje ciągowe: x = 2, x = 4, x 3 x 4 x x = 3. f(x) = dla każdego ciągu (x x x n ) o wyrazach różnych od x 0 zbieżnego 0 do x 0 ciąg y n = f(x n ) jest rozbieżny do nieskończoności, f(x) = a dla każdego ciągu (x x x n ) o wyrazach różnych od x 0 zbieżnego 0 do x 0 ciąg y n = f(x n ) jest zbieżny do a. Nie istnieją np. granice: bo x 0 x x =, x = (granice lewo- i prawostronna są różne); x 0 + x 0 x z tego samego powodu, sin x 5 x 0 x. 2.2. CIĄGŁOŚĆ Definicja: Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 jeżeli jest w nim określona i x x0 f(x) = f(x 0 ), ciągła w zbiorze A gdy jest ciągła w każdym punkcie x 0 A. Wszystkie funkcje: potęgowe (f(x) = x k ) wielomiany wymierne (ilorazy wielomianów) wykładnicze (f(x) = a x ) logarytmiczne (log a x) trygonometryczne są ciągłe w każdym punkcie swego zbioru określoności a więc obliczanie ich granic w tych punktach często jest łatwe.
Punkty nieciągłości funkcji najczęściej takie w których nie istnieje granica: np f(x) = x jest nieciągła w każdym punkcie x 0 Z (w liczbach całkowitych), a ciągła w każdym innym. NAJWAŻNIEJSZE WŁASNOŚCI funkcji ciągłych. Twierdzenie Weierstrassa Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], to osiąga w nim minimum i maximum tzn. istnieją m, m [a, b] takie że dla każdego x [a, b] f(m) f(x) f(m). 2. Własność Darboux Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b], to dla każdego y [f(a), f(b)] istnieje takie x [a, b] że f(x) = y. 2.3. OBLICZANIE GRANIC Działania na granicach funkcji podobnie jak na granicach ciągów: Jeżeli istneją skończone granice x x0 f(x) = a, x x0 g(x) = b (przy czym dopuszczalne jest też x 0 = lub ), to :. x x0 (f(x) + g(x)) = a + b ( granica sumy = suma granic ) ; 2. x x0 (f(x) g(x)) = ab ( granica iloczynu = iloczyn granic ) ; 3. x x0 (f(x) g(x)) = a b ; 4. dla każdej liczby rzeczywistej c x x0 (c f(x)) = ca ; 5. jeżeli g(x) 0 w otoczeniu punktu x 0 oraz b 0, to x x 0 g(x) = b oraz x x 0 f(x) g(x) = a b.
Ponadto jeżeli x x0 f(x) jest skończona, a x x0 g(x) nieskończona ( lub ), to (f(x) + g(x)) = x x 0 x x0 (g(x) f(x)) = x x0 g(x), zaś f(x) x x0 g(x) = 0. Natomiast jeżeli x x0 f(x) = x x0 g(x) = 0 lub x x0 f(x) = x x0 g(x) =, to funkcja f(x) g(x) może mieć w punkcie x 0 granicę skończoną albo nieskończoną, albo żadnej ( nieoznaczoność typu 0 0 i ). Zasada zachowania nierówności przy przejściu granicznym: Jeżeli funkcje f, g mają skończone granice w x 0 i w otoczeniu x 0 f(x) g(x), to x x0 f(x) x x0 g(x). (W szczególności : jeżeli dla każdego x w otoczeniu x 0 f(x) c oraz granica f(x) istnieje, to x x 0 x x0 f(x) c). Parę szczególnie ważnych granic: x e x x 0 x sin x x 0 x x + x a x x x 0 x = = = e = ln a ln x x = x 0 ln(x + ) x =. Uwaga: od teraz na zawsze ln x = log e x (logarytm naturalny liczby x).
