Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu W przypadku kręcania pręta jego obciążenie tanowią momenty kręcające i. Na ry..1a przedtawiono przykład pręta ztywno zamocowanego na ewym końcu (punkt ), obciążonego momentami kręcającymi 1, 2 i. Schemat obiczeniowy po uwonieniu z więzów iutruje ry..1b. Ry..1 Do wyznaczenia wartości momentu podporowego wykorzytujemy równanie równowagi tatycznej uma momentów zewnętrznych wzgędem oi x jet równa zeru: Σ ix (.1) 1 2 1 W dowonym przekroju poprzecznym pręta moment kręcający jet równy umie momentów zewnętrznych działających po jednej tronie przekroju wzgędem oi pręta (ry..2). 2 Ry..2 Da przekroju przedtawionego na ry..2, otrzymamy zatem: rozwiązując od prawej trony (ry..2a) ( p) Σ ix 2 (.2a)
.2 Wytrzymałość materiałów rozwiązując od ewej trony (ry..2b) ( ) Σ ix ( 1) 1 (.2b) Do obiczenia naprężeń tycznych τ wywołanych momentem kręcającym w przekroju kołowym (ry..), w dowonym punkcie oddaonym od oi pręta o wiekość ρ (promień), toujemy natępującą zaeżność: gdzie: moment kręcający, I ρ τ( ρ) ρ (.) I biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego, odegłość punktu od oi pręta (promień). Ry.. Naprężenia tyczne mają wartości proporcjonane do wiekości promienia ρ i ą do niego protopadłe. Stąd wnioek, że makymane naprężenia tyczne τ max da przekroju kołowego, wytąpią na obwodzie ( ρ d / 2), a ich wartość możemy okreśić na podtawie zaeżności: gdzie: τ max (.) W moment kręcający, W wkaźnik wytrzymałości na kręcanie, okreśony natępująco: W I ρ (.5) max Da przekroju kołowego o średnicy d, wartości I oraz W ą równe: I (.6) 2 W (.7) 16 Kąt kręcenia odcinka pręta wyznaczamy w oparciu o zaeżność: (.8)
Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu. gdzie: moment kręcający, długość rozpatrywanego odcinka pręta, G moduł Kirchhoffa (moduł prężytości poprzecznej), I biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego. Ioczyn nazywamy ztywnością pręta na kręcanie.
. Wytrzymałość materiałów Zadanie.1. Wyznaczyć wykrey momentów kręcających, naprężeń tycznych τ oraz kątów obrotu da pręta o przekroju kołowym przedtawionego na ry... Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..5). Ry.. oment podporowy Ry..5 wyznaczamy z równania równowagi tatycznej: Σ ix W koejnym kroku wyznaczamy momenty kręcające w pozczegónych odcinkach pręta. Zadanie rozwiążemy zarówno od prawej (ry..6), jak i ewej (ry..7) trony. Ry..6 Ry..7 Rozwiązując zadanie od prawej trony (ry..6) otrzymujemy, w oparciu o zaeżność (.2a):, CD Σ ix, BC Σ ix 2, B Σ ix
Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu.5 Z koei, rozwiązując zadanie od ewej trony (ry..6) otrzymamy, zgodnie ze wzorem (.2b): gdzie, B Σ ix ( ), BC Σ ix ( ) 2, CD Σ ix ( ) Naprężenia tyczne τ w pozczegónych odcinkach pręta ą równe (.):,B τ B W W,BC τbc 2 W W,CD τcd W W W jet wkaźnikiem wytrzymałości na kręcanie, równym: W 16 Kąty obrotu przekrojów B, C i D wyznaczamy na podtawie kątów kręcenia pozczegónych odcinków pręta odpowiednio B, BC i CD. Na podtawie zaeżności (.8) otrzymujemy: kąt kręcenia odcinka B,B B kąt kręcenia odcinka BC kąt kręcenia odcinka CD,BC BC 2,CD CD gdzie I jet biegunowym momentem bezwładności przekroju poprzecznego, równym I 2 Otatecznie otrzymujemy: kąt obrotu przekroju kąt obrotu przekroju B B B kąt obrotu przekroju C C B BC 2 5
