METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.
|
|
|
- Dorota Kosińska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 METODY NUMERYCZNE Wykłd 4. Numeryczne rozwązywne równń nelnowych z jedną newdomą dr hb.nż. Ktrzyn Zkrzewsk, pro.agh Met.Numer. Wykłd 4
2 Rozwązywne równń nelnowych z jedną newdomą Nleży znleźć perwstek równn nelnowego czyl rozwązć równne ( ) 0 Twerdzene: Jeżel unkcj () jest określon cągł w dnym przedzle <,b> unkcj zmen znk n końcch przedzłu ( ) ( b) 0 to w przedzle <,b> znjduje sę przynjmnej jeden pojedynczy perwstek. Przedzł <,b>, w którym znjduje sę pojedynczy perwstek równn nos nzwę przedzłu zolcj perwstk. b Met.Numer. Wykłd 4
3 Rozwązywne równń nelnowych z jedną newdomą Jeżel unkcj zmen znk n grncch przedzłu, to w tym przedzle może stneć węcej perwstków ( ) ( b) 0 b ( ) 0 Met.Numer. Wykłd 4 3
4 Rozwązywne równń nelnowych z jedną newdomą ( ) ( b) 0 b b Jeżel unkcj ne zmen znku n grncch przedzłu, to w tym przedzle może stneć perwstek lub ne Met.Numer. Wykłd 4 4
5 Metody numerycznego rozwązywn równń nelnowych z jedną newdomą Metody: połowen (równego podzłu lub bsekcj) stycznych (Newton) regul-ls (łszywej lnowośc) metod secznych Met.Numer. Wykłd 4 5
6 Metod bsekcj Przedzł <,b> dzelmy n połowy punktem: + b b Jeżel ( )0, to jest szuknym perwstkem równn. Jeżel ( ) 0 to z dwóch przedzłów <, > <,b> wybermy ten, n końcch którego unkcj () m różne znk, tzn. spełnony jest jeden z wrunków: () ( )<0 lub ( ) (b) <0 Met.Numer. Wykłd 4 6
7 Metod bsekcj Uzyskny przedzł <, > lub <,b> ponowne dzelmy n połowy punktem: b lub + b + Jeżel ( )0, to jest szuknym perwstkem równn. Jeżel ( ) 0 to wybermy nowy przedzł sprwdzmy znk unkcj n jego końcch. Proces ten powtrzmy tk długo, ż otrzymmy rozwązne dokłdne lub zostne osągnęt wymgn dokłdność rozwązn. Met.Numer. Wykłd 4 7
8 Metod bsekcj W wynku tkego postępown po pewnej lczbe kroków lbo otrzymmy perwstek dokłdny ( n )0, lbo cąg przedzłów tkch, że: ( ) ( ) < + gdze orz + są odpowedno początkem końcem -tego przedzłu, jego długość: 0 + b Ponewż lewe końce cągu przedzłów tworzą cąg nemlejący ogrnczony z góry, prwe końce cąg nerosnący ogrnczony z dołu węc stneje ch wspóln grnc. Met.Numer. Wykłd 4 8
9 Algorytm dl metody bsekcj W kżdym kroku oblczmy względny błąd przyblżen gdze: m m m 00 m jest perwstkem znlezonym w poprzednm kroku m jest perwstkem znlezonym w dnym kroku Met.Numer. Wykłd 4 9
10 Algorytm dl metody bsekcj Porównne błędu proksymcj wcześnej tolerncją s z denowną Czy > s? Tk Ne nowy podzł stop Pownno sę sprwdzć czy lczb tercj ne przekrcz zdnej wcześnej mksymlnej lczby tercj. Jeśl przekrcz, to progrm pownen sę ztrzymć. Met.Numer. Wykłd 4 0
11 Przykłd metody bsekcj Z prw zyk wynk, że kul będze znurzon do głębokośc tkej, że Pływjąc kul R ( 0.055) Met.Numer. Wykłd 4
12 Przykłd metody bsekcj Zdne: ) Zstosowć metodę bsekcj (połowen) by znleźć głębokość, do której kul jest znurzon w wodze. Przeprowdzć 3 tercje by oszcowć perwstek równn b) Znleźć względny błąd przyblżen po zkończenu kżdej tercj lczbę cyr znczących poprwnych w odpowedz Met.Numer. Wykłd 4
