-4-4 METODY NUMERYCZNE Wykłd 6. Rozwązywe ukłdów rówń lowych dr h. ż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH Met.Numer. wykłd 6 Pl Metody dokłde Metod elmcj Guss Metod Guss-Sedl Rozkłd LU Metod Kryłow Metod LR QR Zdefowe prolemu włsego Met.Numer. wykłd 6
-4-4 Ukłd rówń lowych gdze: Ukłd rówń lowych: A A mcerz o m werszch kolumch wektor o ewdomych wektor m dych lcz możlwe rozwąz: Neskończee wele rozwązń Dokłde jedo rozwąze Brk rozwąz (ukłd sprzeczy) Met.Numer. wykłd 6 Twerdzee Kroecker-Cpellego Rozptrujemy ukłd m rówń lowych z ewdomym w postc m m o współczykch k orz leżących do cł lczowego K ( K = R lu K = C) m m Met.Numer. wykłd 6 4
-4-4 Twerdzee Kroecker-Cpellego Mcerzą ukłdu rówń zywmy mcerz A jego współczyków przy zmeych A m m C m m m Mcerzą rozszerzoą zywmy mcerz C, ozczą tkże jko A/B, powstłą z mcerzy A przez dołączee do ej kolumy wyrzów wolych Met.Numer. wykłd 6 Twerdzee Kroecker-Cpellego Twerdzee Kroecker Cpellego Ukłd m rówń lowych z ewdomym m rozwąz, jeśl rząd r mcerzy główej jest rówy rzędow mcerzy rozszerzoej: rz A = rz C = r Dl dowolej mcerzy jej rząd jest rówy r wtedy tylko wtedy, gdy steje ezerowy mor rządu k tej mcerzy kżdy mor rzędu wększego od k jest zerowy. Met.Numer. wykłd 6 6
-4-4 Twerdzee Kroecker-Cpellego Twerdzee Kroecker Cpellego jeżel te wspóly rząd r ou mcerzy rów sę lcze ewdomych, to steje jedo rozwąze, czyl jede zór lcz spełjący rów; jest to ukłd ozczoy rz A = rz C = Met.Numer. wykłd 6 7 Twerdzee Kroecker-Cpellego Twerdzee Kroecker Cpellego jeżel wspóly rząd r ou mcerzy jest mejszy od lczy ewdomych, to ( r) ewdomych moż przyjąć dowole, pozostłe r ewdomych wyzcz sę z rówń; jest to ukłd eozczoy, o jego rozwąz zleżą od ( r) prmetrów rz A =rz C < Met.Numer. wykłd 6 8 4
-4-4 Twerdzee Kroecker-Cpellego Twerdzee Kroecker Cpellego jeżel rząd r mcerzy główej jest mejszy od rzędu mcerzy rozszerzoej, to ukłd rówń lowych e m rozwązń; jest to ukłd sprzeczy rz A rzc Met.Numer. wykłd 6 9 Pojęce ormy W przestrze R, której elemetm są wektory:...,,, T...... m,,..., / Dl dowolego wektor є R, oowązują erówośc: Met.Numer. wykłd 6
-4-4 Metody rozwązyw ukłdów lgerczych rówń lowych Metody dokłde - defcj Jeśl rozwąze ukłdu rówń A= poleg tkm przeksztłceu dych A, że przy złożeu dokłde wykoywych dzłń rytmetyczych po skończoej lcze dzłń otrzymujemy rozwąze, to tką metodę rozwąz zywmy metodą dokłdą. Met.Numer. wykłd 6 Metody dokłde Metody dokłde - cechy Mł lcz olczeń potrzeych do wyzcze rozwąz Jeśl zde jest źle uwrukowe umerycze, to wyzczoe rozwąze może yć orczoe dużym łędem. Mogą yć estle ze względu łędy zokrągleń Przeksztłcee mcerzy A ocąż w dużym stopu pmęć mszyy, zwłszcz jeśl początkowe de A leży przechowć celem ostteczego sprwdze Met.Numer. wykłd 6 6