.6 Wytrzymałość materiałów kąt obrotu przekroju D D B BC CD 2 6 Na ry..8 przedtawiono rozwiązanie zadania wykrey momentów kręcających, naprężeń tycznych oraz kątów obrotu. Ry..8
Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu.7 Zadanie.2. Wyznaczyć wykrey momentów kręcających, naprężeń tycznych τ oraz kątów obrotu da pręta o przekroju kołowym przedtawionego na ry..9. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..1). Ry..9 oment podporowy Ry..1 wyznaczamy z równania równowagi tatycznej: Σ ix 5 2 Wyznaczamy momenty kręcające w pozczegónych odcinkach pręta. Zadanie rozwiązujemy od ewej trony (ry..11):, B Σ ix ( ), BC Σ ix ( 5 ) 5, CD Σ ix ( 5 ) 5 2, DE Σ ( 5 2 ) 5 2 ix Ry..11 Naprężenia tyczne τ w pozczegónych odcinkach pręta ą równe (.):,B τ B W W,BC τbc W W
.8 Wytrzymałość materiałów gdzie W jet równe:,cd τcd 2 W W τ,de DE W W 16 Kąty obrotu przekrojów B, C, D i E wyznaczamy na podtawie kątów kręcenia pozczegónych odcinków pręta odpowiednio B, BC, CD i DE. Na podtawie zaeżności (.8) otrzymujemy: kąt kręcenia odcinka B,B B kąt kręcenia odcinka BC kąt kręcenia odcinka CD kąt kręcenia odcinka DE gdzie I jet równy: Otatecznie otrzymujemy: kąt obrotu przekroju kąt obrotu przekroju B,BC BC,CD CD 2,DE DE I 2 B B kąt obrotu przekroju C kąt obrotu przekroju D kąt obrotu przekroju E C B BC D B BC CD 2 D B BC CD DE 2
Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu.9 Na ry..12 przedtawiono rozwiązanie zadania wykrey momentów kręcających, naprężeń tycznych oraz kątów obrotu. Ry..12
.1 Wytrzymałość materiałów Zadanie.. Wyznaczyć wykrey momentów kręcających, naprężeń tycznych τ oraz kątów obrotu da pręta o przekroju kołowym przedtawionego na ry..1. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..1). Ry..1 oment podporowy Ry..1 wyznaczamy z równania równowagi tatycznej: Σ ix Wyznaczamy momenty kręcające w pozczegónych odcinkach pręta. Zadanie rozwiązujemy od ewej trony (ry..15):, B Σ ix ( ), BC Σ ix ( ) 2, CD Σ ix ( ), DE Σ ( ) 2 ix Ry..15 Z uwagi na różne średnice pręta w pozczegónych odcinkach, wprowadzamy wiekości odnieienia da wkaźnika wytrzymałości na kręcanie W oraz momentu bezwładności I, równe: W 16 I 2
Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu.11 Wkaźniki wytrzymałości oraz momenty bezwładności da odcinków B i BC, da których średnica pręta jet inna niż d, okreśimy w funkcji wprowadzonych wiekości odnieienia. Otrzymamy zatem: da odcinka B 7 π d W 5 7, B W W 16 5 125 7 π d I 5 7 21, B I I 2 5 625 da odcinka BC 6 π d W 5 6 216, BC W W 16 5 125 6 π d I 5 6 1296, BC I I 2 5 625 Da odcinków CD i DE otrzymujemy natomiat: W W, CD W, DE I I, CD I, DE Naprężenia tyczne τ w pozczegónych odcinkach pręta ą równe (.): 75 τ B 9,B 1, W,B W W W 125 2 125 τbc 157,BC 1, W 216,BC W 18 W W 125 τ CD,CD W,CD W τ,de DE W,DE Kąty obrotu przekrojów B, C, D i E wyznaczamy na podtawie kątów kręcenia pozczegónych odcinków pręta odpowiednio B, BC, CD i DE. Na podtawie zaeżności (.8) otrzymujemy: kąt kręcenia odcinka B 1875 B 789,B, 21,B 21 625
.12 Wytrzymałość materiałów kąt kręcenia odcinka BC 2 625 BC 965,BC, 1296,BC 68 625 kąt kręcenia odcinka CD CD,CD,CD kąt kręcenia odcinka DE,DE DE,DE Otatecznie otrzymujemy: kąt obrotu przekroju kąt obrotu przekroju B B B, 789 kąt obrotu przekroju C C B BC 1,75 kąt obrotu przekroju D D B BC 2,75 CD kąt obrotu przekroju E E B BC 2,75 CD DE Ry..16 Na ry..16 przedtawiono rozwiązanie zadania wykrey momentów kręcających, naprężeń tycznych oraz kątów obrotu.
Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu.1 Zadanie.. Wyznaczyć wykrey momentów kręcających, naprężeń tycznych τ oraz kątów obrotu da pręta o przekroju kołowym przedtawionego na ry..17. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..18). Ry..17 Ry..18 Równanie równowagi tatycznej ma potać: Σ ix D 2 D Układ jet jednokrotnie tatycznie niewyznaczany dwie niewiadome, D i jedno równanie równowagi. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego kąt obrotu przekroju D, jet równy zeru, co zapizemy natępująco: D B BC CD Wyznaczamy momenty kręcające w pozczegónych odcinkach pręta. Zadanie rozwiązujemy od ewej trony (ry..15):, B Σ ix ( ), BC Σ ix ( ), CD Σ ix ( 2 ) Ry..19 Kąty kręcenia pozczegónych odcinków pręta ą równe:,b B
.1 Wytrzymałość materiałów,bc BC ( ),CD CD ( ) Podtawiając wyznaczone kąty kręcenia do dodatkowego warunku geometrycznego możemy okreśić wartość momentu podporowego : : ( ) ( ) oment podporowy D jet równy: 5 D Podtawiając wartość momentu podporowego wyznaczamy momenty kręcające w pozczegónych odcinkach pręta:,b gdzie 1,BC,CD 5 Naprężenia tyczne w pozczegónych odcinkach pręta wynozą: W jet równe:,b τ B W W 1,BC τbc W W 5,CD τcd W W W 16 Kąty obrotu pozczegónych przekrojów pręta wynozą: kąt obrotu przekroju kąt obrotu przekroju B B B G I
Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu.15 kąt obrotu przekroju C I G BC B C 5 1 ) ( kąt obrotu przekroju D 1 ) ( ) ( CD BC B D gdzie I jet równe: 2 I Na ry..2 przedtawiono rozwiązanie zadania wykrey momentów kręcających, naprężeń tycznych oraz kątów obrotu. Ry..2
.16 Wytrzymałość materiałów Zadanie.5. Wyznaczyć wykrey momentów kręcających, naprężeń tycznych τ oraz kątów obrotu da pręta o przekroju kołowym przedtawionego na ry..21. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..22). Ry..21 Ry..22 Równanie równowagi tatycznej ma potać: Σ ix D 2 D Układ jet jednokrotnie tatycznie niewyznaczany dwie niewiadome, D i jedno równanie równowagi. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego kąt obrotu przekroju D, jet równy zeru, co zapizemy natępująco: D B BC CD Wyznaczamy momenty kręcające w pozczegónych odcinkach pręta. Zadanie rozwiązujemy od ewej trony (ry..2):, B Σ ix ( ), BC Σ ix ( ), CD Σ ix ( ) 2 Ry..2 Kąty kręcenia pozczegónych odcinków pręta ą równe: B,B
Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu.17 ),BC BC ( ),CD CD ( 2 Podtawiając wyznaczone kąty kręcenia do dodatkowego warunku geometrycznego możemy okreśić wartość momentu podporowego : : ( ) ( 2 ) 2 5 5 oment podporowy D jet równy: 5 1 D 2 2 Podtawiając wartość momentu podporowego wyznaczamy momenty kręcające w pozczegónych odcinkach pręta: 5,B gdzie 5,BC 5 1,CD 2 2 Naprężenia tyczne w pozczegónych odcinkach pręta wynozą: W jet równe:,b τ B W W 5,BC τbc W W 1,CD τcd W W W 16 Kąty obrotu pozczegónych przekrojów pręta wynozą: kąt obrotu przekroju kąt obrotu przekroju B 5 B B G I