13 Ne możn obecne wyśwetlć tego obrzu. Przykłd metody bsekcj Rozwązne Aby zrozumeć problem unkcj () jest pokzn n rysunku 3-4 ( ) Met.Numer. Wykłd 4 3
14 Przykłd metody bsekcj Zkłdmy l u Sprwdzmy znk unkcj w l u ( l ) ( 0) ( 0) 0.65( 0) ( ) ( 0.) ( 0.) 0.65( 0.) u stąd 4 4 ( ) ( ) ( 0) ( 0.) ( )(.66 0 ) < 0 l u Istneje przynjmnej jeden perwstek równn pomędzy l u, tj. pomędzy 0 0. Met.Numer. Wykłd 4 4
15 Przykłd metody bsekcj Met.Numer. Wykłd 4 5
16 Przykłd metody bsekcj Itercj Nowy perwstek m + l u 3 ( ) ( 0.055) ( 0.055) 0.65( 0.055) m ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 )( ) > 0 l m Stąd perwstek leży pomędzy m u, czyl pomędzy Dltego nowe grnce przedzłu są: l 0.055, u 0. W tym momence, względny błąd przyblżen ne może być oblczony, bo jest to perwszy krok Met.Numer. Wykłd 4 6
17 Przykłd metody bsekcj Po perwszej tercj Met.Numer. Wykłd 4 7
18 Przykłd metody bsekcj Itercj Nowy perwstek m + l u ( ) ( 0.085) ( 0.085) 0.65( 0.085) m ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 )( ) < 0 l m Stąd nowy perwstek leży pomędzy l m, tj. pomędzy Górn doln grnc perwstk: u l 0.055, Met.Numer. Wykłd 4 8
19 Przykłd metody bsekcj Po drugej tercj Met.Numer. Wykłd 4 9
20 Przykłd metody bsekcj Błąd względny przyblżen po drugej tercj wynos m m m % 00 Żdn z cyr znczących ne jest poprwn w wynku m gdyż błąd względny jest wększy od 5%. ε m Met.Numer. Wykłd 4 0
21 Przykłd metody bsekcj Itercj 3 Nowy perwstek m + l u ( ) ( ) ( ) 0.65( ) m ( ) ( ) ( 0.055) ( ) ( )( ) < 0 l m Stąd perwstek leży pomędzy l m, tj. pomędzy Stąd grnce wynoszą: u l 0.055, Met.Numer. Wykłd 4
22 Przykłd metody bsekcj Po trzecej tercj Met.Numer. Wykłd 4
23 Przykłd metody bsekcj Błąd względny przyblżen po trzecej tercj wynos m m m % 00 Żdn z cyr znczących ne jest poprwn w wynku m gdyż błąd względny jest wększy od 5%. Met.Numer. Wykłd 4 3
24 Przykłd metody bsekcj Anlz błędu cyr znczących Itercj l u m % ( m ) Met.Numer. Wykłd 4 4
25 Przykłd metody bsekcj Lczb poprwnych cyr znczących m w wynku wynos: tk węc log ( 0.344) m m m m log m m ( 0.344). 463 Lczb poprwnych cyr znczących w wynku po 0-tej tercj wynos. Met.Numer. Wykłd 4 5
26 Zlety bsekcj metod jest zwsze zbeżn przedzł, w którym znjduje sę perwstek jest zwsze połowony Wdy bsekcj metod jest wolnozbeżn jeżel perwstek odgdnęty jest blsk rzeczywstemu to szybkość mleje Met.Numer. Wykłd 4 6
27 Wdy metody bsekcj Jeżel unkcj () jest tk, że dotyk os OX to ne możn znleźć perwstk metodą bsekcj ( ) Met.Numer. Wykłd 4 7
28 Wdy metody bsekcj unkcj zmen znk le ne m perwstk ( ) Met.Numer. Wykłd 4 8
29 Metod regul-ls Złożen: regul ln; lsus- łszywy Metod zwn jest metodą łszywego złożen lnowośc unkcj w przedzle <,b> równne ()0 m dokłdne jeden perwstek jest to perwstek pojedynczy ()(b)<0 () jest n przedzle <,b> unkcją klsy C d/d d /d mją stły znk w tym przedzle potrzebne do ustlen błędu stłego punktu tercj Met.Numer. Wykłd 4 9
