WYZNACZANIE MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI POSTACIOWEJ G PRZEZ POMIAR KĄTA SKRĘCENIA

Transkrypt

1 LABORATORIU WYTRZYAŁOŚCI ATERIAŁÓW Ćwiczenie 7 WYZNACZANIE ODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI POSTACIOWEJ G PRZEZ POIAR KĄTA SKRĘCENIA 7.1. Wprowadzenie - pręt o przekroju kołowym W pręcie o przekroju kołowym, poddanym obciążeniu momentem skręcającym działającym na końcach, powstaje stan naprężenia i odkształcenia odpowiadający czystemu skręcaniu (rys. 7.1). Rysunek 7.1. Pręt o przekroju kołowym poddany skręcaniu. Tworząca AB na powierzchni bocznej po przyłożeniu obciążenia przyjmuje kształt linii śrubowej. Kąt pochylenia linii śrubowej AB nazywamy kątem odkształcenia postaciowego i oznaczamy symbolem (rys. 7.2). Ponadto można zauważyć, że: oś pręta pozostanie nadal linią prostą po obciążeniu, okręgi kół nie ulegną zniekształceniu, a powierzchnie czołowe nadal pozostaną płaskie, powierzchnie czołowe obrócą się względem siebie o pewien kąt, zwany kątem skręcenia. Rozważmy wycinek o nieskończenie małej długości (rys. 7.1 i 7.2), powstały w wyniku przecięcia dwiema płaszczyznami prostopadłymi do osi pręta. Na powierzchni wycinka zachodzi następująca relacja między kątem skręcenia φ, a kątem odkształcenia postaciowego γ: rd. (7.1) a na powierzchni o promieniu ρ: d, (7.2) Przekształcając relację (7.2) otrzymujemy wyrażenie określające kąt skręcenia na powierzchni o promieniu ρ: d. (7.3) 1

2 Rysunek 7.2. Wycinek o nieskończenie małej grubości; na rysunku zaznaczono kąt skręcenia i kąt odkształcenia postaciowego. Zgodnie z prawem Hooke a dla ścinania oraz wykorzystując zależność (7.3), naprężenia ścinające (rys. 7.2b) można wyrazić jako funkcja kąta skręcenia następująco: d G G, (7.4) gdzie: G moduł odkształcenia postaciowego (moduł Kirhchoffa) [GPa]. Z warunku równowagi dla wycinka pręta (rys. 7.2b) wynika, że: 2 d d s da G. (7.5) 2 Wykonując całkowanie równania (7.5) po całej powierzchni przekroju poprzecznego A r, otrzymujemy: d 2 d s da G da G I 0, (7.6) 4 4 r d gdzie: I 0 biegunowy moment bezwładności [m 4 ], d średnica pręta [m] Kąt skręcenia, na podstawie zależności (7.6), dla wycinka o długości wynosi: s d, (7.7) GI 0 natomiast dla całego pręta o długości l: l s sl d GI, (7.8) przy założeniu, że we wzorze (7.8) wyrażenie 0 0 GI 0 s GI 0 const, tzn. że s, G,I 0 nie zależą od zmiennej x. Na podstawie zależności (7.4) i (7.6) naprężenia ścinające wynoszą: d s G G. (7.9) I 0 Ze wzoru (7.9) wynika, że największa wartość naprężenia wyraża się wzorem: s s s max max r, (7.10) I0 I0 W0 I0 2I0 gdzie: W0 wskaźnik wytrzymałości przekroju pręta na skręcanie [m 3 ]. r d W obliczeniach prętów poddanych czystemu skręcaniu, korzystamy z następującego warunku wytrzymałościowego: s max k s. (7.11) W 0 2

