Ćwiczeia z matematki Jausz Górczński Zeszt Graice ciągów i fukcji Pochoda i jej zastosowaia Wższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew
Zeszt te jest trzecią pozcją w serii materiałów ddaktczch Ćwiczeia z matematki Dotchczas ukazał się pozcje: Zeszt Fukcje i ciągi liczbowe Zeszt Macierze i rozwiązwaie układów rówań liiowch W ajbliższm czasie ukażą się koleje pozcje: Zeszt Całki i ich zastosowaie Zeszt 5 Rówaia różiczkowe i ich zastosowaia Wdaie I Materiał do druku został w całości przgotowae przez Autora ISBN 8-8878-- Wdawca: Wższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu w Sochaczewie Arkusz wdawiczch,75 Arkusz drukarskich,75
Spis treści OD AUTORA GRANICA CIĄGU5 CIĄGI ZBIEŻNE 5 CIĄGI ROZBIEŻNE7 OBLICZANIE GRANIC CIĄGÓW 9 GRANICA FUNKCJI GRANICA FUNKCJI W PUNKCIE GRANICE JEDNOSTRONNE 6 GRANICA W NIESKOŃCZONOŚCI 8 CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI 9 5 ASYMPTOTY FUNKCJI POCHODNA FUNKCJI GRANICA ILORAZU RÓŻNICOWEGO INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA POCHODNEJ RÓŻNICZKA FUNKCJI5 OBLICZANIE POCHODNYCH6 5 POCHODNA A MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI8 6 POCHODNA A EKSTREMA FUNKCJI8 7 DRUGA POCHODNA I JEJ ZASTOSOWANIA 8 BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI 9 REGUŁA DE L HOSPITALA8 ELEMENTY EKONOMICZNEJ INTERPRETACJI POCHODNEJ FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH POCHODNE CZĄSTKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5 ZASTOSOWANIE POCHODNYCH CZĄSTKOWYCH 7 5 LITERATURA 8
Od autora U podstaw deczji o wdaiu serii zesztów pod wspólm ttułem Ćwiczeia z matematki są moje wieloletie doświadczeia auczciela akademickiego w zakresie auczaia przedmiotów ilościowch (matematka, statstka matematcza, doświadczalictwo, ekoometria jak i iformatczch (arkusze kalkulacje, relacje baz dach Od szeregu lat obserwujem arastające problem zaczej grup studiującch ze zrozumieiem tch przedmiotów, prz czm jest to szczególie groźe w przpadku osób studiującch w trbie zaoczm Seria Ćwiczeia z matematki została pomślaa z jedej stro jako materiał ułatwiając przpomieie programu matematki z zakresu szkoł średiej Z drugiej stro materiał zawart w tej serii jest już pewm przgotowaiem pod auczaie takich przedmiotów jak właśie statstka, ekoometria, arkusze kalkulacje, baz dach cz badaia operacje Seria Ćwiczeia z matematki powia bć traktowaa raczej jako literatura uzupełiająca klasczą literaturę przedmiotu (podawaą przez prowadzącch poszczególe przedmiot iż jako jed i wstarczając do zrozumieia matematki skrpt Mam jedak adzieję, że przedstawio materiał z szeregiem szczegółowch przkładów ułatwi zrozumieie tch wbrach działów matematki W serii Ćwiczeia z matematki ukażą się astępujące pozcje: Zeszt Fukcje i ciągi liczbowe Zeszt Graice ciągów i fukcji Pochoda i jej zastosowaie Zeszt Całki i ich zastosowaia Zeszt Macierze i rozwiązwaie układów rówań liiowch Zeszt 5 Rówaia różiczkowe i ich zastosowaia Zeszt pierwsz i czwart ukażą się w roku, a pozostałe trz w roku Jausz Górczński
5 Graica ciągu W poprzedim zeszcie rozważaliśm ciąg geometrcz, którego wraz powstawał w wiku kolejch podziałów odcika o jedostkowej długości: ; ; ; ; 8 6 Łatwo możem zauważć, że wraz ze zwiększaiem ideksu wraz tego ciągu różią się coraz miej od pewej liczb, w tm przkładzie od zera O takich ciągach będziem mówić, że są zbieże, a liczbę do której dążą wraz ciągu będziem azwać jego graicą Przejdziem teraz do bardziej formalch określeń graic ciągu Ciągi zbieże Określeie: Przedział otwart ( ε ; ε azwam otoczeiem puktu i ozaczam U ( ; ε Liczbę ε azwam promieiem otoczeia Z tak podaego określeia otoczeia puktu wika, że: U ( ; ε ε < < ε lub z wkorzstaiem smbolu wartości bezwzględej (modułu: U ( ; ε < ε Wracając raz jeszcze do wrazów aszego ciągu zauważm, że różią się oe od liczb zero dowolie mało, jeżeli tlko umer (ideks tch wrazów są wstarczająco duże: <, > <, > 6 <, > 9 < ε > log, 5 (skorzstaliśm z wzoru a wraz -t ciągu geometrczego zdefiiowaego przez a i q ε (obustroe logartmowaie prz podstawie,5 i uporządkowaie Określeie: Liczbę zero azwam graicą ciągu ( a, jeżeli dla każdego ε > istieje taka liczba δ, że dla każdego > δ spełioa jest ierówość: a < ε
6 Fakt, że liczba zero jest graicą ciągu ( a zapisujem astępująco: a ( to skrót od greckiego es Z rówości tej wika, że do otoczeia puktu U ( ; ε ależą prawie wszstkie wraz ciągu (wszstkie z wjątkiem skończoej ich liczb Ciąg ieskończo, któr ma graicę zero azwam ciągiem zbieżm Ważm przkładem ciągu zbieżego do zera jest ciąg geometrcz ieskończo z ilorazem miejszm co do wartości bezwzględej od jedości: a q dla q < Określeie: Liczbę g azwam graicą ciągu ( a, jeżeli ( g Z tego określeia wika, że: a g a g < ε ε > δ > δ a Przkład Graicą ciągu o wrazie ogólm a jest liczba, poieważ: Przkład Korzstając z defiicji graic ciągu wkażem, że Dla dowolej liczb ε > rozwiązujem ierówość < ε : ε < ε < ε < ε > ε ε Jeżeli przjmiem, że δ, to dla każdego > δ spełioa jest ierówość ε < ε, a to ozacza, że
7 Przkład Korzstając z defiicji graic ciągu wkażem, że ( Dla dowolej liczb ε > rozwiązujem ierówość < ε : ( ( < ε ( < ε ( < ε < ε > ε Jeżeli przjmiem, że δ, to dla każdego > δ spełioa jest ierówość ε ( < ε, a to ozacza, że ( Określeie: Jeżeli a oraz b, to: a b ( a b a b ( a b a b ( a b a b a a b pod dodatkowm warukiem, że b b b Określeie: Jeżeli a i > a a, to ( a a c c dla c > Ciągi rozbieże Określeie: Ciąg ieskończo, któr ie ma graic azwam ciągiem rozbieżm Określeie: Ciąg ( a azwam ciągiem rozbieżm do ieskończoości, jeżeli dla każdej liczb M prawie wszstkie wraz ciągu są większe od M : a Określeie: Ciąg ( a azwam ciągiem rozbieżm do mius ieskończoości, jeżeli dla każdej liczb M prawie wszstkie wraz ciągu są miejsze od M : a
8 Przkład Wkażm a podstawie defiicji ciągu rozbieżego do plus ieskończoości, że Zgodie z defiicją dla każdej liczb M ierówość > M ma bć spełioa dla prawie wszstkich wrazów ciągu Rozwiązując tę ierówość mam: M > M > ( M > M M > M Ostateczie mam, że M > M jest spełioa dla >, a to ozacza, że M Określeie Prz wzaczaiu graic ciągów rozbieżch do plus cz mius ieskończoości obowiązują astępujące ogóle reguł (zapis smbolicz: a ( b ( c ( d ( e ( ( f ( a g a ( ± ± h ± a ( ± ± a ( ± m i a > ± j a < ± ± m a a Przkład 5 Obliczm graicę ciągu o wrazie ogólm a ( ( Tę samą graicę moża bło obliczć także iaczej (w rozwiązaiu powższm chodziło o pokazaie zastosowaia puku h z ostatiego określeia Poiżej wzaczm graicę aszego ciągu w sposób bardziej ogól ( (
