BAANIA SYMULACYJNE SEOWANIA OBOEM ÓWNOLEGŁYM Z NAPĘEM HYAULICZNYM Ioannis AVLIAKOS Evangeos PAPAOPOULOS Nationa echnica University of Athens epartment of Mechanica Engineering 578 Athens Greece Janusz FĄCZEK Marek WOJYA Poitechnika Warszawska Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Instytut echniki Lotnicze i Mechaniki Stosowane Nowowieska 4-5 Warszawa. WPOWAZENIE Siłowniki eektrohydrauiczne są często stosowane do napędu manipuatorów równoegłych typu patformy Stewarta. Zaetą tego typu napędów est ich zdoność do wytwarzania dużych sił przy dużych prędkościach ruchu ich duża trwałość sztywność i szybkość odpowiedzi na sygnały steruące. Istotną cechą różniąca napęd hydrauiczny od eektrycznego est nieproporconaność wytwarzane siły do natężenia prądu steruącego siłownikiem. W rezutacie układy sterowania zaproektowane da robotów z napędem eektrycznym nie mogą być stosowane do robotów napędzanych hydrauicznie. Zwięzły przegąd metod sterowania używanych w przypadku napędów eektrohydrauicznych można znaeźć w [3]. W nowoczesnych konstrukcach robotów równoegłych typu patformy Stewarta coraz częście odchodzi się od metod sterowania pozycynego stosuąc sterowanie z modeem dynamiki odwrotne. Ze wzgędu na dużą częstotiwość taktowania układu sterowania obiczenia pożądanych sił napędowych muszą być prowadzone bardzo szybko. Z tego właśnie powodu mode dynamiki odwrotne manipuatora wykorzystywany przez układ sterowania robotem est zazwycza uproszczony i nie oddae zawisk towarzyszących ruchowi manipuatora w pełne złożoności. W przypadku napędu hydrauicznego poawiaą się dodatkowe probemy wynikaące stąd że siła generowana przez siłownik est sinie nieiniową funkcą prądu steruącego serwozaworem hydrauicznym. Układ sterowania robotem musi zatem korzystać z modeu obiczeniowego siłownika i serwozaworu podczas wyznaczania wartości sygnałów steruących. odatkowym probemem est odpowiednio dokładne wyznaczenie parametrów np. współczynników tarcia wykorzystywanych przez mode obiczeniowy zaimpementowany w układzie sterowania. Ceem prezentowane pracy było zbadanie aki wpływ na osiąganą akość sterowania wywieraą niedokładności modeu dynamiki używanego przez układ sterowania. Niedokładności te mogą wynikać z przyętych uproszczeń oraz z nieprecyzynego oszacowania niektórych parametrów modeu. Przeprowadzone badania pomagaą ustaić dopuszczany stopień uproszczeń modeu dynamiki wykorzystywanego przez układ sterowania oraz okreśić pożądaną dokładność pomiaru parametrów modeu. Badania przeprowadzono wykorzystuąc mode symuacyny manipuatora równoegłego wraz z układem napędowym i układem sterowania. o zbudowania modeu użyto dwóch pakietów przeznaczonych do obiczeń inżynierskich. Pierwszy z nich służy do
modeowania układów wieoczłonowych a drugi do symuaci procesów sterowania. Obiczenia były prowadzone ednocześnie przez dwa współpracuące pakiety. raektoria zadana Zadaine odwrotne kinematyki L L L e e MALAB Sterownik L L Zadanie proste kinematyki L r v a ω ε Zadanie odwrotne dynamiki + tarcie Uproszczony mode patformy Mode serwozaworów Siłowniki eektrohydrauiczne P H i P AAMS Zadanuie proste dynamiki Patforma Stewarta raektoria zreaizowana ys. : Schemat modeu symuacynego o modeowania mechanizmu patformy Stewarta użyto pakietu do obiczeń układów wieoczłonowych. Program ten w sposób automatyczny układa i rozwiązue równania ruchu opisuące anaizowany układ mechanizm. zięki te właściwości stosunkowo łatwo można wprowadzać zmiany w modeu i uwzgędniać czynniki takie ak tarcie w parach kinematycznych niedokładności wykonania mechanizmu ego oddziaływanie z otoczeniem itp. Wprowadzanie zmian nie wymaga pracochłonnego wyprowadzania i oprogramowywania aeko idące uproszczenia modeu nie są zatem konieczne. odatkową korzyścią wynikaącą z zastosowania pakietu est możiwość ogądania animaci manipuatora w ruchu. Układ sterowania oraz serwozawory eektrohydrauiczne są modeowane w programie do symuaci procesów sterowania. Sterowanie manipuatorem wykorzystue mode ego dynamiki zachodzi zatem konieczność rozwiązywania zadania odwrotnego dynamiki w każdym kroku sterowania. W obiczeniach siły napędowe uwzgędnia się także tarcie występuące w układzie. Wykorzystywany przez układ sterowania mode dynamiki manipuatora est znacznie uproszczony by umożiwić szybkie obiczenia. Schemat modeu symuacynego przedstawiono na rysunku. Warto zwrócić uwagę że zawiska hydrauiczne zachodzące w serwozaworach i siłownikach (przepływy oeu) modeowane są w pakiecie do symuaci procesów sterowania natomiast zawiska mechaniczne (ruch eementów siłownika) w programie do modeowania układów wieoczłonowych.. KINEMAYKA MANIPULAOA Schemat kinematyczny manipuatora pokazano na rysunku. a uproszczenia pokazano tyko eden siłownik hydrauiczny. z y x s B r x z y d u A ys.. Uproszczony schemat kinematyczny manipuatora