30 Metod regul-ls Przy tkch złożench możlwe są jedyne nstępujące przypdk: Metod t m punkt stły, jest nm punkt, w którym spełnony jest wrunek: '' > 0 Met.Numer. Wykłd 4 30
31 Met.Numer. Wykłd 4 3 Metod regul-ls Rozwżmy przypdek: Przez punkty A(, ()) B(b, (b)) prowdzmy cęcwę (seczną) o równnu: ) ( ) ( ) ( ) ( b b y Punkt, w którym cęcw przecn oś OX jest perwszym przyblżenem szuknego perwstk. ) ( ) ( ) ( ) ( b b
32 Metod regul-ls Jeżel ( )0, to jest szuknym perwstkem. Jeżel otrzymne w ten sposób przyblżene jest z mło dokłdne, to przez punkty C(, ( )) orz przez ten z punktów A B, którego rzędn m znk przecwny nż ( ) prowdzmy nstępną cęcwę. Punkt, w którym cęcw przetne oś OX jest kolejnym przyblżenem. Proces tercyjny kończymy, gdy uzyskmy rozwązne z zdną dokłdnoścą. Tworzymy cąg:,, n ( k ) k k ( b k ) k,,..., n ( b) ( ) k Met.Numer. Wykłd 4 3
33 Metod regul-ls Możn wykzć, że przy przyjętych złożench cąg,, n jest rosnący ogrnczony węc zbeżny. Jego grncą jest szukny perwstek α czyl (α)0 Błąd n-tego przyblżen możn ocenć n podstwe: ( ) ( α) '( c)( α) n n gdze c jest zwrte w przedzle od n do α n m α n <, b> ( m n ) '( ) Met.Numer. Wykłd 4 33
34 Metod regul-ls Przykłd: Znleźć dodtn perwstek równn: 3 ( ) w przedzle (,) ocenć błąd przyblżen. Sprwdzmy złożen: '( ) ''( ) 6 + '( ) > 0 ''( ) > 0 dl > ( ) 4 () 3 Met.Numer. Wykłd 4 34
35 Metod regul-ls Równne cęcwy przechodzącej przez punkty A(,-4) B(,3) Aby y0,, y + 4 ( ) Znjdujemy ( ) Ponewż ( )<0, to cęcwę prowdzmy przez punkty B(,3) C(,574,-,36449) W drugm przyblżenu,70540 Ocen błędu przyblżen w przykłdze: m n, < b> '( ) Met.Numer. Wykłd 4 35
36 Metod regul-ls Ocen błędu przyblżen w przykłdze: m n <, b> '( ) m n <,> ( )-0,4784 n α < 0,4784 < 0,4 Ponewż cąg przyblżeń jest rosnący, węc,70540 < α <,894 Met.Numer. Wykłd 4 36
37 Metod regul-ls metod secznych Wdą metody jest jej stosunkowo powoln zbeżność. Metodę regul-ls możn znczne ulepszyć tzn. poprwć jej zbeżność, jeżel zrezygnujemy z żądn, by unkcj () mł w punktch wytyczjących nstępną cęcwę różne znk (z wyjątkem perwszej tercj). Jest to metod secznych Met.Numer. Wykłd 4 37
38 Metod secznych W celu oblczen przyblżen + korzystmy z dwóch wcześnej wyznczonych punktów: -.Wzórokreśljący cąg przyblżeń jest nstępujący: + ( ( )( ) ( ) ) Wdą metody secznych jest to, że może ne być zbeżn do perwstk (np. gdy początkowe przyblżen ne leżą dość blsko perwstk). Dodtkowo cąg przyblżeń pownen być mlejący (jeżel odległość pomędzy kolejnym przyblżenm jest tego smego rzędu co oszcowne błędu, jkm jest obrczon, to nstępne przyblżene może być cłkowce błędne). Met.Numer. Wykłd 4 38
39 Metod stycznych metod Newton-Rphson Zkłdmy, że () m różne znk n końcch przedzłu <,b> orz () () mją stły znk. Jko perwsze przyblżene perwstk przyjmujemy ten konec przedzłu, w którym unkcj jej drug pochodn mją ten sm znk, tzn. gdy ( 0 ) ( 0 ) 0, gdze 0 lub 0 b. Met.Numer. Wykłd 4 39
