Przeksztaªcenia liniowe

Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y ), w = (x 2, y 2 ) R 2 Obliczmy T (v + w) = T ((x, y ) + (x 2, y 2 )) = T (x + x 2, y + y 2 ) = = (x + x 2 + (y + y 2 ), x + x 2 6 (y + y 2 )) = = ((x + y ) + (x 2 + y 2 ), (x 6y ) + (x 2 6y 2 )) = = (x + y, x 6y ) + (x 2 + y 2, x 2 6y 2 )) = = T (x, y ) + T (x 2, y 2 ) = = T (v) + T (w) Zatem T (v + w) = T (v)+t (w), a wi c T jest przeksztaªceniem addytywnym Sprawdzimy teraz jednorodno± przeksztaªcenia T Niech a R Obliczmy T (av) = T (a (x, y )) = T (ax, ay ) = (ax + ay, ax 6ay ) = = a (x + y, x 6y ) = a T (x, y ) = a T (v) Zatem T (av) = a T (v), co oznacza,»e T jest przeksztaªceniem jednorodnym Skoro T jest przeksztaªceniem addytywnym i jednorodnym, to jest przeksztaªceniem liniowym 2 Wyznaczy baz j dra i baz obrazu przeksztaªcenia liniowego T : R R 3 danego wzorem T (x, y, z, t) = (x + 2y + z + t, x + y 2z 2t, 0) Poda wymiary j dra i obrazu tego przeksztaªcenia Wyznaczymy najpierw baz j dra przeksztaªcenia T Z denicji j dra wynika,»e nale» do niego te wektory przestrzeni R, których wspóªrz dne speªniaj ukªad równa«x + 2y + z + t = 0, x + y 2z 2t = 0

Przyjmuj c y = α, t = β, otrzymujemy x = 5α, z = 3α β Zatem dowolny wektor nale» cy do j dra ma posta ( 5α, α, 3α β, β) Wektor ten mo»na przedstawi w postaci ( 5α, α, 3α β, β) = α ( 5,, 3, 0) + β (0, 0,, ) Z denicji bazy wynika,»e ukªad (( 5,, 3, 0), (0, 0,, )) stanowi baz j dra, a z denicji wymiaru wynika,»e wymiar j dra jest równy 2 Poniewa» wymiar dziedziny przeksztaªcenia liniowego jest równy sumie wymiarów j dra i obrazu, to wymiar obrazu naszego przeksztaªcenia jest równy 2 Wyznaczymy teraz baz obrazu przeksztalcenia T Oznaczmy T (x, y, z, t) = (y, y 2, y 3 ) Wtedy (y, y 2, y 3 ) = (x + 2y + z + t, x + y 2z 2t, 0) = = x (,, 0) + y (2,, 0) + z (, 2, 0) + t (, 2, 0) = = x (,, 0) + y (2,, 0) + (z + t) (, 2, 0) 0 Wyznacznik 2 0 utworzony z wektorów (,, 0), (2,, 0), (, 2, 0) 2 0 jest równy 0 Widzimy wi c,»e te trzy wektory s liniowo zale»ne i w zwi zku z tym nie mog stanowi bazy Liniowo niezale»ne s np wektory (,, 0), (2,, 0) Zatem ukªad ((,, 0), (2,, 0)) stanowi baz obrazu naszego przeksztaªcenia, gdy» wektory (,, 0), (2,, 0) stanowi uklad liniowo niezale»ny generuj cy obraz 3 Przeksztaªcenia liniowe L : R 3 R 3, L 2 : R 3 R 3 okre±lone s wzorami: L (x, y) = ( x 2y z, x 3y + z, y z), L 2 (x, y) = (2x y, x + z, x + y + z) Znale¹ macierze tych przeksztaªce«w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz poda macierze nast puj cych przeksztaªce«liniowych (w odpowiednich bazach standardowych tych przestrzeni): (a) 5L ; (b) L L 2 ; (c) 3L + 2L 2 Macierze przeksztaªce«l L 2 w bazach standardowych przestrzeni R 3 maj odpowiednio posta L : 2 3 0, L 2 : 2 0 0 Macierz przeksztalcenia 5L w bazach standardowych ma posta 2 5 0 5 5 3 = 5 5 5 0 0 5 5 2