Współrzędne wektorów wodzących d i (i ) są stałe w układzie π (związanym () z podstawą manipuatora) a współrzędne wektorów wodzących s i (i ) są stałe w układzie π (związanym z patformą ruchomą)... Obiczanie traektorii zadane Położenie okanego układu odniesienia π w układzie gobanym π est opisane przez wektor r aq orientaca układu π wzgędem π est dana przez trzy kąty Euera (z x z ): ϕ ϕ ϕ 3. Współrzędne wektora r oraz wartości kątówϕ ϕ ϕ 3 są zadanymi funkcami czasu. a zadanych wartości kątów Euera macierz kosinusów kierunkowych opisuąca orientacę układu π wzgędem π dana est następuącym wzorem: cosϕ sinϕ cosϕ3 sinϕ3 ( ) ( ) ( ) sin cos cos sin sin cos z ϕ x ϕ z ϕ3 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ3 ϕ3 sinϕ cosϕ () cosϕ3 cosϕ sinϕ3 cosϕ sinϕ sinϕ3 cosϕ cosϕ3 cosϕ sinϕ sinϕ sinϕ sin 3 cos cos + cos 3 sin cos 3 cos cos sin 3 sin sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ. sinϕ3 sinϕ cosϕ3 sinϕ cosϕ Prędkość iniową początku układu π wzgędem π obicza się różniczkuąc wektor r wzgędem czasu: v r () natomiast prędkość kątową układu π można obiczyć w następuący sposób: ϕ α cosϕ sinϕ sinϕ ω E( ϕ ) E( ϕ )ϕ ϕ ϕ3 ϕ ϕ β E ( ϕ) sinϕ cosϕ sinϕ. (3) ϕ 3 γ cosϕ Przyspieszenie iniowe początku układu π obicza się różniczkuąc wektor prędkości: a v r (4) a przyspieszenie kątowe dane est następuącymi wzorami: ε ω E ϕ + Eϕ ( ϕ ϕ ).. Zadanie odwrotne kinematyki ϕ sinϕ ϕ cosϕ sinϕ + ϕ sinϕ cosϕ E ϕ cosϕ ϕ sinϕ sinϕ ϕ cosϕ cosϕ. (5) ϕ sinϕ Zadanie odwrotne kinematyki poega na wyznaczeniu ruchu siłowników (długości oraz prędkości i przyspieszenia wysuwania) kiedy dany est ruch patformy (położenie prędkość i przyspieszenie). Jeśi wektor r oraz macierz są dane to wektor o początku w punkcie A oraz końcu w punkcie B można obiczyć ze wzoru: r + s () ługość wektora i można obiczyć ze wzoru: Wersor kierunkowy siłownika zdefiniuemy ako: d. (). (7) 3
u. (8) ługości wszystkich sześciu siłowników zestawmy w sześcioeementowy wektor L: [ ] L L. (9) óżniczkuąc równanie () wzgędem czasu i wykorzystuąc własności pochodne macierzy rotaci uzyskuemy: () r s v ωs ~ () + + v + ω ~ s. () W powyższym równaniu przez s oznaczono współrzędne wektora wodzącego punktu B w układzie π zapisane w układzie π ( s ). () s Wersor u ma ednostkową długość. Zatem pochodna wersora u est do niego prostopadła. Można to wyrazić za pomocą następuących równań: u () u u Wektor można zapisać w następuący sposób: u. () u. (3) óżniczkuąc równanie (3) wzgędem czasu otrzymuemy: u + u. (4) Mnożąc powyższe równanie ewostronnie przez u oraz uwzgędniaąc zaeżności () i () uzyskuemy: u u u + u u. (5) Uwzgędniaąc zaeżność () w równaniu (5) uzyskuemy: v u u ( v + ωs ~ ) u v u ~ sω J () ω W powyższym równaniu przez J oznaczono -ty wiersz akobianu manipuatora: J u u ~ s. (7) [ ] ównanie () pozwaa na obiczenie poszukiwanych prędkości wydłużania się siłowników. Prędkości siłowników zestawić w sześcioeementowy wektor L : [ L ] L. (8) óżniczkuąc równanie () wzgędem czasu uzyskuemy: v ωs ~ () ωs ~ () v ωs ~ () ωωs ~ ~ () + + + + a + ~ εs + ωω ~ ~ s. (9) Zróżniczkowanie równania (5) prowadzi do wzoru: u + u. () Wektor u można wyznaczyć z zaeżności (4): u Podstawiaąc (9) do () otrzymuemy: ( u ). () 4
u + u a ε ( a ~ εs ωωs ~ ~ ) u a u ~ sε u u ωωs ~ ~ + + + + J + u + ui ωω ~ ~ s. () Powyższe równanie pozwaa na obiczenie poszukiwanych przyspieszeń. Przyspieszenia siłowników zestawić w sześcioeementowy wektor L :.3. Zadanie proste kinematyki [ L ] L. (3) Zadanie proste kinematyki poega na wyznaczeniu ruchu patformy (położenie prędkość i przyspieszenie) kiedy dany est ruch siłowników (długości oraz prędkości i przyspieszenia wysuwania). Zadanie o położeniach będzie rozwiązywane metodami numerycznymi datego da uzyskania prostszego zapisu wygodnie est nadać ednoite nazwy poszukiwanym wiekościom opisuącym położenie i orientacę patformy ruchome (współrzędne wektora r i kąty Euera odpowiadaące macierzy ). Wprowadźmy następuące oznaczenia: q [ q q q q q q ] [ r r r ϕ ] [ r ϕ ] 3 4 5 x y z ϕ3 ϕ. (4) Podnosząc do kwadratu równanie (7) i uwzgędniaąc wzór () otrzymuemy: () () ( r + s d ) ( r + s d ). (5) Powyższe równanie można napisać da każdego siłownika ( ). ysponuemy zatem układem sześciu równań z których naeży wyznaczyć poszukiwane wiekości r oraz. ównania typu (5) można zapisać łącznie w postaci: ( ) [ ( q) Φ ( q) ] Φ q gdzie Φ est zdefiniowane następuąco: ( q) Φ ( r ϕ) r + ( ϕ) Φ L () () () ( s d ) ( r + ( ϕ) s d ) Φ. (7) Układ równań nieiniowych rozwiązywany będzie numerycznie metodą Newtona aphsona. Spośród możiwych rozwiązań zadania kinematyki interesue nas tyko edno odpowiadaące konfiguraci w akie zmontowano mechanizm. atego szczegóną uwagę poświęcono właściwemu doborowi przybiżenia startowego q. Stwierdzono że dobre rezutaty uzyskue się rozpoczynaąc proces iteracyny od wektora q reprezentuącego centrany punkt przestrzeni robocze. Wykonano też testy numeryczne potwierdzaące że iterace zbiegaą do pożądanego rozwiązania. W metodzie Newtona aphsona schemat iteracyny est następuący: q k k [ Φ ( q )] Φ( q ) k + k q q. (8) Stosowanie metody Newtona aphsona wymaga zróżniczkowania odwzorowania () wzgędem poszukiwanych wiekości q. ozpocznimy od obiczenia pochodnych cząstkowych macierzy kosinusów kierunkowych (): ( ( ϕ )) ϕ Ω ( ϕ) ( ϕ ) ( ϕ3 ) z z x z ( ( ϕ )) ϕ ( ϕ) ( ϕ ) ( ϕ3 ) z Ω x x z ( ( )) ( ϕ ) ( ϕ ) Ω ( ) ϕ ϕ3 z x z z ϕ3 gdzie stałe macierze Ω x i Ω z zdefiniowane są następuąco: (9) 5
