WYKŁAD 7 SIŁY WEWNĘTRZNE W PŁYNIE. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE. PŁYN NEWTONOWSKI.

Transkrypt

1 WYKŁAD 7 SIŁY WEWNĘTRZNE W PŁYNIE. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE. PŁYN NEWTONOWSKI. 1/1

2 OPIS SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PŁYNIE. TENSOR NAPRĘŻEŃ. Zgodnie z hipotezą Cauchy ego, siły reakci dwóch części płynu wynikaące z ich kontaktu na wspólne powierzchni graniczne (interfesie) mogą być scharakteryzowane za pomocą wektora gęstości powierzchniowe siły zwanego wektorem naprężeń (ednostka fizyczna to Pascal Pa N / m ). Tak więc, siłka odpowiadaącą różniczkowe powierzchni da należące do interfesu 1 dana est wzorem df σ da, a cała reakca to x 3 df = da da n F σ da 1 1 Zauważmy, że wektor naprężeń σ w zadanym punkcie interfesu nie est wartością żadnego pola wektorowego (ak np. prędkość płynu)! x 1 x Jest tak dlatego, że wartość wektora naprężeń est nie tylko funkcą położenia i czasu, ale również funkcą orientaci przestrzenne powierzchni! Orientaca ta est zadana (lokalnie) przez wersor normalny do powierzchni n. Mamy zatem σ σ( t, x, n ). /1

3 Zgodnie z 3-cią Zasadą Dynamiki (zasada akci-reakci) wektor naprężeń musi spełniać warunek (Cauchy ego) σ( t, x, n) σ( t, x, n ) Pokażemy dale, że wektor naprężeń może być skonstruowany poprzez odwołanie do pola tensorowego. W tym celu rozważmy porcę płynu w kształcie czworościanu OABC przedstawionego na rysunku. x 1 A -e x 3 C -e 3 D n=[n 1,n,n 3 ] -e 1 B x Ściana frontowa opisane równaniem ABC należy do płaszczyzny ( nx, ) n x h, h mała liczba. Pola powierzchni ścian czworościanu oznaczymy symbolami S, S 1, S i S 3, odpowiednio dla ścian ABC, OBC, AOC i ABO. Jasnym est, że pola wszystkich ścian są Oh ( ). Ponadto, dla = 1,,3 maą miesce zależności S S cos[ ( n, e )] S ( n, e ) S n Obętość czworościanu V O( h 3 ). 3/1

4 Dla masy płynu zamknięte w czworościanie można napisać równanie ruchu, a mianowicie d d dt υ x F F pochodna pędu vol surf sila ob. sila pow. Potrzebuemy wyrażenia na siłę powierzchniową F. surf Otóż mamy (pomiamy zależność od czasu): na na na na ABC : σ( x, n) σ(, n ) Oh ( ) ABC 3 x Fsurf S σ(, n ) O( h ) 1 OBC : σ( x, e1) σ( x, e1) σ(, e 1) Oh ( ) OBC 3 3 Fsurf S1 σ(, e1) O( h ) S n1 σ(, e 1) O( h ) AOC : σ( x, e) σ( x, e) σ(, e ) Oh ( ) AOC 3 3 Fsurf S σ(, e) O( h ) S n σ(, e ) O( h ) AOB : σ( x, e3) σ( x, e3) σ(, e 3) Oh ( ) AOB 3 3 Fsurf S3 σ(, e3) O( h ) S n3 σ(, e 3) O( h ) A -e x 3 C -e 3 D n=[n 1,n,n 3 ] -e 1 B 4/1 x

5 x 1 A -e x 3 C -e 3 D n=[n 1,n,n 3 ] -e 1 B x Podstawiamy otrzymane wyrażenia do równania ruchu. Po uporządkowaniu składników otrzymuemy równanie d 3 d vol S[ (, ) n (, )] O( h ) dt υ x F σ n σ e 3 Oh ( ) 3 O( h ) Oh ( ) Niech teraz h. Powyższe równanie redukue się do postaci σ(, n) n σ(, e ) W przypadku ogólnym wierzchołek O nie est początkiem układu odniesienia oraz przepływ może być niestaconarny. Uwzględniaąc ten fakt, zapiszemy powyższą równość w równoważne (ale ogólniesze) formie, a mianowicie σ( t, x, n) n σ( t, x, e ) Załóżmy, że wersor normalny n pokrywa się z wersorem bazy e. Wektor naprężeń e ednoznaczne przedstawienie, a mianowicie σ( t, x, e ) ma w bazie {, 1,,3} σ( t, x, e ) ( t, x) e ( sumowanie po i ) i i 5/1

6 Ogólna formuła dla wektora naprężeń może być zatem zapisana następuąco σ( t, x, n) n σ( t, x, e ) ( t, x) n e Ξ( t, x) n i i ( Ξn) W naszym wyprowadzeniu poawiła się w naturalny sposób macierz, która reprezentue (w wybrane bazie) tzw. tensor naprężeń. Tensor ten est na ogół zależny od miesca i od czasy, czyli mamy do czynienia z polem tensorowym. Zauważmy, że tensor naprężeń zadae transformacę liniową (sparametryzowaną przez czas t i wektor współrzędnych x) pomiędzy wektorami w 3-wymiarowe przestrzeni euklidesowe: i W szczególności 3 3 : E w we iwei E ( n ) Ξn n e σ i i Wniosek: lokalną wartość wektora naprężeń w punkcie należącym do pewne powierzchni otrzymuemy z wyniku zadziałania tensorem naprężeń na wersor normalny do powierzchni w tym punkcie. 6/1

