Matematyka dla studentów Zarz dzania UW. Marcin Kysiak, Roman Pol

Matematyka dla studentów Zarz dzania UW Marcin Kysiak, Roman Pol 14 grudnia 2012

2 Wst p Omawiany przez nas material obejmuje zagadnienia z rachunku ró»niczkowego i caªkowego przewidziane w programie studiów na Wydziale Zarz dzania U.W. Znaczne zmniejszenie (od roku akademickiego 2007/2008) liczby godzin przeznaczonych na przedmiot Matematyka, spowodowaªo konieczno± gruntownych zmian w materiaªach, które byªy wykorzystywane w latach ubiegªych przy uczeniu tego przedmiotu. Pewne tematy, wychodz ce poza Standardy Ksztaªcenia ustalone przez Ministerstwo Szkolnictwa Wy»szego zostaªy pomini te, a przykªady i zestawy zada«do samodzielnej pracy studentów, ograniczyli±my do ilustracji podstawowych metod. W przewidywanym na zaj cia czasie nie ma wiele miejsca na uzasadnianie omawianych metod. Wydaje si jednak wa»ne, aby mo»liwie proste uzasadnienia byªy ªatwo dost pne dla studentów i tam, gdzie uznali±my to za celowe, doª czyli±my takie obja±nienia, wyró»niaj c je drobnym drukiem.

Spis tre±ci I Rachunek ró»niczkowy i caªkowy 7 1 Granice i ci gªo± funkcji 9 1.1 Podstawowe poj cia........................ 9 1.2 Granice i kresy.......................... 9 1.2.1 Granice funkcji...................... 9 1.2.2 Kresy zbiorów....................... 11 1.3 Funkcje elementarne....................... 12 1.3.1 Funkcje wykªadnicze................... 12 1.3.2 Funkcje logarytmiczne.................. 13 1.3.3 Logarytm naturalny, eksponenta i liczba e....... 13 1.3.4 Funkcja pot gowa..................... 19 1.4 Ci gªo± funkcji.......................... 20 1.4.1 Zbie»no± ci gów..................... 20 1.4.2 Szeregi liczbowe, szereg geometryczny.......... 21 1.4.3 Ci gªa kapitalizacja odsetek............... 22 1.4.4 Funkcje ci gªe....................... 23 2 Pochodne funkcji jednej zmiennej 27 2.1 Pochodna funkcji......................... 27 2.1.1 Denicja pochodnej i styczna do wykresu funkcji w danym punkcie........................ 27 2.1.2 Pochodna funkcji..................... 28 2.1.3 Reguªy ró»niczkowania.................. 28 2.1.4 Pochodna funkcji odwrotnej............... 30 2.1.5 Ró»niczkowanie funkcji trygonometrycznych...... 31 2.2 Pochodne a monotoniczno± i wypukªo± funkcji........ 33 2.2.1 Zasada Fermata...................... 33 2.2.2 Twierdzenie o warto±ci ±redniej............. 35 3

4 SPIS TRE CI 2.2.3 Monotoniczno± funkcji.................. 36 2.2.4 Wypukªo± i wkl sªo± funkcji.............. 37 2.2.5 Wzór Taylora....................... 40 2.2.6 Reguªa de l'hospitala................... 41 3 Rachunek caªkowy 43 3.1 Denicja i podstawowe wªasno±ci caªki............. 43 3.2 Znajdowanie funkcji pierwotnych................ 49 3.2.1 Caªki funkcji elementarnych............... 49 3.2.2 Caªkowanie przez podstawienie............. 51 3.2.3 Caªkowanie przez cz ±ci................. 52 4 Funkcje dwóch zmiennych 53 4.1 Pochodne cz stkowe........................ 53 4.2 Funkcje gªadkie.......................... 54 4.2.1 Funkcje gªadkie...................... 54 4.2.2 Równanie pªaszczyzny stycznej............. 55 4.2.3 Gradient.......................... 56 4.2.4 Funkcje u»yteczno±ci................... 58 4.2.5 Pochodne drugiego rz du, ekstrema lokalne....... 59 4.2.6 Funkcje uwikªane..................... 61 4.2.7 Metoda mno»ników Lagrange'a............. 63 A Zestawy zada«67 A.1 Zestaw I.............................. 67 A.1.1 Granice funkcji...................... 67 A.1.2 Kapitalizacja ci gªa.................... 68 A.1.3 Ci gªo± funkcji...................... 68 A.2 Zestaw II............................. 69 A.2.1 Pochodne funkcji..................... 69 A.2.2 Ró»niczkowanie funkcji trygonometrycznych...... 69 A.2.3 Zasada Fermata...................... 69 A.2.4 Monotoniczno± i wypukªo± funkcji........... 70 A.2.5 Reguªa de l'hospitala................... 70 A.3 Zestaw III............................. 71 A.3.1 Caªki oznaczone...................... 71 A.3.2 Pola obszarów ograniczonych krzywymi......... 71 A.3.3 Caªkowanie przed podstawienie i przez cz ±ci...... 72

SPIS TRE CI 5 A.4 Zestaw IV............................. 72 A.4.1 Pochodne cz stkowe................... 72 A.4.2 Gradient.......................... 73 A.4.3 Funkcje u»yteczno±ci................... 73 A.4.4 Ekstrema lokalne..................... 73 A.4.5 Funkcje uwikªane..................... 73 A.4.6 Mno»niki Lagrange'a................... 74

6 SPIS TRE CI

Cz ± I Rachunek ró»niczkowy i caªkowy 7

Rozdziaª 1 Granice funkcji, logarytm i eksponenta, ci gªo± funkcji 1.1 Podstawowe poj cia Symbolem R oznacza b dziemy zbiór liczb rzeczywistych i niech (a, b) = {x R : a < x < b}, (a, b] = {x R : a < x b}, [a, b) = {x R : a x < b}, [a, b] = {x R : a x b} b d odpowiednio przedziaªami otwartymi, domkni tymi z prawej lub z lewej strony, oraz przedziaªami domkni tymi w R. B dziemy mówili,»e funkcja f : A R okre±lona na zbiorze liczb rzeczywistych jest malej ca (nierosn ca), je±li f(a) > f(b) (f(a) f(b)) dla dowolnych a < b ze zbioru A. Podobnie, warunek f(a) < f(b) (f(a) f(b)) dla a < b okre±la funkcj rosn c (niemalej c ). Funkcja jest monotoniczna (±ci±le monotoniczna), je±li jest nierosn ca lub niemalej ca (malej ca lub rosn ca). 1.2 Granice i kresy 1.2.1 Granice funkcji w punkcie i w niesko«czono±ci. Funkcja f okre±lona w przedziale otwartym J przylegaj cym z prawej, lub z lewej strony do a ma granic jednostronn L w punkcie a, je±li dla dowolnego paska P = R (L ε, L + ε), ε > 0, wokóª prostej y = L mo»na wskaza przedziaª otwarty T J przylegaj cy do a taki,»e wykres funkcji f obci tej 9

10 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI do T le»y w pasku P. Dla funkcji f okre±lonej w przedziaªach otwartych przylegaj cych do a z prawej i z lewej strony, L jest granic f w a, je±li obie granice jednostronne f w a s równe L. W nast puj cej denicji opisujemy dokªadniej poj cie granicy funkcji w punkcie, tak»e w przypadku granicy niesko«czonej, wprowadzamy poj cie granicy funkcji w niesko«czono±ci i ustalamy odpowiedni symbolik. Denicja 1.1. (A) Symbol lim x a + f(x) = L, gdzie L jest liczb oznacza,»e funkcja f jest okre±lona w pewnym przedziale (a, b), oraz dla ka»dego ε > 0 istnieje δ > 0 takie,»e f(x) L < ε, je±li a < x < a + δ. Mówimy wówczas,»e L jest granic prawostronn funkcji w punkcie a, lub te»,»e f(x) d»y do L, gdy x d»y do a z prawej strony. (B) Symbol lim x a + f(x) = + ( ) oznacza,»e funkcja f jest okre±lona w pewnym przedziale (a, b), oraz dla ka»dego M > 0 (M < 0) istnieje δ > 0 takie,»e f(x) > M (f(x) < M), je±li a < x < a + δ. Równowa»nie, f jest dodatnia (ujemna) w pewnym przedziale (a, d) i lim 1 x a + = 0. f(x) Mówimy wówczas, ze granic prawostronn f w punkcie a jest + ( ), lub te»,»e f d»y do + ( ), przy x d» cym do a z prawej strony. (C) Granice lewostronne lim x a f(x) = L, gdzie L jest liczb, lub + deniuje si podobnie, przy czym funkcja f musi by okre±lona w pewnym przedziale (c, a). (D) Piszemy lim x a f(x) = L, gdzie L jest liczb, je±li f jest okre±lone na pewnym zbiorze (c, a) (a, b), oraz lim x a f(x) = L = lim x a + f(x). W tej sytuacji mówimy,»e liczba L jest granic funkcji f w punkcie a, lub te»,»e f(x) d»y do L, gdy x d»y do a. (E) Granice funkcji f w niesko«czono±ci deniujemy formuªami lim f(x) = lim f( 1 x + x 0 + x ), lim f(x) = lim f( 1 x x 0 x ). W szczególno±ci, lim x + f(x) = L, gdzie L jest liczb, je±li f jest okre- ±lone na pewnym przedziale (a, + ), oraz dla ka»dego ε > 0 istnieje b > a takie,»e f(x) L < ε, je±li x > b. W nast puj cym twierdzeniu pominiemy, dla wi kszej przejrzysto±ci, dokªadne zaªo»enia. Twierdzenie to nale»y interpretowa tak,»e rozpatrywane w nim funkcje s okre±lone na tych samych zbiorach i granice, które si rozwa»a, s tego samego typu.