. z x Ω Ω (3) Powyższych wzorów można użyć podczas obiczania pochodnych zaeżności (7). Wykonuąc rachunki i wykorzystuąc wzór na pochodną ioczynu skaarnego wektorów otrzymuemy (da ): ( ) ( ) ( ) ( ) d s r r r () + ϕ ϕ Φ (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( () () k k k s s d s r r ϕ ϕ ϕ Φ ϕ ϕ ϕ ϕ + k 3. (3) ysponuemy uż wszystkimi niezbędnymi formułami. a porządku przypomnimy że rozwiązywane przez nas równania kinematyki dane są wzorami (7). Eementy macierzy q Φ obiczamy korzystaąc z zaeżności (3) i (3) a schemat iteracyny dany est przez (8). Po wykonaniu obiczeń dotyczących zadania o położeniu wiekości r oraz są znane. Wykonuąc obiczenia według wzorów () (7) (8) oraz (7) (da ) można obiczyć akobian manipuatora J. ównania () da i można zestawić w edno: ω v J ω v J J L M M. (33) W zadaniu prostym prędkości siłowników są dane zatem poszukiwane prędkości patformy v oraz ω obicza się rozwiązuąc układ równań iniowych (33). Po wykonaniu obiczeń dotyczących zadań o położeniu i prędkości wiekości r v oraz ω są znane. Wykonuąc obiczenia według wzorów () oraz () (da ) można obiczyć oraz u. ównania () da można zestawić w edno: ~ ~ ~ ~ ωωs u u ωωs u u ε a J M. (34) W zadaniu prostym przyspieszenia siłowników są dane zatem poszukiwane przyspieszenia patformy a oraz ε obicza się rozwiązuąc układ równań iniowych (34). 3. YNAMIKA MANIPULAOA 3.. Zadanie proste dynamiki Zadanie proste dynamiki poega na wyznaczeniu ruchu mechanizmu kiedy dane są siły działaące na ten mechanizm. Zadanie to będzie rozwiązywane przez program do anaizy układów wieoczłonowych który automatycznie układa równania opisuące modeowany mechanizm zatem nie musimy wyprowadzać równań ruchu manipuatora w postaci pełne (pozbawione istotnych uproszczeń).
3.. Zadanie odwrotne dynamiki (uproszczone) Zadanie odwrotne dynamiki poega na obiczaniu wartości sił napędowych akie naeży przyłożyć do mechanizmu aby uzyskać żądany ruch. Układ sterowania robotem będzie korzystał z rozwiązania zadania odwrotnego dynamiki. o obiczeń zostanie wykorzystany uproszczony mode dynamiki manipuatora. Wszystkie za wyątkiem patformy ruchome człony manipuatora będą traktowane ak nieważkie. arcie w parach kinematycznych będzie pominięte (za wyątkiem tarcia w siłownikach które zostanie omówione osobno w punkcie 3.3). Zakładamy ze środek masy patformy ruchome pokrywa się z początkiem układu odniesienia π. Przymuemy że patforma charakteryzowana est przez masę m i macierz momentów bezwładności I (). Eementy macierzy I () wyznaczane wzgędem okanego poruszaącego się wraz z patformą układu π są stałe. Momenty bezwładności wyznaczane wzgędem środka masy patformy i kierunków osi układu π związanego z podstawą zmieniaą się wraz z ruchem patformy. Macierz bezwładności wyznaczoną wzgędem kierunków osi układu π można obiczyć ze wzoru: I () I. (35) ównanie Newtona wiąże wypadkową siłę oddziaływania siłowników na patformę ruchomą z e masą i przyspieszeniem: F ma. (3) Zaeżność pomiędzy przyspieszeniem i prędkością kątową patformy ruchome oraz e macierzą bezwładności a wypadkowym momentem oddziaływania siłowników iczonym wzgędem środka masy dana est równaniem Euera: M I ε + ω ~ I ω. (37) a zadanego ruchu patformy siłę F oraz moment M można wyznaczyć wprost z równań (3) oraz (37). Wypadkowa siła F oraz moment M oddziaływania siłowników na patformę ruchomą są związane z siłami P rozwianymi przez poszczegóne siłowniki poprzez akobian manipuatora J [ 8]: F J P M P [ P P ] K. (38) ozwiązanie zadania odwrotnego dynamiki poega zatem na wykonaniu obiczeń według wzorów (35) (37) i rozwiązaniu układu równań iniowych (38). Sposób obiczania akobianu manipuatora omówiono w punkcie.3. 3.3. arcie w siłownikach hydrauicznych H Siła P z aką siłownik działa na patformę różni się od siły parcia P wywierane przez oe na denko tłoka. óżnica spowodowana est przez występowanie tarcia pomiędzy eementami siłownika. Podczas symuaci przyęto następuący mode siły tarcia P F występuące w -tym siłowniku [4]: P F ( ) FC sgn P FS sgn ext + b ext ( P ) P P ext ext < F S F S (39) 7