Macierz przeksztaªcenia L L 2 w bazach standardowych ma posta 2 2 0 3 6 3 0 = 2 3 0 0 0 2 Macierz przeksztaªcenia 3L + 2L 2 w bazach standardowych ma posta 2 2 0 2 3 3 3 + 2 0 = 9 5 0 2 5 Przeksztaªcenia liniowe L : R 2 R 3, L 2 : R 3 R 2, okre±lone s wzorami: L (x, y) = (6x 2y, x 3y, y), L 2 (x, y) = (2x y + z, x + 2y) Znale¹ macierze tych przeksztaªce«w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz poda macierze nast puj cych przeksztaªce«liniowych (w odpowiednich bazach standardowych tych przestrzeni): (a) L 2 L ; (b) L L 2 Macierze przeksztaªce«l oraz L 2 w bazach standardowych maj odpowiednio posta L : 6 2 3 0, L 2 : [ 2 2 0 Zatem szukane macierze L 2 L oraz L L 2 w bazach standardowych maj posta macierz L 2 L : macierz L L 2 : [ 2 2 0 6 2 [ 3 0 6 2 3 0 2 2 0 [ 2 = =, 0 6 5 7 2 0 5 Poda wzory przeksztaªce«l 2 L oraz L L 2 z przykªadu 9 L 2 L : R 2 R 2, (L 2 L ) (x, y) = (x 2y, x y), L L 2 : R 3 R 3, (L L 2 ) (x, y, z) = (x 0y + 6z, 5x 7y + z, x 2y) 3

6 Sprawdzi, czy dane przeksztaªcenia s odwracalne Je±li tak, to napisa macierze przeksztaªce«odwrotnych do nich w bazach standardowych rozwa»anych przestrzeni liniowych Ponadto ( dla przeksztaªce«odwracalnych) napisa wzory przeksztaªce«odwrotnych, je»eli: (a) L : R 2 R 2, L (x, y) = (x 2y, x + y), (b) L : R 2 R 2, L (x, y) = (x y, 2x 2y), (c) L : R 3 R 3, L (x, y, z) = (x y + z, 2x + y, y z) (a) Macierz przeksztaªcenia w bazach standardowych L ma posta [ 2 A = Wyznacznik tej macierzy jest równy 0 Macierz A jest odwracalna Zatem nasze przeksztaªcenie mo»a odwróci Macierz odwrotna do macierzy A, ma posta A = [ 2 Zatem przeksztaªcenie L, odwrotne do L, dane jest wzorem L (x, y) = ( x + 2y, x y) (b) Macierz przeksztaªcenia w bazach standardowych L ma posta [ A = 2 Wyznacznik tej macierzy jest równy 0 Macierz A nie jest odwracalna Zatem i nasze przeksztaªcenie jest nie jest odwracalne (c) Macierz przeksztaªcenia w bazach standardowych L ma posta A = 2 0 0 Wyznacznik tej macierzy jest równy 0 Macierz A jest wi c odwracalna Zatem i nasze przeksztaªcenie mo»a odwróci Macierz odwrotna do macierzy A, ma posta A = 2 2 2 3 Zatem przeksztaªcenie L, odwrotne do L, dane jest wzorem ( x + y + z L (x, y, z) =, x + y z, x + y 3z ) 2

Zadania Które z nast puj cych przeksztaªce«s liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 ) = x + 3x 2, (d) T : R 3 R, T (x, x 2, x 3 ) = 2 x x 2 + 3x 3, (e) T : R 3 R 2, T (x, x 2, x 3 ) = (2x 3, x + x 2 x 3 ), (f) T : R 3 R 2, T (x, x 2, x 3 ) = (2x 3, x +), (g) T : R R 3, T (x, x 2, x 3, x ) = (2x, x x 2 + 3x 3, x 2 x ), (h) T : R 3 R 3, T (x, x 2, x 3 ) = (x + 3x 2, x 2, x 2 x 3 ), (i) T : R 6 R 6, T (x, x 2, x 3, x, x 5, x 6 ) = (0, 2 x x 2 + 3x 3, x 2 x 5, 0, x + x 3, 0) ([ 2 Zbada liniowo± przeksztaªcenia T a b b a ) = a + b, a, b R 3 Zbada liniowo± podanych przeksztaªce«: (a) T : R 3 R 3, T jest rzutem prostok tnym na pªaszczyzn x0y, (b) T : R 2 R 2, T jest rzutem prostok tnym na prost o równaniu x+y = 0, (c) T : R 2 R 2, T jest obrotem o k t π wokóª punktu (0, 0) (d) T : R 2 R 2, T jest przesuni ciem o wektor v = [, 2 Wykaza,»e ka»de przeksztaªcenie liniowe przeksztaªca ukªad wektorów liniowo zale»nych w ukªad wektorów liniowo zale»nych Czy prawdziwe jest analogicznie sformuªowanie twierdzenie dla wektorów liniowo niezale»nych? Obraz i j dro przeksztaªcenia liniowego 5 Znale¹ baz i wymiar j dra oraz baz i wymiar obrazu przeksztaªcenia liniowego T : R R, danego wzorem T (x, y, z, t) = (x + y + z + 2t, x y + z + 6t, x + y z t, 2x + 2y 2z) 6 Wyznaczy baz j dra i baz obrazu przeksztaªcenia liniowego T : R R 3 danego wzorem T (x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + t) 5