-4-4 Metody dokłde - przykłd Przykłd wzory Crmer Sposó : Zkłdmy dokłdość do cyfr dzesętych, kżdy wyk przed dlszym olczem jest zokrągly,99,7,99,7,7,,,7,,4,8,49,49,49,,49, Met.Numer. wykłd 6 Metody dokłde - przykłd,,7,99,4,76,8,,,7,66,7,78,8,7,4,7,8,8 Dokłde rozwąze tego ukłdu rówń dje wyk:,8, 6 Met.Numer. wykłd 6 4 7
-4-4 Metody dokłde przykłd cd. Sposó : metod elmcj Guss,99,7,7,,4,8 Elmujemy ewdomą z drugego rów ukłdu rówń. W tym celu możymy perwsze rówe przez:,7,77,7,99 Otrzymujemy:.7,7,4949,,8,88 Odejmując rów strom po wcześejszym zokrągleu do cyfr:,, czyl ukłd eozczoy, posdjący eskończee wele rozwązń. Met.Numer. wykłd 6 Ukłdy rówń z mcerzą trójkątą Mcerz trójkąt defcj Mcerz trójkątą zywmy mcerzą trójkątą dolą (górą), jeżel wszystke elemety d (pod) dgolą są rówe zeru. Mcerz trójkąt dol Mcerz trójkąt gór Met.Numer. wykłd 6 6 8
-4-4 Ukłdy rówń z mcerzą trójkątą Olczee wyzczk mcerzy trójkątej sprowdz sę do wymoże elemetów leżących główej przekątej: det( L ) l, l, l,... l, det( U ) u, u, u,... u, Met.Numer. wykłd 6 7 Ukłdy rówń z mcerzą trójkątą Jeżel mcerz A ukłdu rówń z ewdomym A= jest mcerzą trójkątą (dolą lu górą), to rozwąze tkego ukłdu rówń moż uzyskć wykoując młą lczę dzłń rytmetyczych przy młych łędch zokrągleń Ogóle,,,, Met.Numer. wykłd 6 8........................,,..., 9
-4-4 Ukłdy rówń z mcerzą trójkątą Koszt olczeowy: Dl wyzcze wektor leży wykoć M możeń dzeleń orz D dodwń: M D Met.Numer. wykłd 6 9 Metod elmcj Guss Etp perwszy (zwy etpem elmcj do przodu zmeych)............... Wymgych jest - kroków elmcj Met.Numer. wykłd 6
-4-4 Metod elmcj Guss Krok. Od drugego wersz odejmujemy perwszy podzeloy przez pomożoy przez............ Met.Numer. wykłd 6 Otrzymujemy: Metod elmcj Guss Podoe postępujemy z pozostłym werszm:... gdze:................ Met.Numer. wykłd 6
-4-4 Metod elmcj Guss Krok. Powtrzmy procedurę kroku dl trzecego wersz......... Otrzymujemy:... Met.Numer. wykłd 6 Po kroku otrzymujemy Metod elmcj Guss... " " "......... " " "... Met.Numer. wykłd 6 4
-4-4 Metod elmcj Guss Pod koec kroku - ukłd rówń przyer postć:...... " " "......... Met.Numer. wykłd 6 Metod elmcj Guss Po przeprowdzeu - kroków elmcj zmeych otrzyme rów możemy zpsć w postc mcerzy: " " ( ) " (- ) Otrzym mcerz jest mcerzą trójkątą! Met.Numer. wykłd 6 6
-4-4 Metod elmcj Guss Etp drug zwy postępowem odwrotym (podstweem wsteczym) Poewż otrzym mcerz jest mcerzą trójkątą korzystmy ze wzorów: ( ) ( ),, j... j j, dl dl,...,,..., Met.Numer. wykłd 6 7 Metod elmcj Guss Metod elmcj Guss koszt olczeowy Łącz lość możeń dzeleń: M Łącz lość dodwń: D 6 Met.Numer. wykłd 6 8 4