9 Obliczaie graic ciągów Prz obliczaiu graic ciągów istote są dwie implikacje: a a ( > a a a Przkład 6 Kilka przkładów obliczaia graic ciągów: ( a ( ( ( ( ( ( ( ( b c ( ( d ( ( e 5 5 5 5 5 f
Określeie: Jeżeli g i dla prawie wszstkich spełioa jest ierówość a a ciągach b c b, to g (jest to tzw twierdzeie o trzech c Przkład 7 Korzstając z twierdzeia o trzech ciągach obliczm graicę ciągu o wrazie ogólm a Ab skorzstać z tego twierdzeia musim zaleźć takie dwa ciągi ( a i ( b, które ograiczą wraz aszego ciągu z dołu i z gór oraz będą zbieże do tej samej liczb Proszę zauważć, że dla spełioa jest astępująca ierówość: 5 Graice ciągów ograiczającch i 5 są takie same (rówe ; zobacz przkład 6f, tm samm także Przkład 8 Powiedzm, że chcem obliczć 5 Podobie jak w poprzedim przkładzie szukam takich dwóch ciągów ograiczającch wraz aszego ciągu z dołu i z gór, którch graice będą takie same Proszę zauważć, że dla wszstkich spełio jest waruek: 5 5 6 5 Poieważ 5 6 5 5, to także 5 5 Określeie: Graicą ciągu o wrazie ogólm a, gdzie a jest tzw liczba e (stała Eulera, w przbliżeiu,788: a e a W szczególości e Liczba e odgrwa szczególą rolę w zastosowaiach matematki i statstki, zwłaszcza w opisie wielu zjawisk przrodiczch i eko- omiczch Warto w tm miejscu przpomieć fukcję wkładiczą e ep( oraz fukcję logartmiczą l a
Przkład 9 Obliczm Prz obliczaiu graic tego ciągu ie możem skorzstać ze stadardowch metod, poieważ w wrazie ogólm ciągu parametr wstępuje jedocześie jako podstawa potęgi i jej wkładik Dość łatwo możem jedak zauważć, że wraz ogól aszego ciągu jest podob do wrazu ogólego ciągu, którego graicą jest liczba e Mam więc: 6 6 e e Prz obliczaiu skorzstaliśm z: e a a, gdzie a Przkład Obliczm graicę ciągu o wrazie ogólm a 7 Prz obliczaiu graic tego ciągu, gdzie zmiea jest zarówo podstawa jak i wkładik potęgi będziem musieli skorzstać z wielu podach wcześiej reguł obliczaia graic ciągów Mam kolejo: ( 7 Graica pierwszego ciągu jest stosukowo łatwa do policzeia: ( 8
Prz obliczaiu graic drugiego ciągu mam zaś: Dalsze obliczeia graic tego ciągu wmagają skorzstaia z twierdzeia o trzech ciągach Dla każdego wraz aszego ciągu spełiają waruek: Graice ciągów ograiczającch są odpowiedio rówe: Ciągi ograiczające są zbieże do tej samej graic, w takim razie graicą ciągu jest także liczba Ostateczie mam więc, że 7 8 8 Przkład Obliczm korzstając z defiicji graic liczbę wrazów ciągu 5 a pozostającch poza przedziałem ( ; 5 5 Zacziem od obliczeia graic ciągu:, 5 Z waruków zadaia mam więc, że przedział ( ; jest otoczeiem graic aszego ciągu o promieiu ε,5 Jeżeli liczba,5 jest graicą badaego ciągu, to musim teraz ustalić, dla jakich 5 5 waruek < ε będzie spełio dla dowolego ε > 5 5 6 5 ε < ε < ε < ε > ε Dla ε, 5 waruek te będzie spełio dla > 5, stąd poza przedziałem 5 ( ; zajduje się tlko pierwszch pięć wrazów ciągu a
Graica fukcji Rozważaia o graic fukcji zacziem od wprowadzeia pojęcia sąsiedztwa puktu Określeie: Przedział liczbow { r ; ( ; } ( r azwam sąsiedztwem puktu o promieiu r i ozaczam smbolem S ( ; r Proszę zauważć, że zgodie z podam określeiem sam pukt ie ależ do sąsiedztwa puktu Graica fukcji w pukcie Powiedzm, że iteresuje as fukcja f ( określoa w pewm sąsiedztwie puktu W samm pukcie fukcja f ( może bć określoa lub ie Określeie: Fukcja f ( ma w pukcie graicę g, jeżeli dla każdego ciągu ( o wrazach ależącch do sąsiedztwa S ( ; r i zbieżego do, ciąg f ( jest zbież do liczb g ( Podaa w określeiu defiicja jest tzw defiicją Heiego graic fukcji w pukcie Przkład Wzaczm z defiicji Heiego graicę fukcji f ( w pukcie Zauważm, że rozpatrwaa fukcja ie jest określoa w pukcie, jest atomiast określoa w dowolm sąsiedztwie tego puktu Zgodie z defiicją Heiego bierzem dowol ciąg taki, że oraz ( Obliczam teraz graicę ciągu: ( ( ( Uproszczeie liczika z miaowikiem (czli podzieleie liczika i miaowika przez wrażeie ( bło dopuszczale, poieważ z założeia Ostateczie więc:
Przkład Wzaczm graicę fukcji Dziedzią tej fukcji jest zbiór R { } spełiając waruki: f ( w pukcie X, bierzem więc dowol ciąg X, i Obliczam teraz graicę ciągu: ( Ostateczie więc: ( 7 6 ( Określeie: Liczba g jest graica fukcji f ( w pukcie wted i tlko wted, jeżeli dla dowolego ε > istieje takie sąsiedztwo S ( ; r, że dla wszstkich S spełio jest waruek f ( g < ε Defiicja powższa jest tzw defiicją Cauch ego graic fukcji w pukcie Określeie powższe moża także zapisać w rówoważej postaci: f ( g ε > r S f ( g < ε Przkład Korzstając z defiicji Cauche go graic fukcji w pukcie wkażem, że fukcja f ( ma w pukcie graicę rówą Dla dowolego ε > i rozwiązujem ierówość: f ( g < ε < ε < ( < ε ε < ε ε < < ε ε < < ε ε < < ε Widzim z tego, że waruek sąsiedztwa S ( ; ε f ( g < ε jest spełio wted, gd ależ do Określeie: Jeżeli prz obliczaiu graic fukcji f ( otrzmam, że g lub g, to mówim, że fukcja ma w tm pukcie graicę iewłaściwą
5 Przkład 5 Obliczm, korzstając z defiicji Heiego, graicę fukcji w pukcie f ( Dziedzią rozpatrwaej fukcji jest zbiór liczb rzeczwistch z włączeiem puktu R Zgodie z defiicją Heiego bierzem dowol ciąg zbież zero, czli { } do zera i taki, że Obliczam teraz graicę ciągu: Ostateczie mam, że (korzstam z implikacji podaej w rozdz ( Określeie: Jeżeli f ( a i g( b, to prawdziwe są astępujące graice: ( f ( ± g( f ( ± g( a ± b ( f ( g( f ( g( a b f ( f ( g( g( a b, pod warukiem, że b i g ( w otoczeiu Wzor powższe są prawdziwe także wted, gd rozpatrujem graicę fukcji w plus lub mius ieskończoości, a także wted, gd graice a lub b są iewłaściwe (postaci ±, prz czm ie dotcz to stuacji ieokreśloch tpu: " ", " ", " " Przkład 6 Obliczm graicę fukcji f ( ( 6 Korzstając z podach wżej reguł mam: w pukcie ( ( 6 ( 6 ( 6 56 Przkład 7 Obliczm graicę fukcji si f ( w pukcie Prz obliczaiu graic fukcji tego tpu skorzstam z podstawowego w teorii si graic wzoru