gdzie: b est współczynnikiem tarcia wiskotycznego F C siłą tarcia Couomba F S maksymaną siłą tarcia statycznego a F ext siłą zewnętrzną działaącą na siłownik. 4. SIŁOWNIK HYAULICZNY 4.. Naważniesze zaeżności W niniesze pracy wykorzystano równania opisuące siłownik oraz zawór eektrohydrauiczny zaczerpnięte z prac [4] i [5] wprowadzaąc ednak pewne modyfikace. o sterowania siłownikiem służy serwozawór eektrohydrauiczny pokazany na rysunku 3a. Częstości własne serwonapędu znacznie przewyższaą częstości własne ego obciążenia mechanicznego datego w modeu pominięto dynamikę eementów zaworu uwzgędniaąc edynie opory przepływu. Założono również że geometria zaworu est ideana a w siłowniku nie występuą przecieki [ 7]. ypowy serwozawór hydrauiczny umożiwia przepływ oeu czterema drogami. Opory przepływu zmienia się przykładaąc napięcie steruące. Siłownik hydrauiczny wraz z serwozaworem może być przedstawiony ako hydrauiczny odpowiednik mostka Wheastone a pokazany na rysunku 3b. a) b) p S P Q f Q f A f (i) f (i) Q p p Q g (i) g (i) Q g Q g B p ys. 3. Serwozawór w przekrou (a) oraz schemat serwozaworu i siłownika (b) Kiedy prąd steruący zaworem est dodatni (i > ) oe przepływa drogą P A B a przepływ przez otwory P B i A ma charakter przecieków. Podobnie kiedy prąd steruący est uemny (i < ) przepływ następue drogą P B A a przecieki przedostaą się przez otwory P A i B. Natężenia przepływu cieczy robocze poprzez każdą z dróg w rozdzieaczu hydrauicznym zaeżą od ciśnień panuących w układzie oraz od współczynników przepływu f f g i g. Zaeżności te można zapisać w formie równań: Q f f( i Cd ρ) ps p Qg g( i Cd ρ) p p (4) Q f f( i Cd ρ) ps p Qg g( i Cd ρ) p p gdzie Q f Q f Q g i Q g oznaczaą odpowiednio przepływy przez otwory P A P B A i B p S oznacza ciśnienie zasiania p ciśnienie powrotne p ciśnienie w siłowniku hydrauicznym po stronie tłoka p ciśnienie w siłowniku po stronie tłoczyska i est natężeniem prądu w siniku serwozaworu (sygnałem steruącym) a f (i C d ρ) f (i C d ρ) g (i C d ρ) oraz g (i C d ρ) są nieiniowymi funkcami prądu steruącego współczynnika C d oraz gęstości oeu ρ. 8
W ogónym przypadku współczynnik C d zaeży od iczby charakteryzuące przepływ eynodsa i geometrii zaworu. Zaeżność funkci f f g i g od iczby eynodsa i gęstości oeu nie est sina zatem funkce f (i C d ρ) f (i C d ρ) g (i C d ρ) oraz g (i C d ρ) można zredukować do f (i) f (i) g (i) oraz g (i) uwzgędniaąc edynie zaeżność od prądu steruącego [5]. Uwzgędniaąc symetrię serwozaworu można sformułować następuące zaeżności: f() i g( i) f( i) g( i) (4) f() i g() i f( i) g( i). Badania doświadczane [3] wykazały że rozsądnym przybiżeniem est przyęcie iż powyższe funkce zaeżą iniowo od prądu steruącego kiedy droga przepływu est otwarta oraz że maą one stałą wartość kiedy przepływ ma charakter przecieku. Na przykład kiedy i > główny przepływ następue przez otwory P A i B a funkce występuące w równaniu (4) można zapisać w następuący sposób: f () i g( i) K + K f () i g () i K gdzie stały współczynnik K odpowiada za przepływ przez otwarty otwór a stały współczynnik K za przecieki kiedy droga przepływu est zamknięta. Ze wzgędu na symetrię wykonania zaworu współczynniki K i K są ednakowe da wszystkich dróg. Natężenie przepływu cieczy robocze wpływaące do cyindra po stronie tłoka (Q ) oraz wypływaące z cyindra po stronie tłoczyska (Q ) można obiczyć w następuący sposób: Q Q f Q g (43) Q Q g Q f. Natężenia przepływu Q i Q zaeżą także od prędkości ruchu tłoka wzgędem cyindra: Q A Q A. (44) i gdzie A oznacza powierzchnię czynną tłoka a A powierzchnię tłoka pomnieszoną o powierzchnię tłoczyska. Wypadkowa siła oddziaływania na tłok zaeży od ciśnień panuących po obu stronach tłoka i wyraża się wzorem: 4.. Obiczanie rozwiane siły P H A p A (4) p. (45) W trakcie symuaci pracy manipuatora konieczne będzie obiczanie sił rozwianych przez siłowniki. Siła generowana przez siłownik zaeży od dwóch czynników: prędkości ruchu tłoka wzgędem cyindra oraz natężenia prądu steruącego eektrozaworem. Podstawiaąc (44) oraz (4) do (43) otrzymuemy: f p p g p p A (4) g S p p f ps p A. (47) Pierwsze z powyższych równań pozwaa na obiczenie ciśnienia p a drugie ciśnienia p. ównanie (4) est w istocie równaniem kwadratowym wzgędem p. Jego rozwiązanie est następuące (interesue nas tyko rozwiązanie z przedziału [p p S ] ): 9
p p 4 4 ( p + ps ) f g + p g + ps f ( f g ) A m fg A ( ps p )( f + g ) ( f +g ) Soving equation (47) for p yieds: 4 4 ( p + ps ) f g + p g + ps f ( f g ) A ± f ga ( ps p )( f + g ) ( f +g ) A A. (48). (49) Naeży zauważyć że równania (4) i (47) zostały dwukrotnie podniesione do potęgi drugie by uzyskać równania kwadratowe wzgędem p i p. Może się zatem zdarzyć że znaezione wartości ciśnień spełniaą wprawdzie odpowiednie równania kwadratowe ae nie spełniaą równań (4) i (47). Zatem podczas obiczeń naeży zawsze sprawdzać czy rozwiązania uzyskane z równań (48) i (49) są właściwe. Po wyznaczeniu ciśnień p i p poszukiwaną siłę wyznacza się wprost z równania (45). Korzystaąc z powyższych równań można wyznaczyć zaeżność siły rozwiane przez serwonapęd hydrauiczny od ego chwiowe prędkości oraz od natężenia prądu steruącego. Zaeżność tę przedstawiono w formie wykresu pokazanego na rysunku 4. W obiczeniach wartości ciśnień p i p były ograniczane do przedziału [p p S ]. Siła [N] 5.5-5.5 Prędkość [m/s] -.5 - -.5 Prąd [A] ys. 4. Siła rozwiana przez siłownik w funkci prędkości i