1.2. GRANICE I KRESY 11 Twierdzenie 1.2. Granica iloczynu (sumy) funkcji jest równa iloczynowi (sumie) granic tych funkcji. Dla ilorazu funkcji: je±li granica mianownika jest niezerowa, to granica ilorazu jest ilorazem granic. Sprawd¹my, na przykªad,»e je±li lim x a + f(x) = A i lim x a + g(x) = 1, to lim x a + f(x) g(x) = A. Poniewa» lim x a + g(x) = 1, ªatwo pokaza,»e dla pewnego przedziaªu (a, b), je±li x (a, b), to g(x) > 1. Dla takich x, mamy 2 f(x) f(x) Ag(x) A = = (f(x) A) A(g(x) 1) < 2( f(x) A + A g(x) 1 ). g(x) g(x) g(x) Dla ustalonego ε > 0, dobierzmy zgodnie z Denicj (A) liczb δ > 0 tak,»eby f(x) A < ε 4, oraz g(x) 1 < ε, dla a < x < a + δ. Dla x (a, a + δ) mamy wówczas 4( A +1) f(x) A < ε. g(x) Uwaga 1.3. Z Twierdzenia 1.2 wynika natychmiast,»e dla wielomianu W (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, lim x a W (x) = W (a). Ponadto, je±li W (a) > 0, to tak»e lim x a p W (x) = p W (a). Fakt ten ªatwo wynika z Uwagi 1.11, ale b dziemy si nim posªugiwa w zadaniach ju» teraz. Przykªady. Znale¹ granice: 1. lim x 0 4 5x3 2 x 3 2. lim x 2 + 1 + x3 3 x 2 4x + 4 3. lim x 1 ( 1 x 1 3 x 3 1 ) 4. lim ( x 6 + 3x 3 + 1 x 6 + x 2 ) x + ( x2 6. lim + 4x + 6 x) x + 5. lim x 2 7 + 2x x2 1 + x + x 2 2x x 2 1.2.2 Istnienie kresów górnych i dolnych ograniczonych zbiorów liczb rzeczywistych Aksjomat ci gªo±ci dla prostej rzeczywistej R orzeka,»e dla ka»dego niepustego i ograniczonego z góry zbioru liczb rzeczywistych A (, M], istnieje najmniejsza liczba s speªniaj ca warunek a s dla ka»dego a A.

12 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Liczb s nazywa si kresem górnym (albo supremum) zbioru A i oznacza si symbolem sup A. Analogicznie, dla ka»dego niepustego zbioru A [M, + ) istnieje kres dolny inf A - najwi ksza liczba t taka,»e t a, dla ka»dego a A. Aksjomat ci gªo±ci zapewnia istnienie pierwiastków dowolnego stopnia n a = a 1/n dodatnich liczb rzeczywistych i pozwala na ±cisªe wprowadzenie pot g a α liczb dodatnich dla dowolnego wykªadnika rzeczywistego α. Na aksjomacie ci gªo±ci opieraj si te» podstawowe wªasno±ci funkcji ci gªych - wªasno± Darboux i wªasno± Weierstrassa (zob. 1.4.4), oraz okre±lenie caªki, które wprowadzimy w 3.1. 1.3 Funkcje elementarne W tej cz ±ci omówimy podstawowe wªasno±ci funkcji wykªadniczych, odwrotnych do nich funkcji logarytmicznych oraz funkcji pot gowych o wykªadniku rzeczywistym, przy czym fundamentaln rol w przyj tym przez nas podej- ±ciu odgrywa logarytm naturalny. Wprowadzenie funkcji trygonometrycznych odªo»ymy do punktu 2.1.5, kiedy b dziemy dysponowali ju» poj ciem pochodnej. 1.3.1 Funkcje wykªadnicze a x Przypomnijmy,»e dla liczby naturalnej n, symbol a n oznacza n-krotny iloczyn liczby a: a n = a } a {{... a}. (1.3.1) n czynników Dla a 0 przyjmujemy a n = ( 1 a )n, a dla a > 0, a 1 n = n a jest pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby a, tzn. tak liczb dodatni,»e jej n-ta pot ga wynosi a. Dodatkowo, je»eli n jest liczb naturaln nieparzyst, wygodnie jest te» przyj dla a < 0,»e n a = n a (poniewa» n jest nieparzyste, mamy wci» ( n a) n = a). Tak wi c, je»eli a > 0, mamy okre±lon funkcj wykªadnicz dla wykªadników wymiernych a m n = ( n a) m, (1.3.2) gdzie m jest liczb caªkowit, a n naturaln. Funkcja a x jest dodatnia, monotoniczna (dokªadniej: rosn ca dla a > 1, malej ca dla 0 < a < 1 i staªa dla a = 1) oraz ma nast puj ce wªasno±ci:

1.3. FUNKCJE ELEMENTARNE 13 a x+y = a x a y, (1.3.3) (a x ) y = a x y. (1.3.4) Funkcj wykªadnicz rozszerza si z zachowaniem tych wªasno±ci na wszystkie wykªadniki rzeczywiste, przyjmuj c dla a > 1 i liczby rzeczywistej b,»e a b jest kresem górnym zbioru liczb postaci a m n, gdzie m b, m jest caªkowite n i n naturalne, a nast pnie dla 0 < a < 1 okre±laj c a b = ( 1 a ) b. 1.3.2 Funkcje logarytmiczne log a x Mo»na pokaza,»e (odwoªuj c si znowu do aksjomatu ci gªo±ci),»e dla ustalonego a > 0, a 1, ka»da liczba rzeczywista c > 0 jest postaci c = a b, gdzie b jest jednoznacznie wyznaczon liczb, któr nazywa si logarytmem liczby c przy podstawie a i oznacza symbolem log a c: a log a c = c, a > 0, a 1, c > 0. (1.3.5) Funkcja log a x, okre±lona na przedziale (0, + ) jest wi c funkcj odwrotn do funkcji wykªadniczej a x, a zatem z wªasno±ci funkcji wykªadniczej wnosimy,»e funkcja log a x jest rosn ca dla a > 1, malej ca dla 0 < a < 1, oraz log a xy = log a x + log a y, (1.3.6) log a (x y ) = y log a x, (1.3.7) log b x = log a x log a b. (1.3.8) 1.3.3 Logarytm naturalny, eksponenta i liczba e Naszym celem jest ustalenie pewnych faktów dotycz cych zmienno±ci funkcji pot gowych, logarytmicznych i wykªadniczych, które prowadz bezpo±rednio do wzorów na pochodne tych funkcji. Interesuj ce nas wªasno±ci prosto wynikaj z mo»liwo±ci okre±lenia funkcji ln : (0, + ) R speªniaj cej nast puj ce trzy warunki:

14 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Funkcja ln x jest rosn ca, (1.3.9) ln(xy) = ln x + ln y, (1.3.10) ln(1 + h) lim h 0 h = 1. (1.3.11) cisªe okre±lenie funkcji ln mo»na poda prosto przy pomocy caªki, zob. 3.1. Poni»ej pokazujemy jak to zrobi pogl dowo, odwoªuj c si do pewnych wyobra»e«geometrycznych. Niech P (a, b) b dzie polem obszaru S(a, b) ograniczonego hiperbol y = 1, osi x i prostymi x = a, y = b, gdzie a, b > x 0. Rysunek 1.1: Logarytm naturalny Zdeniujmy funkcj ln x nast puj co: ln a = P (1, a), je±li a 1 oraz ln a = P (a, 1), je±li 0 < a < 1 (patrz rys. 1.3.3). Wªasno± (1.3.9) tak okre±lonej funkcji ln x jest jasna. Sprawdzimy wªasno± (1.3.10). Ustalmy a, b > 0. Przeksztaªcenie pªaszczyzny opisane formuª (x, y) (ax, y ) przeprowadza obszar S(1, b) na obszar S(a, ab). a Mianowicie hiperbola o równaniu y = 1 przechodzi przy tym przeksztaªceniu na siebie, prosta x = 1 x na prost x = a i prosta o równaniu x = b na prost o równaniu x = ab, a onadto przeksztaªcenie to nie zmienia pól gur na pªaszczy¹nie. Tak wi c P (1, b) = P (a, ab). Je±li a > 1 i b > 1, prosta x = a dzieli obszar S(1, ab) na dwa obszary S(1, a) i S(a, ab), mamy wi c ln(ab) = P (1, ab) = P (1, a)+p (a, ab) = P (1, a)+p (1, b) = ln a+ln b. Podobnie sprawdza si (1.3.10) w pozostaªych przypadkach.