40 Metod stycznych metod Newton-Rphson Z wybrnego końc prowdzmy styczną do wykresu unkcj y (). Punkt, będący punktem przecęc stycznej z osą OX jest kolejnym przyblżenem perwstk. Jeżel otrzymne w ten sposób przyblżene jest z mło dokłdne, to z punktu o współrzędnych (, ( )) prowdzmy nstępną styczną. Punkt, w którym styczn przecn sę z osą OX jest kolejnym przyblżenem. Proces tercyjny kończymy, gdy uzyskmy rozwązne z zdną dokłdnoścą. y ( b) '( b)( b) b ( b) ( b) Met.Numer. Wykłd 4 40
41 Wzór określjący kolejne przyblżen szuknego rozwązn: + Metod stycznych metod Newton-Rphson ( ) ( ) Jest to zbeżny cąg przyblżeń mlejący ( n+ < n ) lub rosnący ( n+ > n ) ogrnczony z dołu lub z góry. Błąd n-tego przyblżen możn ocenć podobne jk w metodze regul-ls: n+ α ( '( Met.Numer. Wykłd 4 4 n n ) )
42 Metod stycznych metod Newton-Rphson Znnym przykłdem zstosown metody stycznych jest lgorytm oblczn perwstk kwdrtowego. Perwstek kwdrtowy z lczby dodtnej c jest dodtnm perwstkem równn: Oblczen: Stosując metodę stycznych: c ( ) c '( ) n+ n 0 ( n ) n n ( n ) n c Otrzymujemy: n+ n + c n Met.Numer. Wykłd 4 4
43 Metod kolejnych przyblżeń (tercj) Dne jest równne ()0 gdze () jest unkcją cągłą. Nleży wyznczyć perwstk rzeczywste tego równn. Równne to sprowdzmy do równn równowżnego: ϕ() Grczn nterpretcj oprt jest n wykresch unkcj: y y ϕ() Metod tercj jest zbeżn gdy ϕ' ( ) < Met.Numer. Wykłd 4 43
44 Metod kolejnych przyblżeń (tercj) Przypdk gdy metod jest zbeżn: Met.Numer. Wykłd 4 44
45 Metod kolejnych przyblżeń (tercj) Przypdk gdy metod jest rozbeżn: Met.Numer. Wykłd 4 45
46 Metod kolejnych przyblżeń (tercj) Zdne domowe: 3 Znleźć perwstek równn: w przedzle [,] metodą tercj Równne ()0 możn sprowdzć do równn równowżnego φ() w różny sposób: ) b) + c) d) Sprwdzć, który sposób zpewn zbeżność metody e) Met.Numer. Wykłd 4 46
47 Metod kolejnych przyblżeń (tercj) Zdne domowe: 3 Znleźć perwstek równn: w przedzle [,] metodą tercj Równne ()0 możn sprowdzć do równn równowżnego φ() w różny sposób: ) b) + c) d) Sprwdzć, który sposób zpewn zbeżność metody e) Met.Numer. Wykłd 4 47
48 Poszukwne mnmów unkcj jednej zmennej Zdne znjdown mnmum unkcj () możn sprowdzć do rozwązn równn ()0 Wyznczene pochodnej unkcj może być zbyt trudne lub unkcj może nebyć różnczkowln. Jeżel unkcj jest dostteczne regulrn możn ją loklne przyblżyć welomnm nskego rzędu to możn zstosowć metody proksymcyjne. Jeżel włsnośc unkcj ne są znne to bezpecznejsze są metody podzłu. Met.Numer. Wykłd 4 48
49 Metody podzłu Złożen: () m mnmum w punkce α nleżącym do przedzłu [,b], () jest mlejąc w przedzle [, α] rosnąc w [α,b] czyl jest unmodln. Lemt: Aby zloklzowć punkt α w przedzle [,b ] o mnejszej długośc nż przedzł [,b], wystrczy oblczyć wrtość unkcj w dwu punktch wewnątrz przedzłu [,b]. <t <t <b Jeżel (t ) (t ), to α [,t ] Jeżel (t )>(t ), to α [ t,b] Met.Numer. Wykłd 4 49 t α t b
