Pewne algorytmy algebry liniowej Andrzej Strojnowski

Transkrypt

1 Pewne algorytmy algebry liniowej ndrzej Strojnowski 6 stycznia 2011 Przedstawimy tu kilka algorytmów rozwi zuj ce typowe zadania algebry liniowej Wszystkie zaprezentowane tu algorytmy polegaj na zbudowaniu macierzy, sprowadzeniu jej do postaci schodkowej i interpretacji wyniku Numeracja algorytmów pochodzi od kolejno±ci w jakiej powstawaªy Rozpocznijmy od najbardziej efektownego algorytmu 6 Rozwi zywanie ukªadu równa«liniowych x = β o macierzy i kolumnie wyrazów wolnych β [ = (b 1, b 2, ],, b k ) 1) Budujemy macierz = β θ 2) Dopóki s kolumny z prawej strony kreski wykonuj: 3) Je»eli pierwsza kolumna jest zerowa to j usuwamy 4) Je»eli w pierwszej kolumnie pierwsze niezerowe miejsce jest pod kresk to SOP ukªad sprzeczny 5) Wybieramy dowolny wiersz nad kresk o niezerowym pierwszym wspóªczynniku Do wszystkich pozostaªych wierszy dodajemy tak wielokrotno± wybranego wiersza by wyzerowa pierwsz kolumn Usuwamy wybrany wiersz i pierwsz kolumn v 1 v 2 6) Otrzymujemy: v s w Zbiorem rozwi za«jest w+lin{v 1, v 2,,, v s } Ponadto wektory v 1, v 2,,, v s s liniowo niezale»ne Dowód poprawno±ci poprowadzimy przez przedstawienie dowodów poprawno±ci kolejnych algorytmów lgorytm 1 Niech {α i } i=1,2,,t b dzie zbiorem wektorów z przestrzeni R n za± {β i } i=1,2,,t B dzie zbiorem wektorów z przestrzeni R s Szukamy 1

2 przeksztaªcenia liniowego f : R n R s speªniaj cego warunek 1) Budujemy macierz = i f(α i ) = β i β t 2) Sprowadzamy macierz do postaci schodkowej zredukowanej przy pomocy operacji elementarnych i wykre±lamy wiersze zerowe 3) Je»eli schodek wypadª po prawej stronie kreski to SOP takie przeksztaªcenie nie istnieje 4) Je»eli z lewej strony kreski otrzymali±my macierz jednostkow to SOP kolejne wiersze opisuj obrazy wektorów bazy standardowej za± macierz po prawej stronie kreski jest równa (f) 5) (w pozostaªych przypadkach) Uzupeªniamy wiersze macierzy z lewej strony kreski do bazy R n, wpisujemy z prawej strony dowolne wektory i GO O 2) Dowód poprawno±ci: Wiersze macierzy s postaci [w f(w)] i to si nie zmienia przy operacjach elementarnych lgorytm 2 Niech V = lin{α i } i=1,2,,t b dzie podprzestrzeni liniow przestrzeni R n Szukamy ukªadu równa«liniowych opisuj cych V α 1 α 2 1) Budujemy macierz = 2) Sprowadzamy macierz do postaci schodkowej zredukowanej przy pomocy operacji elementarnych na wierszach i usuwamy zerowe wiersze Otrzyman macierz oznaczmy 3) Je»eli otrzymali±my macierz jednostkow to SOP V = R n i V jest opisane pustym ukªadem równa«4) (w pozostaªych przypadkach) Uzupeªniamy wiersze macierzy do bazy R n przy pomocy [ odpowiednich ] wektorów bazy standardowej [ ] i budujemy macierz θ N =, gdzie wiersze macierzy = tworz znalezion baz R n, jest macierz jednostkow odpowiedniego rozmiaru za± θ jest macierz zerow 5) Przy pomocy operacji elementarnych na wierszach sprowadzamy macierz N do postaci schodkowej zredukowanej N = [ D ] 6)D jest macierz ukªadu równa«opisuj cych V Dowód poprawno±ci: ak jak w lgorytmie 1 znale¹li±my macierz przeksztaªcenia liniowego, którego j drem jest V 2