Przykłady x 2 x x + = x (x 2 ) x (x + ) = 0 2 = 0 ; x 0 x x 0 4x x 2 2x + x x 3 x x 2 + x x 0 + x x + x x (2x3 + 3x 2 5x + 2) = x x 0 x 2 x = x x 2 x (x + ) = 2 = x 0 x 4 = 4 = x x x 2 + x + = 0 = x 0 + x x + x 0 + = = ; x x = ; x 3 x 2x3 ( + 3 2x + 5 x x x 2 3x 3x 2 + 9 = x 7x + 2 2x 2 = x + 3 x 3 + 9 = 3 x 2 7 x + 2 x 2 2 x 2 = 0 2 = 0 6x 3 4 4x 2 + 0 = 3x 2 x 2 x 2 + 5 = 2 = x 2 x 2 x x 0 sin 6x sin 3x = x 0 x 5 2x 2 + 6x = x x 3 2 + 6 = x x 5 2x 2 + 6x = x 2 x 5 x 2 (2x 2 + 6x) =, 6 sin 2x 3x = sin 2x x 0 2x 2x = 2 3x 3 sin 6x 6x 6x 3x 3x = 2 sin 3x sin x = sin a x a x a x 2 x + = = x = 2 2x 2 + x 3) = sin x bo x 0 x = dla a 0 x 2x3 =
3. Pochodna funkcji 3.. OKREŚLENIE Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x 0 dla przyrostu h : y x = f(x 0 + h) f(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ). x 0 + h x 0 h Pochodna funkcji f w punkcie x 0 : f (x 0 ) = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h granica ilorazów różnicowych f w x 0 przy przyrostach dążących do zera, y dy x 0 x (i dlatego bywa też oznaczana dx ). Uwaga: istnieje tylko wtedy gdy f jest ciągła w punkcie x 0 funkcji nieciągłej nie można zróżniczkować, tj. obliczyć jej pochodnej (bo jeżeli f nie jest ciągła w x 0, to h 0 (f(x 0 + h) f(x 0 )) nie istnieje lub jest nieskończona, a h 0 h =). Przykłady:. f(x) = 5x, x 0 = 3 : f (3) = h 0 5 (3 + h) 5 3 h = 5. 2. i ogólnie dla tej funkcji i dowolnego x 0 f (x 0 ) = h 0 5(x 0 + h) 5 x 0 h 3. f(x) = x 2, x 0 = 4 : f (4) = h 0 (4 + h) 2 4 2 h = 8. = 5. 3.2. INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA Iloraz różnicowy w x 0 dla przyrostu h = nachylenie prostej przecinającej wykres funkcji f w punktach (x 0, f(x 0 )) i (x 0 + h, f(x 0 + h)) (siecznej wykresu) ; Pochodna w punkcie x 0 (jeśli istnieje) = nachylenie prostej stycznej do wykresu f w punkcie (x 0, f(x 0 ))
3.3. Pożytki z pochodnej : RÓWNANIE STYCZNEJ I RÓŻNICZKA FUNKCJI Ponieważ prosta styczna do wykresu (różniczkowalnej) funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) ma nachylenie f (x 0 ), jej równaniem jest y = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ). Np. styczna do paraboli o równaniu y = f(x) = x 2 + 3 w punkcie x 0 = 2 (czyli w (2, 2 2 + 3) = (2, 7)) ma równanie y = f(2) + (x 2) f (2) = 2 2 + 3 + (x 2) (2 2) = 4x a styczna do tej samej paraboli w x 0 = (czyli w (, 4)) y = f( ) + (x ( ))f ( ) = ( ) 2 + 3 + (x + ) (2 ) = 2x + 2. Linearyzacja funkcji różniczkowalnej przybliżanie przy pomocy różniczki Wartości różniczkowalnej funkcji f w pobliżu punktu x 0 można dobrze przybliżać przez wartości funkcji liniowej g, której wykresem jest prosta styczna do wykresu f w x 0 : f(x 0 + h) g(x 0 + h) = f(x 0 ) + h f (x 0 ). Na przykład: (3, 0) 2 3 2 + 0, 0 (2 3) = 3, 06 (f(x) = x 2, x 0 = 3, h = 0, 0) 3 3 7, 94 8 + ( 0, 06) 3 8 2/3 =, 995 (f(x) = 3 x, x 0 = 8, h = 0, 06) e 0,03 e 0 + 0, 03 e 0 =, 03 (f(x) = e x, x 0 = 0, h = 0, 03) Wielkość hf (x 0 ) to różniczka funkcji f w punkcie x 0 dla przyrostu h, oznaczana df(x 0, h).
3.4. POCHODNA JAKO FUNKCJA Ponieważ f (x) w oczywisty sposób zależy od x, f jest funkcją zmiennej x (jednoznacznie wyznaczoną przez f). np. gdy f(x) = 5x, f (x) = 5 (funkcja stała), gdy f(x) = x 2, f (x + h) 2 x 2 (x) = = 2x ostatnia praca domowa, h 0 h gdy f(x) = e x, f e x+h e x (x) = = e x jw. h 0 h (Oczywiście nachylenie stycznej do wykresu w punkcie x zależy od x z wyjątkiem funkcji liniowych dla których jest stałe, i dlatego pochodna funkcji liniowej jest f. stałą). 3.5. POCHODNE NAJWAŻNIEJSZYCH FUNKCJI Pochodne funkcji potęgowych: Gdy f(x) = x n, f (x) = nx n np. f(x) = x 5 f (x) = 5x 4, f(x) = x 2 = x 2 f (x) = 2x 3 = 2 x 3, f(x) = x = x /2 f (x) = 2 x /2 = 2 x. Pochodne funkcji wykładniczych: Gdy f(x) = a x (a > 0), f (x) = a x ln a np. f(x) = 2 x f (x) = 2 x ln 2, f(x) = e x f (x) = e x (uwaga: f(x) = e x jest prawie jedyną funkcją taką że x f (x) = f(x) ). Pochodne funkcji logarytmicznych: Gdy f(x) = log a x (a > 0, a ), f (x) = x ln a np. f(x) = ln x f (x) = x, f(x) = log x f (x) = x ln 0. Pochodne funkcji trygonometrycznych: f(x) = sin x f (x) = cos x, f(x) = cos x f (x) = sin x.