50 Metody podzłu Metod podzłu n 3 równe częśc Przyjmujemy punkty podzłu przedzłu [,b]: t + 3 b b 3 t Wkżdej tercj nstępuje zmnejszene przedzłu 3/rzy Po I tercjch uzyskujemy przedzł odługośc: b 3 I ( (0) (0) b ) Wrtość unkcj oblczono I rzy Met.Numer. Wykłd 4 50
51 Metody podzłu Metod połowen Przyjmujemy punkty podzłu n cztery częśc przedzłu [,b]: t b b 4 t + W kżdej tercj nstępuje zmnejszene przedzłu rzy Po I tercjch uzyskujemy przedzł o długośc: b ( (0) (0) b ) Met.Numer. Wykłd 4 5 Wrtość unkcj oblczono I+ rzy Jest to metod brdzej ekonomczn I t b 4
52 Metod optymlnych podzłów Metod Johnson Njmnejszej lczby oblczeń unkcj wymg metod korzystjąc z cągu lczb bonccego Ops lgorytmu: Denujemy pożądną dokłdność ρ wyznczen położen mnmum α., tzn. chcemy uzyskć tk punkt t, by α [ t ρ, t + ρ] Met.Numer. Wykłd 4 5
53 Metod optymlnych podzłów.nech: c (0) ρ (0). Znjdujemy tke N, by 3. Określmy:,,..., N- Ops lgorytmu w metodze Johnson: b t t N < ( b ) N + N ( b ) N + c N N + + Met.Numer. Wykłd 4 53
54 Metod optymlnych podzłów Ops lgorytmu w metodze Johnson: 4. W kżdej tercj oblczmy nowe punkty,b w nstępujący sposób: Jeżel: (t ) (t ), to pozostje bez zmn, bt () Jeżel: (t )>(t ), to b pozostje bez zmn, t () Po -tej tercj długość przedzłu [,b] zostje zmnejszon N N + rzy bez względu n to, któr nerówność jest spełnon Met.Numer. Wykłd 4 54
55 Metod optymlnych podzłów Ops lgorytmu w metodze Johnson: Po (N-) tercjch długość przedzłu zostje zmnejszon do wrtośc ( b ) N N (0) (0) N (0) (0) b... ( b ) N 3 N ρ Wykonno łączne N- oblczeń wrtośc unkcj Met.Numer. Wykłd 4 55
56 Metod optymlnych podzłów Przykłd: Znleźć mnmum unkcj () zloklzowne n przedzle [-4,4]. Pożądn dokłdność ρ. () Metod połowen 3 t ( 4) t ( 4) t3 ( 4) Sprwdzmy: (-)>(0) ()>(0); możemy zwęzć przedzł do: [-,] 0 Met.Numer. Wykłd 4 56
57 Metod optymlnych podzłów Przykłd: Dokonujemy nowego podzłu n 4 równe częśc () 3 t ( ) () t ( ) + 0 () 3 t3 ( ) Sprwdzmy: (-)>(0) ()>(0); możemy zwęzć przedzł do: [-,] le wtedy t0; (t)0 Wykonno łączne 5 oblczeń wrtośc unkcj Met.Numer. Wykłd 4 57
58 Met.Numer. Wykłd 4 58 Metod optymlnych podzłów Znleźć mnmum unkcj () zloklzowne n przedzle [-4,4]. Pożądn dokłdność ρ. Przykłd: (b) Metod Johnson ztem N5 8 4) ( 4 (0) (0) ρ b c < < c c N N ) ( 4)) ( (4 ) ( 5 5 () b t N N ) ( 4)) ( (4 ) ( 5 5 () b t N N
59 Met.Numer. Wykłd 4 59 Metod optymlnych podzłów Jeżel: (t ) (t ), to pozostje bez zmn, bt () Szukmy nowych grnc przedzłu,b Oblczmy nowe punkty podzłu: ; () () t t le (-)(), czyl -4 b ) ( 4)) ( ( ) ( 5 5 () b t N N ) ( 4)) ( ( ) ( 5 5 () b t N N
60 Met.Numer. Wykłd 4 60 Metod optymlnych podzłów Szukmy nowych grnc przedzłu,b Oblczmy nowe punkty podzłu: ; () () t t le (-)>(-), czyl - b 3 3 ) ( )) ( ( ) ( (3) b t N N ) ( )) ( ( ) ( (3) b t N N Jeżel: (t )>(t ), to b pozostje bez zmn, t ()
61 Metod optymlnych podzłów (3) (3) t ; t 0 Szukmy nowych grnc przedzłu,b Jeżel: (t )>(t ), to b pozostje bez zmn, t () le (-)>(0), czyl - b [, b] [,] t 0 ( t) 0 Wykonno łączne 4 oblczen wrtośc unkcj Met.Numer. Wykłd 4 6
