Analiza obserwowalno±ci

Transkrypt

1 Analiza obserwowalno±ci Niech ẋ(t) = Ax(t), y(t) = Cx(t), x(0) R n gdzie A R n n oraz C R q n. Para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna je»eli x(0) znajomo± funkcji y : [0, t f ] R q (wyj±cia obiektu) dla dowolnego czasu obserwacji 0 < t f < pozwala na jednoznaczne okre±lenie stanu pocz tkowego x(0). Para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna. Macierz obserwowalno±ci M o R n q n M o = [ C T A T C T (A n 1 ) T C T ] T, posiada peªny kolumnowy rz d rank M o = n ( Ker M o = {0 n }). 1

2 2 Przykªad 1 Analizuj c rz d macierzy obserwowalno±ci, zbadaj caªkowit obserwowalno± obiektu ẋ(t) = Ax(t), y(t) = Cx(t). [ ] 3 0 a) A =, C = c T = [ 2 1 ] [ b) A = , C = a) Dla obiektów z pojedynczym wyj±ciem, a zatem tak»e dla obiektów SISO, macierz obserwowalno±ci M o jest macierz kwadratow co oznacza,»e macierz ta ma peªny rz d wtedy i tylko wtedy, je»eli jej wyznacznik nie równa si zero. Mamy [ ] [ ] c T 2 1 det M o = det c T = det = A 11 2 = Zatem obiekt jest caªkowicie obserwowalny. ].

3 b) Macierz obserwowalno±ci jest macierz prostok tn C M o = CA, M o R 6 3. CA 2 Obiekt b dzie zatem caªkowicie obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz ta b dzie miaªa peªny rz d kolumnowy. Zachodzi teraz M o = Poniewa» rank M o = 2, rozwa»any obiekt nie jest zatem caªkowicie obserwowalny. T. 3

4 4 Uwaga Niech A R n n oraz C R q n. Para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna wtedy i tylko wtedy, gdy rank M c = n, gdzie M o = [ C T A T C T (A n r C) T C T ] T za± r C = rank C. O obserwowalno±ci pary (A, C) orzeka si zatem na podstawie oceny rz du zredukowanej macierzy obserwowalno±ci M o R (n r C+1) q n o odpowiednio zmniejszonej liczbie wierszy ('peªna' macierz obserwowalno±ci M o posiada bowiem n q wierszy). W przykªadzie 1b mamy: rank M o = 2. Pytanie: które mody s nieobserwowalne?

5 Kryterium modalne (diagonalizacja) Dana jest para macierzy (A, C), gdzie A R n n oraz C R q n, przy czym A posiada jednokrotne warto±ci wªasne spectr A = {λ i } n i=1. Przeksztaªacaj c (A, C) w par podobn (M 1 AM, CM) gdzie M C n n jest dowoln macierz diagonalizuj c macierz A, mo»na sprawdzi, czy (A, C) jest par caªkowicie obserwowaln. Macierz A o jednokrotnych warto±ciach wªasnych jest macierz diagonalizowaln. Rol macierzy diagonalizuj cej peªni dowolna (!) macierz modalna M o kolumnach utworzonych z wektorów wªasnych macierzy A przyporz dkowanych jej warto±ciom wªasnym. 5

6 6 Zachodzi M 1 AM = diag {λ i } n i=1. Para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna, gdy w macierzy CM nie wyst puj zerowe kolumny. Dla p = 1 odpowiednia para (A, c T ), w której c R n, jest caªkowicie obserwowalna wtedy i tylko wtedy, gdy wierszowy wektor c T M R 1 n nie posiada zerowych wspóªrz dnych. Obecno± takiej zerowej i-tej kolumny ±wiadczy,»e odpowiedni mod e λ it jest modem nieobserwowalnym.