prądu steruącego 4.3. Obiczanie prądu steruącego Układ sterowania manipuatorem rozwiązue odwrotne zadanie dynamiki i wyznacza siły niezbędne do wykonania zadanego ruchu. Następnie da znane prędkości ruchu siłownika i zadane siły naeży obiczyć odpowiednią wartość natężenia prądu steruącego. Anaityczną formę zaeżności pomiędzy zadaną siłą P H a poszukiwanym prądem i można uzyskać podstawiaąc (48) i (49) do (45) a następnie wykorzystuąc zaeżności (4). Uzyskana zaeżność byłaby ednak zbyt skompikowana by anaitycznie wyznaczyć z nie poszukiwane natężenie prądu. atego zdecydowano się na zastosowanie metody numeryczne. Obiczaąc poszukiwane natężenie prądu steruącego i posłużono się metodą bisekci. Wykorzystano procedurę pozwaaącą na obiczenie siły P H gdy dane są natężenie i oraz
prędkość (patrz punkt poprzedni). Prędkość est dana zatem zaeżność P H ( i ) może być traktowana ako funkca edne zmienne prądu i. Poszukiwane natężenie prądu steruącego musi naeżeć do przedziału [ i max i max ]. Jak wynika z rysunku 4 da ustaone prędkości zaeżność siły P H od natężenia i est monotoniczna. zięki temu zastosowanie metody bisekci est możiwe. Procedura bisekci działa poprawnie eśi da zadane siły H P oraz chwiowe prędkości spełniony est warunek: H P i H H ) < P < P ( i ). (5) ( min max W przeciwnym wypadku zadana siła est nieosiągana. W wyniku obiczeń uzyskuemy natężenie prądu steruącego i max (ub i max ) odpowiadaące maksymane (ub minimane) sie aką może rozwinąć siłownik. 5. UKŁA SEOWANIA W obiczeniach wykorzystano opisany w pracy [4] układ sterowania napędzaną hydrauicznie patformą Stewarta. Układ sterowania wykorzystue mode dynamiki manipuatora oraz modee siłowników hydrauicznych wraz z serwozaworami. Własności dynamiczne urządzenia są znane zatem w zastosowanym podeściu sprzężenie zwrotne na poziomie sił ciśnień i przyspieszeń nie est konieczne mierzone są edynie chwiowe długości i prędkości siłowników. Prawo sterowania skonstruowane est w taki sposób by uchyb sterowania dążył asymptotycznie do zera niezaeżnie od zmian obciążenia patformy. Uchyby na poziomie położeń i prędkości redukowane są ednocześnie. Wartości sygnałów steruących (prądów steruących serwozaworami) dobiera się w taki sposób by spełnione było następuące równanie: e K e + K e (5) + v p gdzie e L L est uchybem sterowania ( L est -eementowym wektorem zadanych długości siłowników) a K p k pi oraz K v k vi diagonanymi macierzami wzmocnienia w torze położenia i prędkości. Współczynniki wzmocnienia k p i k v są tak dobrane by rozwiązanie równania (5) miało charakter aperiodyczny krytyczny. W pierwsze fazie obiczeń układ sterowania na podstawie zadane traektorii patformy ruchome wyznacza rozwiązuąc zadanie odwrotne kinematyki zadane długości L prędkości L i przyspieszenia siłowników L. W rzeczywistym manipuatorze rzeczywiste długości L oraz prędkości L siłowników są mierzone przez odpowiednie czuniki. W modeu symuacynym wartości te są obiczane przez pakiet anaizy układów wieoczłonowych dzięki czemu można zamknąć pętę sprzężenia zwrotnego w układzie sterowania. Koenym krokiem obiczeń est wyznaczenie przyspieszeń. a danych wiekości L L L L i L obicza się wartość L spełniaącą równanie (5): L L + K e + K e L + K L L + K L L. (5) ( ) ( ) v p v p Następnym etapem obiczeń est rozwiązanie zadania odwrotnego dynamiki manipuatora w którym da danych L L i L obicza się siły napędowe niezbędne do reaizaci zadanego ruchu. ozwiązanie zadania odwrotnego dynamiki musi być poprzedzone rozwiązaniem zadania prostego kinematyki w którym ruch siłowników przeiczany est na
ruch patformy. Obiczenia kończą się wyznaczeniem prądów steruących serwozwaorami przy których osiągnięte zostaną wyznaczone wcześnie siły napędowe.. WYNIKI OBLICZEŃ SYMULACYJNYCH Schemat modeu symuacynego przedstawiono na rysunku. Przeprowadzono cyk symuaci których ceem było sprawdzenie aki wpływ na akość sterowania robotem maą uproszczenia modeu dynamiki wykorzystywanego przez układ sterowania. Wszystkie obiczenia przeprowadzano da te same traektorii zadane. raektoria patformy ruchome była opisana następuącymi równaniami: ( π f t) ( π f t) ( π f t) ( t) α cos( π f t) () t π + β sin( π f t) () t γ sin( π f ) xsin ϕ r () t y cos ϕ (53) z + z sin ϕ3 t gdzie parametry x y z z α β γ f maą stałe wartości a czas t naeży do przedziału [ τ]. Manipuator w koenych fazach ruchu pokazano na rysunku 5. ys. 5. Manipuator w koenych fazach ruchu Jakość sterownia oceniano na podstawie przebiegu uchybu położenia e L L (różnica między zadanymi a zreaizowanymi długościami siłowników) oraz prędkości e L L. Uchyby sterownia e i e są zmiennymi w czasie sześcioeementowymi wektorami. a ułatwienia porównań wprowadzono skaarne miary uchybów zwane dae uchybami średnimi: e p τ τ e () t e() t dt e e () t e () t v τ τ dt. (54) Przeprowadzono symuace w kiku wariantach. Opis symuaci oraz ich syntetyczne wyniki w postaci uchybów średnich e L i e V zamieszczono w tabei.