62 Metod optymlnych podzłów Metod złotego podzłu Poleg n tkm wyborze punktów podzłu t ( )t ( ), by przedzł [,b] zmnejszł swą długość po kżdej tercj tyle smo rzy po wyznczenu punktów nowego podzłu, tzn. t (+) t (+),jeden z tych punktów pokrywł sę z wyznczonym punktem podzłu w poprzednej tercj. M to n celu zmnejszene lczby oblczeń wrtośc unkcj, gdyż jedyne w perwszej tercj oblczmy dwe wrtośc unkcj, w nstępnych zś już tylko jedną wrtość unkcj. Tę cechę mł omówony poprzedno lgorytm optymlny Met.Numer. Wykłd 4 6
63 Metod optymlnych podzłów Metod złotego podzłu Wymgn te spełn lgorytm, w którym: ( ) ( ) t b t τ ( b ), τ (0,) b t ( ) τ ( b t ( ) ) Stąd: τ +τ 0 czyl: τ 5 0,6 Lczb τ jest stosunkem boków prostokąt nzywnego przez strożytnych Greków złotym Met.Numer. Wykłd 4 63
64 Metod optymlnych podzłów Metod złotego podzłu Punkty podzłu oblczmy ze wzoru: () t + ( τ )( b ) () t b ( τ )( b ) Przyjęto mnożnk: τ by zmnejszyć błędy zokrągleń przy wyzncznu kolejnych punktów podzłu Met.Numer. Wykłd 4 64
65 Metod optymlnych podzłów Metod złotego podzłu Nowe punkty,b powstją w nstępujący sposób: Jeżel: (t ) (t ), to pozostje bez zmn, bt () t ( + ) ( ) t t ( + ) + ( τ )( b ) Jeżel: (t )>(t ), to b pozostje bez zmn, t () t ( + ) ( ) t t ( + ) b ( τ )( b ),,,3,... Aby wyznczyć t metodą złotego podzłu z dokłdnoścą ne gorszą nż metodą Johnson, potrzeb co njwyżej jednego dodtkowego oblczen wrtośc unkcj. Met.Numer. Wykłd 4 65
Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Poltechnk Gdńsk Wydzł Elektrotechnk Automtyk Ktedr Inżyner Systemów Sterown Teor sterown Podstwy lgebry mcerzy Mterły pomocncze do ćwczeń lbortoryjnych 1 Część 3 Oprcowne: Kzmerz Duznkewcz, dr hb. nż.
Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,
utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Równn lnowe Nech V W będą przestrzenm lnowym nd tym smym cłem K T: V W przeksztłcenem lnowym Rozwżmy równne lnowe T(v)w Powyższe równne nzywmy równnem
METODY KOMPUTEROWE 11
METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Mchł PŁOTKOWIAK Adm ŁOYGOWSKI Konsultcje nukowe dr nż. Wtold Kąkol Poznń / METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Metod wżonych rezduów jest slnym nrzędzem znjdown
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Sformułowanie zagadnienia. c c. Analiza zagadnienia dla przypadku m = 4 i n = 3. B 2. c A. c A
ZGDNIENIE TRNSPORTOWE Sformułowne zgdnen Przypuśćmy, że z m punktów odprwy,, K, m m być wysłny w lośh,, K, m ednorodny produkt do n punktów przyęć,, K, n. odboru przymuą produkt w lośh b, b, K, bn. Kżdy
Rozpraszania twardych kul
Wyłd XVIII Rozprszn twrdych u Rozwżmy oddzływne twrdych u opsywne potencjłem V r r Ponewż potencjł jest seryczne symetryczny uncję ową możn zpsć w postc ( r Cm R Ym( m gdze Ym( to hrmon seryczne Rozprszne
Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu.