7 Wyznaczy j dro, obraz i rz d przeksztaªcenia liniowego T : M 22 P 2 danego wzorem [ a b T = (2a + b c + 3d) + (a + 3c + d) x + ( 2b + c) x 2, c d gdzie M 22 oznacza przestrze«liniow macierzy stopnia 2, a P 2 oznacza przestrze«wielomianów stopnia n 8 Wyznaczy j dro, rz d i obraz przeksztaªcenia [ liniowego T : P 3 M 22 a 2c 2a b 2d danego wzorem T : (ax 3 + bx 2 + cx + d) = b + 2d c d 9 Niech T : R R 3 b dzie przeksztaªceniem liniowym, które dowolnemu wektorowi (x, x 2, x 3, x ) R przypisuje wektor (x + x 2, x x 2, 2x 3 ) Znale¹ baz j dra i rz d przeksztaªcenia T 0 Sprawdzi, czy wektory (,,, ), (,,, 3) generuj j dro przeksztaªcenia liniowego T : R R danego wzorem T (x, y, z, u) = (x + y + 3z + u, 2x y z u, y + 2z + u, x + 2y + 3z) Sprawdzi, czy wektory (,, 2, 0, ), ( 2, 0, 0,, ) generuj j dro przeksztaªcenia liniowego T : R 5 R danego wzorem T (x, y, z, u, v) = (x 2y + u + v, x y + z + 2v, 3x y + 2z + u + 5v, x 3y z + 2u) 2 Znale¹ dwie ró»ne bazy obrazu przeksztaªcenia liniowego T : R 5 R danego wzorem T (x, y, z, u, v) = (x + y z, x + 2y + 3z u, 3y + 2z u v, 2v) 3 Napisa wzór przeksztaªcenia liniowego T : R R 3 takiego,»e T (,,, ) = (0, 2, ), T (, 0,, 0) = (,, 2) oraz KerT = {(x, 0, 0, t) ; x, t R} Reprezentacja macierzowa przeksztaªcenia liniowego Napisa macierze podanych przeksztaªce«w bazach standardowych rozwa»anych przestrzeni liniowych: (a) T : R 3 R 3, T (x, y, z) = (2x + y z, x 5z, y + z), (b) T : R 2 R 3, T (x, y) = (x + 2y, x y, y), (c) T : R 3 R 2, T (x, y, z) = (2x + y z, x 5z), 6

(d) T : R 2 R 2, T (x, y) = (2x + y, 5x 3y) 5 Przeksztaªcenia liniowe L : R 2 R 2, L 2 : R 2 R 2, L 3 : R 2 R okre±lone s wzorami: L (x, y) = (6x 2y, x 3y), L 2 (x, y) = (2x y, x), L 3 (x, y) = x + y Napisa macierze tych przeksztaªce«w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz poda macierze nast puj cych przeksztaªce«liniowych (w odpowiednich bazach standardowych): (a) 3L ; (b) L + L 2 ; (c) 3L L 2 ; (d) L 3 (L + L 2 ) 6 Przeksztaªcenia liniowe L : R 2 R 3, L 2 : R 3 R 2, L 3 : R 2 R okre±lone s wzorami: L (x, y) = (x + 2y, 3x y, x + y), L 2 (x, y, z) = (y z, x + y + z), L 3 (x, y) = 5x 2y Napisa macierze tych przeksztaªce«w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz poda wzory nast puj cych przeksztaªce«liniowych: (a) L 2 L ; (b) L 3 L 2 ; (c) L L 2 L 3 7 Spo±ród przeksztaªce«liniowych wybra przeksztaªcenia odwracalne i napisa macierze przeksztaªce«odwrotnych do nich w bazach standardowych rozwa»anych przestrzeni liniowych Ponadto napisa wzory przeksztaªce«odwrotnych, je»eli: (a) L : R 2 R 2, L (x, y) = (x y, 2x + y), (b) L : R 2 R 2, L (x, y) = (x y, 2x 2y), (c) L : R 3 R 3, L (x, y, z) = (x y + z, 2x + y, y z), (d) L : R 3 R 3, L (x, y, z) = (x y + z, 2x + y, 3x + z) 8 Sprawdzi, czy istnieje przeksztaªcenie odwrotne do przeksztaªcenia liniowego T : M 22 R okre±lonego wzorem T [a ij i,j=,2 = (a + a 2 + a 2, a a 2, a 2, a 2 a 22 ) 7