abea. Opis przeprowadzonych symuaci i ich syntetyczne wyniki Mode dynamiki odwrotne (pakiet do ukł. sterowania) A. arcie pominięte B. arcie pominięte C. arcie pominięte. arcie pominięte E. arcie pominięte arcie uwzgędnione F. Skorygowana masa patformy arcie pominięte G. Skorygowana masa patformy arcie niedoszacowane H. Skorygowana masa patformy arcie przeszacowane I. Skorygowana masa patformy J. K. L. M. arcie uwzgędnione Skorygowana masa patformy arcie uwzgędnione Skorygowana masa patformy arcie uwzgędnione Skorygowana masa patformy arcie uwzgędnione Skorygowana masa patformy k p oraz k v zwiększone Mode symuacyny manipuatora (pakiet do ukł. wieoczłonowych) arcie pominięte Pominięte masy siłowników arcie pominięte Uwzgędnione masy siłowników arcie uwzgędnione Pominięte masy siłowników arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników arcie uwzgędnione Actuator masses incuded arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników Wymiary zmienione o % arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników Obciążenie dołączone do patformy arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników uchome obciążenie patformy arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników uchome obciążenie patformy e p [mm] e v [mm/s].8.8 3.5 4.3 7.77 33. 8.5 3.9 3.5 4.9.5.5 7.7 3.73 4.4 9.4 3.89 4.8.33..8 4.5.3...94 Prawidłowa interpretaca informaci zawartych w tabei wymaga zwrócenia uwagi na kika kwestii: Wszystkie symuace przeprowadzono da takich samych nastaw k p 4π i k v π wykorzystywanych przez prawo sterowania. Wyątek stanowi symuaca M w które wzmocnienia zwiększono do wartości k p 5π i k v 3π. W modeu dynamiki odwrotne wykorzystywanym przez układ sterowania pominięto masy siłowników. Jedynym obiektem którego masę uwzgędniono est patforma ruchoma. Natomiast w zadaniu prostym dynamiki rozwiązywanym przez pakiet do anaizy układów wieoczłonowych w większości przeprowadzonych symuaci siłowniki maą niezerowe masy. Jedynie podczas symuaci A i C wyzerowano masy siłowników. W modeu dynamiki odwrotne wykorzystywanym przez układ sterowania można w sposób uproszczony uwzgędnić masy siłowników koryguąc odpowiednio masę patformy (np. powiększaąc ą o masę tłoków). Postąpiono tak w symuacach F M. arcie można uwzgędniać bądź pomiać zarówno w modeu symuacynym utworzonym w programie do anaizy układów wieoczłonowych ak i w modeu dynamiki odwrotne wykorzystywanym przez układ sterowania. Parametry opisuące tarcie naeżą do trudno mierzanych oraz mało stabinych datego wykonano symuace w których 3
w obiczeniach wykonywanych przez układ sterowania uwzgędniano tarcie ecz ego parametry różniły się od parametrów używanych przez mode symuacyny manipuatora. Symuacę H przeprowadzono da niedoszacowanych (zmnieszonych o 5%) parametrów opisuących tarcie natomiast symuacę I da parametrów przeszacowanych (zwiększonych o 5%). zeczywiste wymiary charakterystyczne manipuatora mogą różnić się od wymiarów nominanych wykorzystywanych podczas obiczeń prowadzonych przez układ sterowania. Symuacę J przeprowadzono po to by zbadać skutki niedokładnego oszacowania parametrów geometrycznych. Wymiary patformy różniły się o % od wymiarów uwzgędnianych w układzie sterowania. W trzech symuacach patformę manipuatora obciążono przenoszonym ładunkiem. W pierwszym wypadku (symuaca K) była to masa 5 kg sztywno połączona z patformą. W drugim i trzecim wypadku (symuace L i M) masa 3 kg była połączona z patformą za pomocą przegubu sferycznego oraz podtrzymuących ą sprężyn i tłumików. Informace zawarte w tabei zawieraą edynie orientacyne dane o wynikach symuaci. Niektóre z bardzie interesuących wyników wykonanych symuaci omówiono poniże. Symuaca A odpowiada sytuaci w które mode dynamiki odwrotne wykorzystywany przez układ sterowania odpowiada dokładnie dynamice manipuatora. Jak widać uchyby położenia i prędkości są niema zerowe. Podczas symuaci B siłowniki manipuatora nie były uż traktowane ako nieważkie zatem mode dynamiki używany przez układ sterowania nie był w pełni zgody z dynamiką manipuatora. Podczas symuaci C uwzgędniono tarcie w siłownikach ecz nie uwzgędniano go w obiczeniach dotyczących sterowania. Porównanie wyników symuaci A B i C pozwaa stwierdzić że nieuwzgędnianie tarcia powodue znacznie większe probemy ze sterowaniem niż pominięcie mas siłowników..5 x -3 e [m] Symuaca E.5.5 Symuaca F t [s] -.5 3 4 5 ys.. Symuace E i F: przebiegi uchybów położenia Probemy wynikaące z nieuwzgędniania w modeu dynamiki odwrotne mas siłowników można w znacznym stopniu zneutraizować wprowadzaąc korektę masy patformy. Przebieg błędów pozyci da symuaci E w które nie dokonano korekty masy patformy pokazano na rysunku Warto zauważyć że błędy oscyuą wokół wartości ok..5 mm. Na tym samym rysunku pokazano przebieg błędów pozyci da symuaci F która różni się od poprzednie tym że masę patformy powiększono o masy tłoków wraz z tłoczyskami. Łatwo 4