Elementy rchunku prwdopodoeństw f 0 f() - gęstość rozkłdu prwdopodoeństw X f d P< < = f( d ) F = f( tdt ) - dystryunt rozkłdu E( X) = tf( t) dt - wrtość średn D ( X) = E( X ) E( X) - wrncj = f () F ()
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Metoda prądów obwodowych
Metod prądów owodowyh Zmenmy wszystke rzezywste źródł prądowe n npęowe, Tworzymy kłd równń lnowyh opsjąyh poszzególne owody. Dowolną seć lnową skłdjąą sę z elementów skponyh możn opsć z pomoą kłd równń
Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak
Metody numeryzne Wyłd nr 7 dr. Potr Fronz Cłowne numeryzne Cłowne numeryzne to przylżone olzne łe oznzony. Metody łown numeryznego polegją n przylżenu ł z pomoą odpowednej sumy wżonej wrtoś łownej unj
Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW
1 ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GANULOMETYCZNEJ SUOWCÓW I PODUKTÓW 1. Cel zkres ćwczen Celem ćwczen jest opnowne przez studentów metody oceny mterłu sypkego pod względem loścowej zwrtośc frkcj
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx
Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 2 Analiza popytu. Optymalna polityka cenowa. 1 ANALIZA POPYTU. OPTYMALNA POLITYKA CENOWA.
Wykłd Anlz popytu. Optymln poltyk cenow. 1 ANALIZA OYTU. OTYMALNA OLITYKA CENOWA. rzedmotem wykłdu jest prolem zrządzn zyskem poprzez oprcowne wdrożene odpowednej strteg różncown cen, wykorzystując do
DOBÓR LINIOWO-ŁAMANEGO ROZDZIAŁU SIŁ HAMUJĄCYCH W SAMOCHODACH DOSTAWCZYCH
Zgnew Kmńsk DOBÓ INIOWO-ŁMNEO OZDZIŁU SIŁ HMUJĄCYCH W SMOCHODCH DOSTWCZYCH Streszczene. W rtykule opsno sposoy dooru lnowo-łmnego rozdzłu sł mującyc w smocodc dostwczyc według wymgń egulmnu 3 ECE. Przedstwono
Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Fuzja danych nawigacyjnych w przestrzeni filtru Kalmana
ISSN 733-867 ZESZ NAUKOWE NR (83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE IV MIĘDZNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-ECHNICZNA E X L O - S H I 6 Andrzej Stteczny, Andrzej Lsj, Chfn Mohmmd Fzj dnych nwgcyjnych w przestrzen
( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)
List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
TESTOWANIE HIPOTEZY O KOMPLETNOŚCI ZBIORU ARGUMENTÓW
TESTOWANIE HIPOTEY O KOMPLETNOŚCI BIORU ARGUMENTÓW Pweł Szołysek RELACJA PODOBIEŃSTWA I TESTOWANIE KOMPLETNOŚCI BIORU ARGUMENTÓW RELACJA PODOBIEŃSTWA - AŁOŻENIA Proces es opsny z poocą funkc wyrowe wyrowo
Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1
Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh Środek ms fgur płskej Zleżnoś n współrzędne środk ms, fgur płskej złożonej z fgur regulrnh rs.. możem zpsć w nstępują sposób: gdze:. pole powerzhn -tej
1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Wymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Wyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule
Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całk pojedyncze Kwadratury nterpolacyjne Kwadratury nterpolacyjne Rozpatrujemy funkcję f() cągłą ogranczoną w przedzale domknętym [a, b]. Przedzał [a, b] dzelmy na skończoną lczbę
Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.
Wykłd 6 Cłk ozczo: olcze pól oszrów płskch. Cłk ewłścwe. Wprowdźmy jperw ocję sumow: Dl dego zoru lcz {,,..., } symol ozcz ch sumę, z.... Cłk ozczo zosł wprowdzo w celu wyzcz pól rpezów krzywolowych (rys.