7 Jak obliczyć składowe styczną i normalną wektora naprężeń w zadanym punkcie? Oczywiście drogą obliczenia odpowiednich rzutów pełnego wektora na odpowiednie kierunki w przestrzeni! Składowa normalna do powierzchni est równa σ ( nξ n) n ( n, Ξ n ) n n iloczyn skalarny Składową styczną możemy obliczyć odemuąc od całego wektora składową normalną σ σ nn n e ( n n m) n e [ n ( n n m) n ] e i i km k i i i km k i i albo stosuąc bardzo zgrabną formułę z podwónym iloczynem wektorowym σ n( σn ) σ i Ćwiczenie: uzasadni powyższą formułę. 7/1

8 ZWIĄZEK KONSTYTUTYWNY Modelem reologicznym nazywamy w Mechanice Ośrodka Ciągłego relacę pomiędzy deformacą ośrodka a siłami wewnętrznymi. Ilościowe uęcie te relaci w postaci formuł matematycznych nazywane est związkiem (albo prawem) konstytutywnym. W MOC definiue się klasę substanci zwanych płynami prostymi. Płynem prostym nazywamy ośrodek, w którym tensor deformaci zależy wyłącznie od tensora prędkości deformaci D. Relaca ta musi spełniać kilka podstawowych warunków, przede warunek niezmienniczości (niezależności od wyboru układu współrzędnych), a także zapewniać symetrię tensora naprężeń. Przypomnimy dwa fakty: Gradient prędkości υ może być przedstawiony ako suma symetrycznego tensora prędkości deformaci D i antysymetrycznego tensora obrotu R, czyli υ D R, Tensor D może być przedstawiony ako suma tensora sferycznego D SF i (symetrycznego) dewiatora D DW, czyli D D D gdzie DSF 3 1 trd I 3 1 ( υi ) 1 1 i 1 k DDW D 3 ( υ) I ( D DW ) i i x x 3 x SF DW i k 8/1

9 Ogólny związek konstytutywny dla płynu prostego ma formę wielomianu o argumencie macierzowym, postaci Ξ P ( D) Ξ c I c D c D c D którego współczynniki (skalarne) są funkcami trzech niezmienników tensora D, t. c c [ I ( D), I ( D), I ( D )]. k k 1 3 Rozważmy wielomian charakterystyczny tensora D 3 pd( ) det[ DI ] I I I. 1 3 Z Twierdzenia Cayleya-Hamiltona wynika, że ma miesce równość 3 3 pd( D ) D I D I D I D I D I D I Zatem, 3-cia potęga i wyższe potęgi tensora D mogą być przedstawione ako kombinace liniowe tensorów I, D i D. Wobec tego, the ogólna forma związku konstytutywnego dla płynu prostego ma postać tensorowego wielomianu -ego stopnia Ξ P ( D) Ξ c I c D c D 1 9/1

10 PŁYN NEWTONOWSKI Dynamika wielu powszechnie spotykanych płynów (woda, powietrze ) może być opisane z dużą dokładnością przy użyciu modelu liniowego płynu prostego. W modelu tym tensor naprężeń zależy liniowo od tensora prędkości deformaci i ego niezmienników. Płyn o takich cechach nazywamy płynem newtonowskim. W modelu płynu newtonowskiego przymuemy, że: c est liniową funkcą niezmiennika I 1, c 1 est wielkością stałą, c. Jeśli płyn pozostae w spoczynku, ma obowiązywać prawo Pascala, tzn. przy dowolne orientaci powierzchni w płynie edyną składową naprężenia ma być składowa normalna równa liczbowo lokalne wartości ciśnienia. Oznacza to, że w spoczynku tensor naprężeń sprowadza się do tensora sferycznego postaci Ξ Ξ n pn pi 1/1

11 Związek konstytutywny dla płynu Newtona można zapisać następuąco: Ξ pi ( υ) I D pi ( )( υ) I D gdzie Ξ I ( D) DW 3 Ξ 1 1 μ - lepkość dynamiczna (e ednostka SI to kg/m s) c ζ - lepkość obętościowa (tzw. druga lepkość) (ednostka ak μ) ; zwykle i można ą przyąć za równą zeru. Związek konstytutywny zapisany w formie indeksowe ma postać ( ) k i i p 3 i x x x k i Dla płynu nieściśliwego υ i powyższe formuły upraszczaą się Ξ pi D, i p i i x x i c 11/1

12 Przykład: Obliczyć naprężenia styczne na ścianie w przepływie Couette a. Mamy zatem Pole prędkości tego przepływu zdefiniowane est następuąco: ( x, x ) U x / H, ( x, x ) 1 1 wall 1 Ciśnienie est stałe w całym obszarze. Na dolne ścianie wersor normalny zorientowany na zewnątrz płynu to n [, 1] x ( ) 1 x x1 σ Ξn p n Dn 1 1 [, 1] p ( x ) 1 x1 x x x U / w H p p x p Zgodnie z zasadą akci-reakci ednostkowa siła styczna działaąca na dolną ścianę est równa U H w wall x 1 (aki est e zwrot?) wall 1/1