1.3. FUNKCJE ELEMENTARNE 15 Dla uzasadnienia wªasno±ci (1.3.11) zauwa»my,»e je±li h > 0, obszar S(1, 1 + h) zawiera 1 prostok t o podstawie [1, 1 + h] i wysoko±ci oraz jest zawarty w prostok cie o tej 1+h samej podstawie i wysoko±ci 1. Zatem, dla h > 0 sk d h < P (1, 1 + h) = ln(1 + h) < h 1 + h 1 ln(1 + h) < < 1. 1 + h h Tak wi c i podobnie sprawdza si (1.3.11) dla h < 0. ln(1 + h) lim = 1 h 0 + h Rysunek 1.2: ln(xy) = ln x + ln y Poka»emy,»e funkcja ln x, któr nazywa si logarytmem naturalnym, jest w istocie logarytmem, którego podstaw jest pewna liczba e odgrywaj ca w matematyce du» rol - liczba Eulera. Z (1.3.9) i (1.3.10) wynika,»e ln(a b ) = b ln a, a > 0. (1.3.12) Sprawdzimy najpierw (1.3.12) dla wykªadników wymiernych. Z (1.3.10), dla m-naturalnych, ln(a m ) = ln a +... + ln a = m ln a. W szczególno±ci, ln 1 = ln 1 + ln 1, czyli ln 1 = 0, a poniewa» ln 1 = ln(a 1 a ) = ln a + ln( 1 a ), mamy ln(a 1 ) = ln a. Tak wi c, ln(a m ) = m ln a

16 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Rysunek 1.3: h 1+h < ln(1 + h) < h, h > 0 dla m caªkowitych. Dalej, ln a = ln((a n 1 ) n ) = n ln(a n 1 ), sk d ln((a n 1 ) = 1 ln a, W n rezultacie, ln(a m n ) = m ln a, dla m caªkowitych i n naturalnych. n Ustalmy teraz a > 1, liczb b i niech k b dzie dowoln liczb naturaln. Wybierzmy liczb wymiern m n (b 1 k, b). Wówczas ab a 1 k = a b 1 k < a m n < a b, zatem z (1.3.9) i (1.3.10), ln(a b ) + ln(a k 1 ) < ln(a m n ) < ln(a b ) i zgodnie z uzasadnion ju» wªasno±ci logarytmu naturalnego, ln(a b ) 1 k ln a < m n ln a < ln(ab ). Poniewa» m n b < 1, wynika st d,»e k b ln a ln(a b ) < 3 ln a i z faktu,»e k mo»e by dowoln liczb naturaln wnosimy,»e k zachodzi (1.3.12). Je±li 0 < a < 1, (1.3.12) mo»na st d wywnioskowa nast puj co: ln(a b ) = ln(( 1 a )b ) = b ln( 1 ) = b ln a. a Z (1.3.12) wynika,»e dowoln liczb rzeczywist c mo»na zapisa w postaci c = ln(2 c ln 2 ), zatem funkcja ln przyjmuje jako warto±ci wszystkie liczby rzeczywiste. W szczególno±ci istnieje dokªadnie jedna liczba e, zwana liczb Eulera, taka,»e ln e = 1. (1.3.13) Šatwo stwierdzi,»e ln 2 < 1 i ln 3 > 1, zatem 2 < e < 3.

1.3. FUNKCJE ELEMENTARNE 17 Mamy P (1, 3 2 ) = P (2, 3) oraz P (1, 3 ) > 1 P (1, 2), zatem ln 3 = P (1, 2) + P (2, 3) = 2 P (1, 2) + P (1, 3 2 ) > 1. W rzeczywisto±ci liczba e 2, 71828... jest niewymierna. Zgodnie z (1.3.12), mamy ln(e x ) = x ln e = x, (1.3.14) a wi c funkcja wykªadnicza e x jest odwrotna do ln x. To oznacza,»e ln x = log e x, (1.3.15) a wi c funkcja ln x jest funkcj logarytmiczn o podstawie e. Funkcj ln x b dziemy nazywali logarytmem naturalnym. Z wªasno±ci (1.3.12) logarytmu naturalnego mo»na pokaza,»e lim ln x = +, lim x + ln x =. (1.3.16) x 0 + Dla n naturalnego z (1.3.12) otrzymujemy ln(2 n ) = n ln 2. Zatem aby ln x > M, dla zadanego M > 0, wystarczy wzi liczb naturaln n > M ln, a nast pnie x 2n. Z monotoniczno±ci logarytmu naturalnego, ln x ln(2 n ) = n ln 2 > M (bo ln 2 > 0), zatem pokazali±my,»e lim x + ln x = +. Z kolei lim ln x = lim ln( 1 x 0+ x + x ) = lim ln x + x 1 = lim ln x =. x + Wyprowadzimy teraz kilka wa»nych wniosków z wªasno±ci (1.3.11). Zacznijmy od nast puj cej formuªy Istotnie, lim x a ln x ln a x a ln x ln a lim x a x a = lim h 0 ln(a+h) ln a h Z (1.3.11) i (1.3.14) wynika te» bezpo±rednio,»e e h 1 lim h 0 h Istotnie, przyjmuj c h = ln(1 + x), mamy = 1 a. (1.3.17) = lim h 0 ln( a+h a ) h = lim h 0 ln(1+ h a ) h a 1 a = 1 a. e h 1 e ln(1+x) 1 x lim = lim = lim h 0 h x 0 ln(1 + x) x 0 ln(1 + x) = 1. = 1. (1.3.18)

18 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Funkcj wykªadnicz e x nazywa si te» eksponent i cz sto wygodnie jest posªugiwa si oznaczeniem Zgodnie z (1.3.12), w tych oznaczeniach, exp x = e x. (1.3.19) a x = exp(x ln a), a > 0. (1.3.20) Z (1.3.18) i (1.3.20) otrzymujemy dla a > 0, Poka»emy najpierw z (1.3.18),»e lim x a exp(x) exp(a) x a Mamy teraz a x a b lim x b x b = ab ln a. (1.3.21) = e a. Istotnie, e x e a lim x a x a = lim x a ea ex a 1 = e a e h 1 lim = e a. x a h 0 h a x a b exp(x ln a) exp(b ln a) lim = lim ln a = e b ln a ln a = a b ln a. x b x b x b x ln a b ln a Zako«czmy ten punkt bardzo u»yteczn formuª e a = Wyprowadzimy t formuª z (1.3.11) i (1.3.20): lim (1 + a x + x )x. (1.3.22) lim (1 + a x + x )x = lim exp ( x ln(1 + a ( x + x )) = lim exp a ln(1 + a x ) ) x + a = e a. x Dokªadniej, ostatnia równo± wynika z faktu,»e lim t a e t = e a, co jest prostym wnioskiem z (1.3.21). Przykªady. Znale¹ granice ( ) 1 5x + 4 x 1. lim x 0 3x + 4 2. lim x + ( (x + 1) 2 x 2 + 1 ) x ( 3. lim ) 2 2 x 1 x x 0

1.3. FUNKCJE ELEMENTARNE 19 1.3.4 Funkcja pot gowa x α dla dowolnego wykªadnika α Zdeniowanie eksponenty i logarytmu naturalnego pozwala wyrazi dowoln pot g o dodatniej podstawie rzeczywistej i rzeczywistym wykªadniku x α = exp(α ln x). (1.3.23) Rozwa»aj c funkcj wykªadnicz a x dla a > 0 rozpatrywali±my ustalon podstaw pot gi i zmienny wykªadnik. Post puj c odwrotnie, czyli ustalaj c wykªadnik α i traktuj c podstaw x > 0 jako zmienn otrzymujemy funkcj pot gow x α, x > 0. 1 Zgodnie z (1.3.12), otrzymujemy nast puj cy zwi zek funkcji pot gowej z eksponent i logarytmem naturalnym Funkcja pot gowa ro±nie do niesko«czono±ci wolniej ni» funkcja wykªadnicza, ale szybciej ni» logarytmiczna: oraz lim x + lim x + ln x = 0, dla α > 0, (1.3.24) xα a x = +, dla a > 1. (1.3.25) xα Zauwa»my najpierw,»e dla liczb naturalnych n 4, 2 n n 2, zatem je±li 2 n 1 x < 2 n, to ln x x ln(2n ) 2 n 1 = n ln 2 2 n 1 = n 2 n 2 ln 2 n n 2 2 ln 2 = 2 ln 2 n. Tak wi c, lim x + ln x x = 0. St d, lim x + ln x x α = lim x + 1 α ln(x α ) x α = 0. Poniewa» lim x + ln( ax x α ) = lim x + [x ln a α ln x] = lim x + x [ln a α ln x x ] = +, (bo ln a > 0), otrzymujemy lim x ax x α = +. Kolejn wa»n wªasno± funkcji pot gowej opisuje formuªa w szczególno±ci x α a α lim x a x a = α aα 1, (1.3.26) (1 + h) α 1 lim h 0 h = α. (1.3.27) Mamy bowiem, zgodnie z (1.3.23), (1.3.18) i (1.3.17), lim x a x α a α x a = = lim x a exp(α ln x) exp(α ln a) α ln x α ln a ln x ln a α = exp(α ln a) α 1 x a a = α aα 1. 1 Ponadto, jak zauwa»yli±my przy okre±leniu n a, je»eli n jest nieparzyste, funkcj x 1 n mo»na rozpatrywa na caªej prostej rzeczywistej.