7 Przykªad 2 Zbadaj obserwowalno± pary (A, C): [ ] 2 0 a) A =, C = c T = [ 1 1 ] [ ] b) A = , C = a) W tym przypadku spectr A = { 3, 2}. Przykªadowej macierzy modalnej [ ] 0 1 M = 1 1 przyporz dkowujemy wektor c T M = [ 1 0 ]. Na tej podstawie wnioskujemy,»e para (A, c T ) nie jest par caªkowicie obserwowaln : mod e 2t jest nieobserwowalny.

8 8 b) W tym przypadku spectr A = { 1, 0, 1}. Przykªadowej macierzy modalnej M = przyporz dkowujemy macierz [ ] CM = o zerowej kolumnie. Para (A, C) nie jest zatem par caªkowicie obserwowaln : mod e t jest nieobserwowalny. Poniewa» jest to mod stabilny, przeto (A, C) jest par wykrywaln. Analiza rz du odpowiednich macierzy obserwowalno±ci: [ ] 1 1 a) M o =, rank M 3 3 o = 1; T b) M o = , rank M o = 2.

9 Podprzestrze«Ker M o Dana jest para macierzy (A, B), przy czym A R n n oraz C R q n. Podprzestrze«Ker M o = n 1 i=0 Ker CAi R n gdzie M o R n n q jest macierz obserwowalno±ci pary (A, C), jest podprzestrzeni A-niezmiennicz. Co oznacza,»e v Ker M o zachodzi Av Ker M o. 9

10 10 Dekompozycja przestrzeni stanu Dany jest system ẋ(t) = Ax(t) y(t) = Cx(t), A R n n, C R q n. Niech rank M o = n o < n gdzie M o R n q n jest macierz obserwowalno±ci pary (A, C) Istnieje takie nieosobliwe przeksztaªcenie o macierzy T o R n n T o x = ˆx = gdzie [ ˆx1 ˆx 2 ], ˆx 1 R n o, ˆx 2 R n ō n o + nō = n

11 dla którego: [ ] [ ] [ ˆx1 = ˆx ˆx = Â11 0 no nō ˆx1 2  21  22 ˆx 2 y = Ĉ ˆx = [ ] [ ] ˆx 1 Ĉ 1 0 q nō ˆx 2 przy czym ] 11 (Â11, Ĉ1) gdzie Â11 R n o n o oraz Ĉ1 R q n o, jest par caªkowicie obserwowaln. O parze (Â, Ĉ) mówi si, i» posiada posta obserwowaln zdekomponowan. Para (A, C) nie jest caªkowicie obserwowalna. Zachodzi teraz dim Ker M o = n n o = nō.

12 12 We¹my nast puj c baz w R n gdzie za± { q i } n ō i=1 {q i} n o i=1 span { q i } n ō i=1 = Ker M o {q i } n o i=1 jest dowolnym zbiorem liniowo niezale»- nych wektorów, takich»e zbiory { q i } n ō i=1 oraz {q i } n o i=1 s wzajemnie liniowo niezale»ne. Przykªadowo mo»emy poªo»y span {q i } n o i=1 = Im M T o.

13 Z faktu,»e Ker M o jest podprzestrzeni A-niezmiennicz wynika,»e 13 gdzie przy czym T o = Q 1 o Q o = [ Q o1 Q o2 ] R n n oraz Q o1 = [ q 1 q no ] R n n o Q o2 = [ q 1 q nō ] R n n ō R n = Im Q o1 Im Q o2. Zachodzi  = Q 1 o AQ o oraz Ĉ = CQ o.

14 14 Ponadto mamy M o Q o = ˆM o gdzie ˆM o R n q n jest macierz obserwowalno±ci pary (Â, Ĉ) ˆM o = ˆM o1 0 no q nō Ĉ 1 Â n o q nō. Ĉ 1 Â11 n 1 0 q nō za± ˆM o1 = Ĉ 1 Ĉ 1 Â 11. Ĉ 1 Â n o 1 11 Rn o q n o jest macierz obserwowalno±ci pary (Â11, Ĉ1): rank ˆM o1 = rank ˆM o = rank M o = n o.