-4-4 Metod elmcj Guss - przykłd Przykłd: Czs t (s) Prędkość (m/s) 6.8 8 77. 79. Prędkość rkety zostł przylżo welomem: v t t t, t. Zleźć współczyk,, metodą elmcj Guss prędkość w chwl t = 6 s Met.Numer. wykłd 6 9 Metod elmcj Guss - przykłd v t t t t t t t t t t s, v() 6,8 m / s t 8s, v() 77, m / s t s, v() 79, m/ s, t. v v v 64 44 8 6.8 77. 79. Met.Numer. wykłd 6
-4-4 Metod elmcj Guss - przykłd 64 44 8 6.8 77. 79. Podzelć rówe przez pomożyć przez 64 64.6 6.8.6 64.8.6 7.48 Odjąć wyk od rów r 64 64 8.8.6 77. 7.48 4.8.6 96.8 6.8 Otrzymujemy 4.8.6 96.8 44 79. Met.Numer. wykłd 6 Metod elmcj Guss - przykłd 44 4.8.6 6.8 96.8 79. Podzelć rówe przez pomożyć przez 44 44.76 6.8.76 44 8.8.76 6.68 Odjąć wyk od rów r. 44 44 8.8.76 79. 6.68 6.8 4.76.968 6.8 Po perwszym kroku elmcj 4.8.6 96.8 6.8 4.76.968 Met.Numer. wykłd 6 6
-4-4 Metod elmcj Guss - przykłd 4.8 6.8.6 4.76 6.8 96.8.968 Podzelć rówe przez -4.8 pomożyć przez - 6.8 6.8 4.8. 4.8.6 96.8. 6.8.46 6.78 Odjąć wyk od rów r 6.8 6.8 4.76.46.7.968 6.78.76 Po drugm kroku elmcj 4.8.6.7 6.8 96.8.76 Met.Numer. wykłd 6 Metod elmcj Guss - przykłd 4.8.6.7 6.8 96..7 4.8.6.7 6.8 96.8.76 Elmcj wstecz Olcze.7.76.76.7.87 Met.Numer. wykłd 6 4 7
-4-4 Metod elmcj Guss - przykłd 4.8.6.7 6.8 96.8.76 Olcze 4.8.6 96.8 96.8.6 4.8 96.8.6.87 4.8 9.69.87 Met.Numer. wykłd 6 Metod elmcj Guss - przykłd 4.8.6.7 6.8 96..76.87 9. 69 Olcze 6.8 6.8 6.8 9.69.947.87 Met.Numer. wykłd 6 6 8
-4-4 Metod elmcj Guss - przykłd 64 44 8 6. 8 77. 79. Rozwąze:.947 9.69.87 v t t t.947 t 9.69t.87, t v 6.947 6 9.69 6.87 9.686 m/s. Met.Numer. wykłd 6 7 Metod elmcj Guss Wdy metody: Może stąpć ztrzyme procesu olczeń w powodu dzele przez zero. Jest szczególe podt rste łędu zokrągle. Zlety metody: Lcz wykoywych dzłń w metodze elmcj Guss jest ez porów mejsz ż przy pomocy wzorów Crmer W przypdku rówń: M=4 możeń w metodze elmcj Guss M= dl wzorów Crmer Mszy cyfrow wykoując 6 możeń sekudę:, s w metodze elmcj Guss pod rok dl wzorów Crmer Met.Numer. wykłd 6 8 9
-4-4 Metod elmcj Guss Dzelee przez zero może wystąpć podczs kżdego kroku elmcj zmeych 6 4 7 4 8 7 6. 9 6. w stępym kroku, dzelee przez zero Met.Numer. wykłd 6 9 Metod elmcj Guss Ukłd rówń:.49 7 4.7 9 Rozwąze dokłde Rozwąze z dokłdoścą 6 cyfr dzesętych w kżdym kroku.96..99999 Rozwąze z dokłdoścą cyfr dzesętych w kżdym kroku.6..9999 Met.Numer. wykłd 6 4
-4-4 Metod elmcj Guss Metod elmcj Guss-Crout (g. prtl pvotg) - z częścowym wyorem elemetu podstwowego Zpoeg dzeleu przez zero. Zmejsz łąd umeryczy. Elemetem podstwowym zywmy te elemet mcerzy A, z pomocą którego elmujemy zmeą z dlszych rówń. Dotychczs jko elemety podstwowe wyerlśmy elemet leżący dgol kk Stosując częścowy wyór elemetu podstwowego wyermy te z elemetów k-tej kolumy w k-tej mcerzy, który m jwększy moduł. Przez zmę kolejośc werszy w mcerzy moż uzyskć elemet podstwowy leżący dgol Met.Numer. wykłd 6 4 Metod elmcj Guss Przykłd : 64 44 8 6. 8 77. 79. Wrtośc w perwszej kolume to:, 64, 44 64 44 8 6.8 77. 79. 44 64 8 79. 77. 6.8 Zm wersz trzecego z perwszym Met.Numer. wykłd 6 4