20 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Przykªady. Znale¹ granice: 1. lim x + x 1 x ( 1 ) ln x 2. lim 1 + x x + (1 + 3. 7 1 + x lim x 0 2 ) 1 x ( ) 1 4. lim x + ln x x x + 1.4 Ci gªo± funkcji 1.4.1 Zbie»no± ci gów Denicja 1.4. (A) Ci g liczb a 1, a 2,... (krótszy zapis - (a n ) n=1) jest zbie»ny do liczby L, co zapisujemy a n L, lub lim n a n = L, je±li dla ka»dego ε > 0 istnieje N naturalne takie,»e a n L < ε dla n N. (B) Piszemy a n + (a n ), je±li wszystkie, poczynaj c od pewnego n, wyrazy ci gu a n s dodatnie (ujemne) i 1 a n 0. Uwaga 1.5. (A) Je±li lim x + f(x) = L, to dla a n = f(n), a n L. (B) Podobnie jak dla granic funkcji w niesko«czono±ci, je±li a n a, a b n b, to a n b n ab, a n + b n a + b, oraz, je±li b 0, n bn a b (zauwa»my,»e warunek b 0 zapewnia,»e b n 0 dla dostatecznie du»ych n). (C) Je±li a n L i L > A (a < A), to dla wszystkich, poza sko«czenie wieloma n, a n > A (a n < A). (D) Zauwa»my te»,»e a n L wtedy i tylko wtedy, gdy L a n 0. Z (1.3.22) otrzymujemy e a = lim n (1 + a n )n, e = lim n (1 + 1 n )n (1.4.1)

1.4. CI GŠO FUNKCJI 21 1.4.2 Szeregi liczbowe, szereg geometryczny Je±li (a n ) n=1jest ci giem liczb, mówimy,»e szereg a 1 + a 2 +... = n=1 a n jest zbie»ny do liczby A, co zapisujemy w postaci A = a n, n=1 je±li ci g sum cz ±ciowych (a 1 +... + a n ) n=1 jest zbie»ny do A, tzn. S n = a 0 +... + a n A. Mówimy te» wówczas,»e A jest sum szeregu n=0 a n. Uwaga 1.6. Je»eli szereg n=1 a n jest zbie»ny, to lim a n = 0. Jednak»e n szereg 1 n=1 jest rozbie»ny do niesko«czono±ci, pomimo,»e lim n n 1 = 0. n Istotnie, w przyj tych wy»ej oznaczeniach, a n = S n S n 1, zatem lim a n = lim S n n n lim S 1 n 1 = a n a n = 0. Rozbie»no± szeregu wyka»emy w cz ±ci 3.1. n n n=1 n=1 n=1 Szczególnym rodzajem ci gów s ci gi geometryczne, czyli takie ci gi, w których stosunek ka»dych dwóch kolejnych wyrazów a n+1 a n, nazywany ilorazem szeregu geometrycznego, jest staªy. W ci gu geometrycznym (a n ) n=1 o ilorazie q, to n-ty wyraz tego ci gu wyra»a si wzorem a n = a 1 q n 1. Je»eli (a n ) n=1 jest ci giem geometrycznym, ªatwo zbada zbie»no± i ewentualnie obliczy sum szeregu n=1 a n. Twierdzenie 1.7. Niech (a n ) n=1 b dzie ci giem geometrycznym o ilorazie q. Wówczas je»eli q < 1, to szereg n=1 a n jest zbie»ny i n=1 a n = a 1 1 q, je»eli za± q 1, to szereg n=1 a n jest rozbie»ny. Mamy bowiem S n = a 1 + a 2 +... + a n = a 1 + a 1 q +... + a 1 q n 1 = a 1 (1 + q +... + q n 1 ) = a 1 1 q n 1 q. Je»eli q < 1, to q n 1 q 0, zatem a n 1 1 q a 1 1 q. Je»eli za± q 1, ci g a 1 1 qn 1 q sko«czonej granicy. nie ma

22 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Przykªady. 1. Znajd¹ sum szeregu n=1 1 2 n. Przedstaw w postaci uªamka zwykªego: 2. 0, 99(9)..., 3. 0, 4545(45)..., 4. 0, 49090(90).... 1.4.3 Ci gªa kapitalizacja odsetek Granica (1.4.1) jest zwi zana z procesem naliczania odsetek z du» cz sto±ci. Niech r b dzie stop procentow. W przedziale czasu [0, t] nalicza si n- krotnie procent w równych odst pach czasu. Je±li mamy kapitaª pocz tkowy A, w kolejnych momentach t, 2 t,..., n t = t naliczania procentu, kapitaª n n n wynosi A(1 + rt n ), A(1 + rt n )(1 + rt n rt rt ),..., A(1 + )... (1 + n n ), a wi c ko«cowy kapitaª po czasie t wynosi a n = A(1 + rt n )n. Je±li n ro±nie nieograniczenie, kapitaª naliczany w czasie t d»y do granicy lim n a n = Ae rt. Granic Ae rt interpretuje si jako kapitaª zgromadzony w czasie t, przy oprocentowaniu naliczanym w sposób ci gªy, tzn. w procesie kapitalizacji ci gªej. Przykªady. 1. Jaka musi by stopa procentowa,»eby kapitaª ulegª potrojeniu w ci gu pi ciu lat? 2. Po jakim czasie kapitaª oprocentowany na 10% ulega podwojeniu?

1.4. CI GŠO FUNKCJI 23 1.4.4 Funkcje ci gªe Denicja 1.8. Funkcja f : A R okre±lona na zbiorze A liczb rzeczywistych jest ci gªa w punkcie a A, je±li dla ka»dego ci gu (a n ) n=1 elementów zbioru A, z warunku a n a wynika,»e f(a n ) f(a). Funkcja f : A R jest ci gªa, je±li jest ci gªa w ka»dym punkcie zbioru A. Uwaga 1.9. (A) Je±li w A jest zawarty pewien przedziaª (a δ, a + δ), to ci gªo± funkcji f : A R w punkcie a jest równowa»na warunkowi lim x a f(x) = f(a). (B) Je±li [a, a + δ) A ((a δ, a] A), to z ci gªo±ci f : A R w punkcie a wynika,»e lim x a + f(x) = f(a) (lim x a f(x) = f(a)). Wyja±nijmy równowa»no± warunków sformuªowanych w (A). Zaªó»my,»e f(a) nie jest granic funkcji f w punkcie a. Istnieje wówczas ε > 0 takie,»e w ka»dym przedziale (a 1 n, a + 1 n ) mo»na wskaza a n, dla którego f(a) f(a n ) ε. Mamy wówczas a n a, ale f(a n) f(a), a wi c funkcja f nie jest ci gªa w a. Zaªó»my teraz,»e lim x a f(x) = f(a) i niech a n a. Je±li ε > 0, istnieje liczba 0 < γ < δ taka,»e je±li x (a γ, a + γ), to f(a) f(x) < ε. Mo»na te» wskaza N takie,»e dla n N mamy a n a < γ. Wówczas, dla n N, f(a) f(a n ) < ε. To oznacza,»e f(a n ) f(a). Uwaga 1.10. Wielomiany, funkcje ln x, a x, x α, oraz funkcje trygonometryczne, s ci gªe na zbiorach, na których s okre±lone. W cz ±ci 2 ustalimy znacznie silniejsz wªasno± tych funkcji - ró»niczkowalno±, wynikaj c z formuª omawianych w 1.3. Uwaga 1.11. (A) Suma, iloczyn, oraz iloraz funkcji ci gªych jest funkcj ci gª na zbiorze, na którym jest okre±lona. (B) Zªo»enie funkcji ci gªych jest funkcj ci gª na zbiorze, na którym to zªo»enie jest okre±lone.