6 Mam kolejo: si si si Przkład 8 Cz istieje graica fukcji f ( w pukcie? Rozpatrwaa fukcja ie jest określoa w pukcie, z uwagi a postać fukcji musim rozpatrzć dwa ciągi ( zbieże do zera, ale oddzielie o wrazach miejszch od zera i oddzielie o wrazach większch od zera Ozaczm te ciągi i waruki zbieżości odpowiedio przez: ( ; taki, że < i (p ( ; taki, że > i (p Dla tak zdefiiowach ciągów mam astępującą graicę: Widzim z tego, że graice jedostroe (odpowiedio lewostroa i prawostroa ie są jedakowe, tm samm fukcja f ( ie ma graic w pukcie Przejdziem teraz do bardziej formalego określeia graic jedostroch Graice jedostroe Określeie: Liczba g jest graicą lewostroą fukcji f ( w pukcie wted i tlko wted, jeżeli dla każdego ciągu ( ależącego do dziedzi fukcji i takiego, że i <, graicą ciągu f ( jest liczba g : f ( g
7 Określeie: Liczba g jest graicą prawostroą fukcji f ( w pukcie wted i tlko wted, jeżeli dla każdego ciągu ( ależącego do dziedzi fukcji i takiego, że i >, graicą ciągu f ( jest liczba g : f ( g Przkład 9 Obliczm graice jedostroe fukcji ieokreśloości tej fukcji Dziedzią fukcji puktów graic jedostroch: f ( w puktach f ( jest zbiór liczb rzeczwistch z włączeiem R ; Naszm zadaiem jest więc obliczeie czterech i, czli { } " " " " " " " " "" " " "" " " smbol " " ozacza, że liczik jest prawie rów, a smbol " " ozacza, że miaowik jest prawie rów zero, ale po stroie wartości dodatich; tak będzie, jeżeli za przjmiem p, Kometarz jak wżej Dla ułatwieia proszę sobie podstawić p, 9999 Kometarz jak wżej Dla ułatwieia proszę sobie podstawić p, 9999 Kometarz jak wżej Dla ułatwieia proszę sobie podstawić p, Określeie: Jeżeli istieją graice jedostroe fukcji f ( w pukcie i są sobie rówe, to istieje także graica fukcji w tm pukcie: f ( f ( g f ( g Zależość powższa prawdziwa jest także w drugą stroę: jeżeli fukcja f ( ma graicę w dam pukcie, to istieją i są sobie rówe graice jedostroe w tm pukcie
8 Graica w ieskończoości Określeie: Fukcja f ( ma w ( graicę g, jeżeli dla każdego ciągu o wrazach ależącch do dziedzi fukcji i zbieżego do (, ciąg f ( jest zbież do liczb g ( Przkład Wzaczm graicę fukcji f ( w plus ieskończoości Bierzem dowol ciąg ( taki, że i obliczam graicę ciągu (stosujem dokładie te same techiki, co prz obliczaiu graic ciągu liczbowego: Ostateczie mam, że Przkład Obliczm graice fukcji f ( ep( a krańcach dziedzi Jak wiem fukcja f ( ep( lub iaczej f ( e jest fukcją wkładiczą, a jej dziedzią jest zbiór liczb rzeczwistch Tm samm asze zadaie sprowadza się do obliczeia graic tej fukcji odpowiedio w mius i plus ieskończoości Bierzem więc ciąg ( taki, że i obliczam graicę: e e e Aalogiczie dla ciągu ( rozbieżego do plus ieskończoości otrzmam: e e e Prz obliczaiu tch graic warto przpomieć sobie wkres fukcji wkładiczej rosącej (
9 Ciągłość fukcji Określeie Jeżeli fukcja f ( jest określoa w pukcie, jeżeli istieje graica fukcji w tm pukcie i jeżeli graica ta jest rówa wartości fukcji w tm pukcie, to fukcja f ( jest ciągła w pukcie : f ( jest ciągła w pukcie f ( f ( Przkład Sprawdzim, cz fukcja f ( jest ciągła w pukcie Zauważm, że pukt ależ do dziedzi tej fukcji (zobacz poprzedi przkład Obliczam więc wartość fukcji w tm pukcie: f ( Obliczam graicę fukcji w pukcie (bierzem dowol ciąg ( taki, że i, stąd Jak widzim wszstkie trz waruki ciągłości fukcji w pukcie są spełioe: Fukcja jest określoa w pukcie Istieje graica fukcji w tm pukcie: Graica fukcji rówa jest wartości fukcji w tm pukcie: f ( tm samm fukcja f ( jest ciągła w pukcie Określeie: Fukcje f ( ciągłą w każdm pukcie X azwam fukcją ciągłą w zbiorze X Potoczie pod pojęciem fukcji ciągłej (w pewm przedziale rozumie się taką fukcję, której wkres (w tm przedziale moża arsować bez odrwaia ołówka Przkładowo fukcja f ( ep( jest fukcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczwistch, zaś fukcja f jest ciągła w przedziałach (, ( ;, ( ; ( ;
Określeie: Fukcję f ( azwam ciągłą lewostroie (prawostroie w pukcie wted i tlko wted, jeżeli: Istieje wartość fukcji w tm pukcie, Istieje graica lewostroa (prawostroa w tm pukcie, Graica lewostroa (prawostroa rówa jest wartości fukcji w tm pukcie Przkład Sprawdzim, cz fukcja f ( 8 jest ciągła w pukcie dla dla > Obliczam wartość fukcji w pukcie : f ( 5 Przejdziem teraz do obliczeia graic tej fukcji w pukcie, ale poieważ fukcja zdefiiowaa jest dwoma różmi wzorami po obu stroach tego puktu, to musim obliczać graice jedostroe Mam kolejo: f ( f ( Jak widzim ( 5 ( f ( f (, 8 8 tm samm ie istieje graica tej fukcji w pukcie, a to ozacza, że fukcja ta ie jest ciągła w tm pukcie Proszę jedak zauważć, że spełio jest waruek: f ( f ( a to ozacza, że rozpatrwaa fukcja jest ciągła lewostroie w pukcie
5 Asmptot fukcji Określeie: Jeżeli fukcja f ( ie istieje w pukcie i przajmiej jeda z graic jedostroch w tm pukcie jest graicą iewłaściwą (czli ±, to prosta jest asmptotą pioową tej fukcji: jest asmptotą pioową f ( f ( ± lub f ( ± Przkład Wzaczm, jeżeli istieją, asmptot pioowe fukcji f ( Fukcja f ( jest fukcją wmierą określoą w zbiorze liczb rzeczwistch z włączeiem tch puktów, które są miejscami zerowmi wielomiau w miaowiku, czli i W puktach tch mogą istieć asmptot pioowe, żeb tak bło, to co ajmiej jeda z graic jedostroch w tch puktach musi bć graicą iewłaściwą Obliczam więc graice (zobacz przkład 9: " " " " " " " " " " " " " " " " Waruki istieia asmptot pioowch są spełioe, w takim razie badaa fukcja f ( posiada dwie asmptot pioowe o rówaiach i Określeie: Jeżeli fukcja f ( ma graicę rówą g w lub, to prosta f ( g jest asmptotą poziomą fukcji f ( : f ( g jest asmptotą poziomą f ( Przkład 5 Ustalm, cz fukcja f ( g lub f ( g f ( ma asmptotę poziomą Zgodie z podam wżej określeiem fukcja f ( będzie miała asmptotę poziomą wted i tlko wted, jeżeli co ajmiej jeda z graic tej fukcji w mius lub plus ieskończoości będzie graicą właściwą W aszm przpadku mam: Jak widzim graica w mius ieskończoości jest właściwa, tm sam prosta o rówaiu (lub f ( jest asmptotą poziomą fukcji f (
Określeie: Jeżeli fukcja f ( ma w ieskończoości obie graice iewłaściwe, to ie istieje asmptota pozioma tej fukcji Nie wklucza to jedak istieia asmptot ukośej Określeie: Prosta o rówaiu a b (gdzie a jest asmptotą ukośą fukcji f ( wted i tlko wted, jeżeli istieją właściwe graice postaci: a b f ( ± f ( a ± [ ] Przkład 6 Sprawdźm, cz fukcja f ( ma asmptotę ukośą Zgodie z podam określeiem wzaczam kolejo graice: ± f ( ± ± ( ± ± [ f ( a] ± ± ± 8 ± 8 Obie graice są właściwe, tm samm prosta,5 jest asmptotą ukośą fukcji f ( Przkład 7 Zbadajm, cz fukcja ma asmptotę ukośą 5 Z uwagi a postać fukcji łatwo zauważć, że ± ieskończoości graice są iewłaściwe, tm samm fukcja ta ie posiada asmptot poziomej Nie wklucza to, jak wiem, istieia asmptot ukośej Zacziem od sprawdzeia, cz istieje skończoa (właściwa i róża od zera graica określająca współczik kierukow potecjalej asmptot ukośej: f ( 5 ± ± ± ± ( 5 ± ± 5 5 Jak widzim z powższego waruek te ie jest spełio, tm samm fukcja ie posiada asmptot ukośej 5