-4-4 Metod elmcj Guss Przykłd : 64 44 8 6. 8 77. 79. Wrtośc w perwszej kolume to:, 64, 44 64 44 8 6.8 77. 79. 44 64 8 79. 77. 6.8 Zm wersz trzecego z perwszym Met.Numer. wykłd 6 4 Metod Guss Crout w olczu wyzczków Olczyć wyzczk mcerzy [A] A 64 8 44 Po elmcj Guss B 4.8.6.7 Użytecze twerdzee: Jeżel mcerz B powstje z mcerzy A przez dode lu odjęce od jedego wersz ego wersz pomożoego przez lczę to e zme to wyzczk det(a)=det(b)= (-4,8) (.7)=-84, Met.Numer. wykłd 6 44
-4-4 Metod Guss Crout w olczu wyzczków Po zstosowu metody częścowego wyoru elemetu podstwowego otrzymlśmy mcerz[c] C 44.97.864. Użytecze twerdzee: Jeżel mcerz B powstje z mcerzy A przez przestwee jedego wersz z drugm to zme sę tylko zk wyzczk det(c)=(-)(-)det(b)=44 (.97) (-.)=-84, tu wystąpło dwukrote przestwee werszy Met.Numer. wykłd 6 4 Metod Guss Sedl Ukłd rówń z ewdomym:................ Met.Numer. wykłd 6
-4-4 Metod Guss Sedl Przeksztłcee rówń do postc:,,,,, z rów z rów z -, z rów Met.Numer. wykłd 6 4 Metod Guss Sedl Postć ogól dl - tego rów j j j j,,,,. Jest to metod tercyj Met.Numer. wykłd 6 4
-4-4 Metod Guss Sedl Zkłdmy początkowe wrtośc od do podstwmy je do wcześej przeksztłcoych rówń Olczmy łąd względy uzyskych owych wrtośc: ew old ew - Procedurę powtrzmy tercyje ż do uzysk odpowedego wrtośc o zdwljącym łędze. Met.Numer. wykłd 6 6 Metod Guss - Sedl Przykłd: Czs t (s) Prędkość (m/s) 6.8 8 77. 79. Prędkość rkety zostł przylżo welomem: v t t t Zleźć współczyk,, metodą Guss-Sedl prędkość w chwl t = 6 s, t. Met.Numer. wykłd 6 7
-4-4 Metod Guss Sedl Postć rów: t t t t t t v v v Po wstweu dych: 64 44 8 6.8 77. 79. Wrtośc przyjęte do perwszej tercj: Met.Numer. wykłd 6 8 Metod Guss Sedl Przeksztłcee rówń: 6.8 64 44 8 6.8 77. 79. 77. 64 8 79. 44 Met.Numer. wykłd 6 9 6
-4-4 Metod Guss Sedl Perwsz tercj: 6.8 77. 79. () ().67 64.67 7.8 8 44.67 7.8.6 Met.Numer. wykłd 6 6 Metod Guss Sedl Zjdowe łędu względego perwszej tercj: ew old ew.67..67 7.76% Wyk perwszej tercj:.67 7.8.6 7.8. 7.8.6..6.47%.% Mksymly łąd względy to.47% Met.Numer. wykłd 6 6 7
-4-4 Metod Guss Sedl Drug tercj:.67 7.8.6 Wyk perwszej tercj: 6.8 7.8.6 77. 64.6.6 8.6 4.88 79. 44.6 4.88 798.4 Met.Numer. wykłd 6 6 Metod Guss Sedl Zjdowe łędu względego drugej tercj:.6.67.6 4.88 7.8 4.88 798.4.6 798.4 69.4% 8.69% 8.4%.6 4.88 798.4 Mksymly łąd względy to 8.7% Met.Numer. wykłd 6 6 8