3 lgorytm 3 Niech W = af{p i } i=0,1,2,,t b dzie podprzestrzeni aniczn przestrzeni R n Szukamy ukªadurówna«liniowych opisuj cych W p 0 p 1 1) Budujemy macierz 1 = p t 1 p 0 1 p 1 2)Dodajemy kolumn zªo»on z jedynek 2 = 1 p t 3) Sprowadzamy macierz 2 do postaci schodkowej zredukowanej przy pomocy operacji elementarnych na wierszach i usuwamy zerowe wiersze Otrzyman macierz oznaczmy 3 4) Je»eli otrzymali±my macierz jednostkow to SOP W = R n i W jest opisane pustym ukªadem równa«1 p 0 θ 5) Dopisujemy wiersze i kolumny do macierzy by uzyska 4 = θ 3 θ, θ gdzie: [ ] 1 p 0 jest pierwszym wierszem macierzy wiersze macierzy 3, 3 powstaje z macierzy 3 [ przez] wyrzucenie pierwszego wiersza i pierwszej kolumny, wiersze macierzy 3 tworz baz R n, jest macierz jednostkow odpowiedniego rozmiaru za± θ jest macierz zerow 6) Przy pomocy operacji elementarnych na wierszach [ sprowadzamy ] macierz 1 0 β 4 do postaci schodkowej zredukowanej 5 = θ D 7) [ D β ] jest macierz rozszerzon ukªadu równa«opisuj cych W Dowód poprawno±ci: ak jak w lgorytmie 2 D jest macierz ukªadu równa«liniowych opisuj cego przestrze«liniow Lin{p i [ p 0 } i=1,2,,t ] Oznaczmy symbolem f przeksztaªcenie liniowe opisane na bazie 3 o warto±ciach w odpowiednich wierszach macierzy eraz Kerf = Lin{p [ ] θ i p 0 } i=1,2,,t za± f( p 0) = β St d f(p i ) = β dla i = 0, 1, 2,, t lgorytm 4 1 Niech f : R n R k b dzie przeksztaªceniem liniowym o macierzy Kk n ( w bazach standardowych ) Szukamy baz ker f i m f 1) Budujemy macierz = [ ], gdzie jest macierz jednostkow n n 2) Przy pomocy operacji elementarnych sprowadzamy macierz 1 algorytm 4 pochodzi z wykªadu Salwy w roku akademickim 2006/2007 3

4 do postaci schodkowej = β t, gdzie θ θ v s 3) Wektory α 1, α 2,, tworz baz m f za± v 1, v 2,,, v s baz Ker f Dowód poprawno±ci: Wiersze macierzy s postaci [f(w) w] i to si nie zmienia przy operacjach elementarnych lgorytm 5 Rozwi zywanie ukªadu równa«liniowych jednorodnych o macierzy 1) Budujemy macierz = [ ], gdzie jest macierz jednostkow n n 2) Przy pomocy operacji elementarnych sprowadzamy macierz do postaci schodkowej α = t β t, gdzie α t θ θ v 2 θ v s 3) Wektory v 1, v 2,,, v s tworz baz przestrzeni rozwi za«lgorytm 6 Rozwi zywanie ukªadu równa«liniowych x = β o macierzy i kolumnie wyrazów wolnych [ β = (b 1, ] b 2,,, b k ) 1) Budujemy macierz = β θ [ 2) Przy pomocy operacji elementarnych na macierzy sprowadzamy macierz β do postaci schodkowej Przy czym wiersza pod kresk nie dodajemy do»adnego innego oraz nie zamieniamy z innymi miejscami β t Otrzymujemy:, gdzie θ θ v s β w 4

5 3) Je»eli β θ to SOP ukªad równa«sprzeczny 4) Je»eli β = θ to zbiorem rozwi za«jest w+lin{v 1, v 2,,, v s } Ponadto wektory v 1, v 2,,, v s s liniowo niezale»ne Dowód poprawno±ci: Wiersze macierzy s postaci [f(w) w] a pod kresk [f(w) β w] i to si nie zmienia przy operacjach elementarnych Zatem je»eli β = θ to θ = f(w) β czyli f(w) = β Ukªad jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy gdy β Lin{α 1, α 2,, } lgorytm 7 Rozwi zywanie [ równania] macierzowego X = B 1) Budujemy macierz = B 0 2) Przy [ pomocy operacji elementarnych na wierszach macierzy sprowadzamy macierz B do postaci schodkowej Przy czym wierszy pod kresk nie dodajemy do»adnego innego oraz nie zamieniamy z innymi miejscami β t Otrzymujemy:, gdzie θ θ v s B D 3) Je»eli B [0] to SOP równanie sprzeczne 4) Je»eli B = [0] to zbiorem rozwi za«jest D + E, gdzie kolumny macierzy E nale» do przestrzeni lin{v 1, v 2,,, v s } Ponadto wektory v 1, v 2,,, v s s liniowo niezale»ne Dowód poprawno±ci: Wiersze macierzy s postaci [f(w) w] a pod kresk [f(w) β w] i to si nie zmienia przy operacjach elementarnych Ukªad jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy gdy kolumny macierzy B ( wiersze macierzy B ) nale» do przestrzeni Lin{α 1, α 2,, } 5