3.6. REGUŁY RÓŻNICZKOWANIA (obliczania pochodnej). Pochodna sumy i różnicy: h(x) = f(x) + g(x) h (x) = f (x) + g (x) ; h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x) g (x) np. h(x) = x 2 + 3 x h (x) = 2x + 3 x ln 3 ; h(x) = x 4 x h (x) = 4x 3 2 x. 2. Wyciąganie stałej przed pochodną : h(x) = c f(x) (gdzie c jest liczbą) h (x) = cf (x) np. h(x) = 3x 2 h (x) = 3 2x = 6x. 3. Pochodna iloczynu: h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) np. h(x) = x 2 sin x h (x) = 2x sin x + x 2 cos x ; h(x) = x e x h (x) = ( 2 x + x ) e x. 4. Pochodna ilorazu: h(x) = f(x) g(x) np. h(x) = x2 + sin x h(x) = ex x 2 h (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) 2 (g(x) 0) h (x) = 2x sin x (x2 +) cos x sin 2 x ; h (x) = (x2 2x)e x x 4. 5. Funkcja odwrotna i jej pochodna: Gdy f jest monotoniczną i różnowartościową funkcją różniczkowalną w przedziale [a, b], to funkcja odwrotna funkcji f na przedziale [f(a), f(b)] (bądź [f(b), f(a)] gdy f malejąca na [a, b]) jest określona tak: f (y) = jedyne takie x [a, b] dla którego f(x) = y i jej pochodna jest równa (f ) (y) = f (x) gdzie x = f (y).
Np: f(x) = x 2 (dla x 0), f (y) = y ; (f ) (y) = 2x = 2 y, g(x) = e x, g (y) = ln y ; (g ) (y) = g (x) = e x = y 6. Funkcja złożona i jej pochodna: Gdy y = f(x) i z = g(y) = g(f(x)) = h(x), h jest złożeniem funkcji wewnętrznej f i funkcji zewnętrznej g, oznaczanym g f i jej pochodną jest h (x) = g (y)f (x) = g (f(x)) f (x). (Wygodny zapis: dz dx = dz dy dy dx ). Przykład : f(x) = x 2, g(y) = sin y, h(x) = sin(x 2 ), h (x) = cos(x 2 ) 2x Przykład 2 : f(x) = sin x, g(y) = y 2, h(x) = sin 2 x, h (x) = 2 sin x cos x Przykład 3 : h(x) = x 2 3x + ; h (x) = (f(x) = x 2 3x +, g(y) = y). 2x 3 2 x 2 3x+ Stąd np. pochodna funkcji 4x 3 7x + 3 x 2ex jest równa 4 3x 2 7 + 3 ( x 2 ) 2e x = 2x 2 7 3 x 2 2ex a pochodna funkcji ln(x2 +9) 2x 3 jest równa 4x 2 6x x 2 +9 2 ln(x2 + 9) (2x 3) 2. 3.7. Pożytki z pochodnej 2: BADANIE MONOTONICZNOŚCI FUNKCJI Intuicja: Jeżeli pochodna funkcji f w punkcie x 0 jest dodatnia: f (x 0 ) = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h > 0, to dla h dostatecznie bliskich zeru też f(x 0+h) f(x 0 ) h > 0, czyli : h > 0 f(x 0 + h) > f(x 0 ), h < 0 f(x 0 + h) < f(x 0 )
a zatem funkcja f jest rosnąca w pewnym otoczeniu punktu x 0. Inaczej: Jeżeli f (x 0 ) > 0, to styczna do wykresu f w x 0 ma dodatnie nachylenie, więc funkcja f jest (jak wyżej). Twierdzenie o związkach monotoniczności ze znakiem pochodnej: Gdy funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym ]t, u[, to : (a) jeżeli (b) jeżeli x ]t,u[ x ]t,u[ f (x) > 0 (f (x) 0), to f jest rosnąca (niemalejąca) w ]t, u[, f (x) < 0 (f (x) 0), to f jest malejąca (nierosnąca) w ]t, u[, (c) odwrotnie: jeśli f jest niemalejąca w ]t, u[, to x ]t,u[ f (x) 0, a jeżeli dodatkowo f rosnąca w ]t, u[, to w prawie każdym punkcie przedziału f (x) > 0, (d) odwrotnie: jeśli f jest nierosnąca w ]t, u[, to x ]t,u[ f (x) 0, a jeżeli dodatkowo f malejąca w ]t, u[, to w prawie każdym punkcie przedziału f (x) < 0, (e) funkcja f jest stała w ]t, u[ x ]t,u[ f (x) = 0. Przykłady:. Funkcja liniowa f(x) = ax + b : f (x) = a, f rosnąca a > 0, malejąca a < 0, stała gdy a = 0 2. Funkcja kwadratowa f(x) = ax 2 + bx + c ; f (x) = 2ax + b porównać znak pochodnej ze szkolną wiedzą o funkcji kwadratowej 3. f(x) = x 3 jest rosnąca w ], [ i f (x) = 3x 2 0 (ale f (0) = 0) 4. f(x) = sin x jest rosnąca w przedziałach w których cosinus jest dodatni, malejąca w tych w których cos x < 0.