-4-4 Metod Guss Sedl Itercj 4 6.67.6 47.8 9. 8..6 % 7.767 69.4 74.447 7.9 7.8 7.96 7.8 4.88. 9.4 477. 949 % %.47 8.69 78. 76.6 76. 7.97.6 798.4 448.9 444 67 498. 8.4 76.8 76.6 7.96 7.9 Wyk kolejych tercj różą sę zcze od prwdłowych:.948 9.69.87 Kedy ztem t metod jest zeż? Met.Numer. wykłd 6 64 Metod Guss Sedl Jeżel mcerz jest sle dgole domując to metod Guss-Sedl jest zeż j j, j dl wszystkch j j, j przyjmej dl jedego Met.Numer. wykłd 6 6 9
-4-4 Metod Guss Sedl Przykłd mcerzy dgole domującej 7 8 4 Met.Numer. wykłd 6 66 Rozkłd LU Rozkłd LU to kolejy sposó rozwąze ukłdu rówń z ewdomym A Mcerz A moż przedstwć jko: A LU gdze: L dol mcerz trójkąt U gór mcerz trójkąt Met.Numer. wykłd 6 67
-4-4 Rozkłd LU Zpsując ukłd rówń: Zkłdjąc że: A A X L U C L U X C Możąc przez: L L L U X L C L C Z le: L L I I U X L C L Z C mcerz jedostkow le: ztem: I U U X U L C U X Z Met.Numer. wykłd 6 68 Rozkłd LU U X L C Moż zpsć U X Z L C Z L Z C Met.Numer. wykłd 6 69
-4-4 Rozkłd LU Jeśl dy jest ukłd rówń: A Nleży dokoć dekompozycj mcerzy A mcerze L orz U Rozwązć ukłd rówń w poszukwu mcerzy Z: L Rozwązć ukłd rówń w poszukwu mcerzy X: X Z C C U X Z Met.Numer. wykłd 6 7 Rozkłd LU Dekompozycj mcerzy A L orz U: A L U u u u u u u U jest mcerzą wyzczą podczs perwszego etpu elmcj Guss L jest mcerzą współczyków użytych podczs perwszego etpu elmcj Guss Met.Numer. wykłd 6 7
-4-4 Rozkłd LU - przykłd Ay odleźć ksztłt oektu z orzów powerzch w trzech kerukch, trze rozwązć p. stępujący ukłd rówń:,4,7,4,7,97,97,948 47 48 9 Po prwej stroe zjdują sę tęże śwtł od środk orzu. Mcerz współczyków zleży od keruku źródł śwtł w stosuku do prtu. Newdomym są tesywośc orzu, które ędą określć ksztłt oektu. Odjdzemy wrtośc,, z pomocą dekompozycj LU Met.Numer. wykłd 6 7 Rozwąze: Rozkłd LU przykłd cd. A L U u u u u u u Poszukujemy mcerzy [L] [U]. Mcerz [U] wyzczymy metodą elmcj Guss. Met.Numer. wykłd 6 7
-4-4 Rozkłd LU - przykłd Krok perwszy: wersz wersz,4 (),4,7,4,7,97,97,948 wersz wersz,4 (,7),4,4,7,97,97,887 Met.Numer. wykłd 6 74 Rozkłd LU - przykłd Krok drug: wersz wersz,4 (,7),4,4,97,97,886 Mcerz współczyków [U] wyos: U,4,4,97,97,886 Wyzczmy mcerz [L]: [ L] Met.Numer. wykłd 6 7 4
-4-4 Rozkłd LU - przykłd Zjdowe mcerzy L: z perwszego,4 kroku zjdow mcerzy U,7,4,9796 z drugego kroku zjdow mcerzy U,7,4,9796 Met.Numer. wykłd 6 76 Rozkłd LU - przykłd Kedy mcerze [L] [U] są ze, spróujemy rozwązć ukłd [L][Z]=[C]:,9796,9796 z z z 47 48 9 z z z z 47 48 9 ( 7,,9796) z (,9796) z Met.Numer. wykłd 6 77
-4-4 Rozkłd LU - przykłd [ Z] z z z 47 48 7, Zjąc już [Z] rozwązujemy ukłd [U][X]=[Z],4,4,97,97,886 47 48 7, Met.Numer. wykłd 6 78 Rozkłd LU - przykłd Rozwązując ukłd rówń:,4,4,886 ( (,97),97) 7, 47 48 otrzymmy szuky wektor :,9 4,8 4,9 Met.Numer. wykłd 6 79 6