Pochoda fukcji Graica ilorazu różicowego Określeie: Jeżeli fukcja f ( jest określoa w przedziale ( a; b R i w pewm pukcie ( a; istieje graica właściwa b f ( f ( f (, to fukcję f ( azwam różiczkowalą w tm pukcie Liczbę f ( azwam pochodą fukcji f ( w pukcie W podam określeiu smbol ozacza przrost argumetu fukcji (czasami ozaczam go także smbolem h, a wrażeie f ( f ( ozacza odpowiadając mu przrost wartości fukcji Dla ozaczeia pochodej fukcji f ( w pewm pukcie możem stosować wmieie kilka ozaczeń: d df ( f ( f ( f ( d d Określeie: Jeżeli fukcja f ( jest różiczkowala w każdm pukcie ( a; b fukcję tę azwam różiczkowalą w tm przedziale Przkład 8 Obliczm z defiicji pochodą fukcji, to w dowolm pukcie R Zgodie z podam określeiem obliczam graicę ilorazu różicowego: ( ( ( ( Określeie: Pochoda fukcji w dam pukcie istieje wted i tlko wted, jeżeli istieją i są sobie rówe pochode jedostroe tej fukcji w tm pukcie: f ( f ( f (, gdzie f ( f ( f ( f ( f ( f (
Przkład 9 Sprawdźm, cz fukcja Fukcja jest różiczkowala w pukcie jest różiczkowala w pukcie, jeżeli ma w tm pukcie pochodą Z uwagi a postać fukcji (moduł musim obliczć pochode jedostroe w tm pukcie Mam odpowiedio: f ( f ( f ( f ( Jak widzim pochode jedostroe ie są sobie rówe, tm samm ie istieje pochoda fukcji w pukcie, czli badaa fukcja ie jest różiczkowala w tm pukcie Iterpretacja geometrcza pochodej Rozważm fukcję f ( różiczkowalą w pukcie Zgodie z defiicją pochodej mam: f ( f ( f ( Poiżej pokaza jest schematcz wkres tej fukcji, jej wartość dla argumetu, przrost wartości argumetu i odpowiadając mu przrost wartości fukcji f ( f ( f ( f ( f ( prosta l α
5 Proszę zauważć, że iloraz przrostu wartości fukcji do przrostu argumetu: f ( f ( jest tagesem kąta α, jaki tworz prosta l z osią -ów Jeżeli przejdziem do graic ilorazu różicowego, to: f ( f ( f ( tgα czli pochoda fukcji w pukcie jest współczikiem kierukowm stczej do wkresu fukcji f ( w tm pukcie Określeie: Jeżeli fukcja f ( jest różiczkowala w pukcie, to stcza do wkresu fukcji w tm pukcie daa jest wzorem: f f ( ( ( Przkład Wzaczm rówaie stczej do wkresu fukcji f ( w pukcie Zgodie z podam określeiem rówaie stczej do wkresu tej fukcji dae jest wzorem: f ( f ( (, czli ( Różiczka fukcji Z defiicji pochodej wikają przbliżoe rówości: f f ( f ( f ( ( f ( f ( Pierwsza z tch rówości pozwala oszacować przbliżo przrost wartości fukcji, druga zaś pozwala oszacować ową wartość fukcji prz zmiaie argumetu z a Błąd tch szacuków jest tm miejsz, im miejsz jest przrost argumetu fukcji Określeie: Wrażeie f ( azwam różiczką fukcji f ( w pukcie dla przrostu argumetu Przkład Korzstając z różiczki fukcji wzaczm przbliżoą wartość fukcji f ( w pukcie, Korzstając z drugiej rówości mam (przjmujem i, f (, f ( f (,, (gdzie f ( Proszę zauważć, że prawdziwa wartość różi się od aszego szacuku iezaczie: f (, (,,
6 Obliczaie pochodch Obliczaie pochodch fukcji włączie z defiicji błob zajęciem żmudm, dlatego też w praktce będziem korzstać z szeregu wzorów a obliczaie pochodch Określeie: Prz obliczaiu pochodch fukcji elemetarch będziem korzstać z astępującch wzorów: ( c pochoda stałej ( pochoda fukcji potęgowej ( a a ( e e l a pochoda fukcji wkładiczej ( log a l a (l pochoda fukcji logartmiczej (si cos pochoda fukcji sius (cos si pochoda fukcji cosius Określeie: Prz obliczaiu pochodch fukcji obowiązują astępujące reguł: ( c f ( c f ( pochoda iloczu stałej i fukcji ( f ( ± g( f ( ± g( pochoda sum lub różic fukcji f ( g( f ( g( f ( g( pochoda iloczu fukcji ( f ( g( f ( g( f ( g( ( g( pochoda ilorazu fukcji (oczwiście g ( Przkład Korzstając z podach wzorów obliczm pochode fukcji ctg Korzstając z wzoru a pochodą ilorazu mam: si (si cos si (cos cos si ( tg cos cos cos cos tg oraz cos (cos si cos (si si cos ( ctg si si si si
7 Przkład Obliczm pochodą fukcji si Zauważm, że pochodej tej fukcji ie możem obliczć z żadego z dotchczas podach wzorów Wika to z faktu, że fukcja si ie jest fukcją elemetarą, lecz fukcją złożoą z dwóch fukcji elemetarch: si t si t Zauważm także, że spełio jest astępując waruek: d d dt d dt d W aszm przkładzie mam więc: d dt (si t ( cost cos dt d Określeie: Pochoda fukcji złożoej f ( g( rówa jest iloczowi pochodej fukcji zewętrzej przez pochodą fukcji wewętrzej: [ f ( g( ] f ( g( g( si Przkład Obliczm pochodą fukcji e Zauważm, że aszą złożoą fukcję możem rozpisać a astępujące fukcje elemetare i odpowiadające im pochode: d z z dz z z dz t t t ( e e si z e e dt t si p dt ( si p cos p p dp dp ( d Możem już przejść do obliczeia pochodej fukcji wjściowej jako iloczu kolejch pochodch (w pewm momecie wracam do orgialch zmiech: d d dz dt dp t si e cos p e cos d dz dt dp d z si e Ostateczie, po uporządkowaiu mam: si si 6cos e si e cos e si e
8 5 Pochoda a mootoiczość fukcji Zauważm, że zgodie z defiicją pochodej fukcji dodatia wartość pochodej w pewm przedziale wskazuje a fukcję rosącą w tm przedziale, a ujema a fukcję malejącą: f ( f ( f ( > > f ( f ( > f ( f ( f ( < < f ( f ( < Określeie: Jeżeli pochoda fukcji f ( jest dodatia w pewm przedziale ( a ; b ależącm do dziedzi fukcji, to fukcja jest w tm przedziale rosąca Podobie, jeżeli w tm przedziale pochoda jest ujema, to fukcja jest malejąca Przkład 5 Wzaczm przedział mootoiczości fukcji Dziedzią rozpatrwaej fukcji są liczb rzeczwiste z włączeiem ± Obliczam pochodą: ( ( ( ( ( ( ( ( Z uwagi a kwadrat fukcji w miaowiku o zaku pochodej decduje włączie wrażeie w licziku, mam więc: > > < (ierówość sprzecza < < > (ierówość prawdziwa dla każdego R Z rozwiązaia tch ierówości wika, że fukcja w całej swojej dziedziie 6 Pochoda a ekstrema fukcji jest fukcją malejącą Określeie: Jeżeli fukcja f ( jest ciągła w przedziale ( a ; b ależącm do dziedzi fukcji, jeżeli jej pochoda jest rówa zero w pukcie ( a; i zmieia b zak w otoczeiu tego puktu, to w pukcie fukcja f ( osiąga ekstremum lokale Jeżeli pochoda zmieia zak z a, to w pukcie fukcja osiąga maksimum lokale Jeżeli pochoda zmieia zak z a, to w pukcie fukcja osiąga miimum lokale