3 Wzory ( ) są słuszne dla prętów poddanych czystemu skręcaniu o przekroju kołowym w zakresie sprężystym materiału. Aby uwzględnić fakt, że materiał z którego wykonano pręt może trwale odkształcać się należy posłużyć się modelem zachowania się materiału podczas próby skręcania. Przykładową krzywą skręcania materiału przedstawiono na rys. 7.3a w układzie s -. Rysunek 7.3. Charakterystyki z próby skręcenia: a) krzywa rzeczywista, b) krzywa uproszczona (do obliczeń). Charakterystyczne punkty na wykresie oznaczają: H moment skręcający odpowiadający granicy proporcjonalności, sp moment skręcający odpowiadający granicy sprężystości, moment skręcający odpowiadający granicy astyczności, Rs maksymalny moment skręcający (niszczący) przeniesiony przez próbkę. Zakładając model materiału sprężysty idealnie astyczny (rys. 7.3b), można wyróżnić trzy fazy określające proces całkowitego uastycznienia przekroju, tzn. dla przypadku, gdy naprężenia ścinające osiągną wartość naprężeń astycznych. W pierwszej fazie największe naprężenia ścinające max są mniejsze od naprężeń astycznych. Zgodnie ze wzorem (7.9) rozkład naprężeń na wykresie przybiera postać trójkątną. Gdy największe naprężenia przekroczą wartość naprężeń astycznych, wtedy proces uastycznienia postępuje do wnętrza przekroju pręta. Wykres naprężeń stycznych przechodzi stopniowo z trójkątnego (rys. 7.4a), przez postać podaną na rys. 7.4b. Ostatecznie, gdy naprężenia ścinające osiągną w całym przekroju naprężenia astyczne, rozkład naprężeń jest w przybliżeniu prostokątny (rys. 7.4c). Rysunek 7.4. Rozkład naprężeń w różnych fazach uastycznienia. Początek uastycznienia zaczyna się z chwilą, gdy naprężenia maksymalne osiągną granicę astyczności na ścinanie. Graniczna wartość momentu powodująca zjawisko uastycznienia wynosi: da A 2 r r. (7.12) A 3

4 Przyjmując współczynnik bezpieczeństwa: n (7.13) s z zależności (7.12) otrzymujemy wzór na graniczny promień pręta skręcanego: 3 s n r. (7.14) 2 Wyznaczona ze wzoru (7.14) wartość r jest o około 9,1 % mniejsza od wartości promienia wyznaczonej dla tego samego przypadku ze wzoru (7.11). Wzór (7.14) można stosować tylko wówczas, gdy: obciążenie pręta jest statyczne, stanem niebezpiecznym dla materiału pręta jest stan pełnego uastycznienia Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu sprężystości postaciowej G materiału próbki o przekroju kołowym przez pomiar jej kąta skręcenia. Ze wzoru (7.8) otrzymujemy: sl G (7.15) I 0 gdzie s jest momentem skręcającym próbkę [Nm], l p długością pomiarową [m], kątem skręcenia odcinka pomiarowego [rad], I 0 biegunowy moment bezwładności przekroju próbki [m 4 ] Próbki do próby skręcenia W próbie skręcania używa się głównie próbek o przekroju kołowym. Próbki o innych przekrojach stosowane są w przypadkach prób specjalnych. Dla pełnych próbek walcowych długość pomiarową lp (patrz rys. 7.9) przyjmuje się w zakresie (5 20)d 0, najczęściej lp=10 d 0, gdzie d 0 jest średnicą pomiarową próbki (tzn. d 0 =2r rys.7.1). Jako obróbkę końcową dla próbek na skręcanie przyjmuje się toczenie wykańczające. W przypadku skręcania próbek stalowych aż do ich zniszczenia zależnie od jakości i rodzaju badanego materiału rozróżniamy trzy charakterystyczne rodzaje złomów: 1. Złom poślizgowy (rys. 7.5a) Występuje on w płaszczyźnie prostopadłej do osi próbki (w płaszczyźnie tej wartości naprężeń stycznych są największe). Zniszczenie próbki następuje przez ścięcie. Widoczne są ślady astycznych poślizgów. Tego rodzaju złomy występują w próbkach stalowych. 2. Złom kruchy (rys.7.5b) Występuje w materiałach takich, jak np. żeliwo. Zniszczenie powstaje tu na skutek rozerwania w wyniku działania głównych naprężeń występują w płaszczyznach nachylonych pod kątem 45 0 do osi próbki. Złom kruchy przebiega wzdłuż linii śrubowej nachylonej pod kątem 45 0 do osi próbki. 3. Złom rozwarstwiony drzazgowy (o pęknięciach równoległych do osi próbki) Powodem tego rodzaju złomów jest niejednorodna budowa materiału, powstała wskutek zawalcowania czy obecności obcych wtrąceń. 4