15 Przykªad 3 Rozwa»my nast puj ce pary macierzy: a) A = 4 5 2, C = [ ] b) A = , C = [ W obu przypadkach mamy n o = 2, zatem q o = [ q 1 q 2 ˆq 1 ], gdzie ˆq 1 Ker M o.. ] ; a) q 1, q 2 / Im M T o : Q o = Â = q 1, q 2 Im M T o : Q o = , [ , Ĉ = , ] ;

16 16 Â = Ĉ = [ ] ; b) q 1, q 2 / Im M T o : Q o = Â = , , [ 3 5 0, Ĉ = q 1, q 2 Im Mo T : Q o = Â = , [ ] Ĉ = , ] ;

17 Synteza obserwatora stanu Autonomiczny obiekt dynamiczny o wektorze stanu x(t) R n oraz jednym wyj±ciu y(t) R opisany jest modelem ẋ(t) = Ax(t), y(t) = c T x(t). x(0) 17 Rysunek 1: Obserwator stanu autonomicznego obiektu o jednym wyj±ciu. Obserwator stanu o peªnym rz dzie (por. rys. 1) dany jest w tym przypadku równaniem ˆx(t) = Aˆx(t) + le y (t)

18 18 w którym ˆx(t) R n oznacza oszacowanie stanu e y (t) = y(t) ŷ(t) = y(t) c T ˆx(t) jest bª dem oceny wyj±cia obiektu ŷ(t), za± l R n jest wektorem wspóªczynników sprz»enia zwrotnego (wzmocnieniem obserwatora). Obowi zuje zatem formuªa ˆx(t) = (A lc T )ˆx(t) + ly(t) której odpowiada równanie ewolucji ė(t) = (A lc T )e(t), bª du oszacowania stanu e(0) e(t) = x(t) ˆx(t) R n. Metod Ackermanna wyznaczymy wspóªrz dne wektora l, zapewniaj cego macierzy stanu obserwatora A lc T zadane warto±ci wªasne {λ i } n i=1.

19 Metoda Ackermanna, zastosowana do o- biektu o caªkowicie obserwowalnej parze macierzy (A, c T ), pozwala na dowolne uksztaªtowanie wszystkich warto±ci wªasnych macierzy stanu obserwatora A lc T. Formuªa Ackermanna gªosi,»e 19 l = ϕ(a)m 1 o e n (1) gdzie M o R n n oznacza macierz obserwowalno±ci pary (A, c T ), ϕ(a) R n n jest warto±ci jak przyjmuje wielomian charakterystyczny macierzy stanu obserwatora dla macierzowego argumentu A, za± e n = [ ] T R n jest wektorem jednostkowym. Niech {λ i } n i=1 b dzie zbiorem zadanych warto±ci wªasnych macierzy (A lc T ).

20 20 Wielomian charakterystyczny ϕ(λ) tej macierzy wynika zatem ze wzoru ϕ(λ) = det (λi n (A lc T )) = n i=1 (λ λ i). Warunkiem stosowalno±ci wzoru (1) jest odwracalno± macierzy M o. Rozwi zuj c ukªad równa«liniowych M o a = e n mo»na wyznaczy pomocniczy wektor a R n, który nast pnie wykorzystuje si zgodnie ze wzorem l = ϕ(a)a. Post powanie takie pozwala unikn odwracania macierzy M o.