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania =
Vdemecum GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* Mtemtyk - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Prón Mtur z OPERONEM Operon 00% MATURA 07 VA D EMECUM
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1
f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Równania nieliniowe. x i 1
MN 08 Równni nieliniowe Wprowdzenie Podstwowe pytni 1. Pytnie: Czy komputer umie rozwiązywć równni nieliniowe f(x) = 0? Odpowiedź (uczciw): nie. 2. P: To jk on to robi? O: Dokłdnie tk, jk przy cłkowniu
2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI
STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub
Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
TEORIA WAGNERA UTLENIANIA METALI
TEORIA WAGNERA UTLENIANIA METALI PROCES POWSTAWANIA ZGORZELIN W/G TAMANN A (90) Utlenz tl Utlenz Zgorzeln tl + SCHEMAT KLASYCZNEGO DOŚWIADCZENIA PFEILA (99) Powetrze Powetrze SO Zgorzeln SO Fe Fe TEORIA
Metody Numeryczne 2017/2018
Metody Numeryczne 7/8 Inormatya Stosowana II ro Inżynera Oblczenowa II ro Wyład 7 Równana nelnowe Problemy z analtycznym rozwązanem równań typu: cos ln 3 lub uładów równań ja na przyład: y yz. 3z y y.
Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad
Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f
Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM. Modelowe etapy rozwiązywania zadania
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Mtemtyk Poziom rozszerzony Mrzec 09 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. C Obliczenie wrtości funkcji: f(
Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom podstwowy Mrzec 7 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. B 5 5 6 5 = =
Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19
Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej
Proces narodzin i śmierci
Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do
Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne
WYBRANE ZAGADNIENIA Z DYNAMIKI GAZÓW
JB emetr II / WYBNE ZGDNIENI Z DYNIKI GZÓW Porzedno omwlśmy zgdnen rzeływu łynów neścślwych, które dorowdzły n do równń Ner- Stoke oujące ruch łynu ścślwego neścślwego orz nne dl tłej gętośc: Euler, Bernoull
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?
INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
Porównanie dostępności różnych, nadmiarowych konfiguracji zasilania szaf przemysłowych
Porównne dotępnośc różnych, ndmrowych konfgurcj zln zf przemyłowych Whte Pper 48 Strezczene Przełącznk źródeł zln orz dwutorow dytrybucj zln przętu IT łużą zwękzenu dotępnośc ytemów oblczenowych. Sttytyczne
dy dx stąd w przybliżeniu: y
Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc
5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny
5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,
PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut
Pierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
p Z(G). (G : Z({x i })),
3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W
Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.
dnie 5. Krtownic sttycznie wyznczln. Wyznczyć wrtości sił w prętch krtownicy sttycznie wyznczlnej przedstwionej n Rys.1: ). metodą nlitycznego równowżeni węzłów, ). metodą gricznego równowżeni węzłów;
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY
. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Układy równań liniowych Macierze rzadkie
wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..
Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS,
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Analiza wariancji klasyfikacja prosta
Anlz wrnc Oprcowno n podstwe: Łomnck A. 003. Wprowdzene do sttystyk dl przyrodnków. PW Wrszw. Anlz wrnc klsyfkc prost Dne o przeżywlnośc chrząszczy hodownych hodowlnych n czterech różnych pożywkch. Kżd
W. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zdnie 19 z Informtor turlnego poziom rozszerzony 1 Zdnie 19. Rmię D trpezu D (w którym D) przedłużono do punktu E tkiego, że E 3 D. unkt leży n podstwie orz 4. Odcinek E przecin przekątną D
Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?
Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć
STOŻKOWE JAKO ZBIORY ŚRODKÓW SFER PRZECHODZĄCYCH PRZEZ DWA PUNKTY I STYCZNYCH DO PROSTEJ, PŁASZCZYZNY BĄDŹ SFERY
Stnsłw OCHOŃSKI os. Mstrzejowce Nowe 6/5 31-640 Krków SOŻKOWE JKO ZBIORY ŚRODKÓW SFER PRZECHODZĄCYCH PRZEZ DW PUNKY I SYCZNYCH DO PROSEJ, PŁSZCZYZNY BĄDŹ SFERY WSĘP W referce o tym smym tytule, zgłoszonym
Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Raport Przeliczenie punktów osnowy wysokościowej III, IV i V klasy z układu Kronsztadt60 do układu Kronsztadt86 na obszarze powiatu krakowskiego
Rport Przelczene punktów osnowy wysokoścowej III, IV V klsy z ukłdu Kronsztdt60 do ukłdu Kronsztdt86 n oszrze powtu krkowskego Wykonł: dr h. nż. Potr Bnsk dr nż. Jcek Kudrys dr nż. Mrcn Lgs dr nż. Bogdn