.18 Wytrzymałość materiałów kąt obrotu przekroju C I G BC B C 1 5 5 ) ( kąt obrotu przekroju D 2 5 5 5 ) 2 ( ) ( CD BC B D gdzie I jet równe: 2 I Na ry..2 przedtawiono rozwiązanie zadania wykrey momentów kręcających, naprężeń tycznych oraz kątów obrotu. Ry..2
Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu.19 Zadanie.6. Wyznaczyć wykrey momentów kręcających, naprężeń tycznych τ oraz kątów obrotu da pręta o przekroju kołowym przedtawionego na ry..25. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..26). Ry..25 Ry..26 Równanie równowagi tatycznej ma potać: Σ ix E 2 Układ jet jednokrotnie tatycznie niewyznaczany dwie niewiadome, E i jedno równanie równowagi. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego kąt obrotu przekroju E, jet równy zeru, co zapizemy natępująco: E B BC CD DE E Wyznaczamy momenty kręcające w pozczegónych odcinkach pręta. Zadanie rozwiązujemy od ewej trony (ry..27):, B Σ ix ( ), BC Σ ix ( 2 ) 2, CD,BC 2, DE Σ ix ( 2 ) Ry..27
.2 Wytrzymałość materiałów Z uwagi na różne średnice pręta w pozczegónych odcinkach, wprowadzamy wiekości odnieienia da wkaźnika wytrzymałości na kręcanie W oraz momentu bezwładności I, równe: W 16 I Wkaźnik wytrzymałości oraz moment bezwładności da odcinków B i BC, okreśimy w funkcji wprowadzonych wiekości odnieienia: 2 6 π d W W 5 6 216, B,BC W W 16 5 125 6 π d I I 5 6 1296, B,BC I I 2 5 625 Da odcinków CD i DE otrzymujemy natomiat: W W, CD W, DE I I, CD I, DE Kąty kręcenia pozczegónych odcinków pręta ą równe: 625,B B,B 1296 BC,BC 625 ( 2 ) 1296,BC CD DE,CD ( 2 ),CD,DE ( ),DE Podtawiając wyznaczone kąty kręcenia do dodatkowego warunku geometrycznego możemy okreśić wartość momentu podporowego : 625 1296 625 1296 625 ( 1296 2 ) ( 2 ) ( 625 625 2 1296 68 1921 2569 68 68 2569 1921 1, 7 oment podporowy E jet równy: E 1,7, 7 ) :
Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu.21 wyznaczamy momenty kręca- Przyjęty zwrot momentu podporowego rozwiązywano od trony ewej nigdzie nie wytępuje moment zaeżności na momenty kręcające oraz kąty kręcenia ą poprawne. Podtawiając wartość momentu podporowego jące w pozczegónych odcinkach pręta: E był błędny. Z uwagi na fakt, iż zadanie 1, B, 7, BC, 6627 E wyprowadzone 2, CD,BC, 6627, DE, 7 Naprężenia tyczne w pozczegónych odcinkach pręta wynozą: 1,7 τ B 779,B, W 216,B W W 125,6627 τbc 85,BC, W 216,BC W W 125 τcd 6627,CD, W,CD W τde 7,DE, W,DE W Po podtawieniu wartości momentu podporowego pozczegónych odcinków pręta: B, 69 BC, 195 CD, 6627 DE, 7 Kąty obrotu pozczegónych przekrojów pręta wynozą zatem: kąt obrotu przekroju wyznaczamy kąty kręcenia kąt obrotu przekroju B B B, 69 kąt obrotu przekroju C C B BC (,69,195), 25 G I
.22 Wytrzymałość materiałów kąt obrotu przekroju D D B BC CD (,69,195,6627), 7 G kąt obrotu przekroju E I (,69,195,6627,7) E B BC CD DE Na ry..28 przedtawiono rozwiązanie zadania wykrey momentów kręcających, naprężeń tycznych oraz kątów obrotu. Na ryunku przyjęto poprawny zwrot momentu podporowego E. Ry..28