21 Przykªad 4 21 Przykªadow syntez obserwatora przeprowadzimy dla prostego modelu [ ] [ ] A =, c = damy, aby {λ i } 2 i=1 = { 10, 10}. Macierz obserwowalno±ci pary (A, c T ) [ ] 1 0 M o =. 0 1 Para A, c T jest caªkowicie obserwowalna. Ponadto ϕ(λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) = λ + λ 2. W oparciu o wzór (1) otrzymujemy ( [ ] [ ] [ ] 2 ) [ l = [ ] [ ] [ ] = = ] 1 [ 0 1 ]

22 22 Obiekt dynamiczny opisany jest równaniami ẋ(t) = Ax(t) y(t) = c T x(t) Posªuguj c si metod transformacji przyporz dkowuj cej parze (A, c T ) par podobn o postaci kanonicznej obserwowalnej, wyznaczymy wspóªrz dne wektora l sprz»enia zwrotnego obserwatora o peªnym rz dzie, które zapewni macierzy stanu tego obserwatora zadane warto±ci wªasne {λ i } n i=1. Odpowiednia formuªa ma posta gdzie: macierz l = T oˆl T o = (W M o ) 1 R n n

23 jest macierz relacji podobie«stwa, przyporz dkowuj cego danej caªkowicie obserwowalnej parze (A, c T ) par (Â, ĉt ) = (T 1 o AT o, c T T o ) o postaci kanonicznej obserwowalnej, w której  R n n oraz ĉ R n a a 1  = a 2, ĉ = a n 1 wektor ˆl = [ α 0 a 0 α n 1 a n 1 ] T R n jest wektorem residualnym, b d cym wynikiem porównania wielomianów charakterystycznych, odpowiednio, macierzy stanu obserwatora det [λi n (A lc T )] = n i=1 (λ λ i) = n i=0 α iλ i

24 24 oraz macierzy stanu obiektu det (λi n A) = n i=0 a iλ i, macierz M o R n n oznacza macierz obserwowalno±ci pary (A, c T ), za± W = ˆM 1 o R n n jest odwrotno±ci macierzy obserwowalno±ci pary (Â, ĉt ) a 1 a n 2 a n 1 1 a 2 a n W = a n Obowi zuje nast puj ca u»yteczna zale»no± T o = M 1 o ˆM o.

25 Przykªad 5 Obiekt opisany jest równaniami ẋ(t) = Ax(t) oraz y(t) = c T x(t), w których: A = , c = Posªuguj c si metod transformacji przyporz dkowuj cej parze (A, c T ) par podobn o postaci kanonicznej obserwowalnej, wyznacz wspóªrz dne wektora l sprz»enia zwrotnego obserwatora o peªnym rz dzie, które zapewni macierzy stanu tego obserwatora zadane warto±ci wªasne { 3, 4, 6}. 25 Po sprawdzeniu obserwowalno±ci pary (A, c T ), wyznaczono: T o = , l =

26 26 Synteza obserwatora stanu o minimalnym rz dzie Niech ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = c T x(t) gdzie A R n n, b R n oraz c = [ ] T R n bedzie modelem w przestrzeni stanu pewnego obiektu dynamicznego. Jak widzimy, pierwsza wspóªrz dna x 1 (t) wektora stanu [ ] x1 (t) x(t) = R n x(t) tego obiektu jest pomiarowo dost pna. Podamy algorytm obserwatora pozosta- ªych wspóªrz dnych x(t) R n 1 wektora stanu.

27 Kªad c A = [ A11 A 12 A 21 A 22 ], b = [ b1 b gdzie A 11 R, A 12 R 1 (n 1), A 21 R n 1, A 22 R (n 1) (n 1), b 1 R oraz b R n 1, otrzymujemy równanie ewolucji wektora x(t) ẋ(t) = A 22 x(t) + (A 21 x 1 (t) + bu(t)) oraz odpowiednie równanie 'obserwacji' ẋ 1 (t) A 11 x 1 (t) b 1 u(t) = A 12 x(t). Wynikaj ce st d równanie obserwatora o wzmocnieniu l R n 1 ma posta ] 27 ˆx(t) = (A 22 la 12 )ˆx(t) + A 21 x 1 (t) + bu(t) + l(ẋ 1 (t) A 11 x 1 (t) b 1 u(t)) gdzie ˆx(t) R n 1 jest oszacowaniem wektora x(t).