9 Przkład 6 Wzaczm ekstrema i przedział mootoiczości fukcji Dziedzią rozpatrwaej fukcji są {( ; ( ; ( ; }, fukcja przjmuje wartość zero dla Wzaczm pochodą tej fukcji, przrówam ją do zera i zbadam jej zak: ( ( ( ( 9 ( ( ( ( ( 9 Pochoda rówa jest zero wted i tlko wted, gd liczik rów jest zero: ( 9 ( ( stąd Zauważm, że o zaku pochodej decduje włączie wrażeie w licziku, bowiem miaowik jest zawsze dodati Musim więc rozwiązać dwie ierówości: > ( 9 > 9 > < > < ( 9 < 9 < < < Dla lepszej przejrzstości wiki badaia pochodej zapiszem w tabelce: maks mi Jak widzim pochoda jest rówa zero w trzech puktach:, i, ale tlko w otoczeiu puktów i zmieia zak W otoczeiu puktu zmieia zak z a, tm samm fukcja osiąga w tm pukcie maksimum lokale W otoczeiu puktu pochoda zmieia zak z a, tm samm fukcja osiąga w tm pukcie miimum lokale W pukcie wprawdzie pochoda jest rówa zero, ale w otoczeiu tego puktu ie zmieia zaku, tm samm w tm pukcie ie ma ekstremum Prz okazji proszę zauważć, że z badaia pochodej mam także przedział mootoiczości rozpatrwaej fukcji Uwzględiając dziedzię fukcji mam, że fukcja jest rosąca dla { } {( ; ( ; }, a malejąca dla ( ; ( ; ( ;
7 Druga pochoda i jej zastosowaia Określeie: Drugą pochodą fukcji f ( azwam pochodą jej pochodej: f "( [ f ( ] Jeżeli fukcja f ( jest różiczkowala w pewm przedziale ( a ; b i jej pierwsza pochoda jest w tm przedziale różiczkowala, to możem wzaczć pochodą (pierwszej pochodej Prz wzaczaiu drugiej pochodej obowiązuje te same wzor i reguł co prz wzaczaiu pierwszej pochodej Często pochodą pochodej azwa się pochodą rzędu drugiego, a (pierwszą pochodą odpowiedio pochodą rzędu pierwszego Istieje oczwiście możliwość wzaczaia dalszch pochodch, ale ie wchodzi to w zakres materiału prezetowaego w tm zeszcie Przkład 7 Obliczm pierwszą i drugą pochodą fukcji si Obliczam pierwszą pochodą: (si cos Obliczam druga pochodą: ( cos (cos ( si 6si Druga pochoda zajduje zastosowaie w szczegółowm badaiu przebiegu zmieości fukcji, pozwala bowiem a określeie kształtu fukcji, a tm samm tempa zwiększaia cz zmiejszaia wartości fukcji Określeie Jeżeli druga pochoda fukcji f ( jest rówa zero w pukcie i zmieia zak w otoczeiu tego puktu (ie jest istote jak, to w pukcie istieje pukt przegięcia (pp W pukcie przegięcia stcza do wkresu fukcji przechodzi z jedej stro wkresu a drugą Określeie: Jeżeli druga pochoda fukcji f ( jest dodatia w przedziale ( a ; b, to wkres fukcji jest w tm przedziale wklęsł Jeśli druga pochoda jest ujema w przedziale ( a ; b, to wkres fukcji jest w tm przedziale wpukł Przkład 8 Powiedzm, że chcem sprawdzić, cz fukcja ma pukt przegięcia, chcem też zbadać, jak zmieia się kształt tej fukcji w poszczególch przedziałach W przkładzie 6 wzaczliśm pierwszą pochodą tej fukcji otrzmując: ( ( ( ( 9 ( ( ( ( ( 9 Korzstając z przedostatiej postaci obliczm pochodą pierwszej pochodej:
" ( ( 9 ( [( 9( ( 9 ] ( 8 ( Z otrzmaego rozwiązaia mam, że: ( ( 9 ( ( ( ( 7 " 6 ( Biorąc pod uwagę dziedzię fukcji pozostaje am tlko jedo miejsce zerowe drugiej pochodej: " W pukcie może istieć pukt przegięcia fukcji (chwilowo spełio jest waruek wstarczając: druga pochoda rówa jest zero w tm pukcie Ab bć pewm, że jest to pukt przegięcia, musim zbadać zak drugiej pochodej w otoczeiu tego puktu Z uwagi a postać drugiej pochodej wiem, że o jej zaku decduje włączie wrażeie w licziku (miaowik jest zawsze dodati dla -ów ależącch do dziedzi fukcji Dla lepszej przejrzstości zbadam zak drugiej pochodej budując tabelkę jej zmieości " wp wkl pp wp wkl Z badaia zaku drugiej pochodej wika więc, że fukcja ma w pukcie pukt przegięcia, że jej kształt jest wpukł w przedziałach ( ; i ( ;, a w pozostałch przedziałach jej dziedzi jest to kształt wklęsł
Określeie: Zaki pierwszej i drugiej pochodej iformują ie tlko o tm, cz fukcja jest rosąca lub malejąca (pierwsza pochoda, ale także o tempie wzrostu cz zmiejszaia wartości fukcji (druga pochoda Moża te związek przedstawić tabelarczie: < "< "> Fukcja malejąca, kształt wpukł, fukcja maleje coraz szbciej Fukcja malejąca, kształt wklęsł, fukcja maleje coraz woliej > "< "> Fukcja rosąca, kształt wpukł, fukcja rośie coraz woliej Fukcja rosąca, kształt wklęsł, fukcja rośie coraz szbciej 8 Badaie przebiegu zmieości fukcji Rozdział te poświęcim a pełe badaie przebiegu zmieości fukcji obejmujące astępujące etap: Wzaczeie dziedzi fukcji i ewetualie miejsc zerowch; Wzaczeie graic fukcji a krańcach dziedzi wraz z ewetualmi asmptotami; Wzaczeie pierwszej pochodej, ustaleie przedziałów mootoiczości i ewetualch ekstremów (miimum, maksimum; Wzaczeie drugiej pochodej, zbadaie jej zaku, ewetualego puktu przegięcia, kształtu wkresu fukcji; Sporządzeie tabelki zmieości fukcji; Naszkicowaie wkresu fukcji
Przkład 9 Przeprowadźm pełe badaie przebiegu zmieości fukcji Dziedzią jest zbiór liczb rzeczwistch z włączeiem puktu, dla którego R lub zapisując miaowik jest rów zero Fakt te możem zapisać jako { } dziedzię jako sumę przedziałów: { ( ; (; } Proszę także zauważć, że badaa fukcja przjmuje wartość zero wted, gd liczik jest rów zero, stąd mam miejsce zerowe: Wzaczam teraz graice a krańcach dziedzi Kolejo mam: "8" "8" " " " " Pukt jest puktem ieciągłości badaej fukcji, widzim także, że obie graice jedostroe w tm pukcie są iewłaściwe, tm samm prosta jest asmptotą pioową fukcji Poieważ graice w ± ieskończoości bł iewłaściwe, to wiem także, że badaa fukcja ie posiada asmptot poziomej Z wcześiejszch rozważań wiem także, że ieistieie asmptot poziomej ie wklucza istieia asmptot ukośej a b, musim więc przeprowadzić odpowiedie badaie Obliczam graice określające parametr asmptot: a ± f ( ± ( 6 6 b [ f ( a] 6 ± ± ± ± Obie graice są właściwe, tm samm prosta 6 jest asmptotą ukośą badaej fukcji Obliczm teraz pierwszą pochodą, przrówam ją do zera i zbadam jej zak Korzstając z wzorów a pochodą ilorazu mam: ( ( 6 ( ( ( Wzaczoa pochoda jest rówa zero wted i tlko wted, gd wrażeie w licziku jest rówe zero, stąd lub 6