5 Rysunek 7.5. Rodzaje złomów próbek poddanych zniszczeniu Budowa skręcarki Próba skręcania przeprowadzana jest na maszynach zwanych skręcarkami, które pozwalają na zamocowanie i obciążanie próbki dwoma równoważącymi się momentami działającymi w płaszczyznach prostopadłych do osi próbki. Skręcarka zapewnia w czasie przeprowadzania próby jednoczesny pomiar działającego momentu skręcającego s oraz takich parametrów jak: wywołanego tym momentem kąta skręcenia. amy zatem możliwość sporządzenia w czasie próby wykresu s=f( ) i wyznaczenia naprężeń skręcających. Wykres ten może być kreślony samoczynnie lub sporządzony na podstawie wskazań przyrządów pomiarowych. Ponieważ w czasie próby skręcenia w próbce nie tworzy się przewężenie (maksymalne naprężenia skręcające nie przekraczają dopuszczalnych), można dokładnie wyznaczyć odkształcenia i odpowiadające im naprężenia w czasie całego przebiegu próby. Oznaczenia: 1 korpus skręcarki, 2 korba do obciążania próbki, 3 przekładnia ślimakowa, 4 próbka, 5 uchwyt napędowy, 6 uchwyt pomiarowy, 7 dźwignia z obciążnikami, 8 napęd wskazówki, 9 wskazówka, 10 skala wartości momentu skręcającego, 11 urządzenie do wyznaczania kąta skręcenia próbki (patrz rys. 7.7). Rysunek 7.6. Schemat poglądowy skręcarki. 5

6 LABORATORIU WYTRZYAŁOŚCI ATERIAŁÓW Rysunek 7.7. Idea pomiaru kąta skręcenia. Na rys. 7.8 przedstawiono schemat układu dźwigniowego skręcarki. Jego górne ramię przesuwając zębatkę wywołuje obrót kółka zębatego, a tym samym związanej z nim wskazówki. Jak widać z rys. 7.6 i 7.8, s Qrsin() (7.16) Stąd otrzymujemy: z sin( ) (7.17) a z s Qr (7.18) a Rysunek 7.8. Schemat poglądowy mechanizmu skręcarki generującego moment skręcający. 6

7 Oznacza to, że wartość momentu skręcającego zmienia się liniowo. Sposób wyznaczania kąta skręcenia próbki za pomocą urządzenia 11 przedstawia rys Kąt obrotu względem siebie dwóch przekrojów prostopadłych do osi próbki i oddalonych od siebie o lp można wyznaczyć przez pomiar czujnikiem przemieszczenia x wywołanego skręceniem odcinka pomiarowego o długości lp. Kąt ten wynosi: x (7.19) R gdzie: R odległość osi skręcanej próbki od osi wrzeciona czujnika, x przemieszczenie końca wrzeciona czujnika wywołanego kątem skręcenia Przeprowadzenie próby skręcania Przed przystąpieniem do właściwej próby należy zmierzyć: średnicę próbki d 0 w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach z dokładnością do 0,1 mm, długość odcinka pomiarowego lp z dokładnością do 0,1 mm, promień R, na którym umieszczony jest czujnik, z dokładnością do 1 mm. Następnie należy wykonać następujące czynności: 1. Ustawić czujnik pomiarowy tak, aby jego wrzeciono miało możliwość wychyleń o około 2 mm. 2. Łagodnie kręcąc korbą, zwłaszcza przy odciążaniu, skręcać próbkę kolejno momentami: 0, 60, 120, 60 i 0 Nm. Dla tych momentów zanotować w Tabeli 7.1 wskazanie czujnika oraz mostka tensometrycznego, pamiętając aby za każdym razem sprowadzić strzałkę mikroamperomierza mostka do zera. 3. Obliczyć ( Ai Ai 1 ) x sr [ mm], (7.20) 4 gdzie: ( A i A i 1) jest przemieszczeniem wrzeciona czujnika wywołanym zmianą momentu skręcającego o 60 [Nm] (Tabela 7.1). 4. Wyznaczyć średnią zmianę kąta skręcenia odpowiadającą zmianie momentu skręcającego o 60 [Nm]: x sr sr [rad] (7.21) R 5. Sprawdzić, czy maksymalne naprężenia skręcające, jakie wystąpiły w czasie próby, nie przekroczyły naprężeń dopuszczalnych wynoszących dla badanego materiału ks=80 [Pa]. 6. Wyznaczyć ze wzoru (7.18) moduł sprężystości postaciowej G [Pa]. 7. Obliczyć błąd pomiaru metodą czujnika zegarowego: G Gteor G [%] (7.22) Gteor Tabela 7.1. Wyniki pomiarów i obliczeń. L.p. s [Nm] Wskazanie czujnika A i [mm] A i A i1 Przyrost A I A I 1 między kolejnymi obciążeniami [mm] 7

8 7.6. Wykonanie sprawozdania W sprawozdaniu należy zamieścić: 1. cel ćwiczenia, 2. opis stanowiska do badań, 3. wyniki pomiarów uzyskanych czujnikiem zegarowym w Tabeli 7.1, 4. obliczenia, 5. uwagi i wnioski. Sprawozdania dostępne są na stronie internetowej: lub wytrzymalosc.eu. 8