5. Funkcja g(x) = x2 jest rosnąca w przedziale ]0, 2[, a malejąca w przedziałach ], 0[ i ]2, [ ex bo g (x) = x(2 x) e x jest dodatnia w ]0,2[, a ujemna w ], 0[ i ]2, [. 3.8. Pożytki z pochodnej 3: ZNAJDOWANIE EKSTREMÓW FUNKCJI Punkt x 0 jest : maksimum globalnym funkcji f jeżeli dla każdego innego x D(f) zachodzi nierówność f(x) f(x 0 ) czyli f osiąga w x 0 największą wartość w całej swej dziedzinie; minimum globalnym funkcji f jeżeli dla każdego x D(f) f(x) f(x 0 ) czyli f osiąga w x 0 najmniejszą wartość w całej dziedzinie; maksimum lokalnym funkcji f, jeżeli istnieje h > 0 takie że dla każdego x ]x 0 h, x 0 + h[ zachodzi nierówność f(x) f(x 0 ) czyli f osiąga w x 0 wartość największą w pewnym otoczeniu punktu x 0 ; minimum lokalnym funkcji f, jeżeli istnieje h > 0 takie że dla każdego x ]x 0 h, x 0 + h[ f(x) f(x 0 ) czyli f osiąga w x 0 wartość najmniejszą w pewnym otoczeniu x 0. Ekstremum lokalne funkcji = minimum lub maksimum lokalne tej funkcji. Twierdzenie o ekstremach funkcji różniczkowalnej: Jeżeli funkcja f różniczkowalna w punkcie x 0 ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to f (x 0 ) = 0. Odwrotnie niekoniecznie: f(x) = x 3 nie ma ekstremów w ogóle (jest rosnąca na całym zbiorze R), ale f (0) = 0.
Jednak szukając ekstremów funkcji różniczkowalnej możemy ograniczyć się do tych punktów w których pochodna jest równa 0 (punktów stacjonarnych). Ponadto: Jeżeli pochodna funkcji f w punkcie x 0 zmienia znak tzn. wykres pochodnej przecina oś OX w punkcie x 0 to x 0 jest ekstremum lokalnym funkcji f (minimum lokalnym gdy f zmienia znak z ujemnego na dodatni, max. lokalnym gdy f zmienia znak z dodatniego na ujemny ). Przykłady:. Funkcja kwadratowa f(x) = ax 2 + bx + c ma jedyne ekstremum (lokalne i globalne) w punkcie x 0 = b 2a jedynym w którym f (x) = 2ax + b = 0 i jest to maksimum jeżeli a < 0 (wtedy f rosnąca w ], b 2a [ a malejąca w ] b 2a, [, zaś minimum jeżeli a > 0. 2. f(x) = sin x ma ekstrema lok. we wszystkich punktach w których cos x = 0, a g(x) = cos x we wszystkich punktach x w których sin x = 0. 3. Funkcja g(x) = x2 ma ekstrema lokalne w x = 0 i x = 2 tam gdzie ex g (x) = x(2 x) e x = 0. W punkcie 0 funkcja ma minimum lokalne i globalne, gdyż g przyjmuje tylko wartości nieujemne, a g(0) = 0 ; w punkcie 2 ma maksimum lokalne, ale nie globalne (dlaczego?)