Zak wzaczoej pochodej zależ włączie od zaku wrażeia w licziku (miaowik jest dodati dla wszstkich ależącch do dziedzi tej fukcji Poieważ wrażeie w licziku jest trójmiaem kwadratowm (wkresem jest parabola o gałęziach skierowach do gór, to: ( 6 > < > 6 ( ( 6 < (; 6 ( Z badaia zaku pierwszej pochodej wika, że w puktach i 6 jest oa rówa zero i zmieia zak w otoczeiu tch puktów, czli są to pukt ekstremów lokalch (odpowiedio miimum i maksimum Z kolei ze zaku pierwszej pochodej wioskujem, że badaa fukcja jest rosąca w przedziałach ( ; i ( 6;, a malejąca w przedziałach ( ; i ( ; 6 Wzaczm teraz drugą pochodą i zbadam jej zak Najwgodiej będzie, jak wzaczm ją z przedostatiej postaci pierwszej pochodej Mam więc: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( ( ( ( 6] ( ( 6 9 6 6( ( ( Jak łatwo zauważć, pochoda ta igd ie jest rówa zero, a o jej zaku decduje włączie wrażeie w licziku Stąd: " < < oraz " > > Z badaia drugiej pochodej mam ostateczie, że fukcja ie posiada puktu przegięcia (bo druga pochoda ie jest rówa zero dla żadego puktu ależącego do dziedzi fukcji i ie zmieia zaku w otoczeiu tego puktu Z kolei ze zaku drugiej pochodej mam, że dla < wkres fukcji jest wpukł, a dla > wklęsł Możem już przgotować tabelkę zmieości badaej fukcji 6 " i maksimum miimum
5 Pozostało am przgotowaie szkicu wkresu, wkorzstam do jego wkoaia iformacje zawarte w tabelce zmieości fukcji plus iformacje o asmptotach 6 6 Z przedstawioego wkresu (i wcześiej uzskach iformacji wika, że fukcja rośie od mius ieskończoości do wartości zero, którą osiąga dla W przedziale od zera do trzech fukcja maleje do mius ieskończoości Z uwagi a kształt wkresu fukcji możem powiedzieć, że w przedziale ( ; fukcja rośie coraz woliej (tm samm wartościom zmieej odpowiadają coraz miejsze przrost wartości fukcji Z kolei w przedziale od zera do trzech fukcja maleje coraz szbciej (tm samm wartościom zmieej odpowiadają coraz miejsze wartości fukcji Po drugiej stroie asmptot w pukcie fukcja maleje od plus ieskończoości do wartości miimum rówej, która osiąga dla 6, prz czm z uwagi a kształt wkresu fukcja maleje coraz woliej W przedziale od sześciu do plus ieskończoości fukcja rośie coraz szbciej aż do plus ieskończoości Przkład Zbadajm przebieg zmieości fukcji Dziedzią aalizowaej fukcji są { ( ; ( ; (; }, w pukcie fukcja przjmuje wartość zero (miejsce zerowe Wzaczam graice tej fukcji a krańcach dziedzi, mam odpowiedio:
6 " " " " " " " " "" "" " " " " Poieważ graice w ± są właściwe i rówe zero, to prosta jest asmptotą poziomą badaej fukcji Z kolei z faktu, że graice jedostroe w puktach ieciągłości fukcji są iewłaściwe wika, że badaa fukcja posiada dwie asmptot pioowe o rówaiach odpowiedio i Obliczam teraz pierwsza pochodą: ( ( ( ( ( Jak widzim pierwsza pochoda badaej fukcji ie posiada miejsc zerowch i jest zawsze ujema (wrażeie ( jest miejsze od zera dla wszstkich -ów, tm samm fukcja jest malejąca w całej swojej dziedziie Obliczam drugą pochodą: ( " ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Druga pochoda jest rówa zero wted, gd wrażeie w licziku jest rówe zero, stąd: " ( ( [ ( ( ] [( ] [ ( ( ] (wrażeie jest zawsze dodatie, a rozwiązań związach z ie bierzem pod uwagę ze względu a postać miaowika O zaku drugiej pochodej decduje wrażeie ( ( (, ab zbadać zak tego wrażeia sporządzim pomociczą tabelkę: ( ( Mam stąd iformacje o kształcie wkresu fukcji: " < < < <, czli w tch przedziałach wkres jest wpukł; " > < < >, a w tch wklęsł
7 Proszę także zauważć, że w otoczeiu puktu druga pochoda zmieia zak z plus a mius, a w pukcie jest rówa zero Tm samm jest to pukt przegięcia fukcji Możem już sporządzić tabelkę zmieości fukcji: " pp Pozostało aszkicowaie wkresu badaej fukcji Jak widzim z wkres w całej swojej dziedziie fukcja maleje, ale odbwa się to w różm tempie W przedziałach ( ; i ( ; fukcja maleje coraz szbciej (kształt wpukł, a w przedziałach (; i ( ; fukcja maleje coraz woliej (kształt wklęsł W pukcie fukcja ma pukt przegięcia (stcza do wkresu fukcji w tm pukcie przechodzi z jedej stro wkresu a drugą W puktach i istieją asmptot pioowe, a prosta jest asmptotą poziomą Badaa fukcja ie posiada ekstremów lokalch
8 9 Reguła de l Hospitala f ( Prz obliczaiu graic fukcji postaci w pukcie może się zdarzć taka g( stuacja, że otrzmujem wrażeie ieozaczoe tpu " " lub " " Stuacja taka będzie wted, gd f ( g( lub f ( g( ± W przpadku zaistieia takiej stuacji ie możem skorzstać z klasczch reguł obliczaia graic fukcji, możem atomiast obliczć tę graicę (jeżeli istieje korzstając z reguł de l Hospitala (cztaj: delopitala f ( Określeie: Jeżeli fukcja w pukcie jest wrażeiem ieozaczom tpu g( " " lub " ", jeżeli fukcje f ( i g ( są różiczkowale w otoczeiu f ( f ( oraz istieje g, to g g( g( Przkład Obliczm graice fukcji Jak łatwo zauważć ( ( w pukcie, tm samm mam wrażeie ieozaczoe tpu " " Tm samm prz obliczaiu graic możem skorzstać z reguł de l Hospitala: ( ( Prz obliczaiu graic z wkorzstaiem reguł de l Hospitala mogą zdarzć się takie stuacje, że musim tę regułę zastosować kilkukrotie Regułę de l Hospitala moża stosować także w stuacjach, gd wzaczam graice w ±, a także prz wzaczaiu graic jedostroch Reguł de l Hospitala ie moża stosować bezpośredio prz ich postaciach ieozaczoości iż " " lub " " Jeżeli jedak ieozaczoość jest tpu " ", " " lub " ", to moża je sprowadzić do jedej z dwóch postaci, prz której wolo już zastosować regułę de l Hospitala
9 si Przkład Obliczm graicę fukcji w pukcie W pukcie mam wrażeie ieozaczoe tpu " ", fukcje wstępujące w licziku i miaowiku są różiczkowale, korzstam więc z reguł de l Hospitala si ( si cos ( 6 Widzim, że po zastosowaiu reguł de l Hospitala mam w dalszm ciągu wrażeie ieozaczoe tpu " ", zastosujem więc tę regułę raz jeszcze si ( si cos ( cos si ( 6 (6 6 6 Przkład Obliczm graicę fukcji w plus ieskończoości e Jak łatwo zauważć w plus ieskończoości mam wrażeie ieozaczoe tpu " ", obie fukcje są różiczkowale, stosujem więc regułę de l Hospitala e e e ( Przkład Obliczm graicę fukcji e w plus ieskończoości Proszę zauważć, że tm razem mam w ieskończoości wrażeie ieozaczoe tpu " " (poieważ, a e e, tm samm ie możem bezpośredio zastosować reguł de l Hospitala Możem jedak aszą fukcję zapisać astępująco: ( e e e W tej postaci możem już zastosować regułę H (de l Hospitala, poieważ mam wrażeie ieozaczoe tpu " " ( ( e ( e ( e ( e Podobie jak w przkładzie koiecze okazało się dwukrote zastosowaie reguł de l Hospitala