zauważyć że tym razem że błędy oscyuą wokół wartości biskie zeru. Warto zwrócić uwagę że ampitudy oscyaci błędów pozyconowania są w obu wypadkach zbiżone.. e [m/s] Symuaca F -. 3 4 5 t [s]..4 e [m/s] Symuaca G. -. -.4 -. t [s] -.8 3 4 5.4. e [m/s] Symuaca H -. -.4 t [s] -. 3 4 5.4. e [m/s] Symuaca I -. -.4 3 4 5 ys.7. Symuace F G H oraz I: przebiegi uchybów prędkości Probemy ze sterowaniem wynikaące z występowania tarcia w siłownikach można zmnieszyć uwzgędniaąc siły tarcia w modeu dynamiki wykorzystywanym przez układ sterowania. Naeży ednak pamiętać że tarcie est zawiskiem złożonym a ego modee są z konieczności uproszczone. Ponadto parametry opisuące tarcie są trudne do zmierzenia i często zmienne w czasie. Zatem nie naeży się spodziewać że mode tarcia wykorzystywany przez układ sterowania będzie wykazywał dużą zgodność z tarciem występuącym t [s] 5
w rzeczywistym obiekcie sterownia. Przeprowadzono serię symuaci sprawdzaących aki est wpływ sił tarcia na uzyskiwaną akość sterowania. Symuaca F odpowiada sytuaci w które mode tarcia wykorzystywany przez układ sterowania wykazue dużą zgodność z tarciem obserwowanym w manipuatorze. Symuaca G odpowiada sytuaci w które tarcie występowało w manipuatorze ecz było pomiane przez ego układ sterowania. Błędy wynikaące z pominięcia tarcia są szczegónie dobrze widoczne (w postaci charakterystycznych pików ) na wykresach uchybu prędkości pokazanych na rysunku 7. Nawiększe probemy sprawia tarcie suche poawiaące się przy prędkościach siłowników biskich zeru. symuaca H odpowiada sytuaci w które mode tarcia est wykorzystywany przez układ sterowania ae ego parametry są niedoszacowane (o połowę mniesze) w stosunku do tarcia występuącego w manipuatorze. Widoczna est pewna poprawa akości sterowania ae probemy z tarciem suchym są nada wyraźnie widoczne. Symuaca I odpowiada sytuaci w które siły tarcia obiczane przez mode dynamiki odwrotne stosowany w układzie sterowania są większe (o 5%) od występuących w manipuatorze. Obserwowane uchyby prędkości są w tym wypadku większe niż w symuaci F ae ednocześnie znacznie mniesze niż w symuaci G. Symuacę J przeprowadzono by zbadać skutki niedokładnego oszacowania parametrów geometrycznych patformy. Podczas te symuaci przyęto że rzeczywiste wymiary manipuatora różnią się o % od wymiarów nominanych wykorzystywanych przez układ sterowania. Stwierdzono że stosunkowo niewiekie zmiany wartości parametrów geometrycznych prowadzą do powstawania dość znacznych uchybów sterowania. Uchyby średnie podane w tabei są obiczane na podstawie błędów pozyci i prędkości siłowników. Warto ednak pamiętać że w wypadku symuaci J nabardzie znaczące są błędy pozyci i prędkości patformy ruchome w przestrzeni kartezańskie. Niedokładne oszacowanie parametrów geometrycznych mechanizmu skutkue tym że dokładne ruchy siłowników nie przekładaą się na równie precyzyny ruch patformy. Mode dynamiki wykorzystywany przez układ sterowania manipuatorem dostosowany est do przeciętnego przewidywanego obciążenia manipuatora. Zmiany rzeczywistego obciążenia patformy ruchome traktowane są ako zakłócenia z którymi musi sobie radzić układ sterowania. By zbadać wpływ obciążenia manipuatora ładunkiem na uzyskiwaną akość reguaci przeprowadzono symuace K oraz L. W pierwszym wypadku obciążenie patformy w postaci waca o masie 5 kg było sztywno przymocowane do patformy ruchome. W przypadku drugim (symuaca L) do patformy przymocowano podtrzymywane przez układ sprężyn i tłumików wahadło o masie 3 kg i długości. m tworzące z patformą parę sferyczną. akie podatne zamocowanie ładunku pozwoiło na zbadanie pracy układu sterowania przy zmiennym obciążeniu manipuatora. Oba zmodyfikowane modee manipuatora pokazano na rysunku 8. a) b) ys. 8. Modee wykorzystane podczas symuaci K (a) L oraz M (b)