24 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI Istotnie, niech f : A B, g : B R, przy czym f jest ci gªa w a, g jest ci gªa w b = f(a); je±li a n a, to f(a n ) f(a) = b, a zatem g(f(a n )) g(f(a)), sk d wynika ci gªo± zªo»enia g f : A R w punkcie a. (C) Je±li funkcja f : A (0, + ) jest funkcj ci gª przyjmuj c warto±ci dodatnie, oraz funkcja g : A R jest ci gªa, to jest te» ci gªa funkcja h(x) = f(x) g(x) okre±lona na A, bo f(x) g(x) = exp(g(x) ln(f(x))), a wi c mo»emy skorzysta z (A), (B), oraz Uwagi 1.10. Przykªady. 1. Dobra a, b > 0 tak, aby funkcja f okre±lona wzorem 5 1+ax 1, dla x > 0 x f(x) = 2, dla x = 0 (1 + bx) 1 x, dla 1 < x < 0 b byªa ci gªa. 2. Dobra a, b > 0 tak, by funkcja f okre±lona wzorem a x 1, dla x < 0 x f(x) = 3, dla x = 0 ln(1+bx), dla x > 0 x byªa ci gªa. Twierdzenie 1.12 (Wªasno± Darboux funkcji ci gªej). Niech f : [a, b] R b dzie funkcj ci gª i niech γ le»y mi dzy f(a) i f(b). Istnieje wówczas c [a, b] takie,»e f(c) = γ. Dla uzasadnienia tego faktu, przyjmijmy na przykªad f(a) < γ < f(b). Niech A = {x [a, b] : f(x) < γ} oraz c = sup A. Poka»emy,»e f(c) = γ. Dla ka»dego n mo»na wybra a n A takie,»e c 1 < an c, sk d an c. Z ci gªo±ci n funkcji f, f(a n ) f(c). Poniewa» f(a n ) < γ, wi c f(c) γ. W szczególno±ci, c < b. Dla 1 n < b c, c + 1 n / A, sk d f(c + 1 n ) γ, a poniewa» c + 1 c, z ci gªo±ci f mamy n f(c + 1 ) f(c), sk d f(c) γ. Tak wi c, f(c) = γ. n Wniosek 1.13. Ka»dy wielomian stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty.

1.4. CI GŠO FUNKCJI 25 Istotnie, W (x) = a 0 + a 1 x + + a 2n x 2n + x 2n+1 = x 2n+1 a ( 0 x 2n+1 + a 1 x 2n + + a 2n x + 1), a wi c lim x + W (x) = +, lim x W (x) =. Zatem wielomian W przyjmuje zarówno warto±ci dodatnie, jak i ujemne, a poniewa» jest funkcj ci gª, na mocy wªasno±ci Darboux musi te» przyjmowa warto± zero. Twierdzenie 1.14 (Wªasno± Weierstrassa funkcji ci gªej). Niech f : [a, b] R b dzie funkcj ci gª na przedziale domkni tym. Istniej wówczas c, d [a, b] takie,»e f(c) f(x) f(d), dla x [a, b]. Uzasadnimy istnienie liczby c speªniaj cej warunek opisany w tym twierdzeniu. B dziemy mówi,»e f przyjmuje kres górny na przedziale [t, b], je±li funkcja f jest nieograniczona na [t, b], lub te» sup{f(x) : x [t, b]} = sup{f(x) : x [a, b]}. Niech c = sup{t : f przyjmuje kres górny na [t, b]}. (1.4.2) Poka»emy,»e f(c) f(x) dla x [a, b]. (1.4.3) Zaªó»my przeciwnie,»e dla pewnego s [a, b], f(c) < f(s). Z ci gªo±ci f w punkcie c, istnieje wówczas δ > 0 takie,»e dla r = f(s) f(c) je±li x [a, b] i x c < δ, to f(x) < f(s) r 2, (1.4.4) zob. Uwaga 1.9. Z (1.4.2), istnieje t c takie,»e t c δ, oraz f przyjmuje kres górny na [t, b]. St d i z (1.4.4) wynika,»e f przyjmuje kres górny na [c + δ, b], co prowadzi do sprzeczno±ci z (1.4.2), ko«cz c uzasadnienie formuªy (1.4.3).

26 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CI GŠO FUNKCJI

Rozdziaª 2 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna funkcji 2.1.1 Denicja pochodnej i styczna do wykresu funkcji w danym punkcie Denicja 2.1. Funkcja f : I R okre±lona na przedziale otwartym I jest ró»niczkowalna w punkcie a I, je±li istnieje i jest sko«czona granica f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h f(x) f(a) = lim. (2.1.1) x a x a Liczb f (a) nazywamy pochodn f w punkcie a. Je±li f jest ró»niczkowalna w a, to styczn do wykresu funkcji f w punkcie (a, f(a)) okre±la si równaniem y = f(a) + f (a)(x a) (2.1.2) albo równowa»nie - równaniem y f(a) = f (a). Tak wi c f (a) jest nachyleniem stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (a, x a f(a)). Uwaga 2.2. Je±li funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie a, to jest te» ci gªa w tym punkcie, bo z (2.1.1) wynika,»e lim x a f(x) = f(a). Jednak»e, na przykªad funkcja ci gªa f(x) = x nie jest ró»niczkowalna w zerze. 27

28 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 2.1.2 Pochodna funkcji Denicja 2.3. Niech f : I R b dzie funkcj ró»niczkowaln w ka»dym punkcie przedziaªu otwartego I. Wówczas okre±lona jest funkcja f : I R, f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h któr nazywamy pochodn funkcji f na przedziale I. f(y) f(x) = lim, (2.1.3) y x y x Ustalone przez nas wªasno±ci logarytmu, funkcji wykªadniczych i pot gowych pozwalaj wskaza pochodne tych funkcji: (ln x) = 1 x (2.1.4) (a x ) = a x ln a, (e x ) = e x, (2.1.5) (x α ) = α x α 1. (2.1.6) Zgodnie z denicj (2.1.3), formuªa (2.1.4) jest innym zapisem (1.3.17), a (2.1.5) i (2.1.6) s przeformuªowaniami wzorów (1.3.21) i (1.3.26), odpowiednio. 2.1.3 Reguªy ró»niczkowania Wyznaczanie pochodnej funkcji nazywa si ró»niczkowaniem. Je±li pewn funkcj otrzymuje si z funkcji elementarnych przez kolejne stosowanie operacji algebraicznych i operacji zªo»enia, to przy ró»niczkowaniu tej funkcji korzysta si zwykle z formuª podanych w 2.1.2 i nast puj cych reguª ró»niczkowania zªo»enia, sumy, iloczynu i ilorazu funkcji (gdzie zakªadamy istnienie pochodnych rozwa»anych funkcji w odpowiednich punktach): (g f) (a) = g (f(a)) f (a), (2.1.7) (f + g) (a) = f (a) + g (a), (f g) (a) = f (a) g (a), (2.1.8) (f g) (a) = f (a) g(a) + f(a) g (a), (2.1.9)

2.1. POCHODNA FUNKCJI 29 ( ) f (a) = f (a) g(a) f(a) g (a). (2.1.10) g g 2 (a) Szczególnym przypadkiem (2.1.9) jest gdzie c jest staª, bo (c) = 0, zob. 2.1.3. (cf) (a) = c f (a), (2.1.11) Dla uzasadnienia reguªy ró»niczkowania funkcji zªo»onej (2.1.7), zauwa»my,»e (g f)(a + h) (g f)(a) h = (g f)(a + h) (g f)(a) f(a + h) f(a) f(a + h) f(a). h Przyjmuj c u = f(a+h) f(a), mamy (g f)(a+h) g(f(a)) f(a+h) f(a) lim h 0 f(a + h) f(a) = 0, = g(f(a)+u) g(f(a)) u i poniewa» lim h 0 (g f)(a + h) g(f(a)) f(a + h) f(a) = lim u 0 g(f(a) + u) g(f(a)) u = g (f(a)). Mamy te» lim h 0 f(a+h) f(a) h = f (a), wi c lim h 0 (g f)(a+h) (g f)(a) h = g (f(a)) f (a). Sprawdzimy reguª (2.1.9) ró»niczkowania iloczynu funkcji (uzasadnienie reguªy (2.1.8) jest podobne, ale prostsze). Mamy (f g) (a) = lim h 0 f(a + h) g(a + h) f(a) g(a) h = = lim h 0 [( a poniewa» lim h 0 h g (a), otrzymujemy (2.1.9). f(a + h) f(a) g(a + h) g(a) ) g(a + h) + ( ) f(a)], h h f(a+h) f(a) = f (a), lim h 0 g(a+h) = g(a), i lim h 0 g(a+h) g(a) h = Formuª (2.1.10) mo»na teraz uzasadni nast puj co: zauwa»my najpierw,»e ( 1 g ) (a) = 1 lim h 0 h ( 1 g(a+h) 1 g(a) ) = lim h 0 ( g(a+h) g(a) 1 ) h g(a+h) g(a) = g (a), sk d zgodnie z reguª ró»niczkowania iloczynu (2.1.9), ( f g ) (a) = f 1 g 2 (a) (a) g(a) + f(a) ( 1 g ) (a) = f 1 (a) g(a) f(a) g (a), co po sprowadzeniu do wspólnego mianownika daje reguª ró»- g 2 (a) niczkowania ilorazu. Przykªady. Znale¹ pochodne funkcji. 1. x2 5x + 6 x 2 + x + 7 2. x 3 3 x 2 + x 7 3 x 3. e x x 4. x 2 + 3 x 2

30 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 5. (2x 2 + 3x) 4 6. (ln x) 5 7. 3 1 + x 3 1 x 3 8. (3 2 ln(1 + 5x)) 5 9. e 3x2 ln(x 3 + 1) 10. 3 ln(x 2 + e 2x ) 11. 2 1+x 2 12. e 3x ln(1 + 3 x ) 13. x + x + x 14. x 2x 15. (1 + 1 x )x 16. ( 1 + 1 3 x ) 1 x. 17. Znale¹ styczn do wykresu funkcji x 2 ln x w punkcie (e, e2 ), 2.1.4 Pochodna funkcji odwrotnej Niech f : I R b dzie funkcj ci gª, rosn c lub malej c, maj c w punkcie a I pochodn f (a) 0. Wówczas pochodna funkcji f 1 odwrotnej do f jest opisana wzorem (f 1 ) (b) = 1, dla b = f(a). (2.1.12) f (a) Powy»sza formuªa staje si jasna, je±li pochodn interpretuje si jako nachylenie stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie, zob. równanie (2.1.2). Przykªady. 1. Znajd¹ pochodn funkcji odwrotnej do funkcji f(x) = x+e 2x w punkcie 1. 2. Napisz równanie prostej stycznej w punkcie (e, e 1) do wykresu funkcji odwrotnej do funkcji okre±lonej dla x > 0 wzorem f(x) = (x + 1) ln(x + 1). 3. Znajd¹ równanie prostej stycznej w punkcie (4, 1) do wykresu funkcji odwrotnej do funkcji f(x) = x + 3 x.