Elemet ekoomiczej iterpretacji pochodej W podrozdziale mówiliśm o różiczce fukcji i jej wkorzstaiu prz obliczaiu przbliżoego przrostu wartości fukcji jak i owej wartości fukcji prz zmiaie argumetu z a Wrócim teraz do tch zagadień, ale w aspekcie ekoomiczm Powiedzm, że koszt całkowit wprodukowaia jedostek pewego produktu wrażo jest fukcją K ( (dla Fukcję tę będziem azwać fukcją kosztów całkowitch, a fukcję K( k p ( fukcją kosztów przeciętch Jak pamiętam wzór K( K( K( pozwala oszacować przbliżo przrost wartości fukcji Po podstawieiu otrzmam zależość K( K( K(, którą moża ziterpretować astępująco: przrost kosztów całkowitch spowodowa zwiększeiem wielkości produkcji o jedostkę z poziomu jest w przbliżeiu rów wartości pochodej w tm pukcie Fukcję K ( (dla > azwam fukcją kosztów krańcowch Aalogiczie moża zdefiiować fukcje podaż, poptu, utargu itd, odpowiedio wprowadzam wted fukcje przeciętej i krańcowej podaż, poptu, utargu itd Przkład 5 Powiedzm, że koszt całkowit wprodukowaia jedostek produktu da jest fukcją K( 5 5, dla < ; 5 > Wzaczm rzeczwist i przbliżo koszt wtworzeia jedostki produktu prz poziomie produkcji Rzeczwist koszt jest rów: K K( K( 5 5, 5 5, 5 (, ( 5, ( 5, 6,69 Przbliżo koszt jest rów: K K( 5, 5 7 Jak widać z powższego przkładu wzaczeie przbliżoego kosztu wtworzeia dodatkowej jedostki produkcji prz zadam poziomie jest zaczie łatwiejsze Prz obliczaiu przbliżoego kosztu wtworzeia dodatkowej jedostki produkcji korzstaliśm z pochodej K ( 5,
Wartość pochodej fukcji w dam pukcie określa kieruek i szbkość zmia wartości fukcji w otoczeiu tego puktu Przkładowo, dla fukcji kosztów całkowitch z ostatiego przkładu wartość pochodej w pukcie jest rówa 7, co ozacza, że wzrost argumetu fukcji o jedą jedostkę (czli do powoduje przrost wartości fukcji o 7 jedostek W zastosowaiach ekoomiczch istota jest także, poza zajomością szbkości zmia fukcji zajomość graic stosuku zmia względch przrostu wartości fukcji do przrostu argumetu w otoczeiu puktu Określeie: Elastczością fukcji f ( w pukcie > i takim, że f ( > azwam liczbę f ( E f ( f ( Warto zauważć, że zak tak zdefiiowaej liczb zależ tlko i włączie od zaku pochodej w dam pukcie Tm samm elastczość fukcji rosącej jest ieujema, a elastczość fukcji malejącej iedodatia Elastczość fukcji w pukcie moża ziterpretować jako przbliżoą miarę procetowej zmia wartości fukcji odpowiadającej przrostowi argumetu o % Przkład 6 Powiedzm, że fukcja kosztów przeciętch pewego przedsiębiorstwa jest daa wzorem k p (, (dla > Obliczm elastczość kosztu przeciętego i kosztu całkowitego w pukcie Zgodie z podam wżej wzorem musim obliczć wartość pochodej fukcji kosztu przeciętego w pukcie Kolejo mam: k p (,, k p (,,, Musim jeszcze wzaczć wartość fukcji kosztów przeciętch w pukcie : k p (,,, Możem już wzaczć elastczość fukcji kosztów przeciętch: k p (,, E p k p (,5 k (,, p Wik te moża ziterpretować astępująco: wzrost wielkości produkcji o % z poziomu spowoduje zmiejszeie kosztów przeciętch o,5% Przed obliczeiem elastczości kosztu całkowitego musim odtworzć fukcję kosztu K( całkowitego K( z zależości k p (, stąd K( k p (
W aszm przpadku mam: K ( (,, Podobie jak poprzedio wzaczam pomocicze wartości: K (, 6 K (, 6 6 K (, Możem już wzaczć elastczość fukcji kosztów całkowitch w : K( E k K(,5 K( Uzska wik moża ziterpretować astępująco: wzrost wielkości produkcji o % z poziomu spowoduje wzrost kosztów całkowitch przedsiębiorstwa o około,5% Przkład 7 Obliczm elastczość fukcji utargu w pukcie 6, jeżeli wiem, że cea jest fukcją podaż opisaą wzorem p(, dla 5 Rozwiązaie tego przkładu musim zacząć od wzaczeia fukcji utargu U (, która będzie iloczem ilości sprzedach produktów przez ich ceę: U ( p( (,, Dalsze obliczeia przebiegają już aalogiczie jak w poprzedim przkładzie U (, U ( 6, 6, 6,8 U ( 6 6, 6 6 (,6 6 8, Możem już wzaczć elastczość fukcji utargu w 6 : U ( 6,8 6 6,8 E u U ( 6,9 U ( 6 8, 8, Uzska wik moża ziterpretować astępująco: wzrost wielkości sprzedaż o % z poziomu 6 spowoduje wzrost utargu o,9%
Fukcje wielu zmiech Dotchczas zajmowaliśm się fukcjami jedej zmieej W zastosowaiach praktczch z reguł będziem korzstać z fukcji wielu zmiech Przkładowo, jeżeli pewie zakład z braż spożwczej sprzedaje sok jabłkow po a złotch, a sok marchwiow po b złotch, to fukcja: Z f ( ; a b, gdzie i są ilością sprzedach soków, jest fukcją utargu Formalą defiicję fukcji wielu zmiech poprzedzim wprowadzeiem pojęcia wektora kolumowego i przestrzei -wmiarowej Wektorem kolumowm o składowch azwam astępując uporządkowa układ liczb: : Zbiór wszstkich możliwch wektorów elemetowch będziem azwać przestrzeią -wmiarową i ozaczać smbolem R Określeie: Jeżeli każdemu wektorowi X, gdzie X R, jest przporządkowaa dokładie jeda liczba Y, to została określoa fukcja rzeczwista zmiech przekształcająca zbiór X w zbiór Y Fukcję tę będziem zapiswać smboliczie w postaci f : X Y, gdzie f ( ; ; Zbiór X będziem azwać dziedzią fukcji i zwczajowo ozaczać smbolem D, a zbiór Y zbiorem wartości lub przeciwdziedzią fukcji Dla mam fukcję dwóch zmiech i w dalszch rozważaiach ograiczm się do tego tpu fukcji Przkład 8 Wzaczm dziedzię fukcji postaci f ( ; l( Dziedzią będzie taki zbiór X, dla którch podaa fukcja ma ses Z uwagi a logartm dziedzią będzie wiec zbiór D {( ; R : > } R Przkładowo wektor [ ; ] T (smbol T ozacza traspozcję wektora, czli w tm przpadku wektor wierszow ależ do dziedzi tej fukcji, poieważ obie współrzęde ależą do zbioru liczb rzeczwistch, a obszar wzaczo ierówością > jest podzbiorem płaszczz R Możem jeszcze wzaczć wartość fukcji dla tego argumetu: f (; l( l
Proszę także zauważć, że wektor [ ; ] T ie ależ do dziedzi fukcji, bowiem ie > < jest spełioa druga część waruku : Przkład 9 Wzaczm dziedzię fukcji g(, oraz obliczm jej wartość dla argumetu [ ; ] T Przed wzaczeiem dziedzi tej fukcji zapiszm wrażeie podpierwiastkowe w trochę iej postaci: g(, Z uwagi a fukcję pierwiastkową dziedzią będzie taki zbiór, dla którego spełioe będą waruki:, stąd {( ; R : ( < ( > } R D Obliczam wartość fukcji g dla podaego argumetu: g ( ;,5,5, Przkład 5 W pewm zakładzie ustaloo, że fukcje miesięczego poptu (w ts opakowań a dwa produkt wtwarzae w tm zakładzie są fukcjami ich ce postaci: P ( ;,5,5 P ( ; Wzaczm a tej podstawie fukcję miesięczej wartości sprzedaż (utargu Poszukiwaa fukcja będzie sumą iloczów ce poszczególch produktów przez sprzedae ich ilości, stąd mam: U ( ; P ( ; P ( ;,5,5,5,5 Przkład 5 Fukcję produkcji pewego zakładu opisao zaą w zastosowaiach ekoomiczch fukcją Cobba-Douglasa postaci:,8, P( K; L,5 K L gdzie parametr K ozacza wielkość zaagażowaego kapitału produkcjego, a L wielkość zatrudioej sił roboczej