Wyniki symuaci L pokazano na rysunku 9. Jest widoczne że przebieg uchybu położenia nie stabiizue się w postaci zbiżone do funkci okresowe (co było obserwowane w innych symuacach). Jest to wynik zmiennego w czasie obciążenia patformy spowodowanego ruchami wahadła. Ponadto uchyby położenia są większe od obserwowanych w przypadku symuaci F (rysunek ). Naeży ednak podkreśić że dodatkowe masy 5 kg ub 3 kg są stosunkowo duże w porównaniu z masą patformy ruchome (3 kg). W rezutacie obserwowane uchyby sterowania są również stosunkowo duże. We wszystkich omówionych wcześnie symuacach wzmocnienia charakteryzuące układ sterowania były następuące: k p 4π i k v π. Właściwy dobór parametrów k p i k v ma zasadniczy wpływ na uzyskiwaną akość reguaci często większy niż rozważane przez nas uproszczenia w modeu dynamiki odwrotne stosowanym w układzie sterowania. Pokazue to symuaca M która od symuaci L różni się edynie wzmocnieniami. ym razem w obiczeniach użyto wartości k p 5π i k v 3π. Spadek wiekości błędów pozyconowania podczas symuaci M est wyraźnie widoczny na rysunku 9. 5 4 x -3 e [m] Symuaca L 3 - - -3 t [s] -4 3 4 5 7 8 - x -3 e [m] Symuaca M - 3 4 5 7 8 ys. 9. Symuace L oraz M: przebiegi uchybów położenia t [s] 7. UWAGI KOŃCOWE Opracowany mode symuacyny manipuatora równoegłego wraz z napędem hydrauicznym i układem sterowania umożiwia anaizę różnych zagadnień związanych z pracą urządzenia. Skoncentrowano się na zbadaniu wpływu uproszczeń w modeu dynamiki odwrotne wykorzystywanym przez układ sterowania a także wpływu niedokładnego oszacowania wartości parametrów modeu na uzyskiwaną akość sterownia. Przeprowadzone badania symuacyne wykazały że uproszczenia modeu dynamiki odwrotne poegaące na pominięciu mas siłowników maą stosunkowo niewieki wpływ na 7
przebiegi uchybu pozyconowania i eszcze mnieszy na uchyb prędkości. Stwierdzono też że probemy wynikaące z nieuwzgędniania w modeu dynamiki odwrotne mas siłowników można w znacznym stopniu zneutraizować wprowadzaąc odpowiednią korektę masy patformy. Badania symuacyne wykazały że uwzgędnienie w modeu dynamiki odwrotne sił tarcia ma istotny wpływ na uzyskiwaną akość sterowania. Stwierdzono że parametry opisuące tarcie powinny być znane ze stosunkowo dużą dokładnością. Jeżei mode tarcia wykorzystywany przez układ sterowania nie opisue tarcia w manipuatorze z odpowiednią dokładnością to ego uwzgędnianie w układzie sterowania nie dae istotnych efektów. Badania wykazały także że naistotniesza est identyfikaca i prawidłowe modeowanie tarcia suchego. Naeży zwrócić uwagę że prezentowane symuace nie obywały się w czasie rzeczywistym. ozwiązywanie zadania prostego dynamiki w pakiecie przeznaczonym do anaizy układów wieoczłonowych wymaga bowiem kosztownego numerycznie całkowania równań ruchu. Warto ednak podkreśić że kiedy miesce modeu wieoczłonowego zamie rzeczywisty manipuator iość niezbędnych obiczeń zmnieszy się radykanie. Procedury wykorzystywane w modeu układu sterowania (zadanie proste kinematyki uproszczone zadanie odwrotne kinematyki i procedury do obiczania prądu steruącego) będzie można zaimpementować w sterowniku pracuącym w czasie rzeczywistym. Stwierdzono bowiem że w ich przypadku łączny czas wykonywania obiczeń wynosi ok. ms i est dostatecznie mały by spełnić wymagania układu sterowania w czasie rzeczywistym. Na zakończenie warto podkreśić że opracowany mode symuacyny można łatwo rozbudować np. po to by w sposób reaistyczny uwzgędnić oddziaływanie manipuatora z otoczeniem. POZIĘKOWANIA Praca została sfinansowana przez EPAN Cooperation Program 4.3.. (Greece-Poand) of the Heenic Genera Secretariat for esearch and echnoogy oraz ze środków przeznaczonych na badania własne w ILiMS PW w ramach pracy 53G/387/7. LIEAUA [] Angees J. Fundamentas of obotic Mechanica Systems. Springer Science+Business Media 3 rd Edition 7. [] Backburn J.F. eethof G. Shearer J.L. Fuid Power Contro. Cambridge MA: MI Press 9. [3] aviakos I. Zafiris A. and Papadopouos E. Joint Space Controer esign for Eectrohydrauic Servos. Proc. IEEE Internationa Symposium on Computer- Aided Contro Systems esign (CACS ') pp. 79-8 October 4-. [4] aviakos I. and Papadopouos E. Invariant Error ynamics Controer for a -dof Eectrohydrauic Stewart Patform. Proc. th CISM-IFoMM Symposium on obot esign ynamics and Contro (OMANSY ). Warsaw Poand June -4. [5] aviakos I. Chatzakos P. and Papadopouos E. eveopment of a Mode-based Impedance Controer for Eectrohydrauic Servos Proc. Internationa Conference on obotics and Appications Oct. 3-Nov. Cambridge MA USA 5. 8
[] Merritt H. E. Hydrauic Contro Systems. J. Wiey 97. [7] hayer W.J. Specification Standards for Eectrohydrauic Fow Contro Servovaves. echnica Buetin 7 Moog Incorporation Contro ivision E. Aurora New York 9. [8] sai L.-W. obot Anaysis. he Mechanics of Seria and Parae Manipuators. John Wiey Sons Inc. New York 999. 9