2.1. POCHODNA FUNKCJI 31 2.1.5 Ró»niczkowanie funkcji trygonometrycznych Je±li funkcja f(t) opisuje ruch punktu po prostej, pochodna f (t) jest pr dko- ±ci w tym ruchu w chwili t. Podobnie, je±li para funkcji (f(t), g(t)) opisuje ruch punktu na pªaszczy¹nie, wektorem pr dko±ci chwilowej w tym ruchu w chwili t jest [f (t), g (t)]. Para (cos t, sin t) funkcji cosinus i sinus opisuje ruch punktu po okr gu jednostkowym, ze staª szybko±ci równ 1 (tzn. w czasie t punkt przemieszcza si po ªuku okr gu o dªugo±ci t), w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Rysunek 2.1: Wektor pr dko±ci styczny do trajektorii ruchu Poniewa» wektor pr dko±ci [cos t, sin t] w tym ruchu jest w ka»dej chwili t prostopadªy do wektora wodz cego punktu [cos t, sin t], wskazuje kierunek ruchu i ma dªugo± 1, w ka»dej chwili t mamy [cos t, sin t] = [ sin t, cos t], a wi c cos t = sin t, sin t = cos t. (2.1.13) Poniewa» punkt porusza si z szybko±ci równ 1, liczba dodatnia t jest wi c dªugo±ci drogi na okr gu, jak przebyª ten punkt do chwili t, w szczególno±ci, poniewa» 2π jest dªugo±ci okr gu jednostkowego,

32 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ cos(t + 2π) = cos t, sin(t + 2π) = sin t. (2.1.14) Ponadto cos t = cos( t), sin( t) = sin t, (2.1.15) oraz (przypomnijmy,»e punkt (cos t, sin t) le»y na okr gu jednostkowym) cos 2 t + sin 2 t = 1. (2.1.16) Dla funkcji arcsin : ( 1, 1) ( π, π ) odwrotnej do obci cia funkcji sinus 2 2 do przedziaªu ( π, π ) oraz funkcji arccos : ( 1, 1) (0, π) - odwrotnej do 2 2 obci cia funkcji cosinus do przedziaªu (0, π), (arcsin x) = 1 1 x 2, (arccos 1 x) =. (2.1.17) 1 x 2 Mamy bowiem (arcsin x) = 1, gdzie x = sin y, a wi c (arcsin x) = 1 (sin y) cos y i cos y = 1 sin 2 y = 1 x 2. Ró»niczkuj c funkcj tan x = sin x, zgodnie z reguª (2.1.10), mamy cos x tan x = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x. (2.1.18) Funkcja arctan : R ( π, π ) - odwrotna do funkcji tangens rozpatrywanej 2 2 na przedziale ( π, π ), ma pochodn 2 2 (arctan x) = 1 1 + x 2. (2.1.19) Istotnie, (arctan x) = 1, gdzie x = tan y. Zatem (arctan x) = cos 2 y, (tan y) x = tan y, a poniewa» 1+tan 2 y = 1, cos 2 y cos2 y = 1, otrzymujemy (2.1.19). 1+x Przykªady. 2 Znale¹ pochodne funkcji 1. cos 3 x sin(3 x ) 2. 2 tan( 1 x ) 3. (cos x) sin x 4. ln(1 + (arcsin x) 2 ) 5. 3 3 arctan( x).

2.2. POCHODNE A MONOTONICZNO I WYPUKŠO FUNKCJI 33 2.2 Zasada Fermata, twierdzenie o warto±ci ±redniej, przedziaªy monotoniczno±ci funkcji, wypukªo± i wkl sªo± funkcji 2.2.1 Zasada Fermata Denicja 2.4. Niech f : I R. Mówimy,»e f ma w punkcie a I maksimum (minimum) lokalne, je±li istnieje δ > 0 takie,»e dla ka»dego x I, je±li a x < δ, to f(x) f(a) (f(x) f(a)). Punkty w których funkcja ma maksimum lub minimum lokalne nazywamy punktami ekstremum lokalnego tej funkcji. Twierdzenie 2.5 (Zasada Fermata). Je±li funkcja f : I R, ró»niczkowalna w punkcie a, ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to f (a) = 0. Istotnie, je±li dla pewnego δ > 0, f(x) f(a), dla x (a δ, a+δ) I, to lim f(a+h) f(a) h 0 + h 0, lim f(a+h) f(a) h 0 0, a poniewa» obie granice s równe pochodnej f w punkcie a, h mamy f (a) = 0. Punktami krytycznymi funkcji ci gªej f : I R okre±lonej na przedziale I nazywamy punkty a, w które speªniaj jeden z nast puj cych warunków: pochodna f nie jest okre±lona w punkcie a (w szczególno±ci tak jest je±li a jest ko«cem przedziaªu I) lub te» f (a) = 0. Zgodnie z zasad Fermata, funkcja mo»e mie ekstremum lokalne tylko w punkcie krytycznym. Odnotujmy jednak,»e zero jest punktem krytycznym funkcji f(x) = x 3, ale f jest funkcj ±ci±le rosn c, wi c nie ma ekstremów lokalnych. Uwaga 2.6. Zgodnie z Twierdzeniem 1.14, funkcja ci gªa okre±lona na przedziale domkni tym [a, b] osi ga zawsze warto± maksymaln i minimaln - warto±ci te musz by przyj te w punktach krytycznych tego przedziaªu. Punkty a, b s punktami krytycznymi z denicji, je»eli za± warto± najwi ksza (najmniejsza) przyjmowana jest w punkcie c (a, b), to w szczególno±ci f ma w tym punkcie maksimum (minimum) lokalne. Zgodnie z Zasad Fermata, je»eli f ma w punkcie c okre±lon pochodn, to f (c) = 0.

34 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ W przypadku, gdy funkcja f : (a, b) R okre±lona jest na przedziale otwartym (a, b) (równie» gdy a = lub b = + ), f mo»e nie przyjmowa najwi kszej i najmniejszej warto±ci nawet, je»eli jest na tym przedziale ograniczona. Uwaga 2.7. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj ci gª okre±lon na przedziale otwartym (a, b), gdzie a < b +, tak,»e istniej granice lim f(x) = A, lim x a + f(x) = B. x b Wówczas je»eli przynajmniej jedna z granic A, B jest wi ksza (mniejsza) od f(c), dla wszystkich punktów krytycznych c z przedziaªu (a, b), to f nie przyjmuje w przedziale (a, b) warto±ci najwi kszej (najmniejszej). W przeciwnym przypadku, f przyjmuje warto± najwi ksz (najmniejsz ) w jednym z punktów krytycznych z przedziaªu (a, b). Uzasadnimy Uwag 2.7 w przypadku gdy < a < b < + oraz < A, B < +. Rozwa»my funkcj h : [a, b] R okre±lon wzorem h(x) = A, dla x = a, f(x), dla a < x < b, B, dla x = b. Wówczas h jest ci gªa na [a, b], przyjmuje zatem na [a, b] warto± najwi ksz i najmniejsz, a jej punktami krytycznymi s punkty a, b oraz punkty krytyczne funkcji f nale» ce do przedziaªu (a, b). Dla ustalenia uwagi rozwa»my zagadnienie istnienia warto±ci najwi kszej i przyjmijmy wpierw,»e liczba A jest wi ksza od warto±ci f we wszystkich punktach krytycznych z (a, b). Wtedy f nie mo»e przyjmowa warto±ci najwi kszej w (a, b) - gdyby przyjmowaªa tak warto± w punkcie c z (a, b), to c byªby punktem krytycznym funkcji f. Poniewa» jednak A > f(c), to dla x (a, b) odpowiednio bliskich a, mamy f(x) > f(c). Je»eli za± dla pewnego punktu krytycznego funkcji f mamy f(c) A i f(c) B, to warto± najwi ksza funkcji h na przedziale [a, b] przyjmowana jest w pewnym punkcie krytycznym z przedziaªu (a, b). Tym samym, warto± najwi ksza funkcji f przyjmowana jest w (a, b). Przykªady. 1. Znale¹ najmniejsz i najwi ksz warto± funkcji f(x) = xx na przedziale e x [ 1, e]. 2 2. Silos do przechowywania ziarna ma mie ksztaªt walca przykrytego kopuª. Cz ± walcowa ma pomie±ci 10 4 m 3 zbo»a. Koszt wykonania jednego