-4-4 Rozkłd LU - przykłd Zde domowe: Rozwązć ukłd opsujący -fzowy owód AC: Met.Numer. wykłd 6 8 Szczególy przypdek dekompozycj LU - dekompozycj Choleskego Jeśl mcerz A ukłdu rówń jest mcerzą symetryczą dodto określoą to jej dekompozycj LU m prostszą postć zywą dekompozycją Choleskego Met.Numer. wykłd 6 8 7
-4-4 Szczególy przypdek dekompozycj LU - dekompozycj Choleskego Mcerz trójkąt gór U m tką smą zwrtość elemetową jk mcerz trójkąt dol L. Wyzczyć trze dwukrote mej elemetów mcerzy. Met.Numer. wykłd 6 8 Szczególy przypdek dekompozycj LU - dekompozycj Choleskego Poszczególe elemety mcerzy L są wyzczoe wg zleżośc: l,, j, j l, kl j, k k l, j l, j,,..., j, j l,, l, k,,,..., N k Met.Numer. wykłd 6 8 8
-4-4 Szczególy przypdek dekompozycj LU - dekompozycj Choleskego Ay przeprowdzć rozkłd LL T leży wykoć: M D 6 6 Opercj może dzele Opercj dodw odejmow olczeń perwstk kwdrtowego Met.Numer. wykłd 6 84 Prolem włsy pojęc podstwowe Często przy tworzeu model mtemtyczych wykorzystywych do symulcj zjwsk fzyczych czy zchow sę ukłdu, zchodz potrze rozwąz tzw. prolemu włsego: A k k k A -A jest mcerzą kwdrtow o wymrch - k jest wektorem włsym mcerzy odpowdjącej wrtośc włsej λ k Met.Numer. wykłd 6 8 9
-4-4 Prolem włsy pojęc podstwowe Cąg wszystkch wrtośc włsych zywmy wdmem mcerzy A ozczmy Sp(A). Z defcj wrtośc wektor włsego wyk: ( A I) Mcerz (A-λI) jest osolw, węc: det( A I) Wyzczk te jest welomem stop zmeej λ: w( ) det( A I) ( ) (... ) Met.Numer. wykłd 6 86 Prolem włsy pojęc podstwowe Dl dowolej mcerzy A steje mcerz eosolw P (któr może meć elemety zespoloe) zchodz pomędzy m zwązek: P AP J... J.................. J k J k............ Powyższ mcerz defuje postć koczą Jord: k,,...k - jest wrtoścą włsą mcerzy A może wystąpć w welu mcerzch J k Met.Numer. wykłd 6 87 4
-4-4 Twerdzee Cyley-Hmlto Jeśl: w( ) det( A I) jest rówem chrkterystyczym mcerzy A to: w(a) Met.Numer. wykłd 6 88 Metod Kryłow poszukw zer rów chrkterystyczego w( ) Korzystjąc z poprzedego twerdze: w( A) A A Co dl dowolego wektor y dje: A y A Ukłd rówń ewdomych:,,,..., y Do jego utworze potrze jedk olczeń orz /* y go rozwązć Met.Numer. wykłd 6 89 4
-4-4 Wyzcze wrtośc włsych metodą LR W metodze tej tercyje przeksztłcmy mcerz A uzyskując cąg: A A A... A m w którym ostt elemet stow mcerz trójkątą górą. Elemety dgole mcerzy A m stową tomst cąg wrtośc włsych mcerzy A czyl lm ( ) jj j Met.Numer. wykłd 6 9 Wyzcze wrtośc włsych metodą LR W kżdej tercj wyzczmy rozkłd A loczy mcerzy trójkątej dolej L z jedykm dgol orz mcerzy trójkątej górej R: A L R Przeksztłcmy mcerz w stępujący sposó: Mcerze A orz A + są podoe A L R R L Rozkłd LR może e steć /lu jego zlezee jest źle uwrukowe A A L R, L R L A L AL R, A R R AR L Met.Numer. wykłd 6 9 4