5 Obliczm wielkość produkcji tego zakładu dla K 8 (ml zł i L, 6 Po podstawieiu do podaej fukcji mam astępującą wartość produkcji (możem skorzstać p z Ecela:,8, P (8;,6,5 8,6,5,,986 55,6 Ogólie fukcja Cobba-Douglasa ma postać r, a dziedzią jest : {( K; L R ; K > ; L > } c >, (; D p r r P( K; L c K L, gdzie parametr Zobaczm jeszcze, o ile zmiei się wartość fukcji Cobba-Douglasa, jeżeli oba jej parametr zostaą jedocześie powiększoe o % w stosuku do wjściowch wartości podach wżej ( K 8, L, 6? Mam teraz K, K oraz L, L, stąd P( K ; L,5 K,,8,8,, L,,5 K,5 (, K,8 L,,8, (, L (,8,, P( K; L, P( K; L Jak widzim z powższego jedoczesa zmiaa obu parametrów o procet spowoduje zwiększeie wartości fukcji produkcji rówież o procet Pochode cząstkowe pierwszego rzędu W zastosowaiach praktczch fukcji wielu zmiech istota jest możliwość obliczaia krańcowch zmia wartości tej fukcji dla wbraego argumetu i prz ustaleiu wartości pozostałch argumetów jak rówież tempo tch zmia W przpadku fukcji jedej zmieej odpowiedzi a podobe ptaia bł osiągale dzięki wprowadzeiu pojęcia pochodej fukcji W przpadku fukcji wielu zmiech będziem korzstać z tzw pochodch cząstkowch Określeie: Pochodą cząstkową pierwszego rzędu fukcji f ; ; w pukcie zapis ( j ( j ; ; ; azwam graicę (jeżeli istieje ilorazu różicowego j f ( ;; j j ;; f ( ;; j ;; f ( ;; Dla ozaczeia pochodej cząstkowej ze względu a zmieą f j zamiast f ( ;; j j j j moża także stosować Dla fukcji zmiech rozpatrujem pochodch cząstkowch pierwszego rzędu, choć iekoieczie wszstkie muszą istieć Jeżeli pochode cząstkowe istieją dla każdego puktu ależącego do dziedzi fukcji wielu zmiech, to taką fukcję azwam różiczkowalą w zbiorze X D f
6 Dla fukcji dwóch zmiech ; ( f moża więc wzaczć dwie pochode cząstkowe pierwszego rzędu: f f f f ; ( ; ( ; ( f f f f ; ( ; ( ; ( Prz wzaczaiu pochodch cząstkowch względem zmieej j pozostałe zmiee traktujem jako stałe, stąd prz wzaczaiu pochodch cząstkowch korzstam z reguł pochodej jedej zmieej Przkład 5 Wzaczm pochode cząstkowe fukcji si ; ( f Traktując zmieą jako stałą wzaczam pochodą cząstkową względem : f 6 ( (si ( Aalogiczie obliczam pochodą cząstkową względem zmieej : f cos cos ( (si ( Przkład 5 Wzaczm pochode cząstkowe pierwszego rzędu fukcji dwóch zmiech,5 ( ; ( f Jeda trudość w porówaiu z poprzedim przkładem związaa jest z faktem, że tm razem mam fukcję złożoą: ( (,5 f,5 ( (,5,5 f Przkład 5 Wzaczm obie pochode cząstkowe pierwszego rzędu w przpadku fukcji produkcji Cobba-Douglasa [ ] ( ( ; ( r r r r r r r r r L K cr K L cr K r L c K L c L K c K L K P [ ] r r r r r r r r r L K r c L K r c L r ck L K c L K c L L K P ( ( ( ( ( ; ( Użt w tch przekształceiach iloraz L K azwam techiczm uzbrojeiem prac, gdzie K jest wartością majątku produkcjego, a L jest wielkością zatrudieia w sferze produkcjej
7 Zastosowaie pochodch cząstkowch W iterpretacji ekoomiczej wartość pochodej cząstkowej względem zmieej fukcji dwóch zmiech f ( ; szacuje krańcową zmiaę wartości fukcji w tm pukcie spowodowaą zmiaą wartości zmieej o i prz ustaloej wartości drugiej zmieej Podobie pochoda f ; szacuje krańcową zmiaę wartości fukcji w tm ( pukcie spowodowaą zmiaą wartości zmieej o i prz ustaloej wartości drugiej zmieej Tm samm dodatia wartość pochodej cząstkowej w dam pukcie ozacza wzrost wartości fukcji w otoczeiu puktu ( ; wwoła wzrostem wartości odpowiediej zmieej Aalogiczie ujema wartość pochodej cząstkowej sgalizuje spadek wartości fukcji w otoczeiu puktu ( ; wwoła wzrostem wartości odpowiediej zmieej Podobie jak w przpadku fukcji jedej zmieej możem wprowadzić określeia elastczości (cząstkowej względem poszczególch zmiech Określeie: Jeżeli daa jest fukcja f ( ; i taki pewie pukt ( ~ ; ~ D f w którm fukcja f jest różiczkowala, to: Jeżeli ~ > f ( ~ ; ~ >, to wrażeie ~ ~ ~ f ( ~ ; ~ E f ( ; f ( ~ ; ~ azwam elastczością cząstkową ze względu a zmieą fukcji f w pukcie ( ~ ; ~ Jeżeli ~ > f ( ~ ; ~ >, to wrażeie ~ ~ ~ f ( ~ ; ~ E f ( ; f ( ~ ; ~ azwam elastczością cząstkową ze względu a zmieą fukcji f w pukcie ( ~ ; ~ Przkład 55 Wzaczm elastczości cząstkowe fukcji f ( ; 7 8 w pukcie ( ;, a astępie ziterpretujem uzska wik Zgodie z podam wżej określeiem mam astępujące wzor ogóle: 7 E f ( ; E f ( ; 7 8 7 8 W podam pukcie ( ; elastczości te woszą odpowiedio: E f ( ;,6 7 8 56 7 8 E f ( ;,5 7 8 56
8 Uzskae wskaźiki moża ziterpretować astępująco: Jeżeli zwiększm wartość zmieej o % prz iezmieioej wartości zmieej, to wartość fukcji f (; wzrośie o około,6% Podobie zwiększeie wartości zmieej o % prz iezmieioej wartości zmieej spowoduje wzrost wartości fukcji f (; o,5% Materiał dotcząc fukcji wielu zmiech został w tm zeszcie potraktowa bardzo skrótowo, w miarę potrzeb odsłam Cztelika do obszerej literatur przedmiotu 5 Literatura E Bańkowska i i Egzami wstęp a wższe uczelie Zbiór zadań Wdawictwo Podkowa, Gdańsk 99 B Gdowski, E Pluciński Zbiór zadań z matematki dla kaddatów a wższe uczelie Wdawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 98 J Górczński Ćwiczeia z matematki Zeszt Fukcje i ciągi liczbowe WSZiM w Sochaczewie, Sochaczew JGórczński Ćwiczeia z matematki Zeszt Macierze i rozwiązwaie rówań liiowch WSZiM w Sochaczewie, Sochaczew 5 J Kłopotowski i i Matematka dla studiów zaoczch (pod red I Nkowskiego Ofica Wdawicza SGH, Warszawa 995 6 J Laszuk Matematka Studium podstawowe Ofica Wdawicza SGH, Warszawa 996 7 J Laszuk Matematka Rozwiązaia zadań Wskazówki i odpowiedzi Studium podstawowe Ofica Wdawicza SGH, Warszawa 997 8 R Leiter, W Żakowski Matematka dla kaddatów a wższe uczelie techicze Część I Wdawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 98 9 R Leiter, W Żakowski Matematka dla kaddatów a wższe uczelie techicze Część II Wdawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 98 A Zieliński Wkład z matematki praktczej Fudacja Rozwój SGGW, Warszawa 997