2.2. POCHODNE A MONOTONICZNO I WYPUKŠO FUNKCJI 35 metra kwadratowego kopuªy jest dwukrotnie wi kszy od kosztu wykonania jednego metra kwadratowego cz ±ci walcowej. Znale¹ promie«podstawy walca, który zapewni minimalny koszt budowy silosa. 3. Czªowiek chce dosta si z wyspy poªo»onej 5 km od najbli»szego punktu na wybrze»u do domu odlegªego o 6 km od tego punktu, wzdªu» wybrze»a. Czªowiek porusza si ªódk z pr dko±ci 2 km/godz i chodzi z pr dko±ci 4 km/godz. Do jakiego punktu wybrze»a ma dopªyn, aby zminimalizowa czas podró»y? 2.2.2 Twierdzenie o warto±ci ±redniej Przy wykorzystaniu rachunku ró»niczkowego do badania zmienno±ci funkcji i ksztaªtu jej wykresu, podstawow rol gra nast puj ce twierdzenie o warto±ci ±redniej i wynikaj ce z niego wnioski. Twierdzenie 2.8. Niech f, g : [a, b] R b d funkcjami ci gªymi i ró»niczkowalnymi na przedziale (a, b). Istnieje wówczas ξ (a, b) takie,»e ( f(b) f(a) ) g (ξ) = ( g(b) g(a) ) f (ξ). Dla uzasadnienia rozwa»my funkcj h(x) = ( f(b) f(a) ) g(x) ( g(b) g(a) ) f(x) na [a, b]. Wówczas h(a) = f(b)g(a) g(b)f(a) = h(b). Z twierdzenia Weierstrassa (Twierdzenie 1.14) istnieje wi c punkt ξ (a, b), w którym h przyjmuje warto± najwi ksz lub najmniejsz na [a, b]. Z Zasady Fermata (Twierdzenie 2.5), h (ξ) = 0, sk d ( f(b) f(a) ) g (ξ) ( g(b) g(a) ) f (ξ) = 0, a wi c ξ ma» dan wªasno±. Wniosek 2.9 (Twierdzenie Lagrange'a o warto±ci ±redniej). Niech f : [a, b] R b dzie funkcj ci gª, ró»niczkowaln na (a, b). Istnieje wówczas c (a, b) takie,»e f (c) = Wystarczy przyj g(x) = x w Twierdzeniu 2.8. f(b) f(a). b a

36 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Rysunek 2.2: Twierdzenie Lagrange'a: sieczna jest równolegªa do stycznej w punkcie po±rednim 2.2.3 Monotoniczno± funkcji Wniosek 2.10. Je±li f jest funkcj ró»niczkowaln na przedziale (a, b) i f (x) > 0 (odpowiednio, f (x) < 0) dla x (a, b) to f ro±nie (maleje) na (a, b), tzn. f(x) < f(y) (f(x) > f(y)) dla a < x < y < b. Z twierdzenia Lagrange'a o warto±ci ±redniej, f(y) f(x) y x = f (ξ), gdzie ξ le»y mi dzy x i y. Je±li wi c pochodna f jest dodatnia na (a, b), to f(y) f(x) > 0, dla a < x < y < b. Uwaga 2.11. Je±li f 0 (f 0) na przedziale (a, b), to f jest niemalej ca (nierosn ca) na (a, b). Istotnie, je±li f 0, to dla dowolnego ustalonego n, (f(x)+ x n ) = f (x)+ 1 > 0, zatem z Wniosku 2.10, f(x) + x < f(y) + y, dla a < x < y < b. n n n Poniewa» n byªo dowolne, wynika st d,»e f(x) f(y), dla a < x < y < b.

2.2. POCHODNE A MONOTONICZNO I WYPUKŠO FUNKCJI 37 Uwaga 2.12. Odnotujemy nast puj ce wa»ne nierówno±ci, dla x > 0, (1 + 1 x )x < e < (1 + 1 x )x+1, (2.2.1) przy czym funkcja po lewej stronie nierówno±ci jest rosn ca, a funkcja po prawej stronie - malej ca. W szczególno±ci, podstawiaj c w (2.2.1) x = 1000, otrzymujemy 2, 717 < e < 2, 719. Niech f(x) = (1 + 1 x )x, g(x) = (1 + 1 x )x+1. Wówczas f (x) = (1 + 1 x )x [ln(1 + 1 x ) 1 1+x ] = ], g (x) = (1+ 1 x )x [ln(1+ 1 x ) 1 ]. Jak wyja±nili±my w uzasadnieniu x (1+ 1 x )x [ln(1+ 1 x ) x 1 1+ x 1 wªasno±ci logarytmu naturalnego (1.3.11), dla h > 0 g (x) < 0, a wi c f ro±nie, a g maleje. h 1+h < ln(1 + h) < h, sk d f (x) > 0, 2.2.4 Wypukªo± i wkl sªo± funkcji Denicja 2.13. Funkcja f : I R okre±lona na przedziale I jest wypukªa (wkl sªa), je±li dla»adnej trójki punktów a c b z przedziaªu I punkt (c, f(c)) nie le»y powy»ej (poni»ej) odcinka ª cz cego punkty (a, f(a)) i (b, f(b)) na wykresie funkcji. Zbiór W na pªaszczy¹nie jest wypukªy, je±li dla dowolnej pary punktów z W, odcinek ª cz cy te punkty jest zawarty w W. Wypukªo± funkcji f : I R oznacza,»e zbiór punktów {(x, y) : x I i y f(x)} nie le» cych poni»ej wykresu f jest wypukªy, a wkl sªo± funkcji f : I R odpowiada wypukªo±ci zbioru punktów {(x, y) : x I i y f(x)} nie le» cych powy»ej wykresu f. Nie ma bezpo±redniego zwi zku pomi dzy monotoniczno±ci, a wypukªo- ±ci funkcji. Funkcja wypukªa lub wkl sªa mo»e by zarówno rosn ca, jak i malej ca. Uwaga 2.14. Niech f : I R b dzie funkcj okre±lon na przedziale I. Dla x, y I, f(y) f(x) N(x, y) = y x jest nachyleniem prostej przechodz cej przez punkty (x, f(x)) i (y, f(y)) na wykresie funkcji f. Wypukªo± f oznacza,»e dla ka»dego przedziaªu [a, b] I, N(a, x) N(a, b), dla x [a, b], (2.2.2)

38 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Rysunek 2.3: Wkl sªo± i wypukªo± a wkl sªo±ci f odpowiada przeciwna nierówno±. Proste argumenty geometryczne pokazuj,»e nierówno± (2.2.2) jest równowa»na nierówno±ci N(a, b) N(x, b), dla x [a, b]. (2.2.3) Twierdzenie 2.15. Funkcja ró»niczkowalna f : I R na przedziale I jest wypukªa (wkl sªa) wtedy i tylko wtedy, gdy pochodna f jest niemalej ca (nierosn ca). Zaªó»my,»e funkcja f jest wypukªa i niech [a, b] I. Zgodnie z (2.2.2), f (a) = lim x a + N(a, x) N(a, b). Poniewa» zachodzi tak»e (2.2.3), f (b) = lim x b N(x, b) N(a, b). Zatem f (a) f (b). Na odwrót, zaªó»my,»e funkcja f jest niemalej ca i niech [a, b] I. Z Wniosku 2.9, N(a, b) = f (ξ), dla pewnego ξ (a, b). Je±li x (a, ξ), odwoªuj c si ponownie do twierdzenia o warto±ci ±redniej, mamy N(a, x) = f (η), dla pewnego η (a, x), a poniewa» f (η) f (ξ), dostajemy (2.2.2). Je±li x (ξ, b), to podobnie, N(x, b) = f (λ), dla pewnego λ (x, b), f (ξ) f (λ), zatem mamy (2.2.3), a wi c tak»e (2.2.2). Mówimy,»e funkcja f : (a, b) R jest dwukrotnie ró»niczkowalna na (a, b), jesli jej pochodna f istnieje w ka»dym punkcie x (a, b) oraz f :