-4-4 Wyzcze wrtośc włsych metodą QR Metod wywodz sę z metody LR, przy czym mcerz L zstąpoo mcerzą ortogolą Q przez co metod jest stl umerycze. A A A A Q R R Q Q H Q I gdze: R jest mcerzą trójkątą górą, Q jest mcerzą ortogolą. Met.Numer. wykłd 6 9 Wyzcze wrtośc włsych metodą QR W metodze QR otrzymujemy cąg mcerzy: A A A... A m Mcerze te są do see podoe węc mją te sme wrtośc włse. Jeśl m jest duże wówczs spodzewmy sę że dgol A m ędą zjdowć sę wrtośc włse A. Wdą metody QR jest wol zeżość dl mcerzy pełych. Metod jest szykozeż dl mcerzy rzdkch (mcerzy trójdgolych mcerzy Hesseerg) Met.Numer. wykłd 6 9 4
-4-4 Mcerze rzdke Mcerzą rzdką zywmy mcerz, w której wększość elemetów m tką smą wrtość, jczęścej zerową. Rzdke mcerze występują w procese rozwązyw welu rówń z dzedzy teor sec elektryczych systemów eergetyczych, geetyk, socjolog, teor grfów td. Met.Numer. wykłd 6 94 Mcerze rzdke Rzdke mcerze przechowuje sę w pmęc w postc upkowej (tz. e przechowuje sę w pmęc elemetów zerowych). Tk form pozwl przetwrze wększych mcerzy, ż yły to możlwe w trdycyjy sposó. W ektórych przypdkch czs przetwrz mcerzy zmejsz sę dodtkowo z tego powodu, że pkowe elmuje olcze trywle, przykłd możee przez zero. Met.Numer. wykłd 6 9 44
-4-4 Redukcj mcerzy Jeśl λ jest wrtoścą włsą mcerzy A odpowdjącym jej wektorem włsym orz dl dowolego wektor v o włsośc: v T Mcerz zredukow: W A v T M te sme wrtośc co mcerz A oprócz λ, któr jest zerem. Met.Numer. wykłd 6 96 Redukcj mcerzy metod Hotellg Metod jest skutecz tylko w przypdku mcerzy symetryczych: v Mcerz zredukow: T W A Met.Numer. wykłd 6 97 4
-4-4 Redukcj mcerzy metod Weldt Wektor v defujemy stępująco: Mcerz zredukow: W v T A j ( j) A T j A v A ( j) j-ty wersz mcerzy W jest rówy zero Aj ( W ) j Aj ( j) Met.Numer. wykłd 6 98 Uogóloy prolem włsy Uogóloy prolem włsy defujemy stępująco: A B A B są mcerzm kwdrtowym SPROWADZAMY RÓWNANIE DO ZWYKŁEGO PROBLEMU WŁASNEGO B A C JAK ZNALEŹĆ B -? Met.Numer. wykłd 6 99 46
-4-4 Uogóloy prolem włsy W przypdku, gdy B orz A są mcerzm symetryczym możemy posłużyć sę rozkłdem Choleskyego B BB B LL T I ( L T ) T T LL ( L ) L Wykorzystując rozkłd LL T moż zleźć mcerz podoą do B - A L L T ( B A)( L T ) L T ( L T ) L A( L ) T L G A( L ) T Met.Numer. wykłd 6 Uogóloy prolem włsy Dzęk temu przeksztłceu, mcerz G jest symetrycz jk A posd detycze wdmo wrtośc włsych. Jk zleźć G? Njperw leży zleźć mcerz F: Rozwązując ukłd rówń: A stępe wyzczmy G: Rozwązując ukłd rówń: F A( L ) FL T A G L F LG F T Rozkłd LL T wymg wyko /6* możeń wyzczee mcerzy G /* możeń. Mcerz G jest symetrycz węc w celu wyzcze jej wrtośc wektorów włsych korzystmy z metod przezczoych dl tej klsy mcerzy. Met.Numer. wykłd 6 47