28 28 Obowi zuje równo± ˆx(t) lẋ 1 (t) = (A 22 la 12 )(ˆx(t) lx 1 (t))+ ((A 22 la 12 )l + A 21 la 11 )x 1 (t)+ (b lb 1 )u(t). Niech z(t) R n 1 b dzie pomocniczym sygnaªem, zdeniowanym jak nast puje z(t) = x(t) lx 1 (t). Rówanie opisuj ce ewolucj oszacowania ẑ(t) = ˆx(t) lx 1 (t) R n 1 tego sygnaªu dane jest zatem wzorem ẑ(t) = (A 22 la 12 )ẑ(t) + (2) ((A 22 la 12 )l + A 21 la 11 )y(t) + (b lb 1 )u(t).

29 Bª d e x (t) R n 1 oszacowania wektora x(t) wyra»a si jako e x (t) = x(t) ˆx(t) = z(t) ẑ(t). Z faktu,»e 29 ˆx(t) = (A 22 la 12 )ˆx(t) + A 21 y(t) + bu(t) + la 12 x(t) wynika nast puj ce równanie e x (t) = (A 22 la 12 )e x (t), e x (0). Zadanie syntezy obserwatora o zredukowanym rz dzie jest równowa»ne zadaniu stabilizacji macierzy A 22 la 12.

30 30 Koniecznym i wystarczaj cym warunkiem istnienia zredukowanego obserwatora jest przeto sterowalno± (wykrywalno± ) pary (A 22, A 12 ). Bior c pod uwag,»e ˆx(t) = ẑ(t) + ly(t) otrzymujemy poszukiwane oszacowanie ˆx(t) R n wektora stanu ˆx(t) = [ 01 (n 1) I n 1 ] ẑ(t) + [ 1 l ] y(t). (3)

31 Schemat strukturalny rozwa»anego obserwatora o minimalnym rz dzie pokazano na rys. 2, gdzie F z = [ A 22 la 12 ] R (n 1) (n 1) 01 (n 1) G xz = R n (n 1) I n 1 g zy = (A 22 la 12 )l + A 21 la 11 R n 1 g zu = [ b ] lb 1 R n 1 1 g xy = R n. l 31 Rysunek 2: Schemat zredukowanego obserwatora stanu obiektu SISO.

32 32 Przykªad 6 Wyznacz posta obserwatora o zredukowanym (minimalnym) rz dzie w przypadku, gdy A = , b = 0 0 1, c = za± wymagane warto±ci wªasne macierzy stanu obserwatora wynosz Mamy {λ 1, λ 2 } = { 2 ± j2 3} A 11 = 0, A 12 = [ 1 0 ] [, A 21 = b 1 = 0, b = 0 6 [ 0 1 ] [, A 22 = ] Macierz obserwowalno±ci pary (A 22, A 12 ) [ ] [ ] A M o = = A 12 A = Para ta jest caªkowicie obserwowalna ]

33 Wektor wzmocnie«obserwatora l R 2 wyznaczamy z formuªy Ackermanna (1) l = ϕ(a 22 )M 1 o [ 0 1 w której wielomian macierzowy ϕ(a 22 ) odpowiada zaªo»onym warto±ciom wªasnym macierzy stanu tego obserwatora [ ] 5 2 ϕ(a 22 ) = 16A A 22 +A 2 22 = ] 33 St d l = [ 2 17 ].