2.2. POCHODNE A MONOTONICZNO I WYPUKŠO FUNKCJI 39 (a, b) R jest funkcj ró»niczkowaln na (a, b). Funkcj f = (f ) nazywamy drug pochodn funkcji f. Wniosek 2.16. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj dwukrotnie ró»niczkowaln. Wówczas f jest funkcj wypukª (wkl sª ) wtedy i tylko wtedy, gdy f 0 (f 0). Zgodnie z Wnioskiem 2.10, warunek f = (f ) 0 oznacza bowiem,»e pochodna jest funkcj niemalej c. Przykªady. Znale¹ przedziaªy, w których funkcja f jest rosn ca lub malej ca, wkl sªa lub wypukªa i naszkicowa wykres funkcji f. 1. f(x) = ln 3 x, gdzie x > 0 2. f(x) = (x + 1)e 3x x 3. f(x) = (x 4)e 2 x Uwaga 2.17. (A) Niech f : I R b dzie wypukª (wkl sª ) funkcj ró»- niczkowaln na przedziale I. Dla ka»dego punktu (x, f(x)), x I,»aden punkt z wykresu funkcji f nie le»y poni»ej (powy»ej) stycznej do wykresu f w punkcie (x, f(x)). Ta wªasno± charakteryzuje wypukªo± lub wkl sªo± funkcji ró»niczkowalnych. (B) Niech f : I R b dzie funkcj wypukª na przedziale I i [a, b] I. Je±li λ, µ 0, λ + µ = 1, to ±rednia wa»ona λa + µb punktów a, b z wagami λ, µ nale»y do [a, b], oraz punkt (λa + µb, λf(a) + µf(b)) le»y na odcinku ª cz cym punkty (a, f(a)) i (b, f(b)). Mamy wi c nierówno± f(λa + µa) λf(a) + µf(b), λ, µ 0, λ + µ = 1. (2.2.4) Jest to nierówno± Jensena, charakteryzuj ca funkcje wypukªe. Analogiczna formuªa, ze zmienionym kierunkiem nierówno±ci, charakteryzuje funkcje wkl sªe. (C) cisªa wypukªo± funkcji f : I R oznacza,»e w okre±leniu wypukªo±ci (wkl sªo±ci), zob. Denicja 2.13, wªasno± nie le»y poni»ej zast puje si wªasno±ci le»y powy»ej, je±li tylko c (a, b). cisªa wypukªo± odpowiada nierówno±ci f > 0 i ostrej nierówno±ci w (2.2.4), je±li tylko λ, µ > 0. Analogicznie jest dla poj cia ±cisªej wkl sªo±ci.

40 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 2.2.5 Wzór Taylora Je±li f : (a, b) R i operacj ró»niczkowania funkcji f mo»na wykonywa (n + 1)-krotnie, to kolejne pochodne oznaczamy nast puj co: f = (f ), f = (f ),..., f (n+1) = (f (n) ). Funkcj f (n) nazywamy n-t pochodn, lub pochodn rz du n funkcji f. Nast puj ce twierdzenie pozwala w wielu wa»nych sytuacjach przybli»a z du» dokªadno±ci funkcj (n + 1)-krotnie ró»niczkowaln w pewnym otoczeniu zera wielomianem stopnia n. Twierdzenie 2.18. Niech f : ( α, α) R ma w przedziale ( α, α) pochodne f, f,..., f (n), f (n+1) rz du 1, 2,..., n, n + 1. Wówczas, dla ka»dego x ( α, α) istnieje ξ le» ce mi dzy 0 i x takie,»e f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2 (formuª (2.2.5) nazywa si wzorem Taylora). x 2 +... + f (n) (0) x n + f (n+1) (ξ) n! (n + 1)! xn+1 (2.2.5) Dla n = 0, wzór Taylora f(a) = f(0) + f (ξ)a wynika natychmiast z twierdzenia Lagrange'a o warto±ci ±redniej, zob. Wniosek 2.9. Uzasadnimy wzór Taylora dla n = 1, tzn. poka»emy,»e dla dowolnego a ( α, α) istnieje ξ le» ce mi dzy 0 i a takie,»e f(a) = f(0) + f (0) a + f (ξ) a 2. (2.2.6) 2 Rozpatrzmy w tym celu wielomian g(x) = A + Bx + Cx 2 speªniaj cy warunki g(0) = f(0), g (0) = f (0), g(a) = f(a), który okre±la si przyjmuj c A = f(0), B = f (0), C = f(a) f(0) f (0)a a 2. Z twierdzenia o warto±ci ±redniej, zob. Wniosek 2.9, dla pewnego b le» cego mi dzy 0 i a mamy f (b) = g (b). Poniewa» f (0) = g (0), stosuj c do pochodnych f, g ponownie twierdzenie o warto±ci ±redniej, otrzymujemy ξ le» ce mi dzy 0 i b (a wi c tak»e mi dzy 0 i a), dla którego f (ξ) = g (ξ). Zatem sk d co jest innym zapisem (2.2.6). f (ξ) = 2C = 2 f(a) f(0) f (0)a a 2, f (ξ) a 2 = f(a) f(0) f (0)a, 2 Wzór Taylora dla dowolnego n uzasadnia si podobnie, rozpatruj c wielomian g(x) stopnia n + 1 taki,»e g(0) = f(0), g (0) = f (0),..., g (n) (0) = f (n) (0), oraz g(a) = f(a),

2.2. POCHODNE A MONOTONICZNO I WYPUKŠO FUNKCJI 41 tzn. wielomian g(x) = T n(x) + Cx n+1, gdzie T n(x) = f(0) + f (0)x +... + f (n) (0) 2 3 n xn i C = f(a) T n(a) a n+1. Stosuj c twierdzenie o warto±ci ±redniej (n+1)-krotnie, dostajemy kolejno ξ 1, ξ 2,..., ξ n+1, gdzie ξ 1 le»y miedzy 0 i a, oraz ξ i+1 le»y mi dzy 0 i ξ i, takie,»e f (ξ 1 ) = g (ξ 1 ), f (ξ 2 ) = g (ξ 2 ),..., f (n+1) (ξ n+1 ) = g (n+1) (ξ n+1 ). Poniewa» g (n+1) (x) = (n + 1) n 2 C, przyjmuj c ξ = ξ n+1 mamy f (n+1) (ξ) 2 3 (n+1) an+1 = f(a) T n (a), czyli wzór Taylora. 2.2.6 Reguªa de l'hospitala Z twierdzenia o warto±ci ±redniej wynika te» nast puj ca Reguªa de l'hospitala, b d ca u»ytecznym narz dziem do znajdowania granic funkcji. Wniosek 2.19 (Reguªa de l'hospitala). Niech f, g : (a, b) R b d funkcjami ró»niczkowalnymi takimi,»e lim f(x) = 0 = lim g(x), x a + x a + g nie zeruje si na (a, b) i istnieje (sko«czona lub niesko«czona) granica Wówczas istnieje te» granica f (x) lim x a + g (x). f(x) lim x a + g(x) = lim f (x) x a + g (x). oraz dla przedziaªów nie- Podobnie jest dla granic lewostronnych lim x b sko«czonych, gdzie a = lub b = +. Dla uzasadnienia w przypadku, gdy a jest liczb, przedªu»amy f i g do funkcji ci gªych na [a, b) przyjmuj c f(a) = 0 = g(a). Zgodnie z twierdzeniem o warto±ci ±redniej, dla ka»dego x (a, b) istnieje ξ x (a, x) takie,»e Poniewa» f(x) f(x) f(a) = g(x) g(x) g(a) = f (ξ x) g (ξ. x) f (ξ x ) lim x a + g (ξ x ) = lim f(x) x a + g(x), otrzymujemy tez Reguªy de l'hospitala w rozpatrywanym przypadku.

42 ROZDZIAŠ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Przykªady. Znale¹ granice. 1 + x cos x 1 + 2x 1. lim x 0 ln(1 + x) x e 2. x 1 + 2x lim x 0 ln(cos x) 3. lim x 0 e x sin x x x 2 x 3 ( 1 5. lim x 0 sin x 1 ) x 3x 4. 3 2x 2 + x 2 lim x 1 5x 3 + x 6 ) ( 1 6. lim x 0 sin 2 x 1 x 2

Rozdziaª 3 Rachunek caªkowy 3.1 Denicja i podstawowe wªasno±ci caªki Rysunek 3.1: Obszar ograniczony funkcj schodkow Funkcj schodkow u : [a, b] R nazywamy funkcj, dla której istnieje podziaª przedziaªu [a, b] punktami a = a 0 < a 1 <... < a n = b na przedziaªy [a i 1, a i ] wewn trz których funkcja u jest staªa. Caªk funkcji schodkowej u okre±lamy formuª 43

44 ROZDZIAŠ 3. RACHUNEK CAŠKOWY b a u(x)dx = n i=1 u( a i 1 + a i ) x i, gdzie x i = a i a i 1. (3.1.1) 2 Caªka funkcji schodkowej u jest miar zorientowanego obszaru ograniczonego wykresem funkcji u i osi x, przy czym pole cz ±ci wykresu nad osi x liczy si ze znakiem plus, a pole cz ±ci wykresu pod osi x liczy si ze znakiem minus. B dziemy mówi,»e funkcja f : [a, b] R ma co najwy»ej sko«czenie wiele punktów nieci gªo±ci, je±li istniej punkty a 0 = a < a 1 <... < a n = b takie,»e funkcja f jest ci gªa na ka»dym przedziale (a i 1, a i ), i = 1,..., n. Je±li funkcja ograniczona f : [a, b] R ma jedynie sko«czenie wiele punktów nieci gªo±ci, mo»na j przybli»a funkcjami schodkowymi z doªu i z góry tak, aby pole obszaru zawartego mi dzy nimi byªo dowolnie maªe. Dokªadnie wyja±nimy to w nast puj cym twierdzeniu, na którym oprzemy poj cie caªki. Rysunek 3.2: Funkcje schodkowe u, v poni»ej i powy»ej f - zakreskowane pole obszaru ograniczonego przez u i v