34 34 Stosuj c wzory (2) oraz (3), otrzymujemy poszukiwane równania obserwatora o minimalnym rz dzie: ẑ(t) = ˆx(t) = [ ] [ ] ẑ(t) + y(t) ẑ(t) + 2 y(t) Wyznaczmy dla tego samego obiektu obserwator o peªnym rz dzie, przyjmuj c jako warto±ci wªasne macierzy stanu takiego obserwatora liczby 2 ± j2 3 oraz 5. Macierz obserwowalno±ci pary (A, c T ) jest macierz jednostkow I 3. Wektor wzmocnie«obserwatora l R 3 obliczamy w oparciu o metod Ackermanna: l = [ 0 1 ] u(t)

35 Co prowadzi do obserwatora o peªnym rz dzie ˆx(t) = y(t) + 1 ˆx(t) u(t). 35 Porównajmy wªasno±ci obu rozwa»anych obserwatorów stanu. Niech x(0) = [ ] T, ˆx(0) = [ ] T co czyni e x (0) = [ ] T Ker c T, e x (0) = [ 1 1 ] T gdzie e x (t) = x(t) ˆx(t) oznacza bª d oszacowania stanu.

36 36 Ewolucj tego bª du opisuj wzory: - obserwator o peªnym rz dzie e x (t) = exp t e x (0) obserwator o minimalnym rz dzie 0 0 ([ e x (t) = exp ] ) t e x (0). Rysunek 3: Ilustracja bª dów estymacji stanu.

37 Obiekt opisany równaniami ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) gdzie x(t) R n jest wektorem stanu, u(t) R p oznacza sygnaª pobudzaj cy, za± y(t) R q jest wyj±ciem, jest sterowany w ukªadzie zamkni tym (rys. 4). 37 Rysunek 4: Schemat ukªadu sterowania ze sprz»eniem od wyj±cia obiektu. Sterowanie z liniowym (anicznym) sprz»eniem od wyj±cia obiektu poprzez oszacowanie stanu ˆx(t).

38 38 Dla zerowej warto± zmiennej referencyjnej r(t) wyznaczymy model w przestrzeni stanu ukªadu zamkni tego dla zmiennych stanu x(t) oraz e(t) = x(t) ˆx(t). Zamkni ty ukªad sterowania opisany jest modelem w przestrzeni stanu [ ] [ ẋ(t) A BK BK = ė(t) 0 n n A LC y(t) = [ ] [ ] x(t) C 0 q n. e(t) ] [ x(t) e(t) ], [ x(0) e(0) Koniecznym i wystarczaj cym warunkiem asymptotycznej stabilno±ci tego u- kªadu jest zatem speªnienie inkluzji spectr (A BK) spectr (A LC) C. Problem syntezy ukªadu sterowania rozwi zuje si 'osobno' projektuj c regulator od stanu oraz obserwator stanu.

39 Obiekt SISO o modelu w przestrzeni stanu ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), y(t) = c T x(t) A R n n sterowany jest w ukªadzie zamkni tym pokazanym na rys Rysunek 5: Schemat ukªadu sterowania ze sprz»eniem od wyj±cia obiektu. Ukªad zamkni ty mo»na opisa, przyjmuj c modele wej±ciowo-wyj±ciowe jak na rys. 6, gdzie G p (s) oznacza operatorow transmitancj sterowanego obiek-

40 40 tu, za± G r (s) jest transmitancj równowa»nego regulatora (korektora szeregowego). Rysunek 6: Schemat ukªadu sterowania z korektorem szeregowym. Dla oszacowania stanu ˆx(t) obowi zuje bowiem równanie ˆx(t) = (A bk T lc T )ˆx(t) + ly(t). St d G r (s) = k T (si n A + bk T + lc T ) 1 l.

41 Przykªad 7 Rozwa»my model niestabilnego procesu [ ] [ ] [ ] A =, b =, c = Wyznaczymy wektor wzmocnienia obserwatora stanu l R 2 zapewniaj cy spectr (A lc T ) = { 8, 8} oraz wektor sprz»enia stabilizuj cego k R 2, dla którego spectr (A bk T ) = { 1.8 ± j2.4}. Mamy: k = [ ] T, l = [ ] T. Tak du»e wzmocnienie l wynika z» - danej szybkiej reakcji obserwatora. Równowa»ny korektor szeregowy s G r (s) = s + s 2. PJSuchomski 41