Część 1 9. METODA SIŁ 1 9. METODA SIŁ

Transkrypt

1 Część 1 9. METOD SIŁ METOD SIŁ Metoda ił jet poobem rozwiązywania układów tatycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowadza ię ona do rozwiązania układu tatycznie wyznaczalnego (układ podtawowy w metodzie ił), który powtaje z niewyznaczalnego układu rzeczywitego przez wprowadzenie w miejce odrzuconych więzów niewiadomych ił. Jet to proty poób na rozwiązanie układów ramowych, kratowych czy łukowych. W niniejzym rozdziale omówione zotaną ogólne założenia oraz tok potępowania obliczeniowego w metodzie ił Zaady ogólne w metodzie ił Itota metody opiera ię na pozbawieniu rozpatrywanego, obciążonego układu nadliczbowych więzów, dbając jednak przy tym o to, aby pozotał on geometrycznie niezmienny. W miejce myślowo uuniętych więzów wtawiamy niewiadome iły. Natępnie, aby zachować kinematyczną identyczność układu rzeczywitego z nowym, nazywanym dalej układem podtawowym w metodzie ił, określamy umaryczne przemiezczenia po kierunkach działania tych ił. onieważ w rzeczywitości w tych miejcach itniały więzy, przemiezczenia te ą równe zero. Układając te warunki w równania otrzymujemy wyznaczalny układ, a zatem możemy obliczyć wartości nadliczbowych niewiadomych. Układ podtawowy, który na ogół jet układem tatycznie wyznaczalnym, mui pełniać również trzy warunki odpowiedniości: identyczność geometryczna (zgodność wymiarów), identyczność kinematyczna (zgodność przemiezczeń równania kanoniczne), identyczność tatyczna (zgodność obciążeń). Stopień tatycznej niewyznaczalności (SSN) jet to liczba nadliczbowych więzów (zewnętrznych i wewnętrznych), które należy odrzucić, aby układ tał ię tatycznie wyznaczalny. rzyjrzyjmy ię zatem kolejnym etapom rozwiązania zadania metodą ił rzyjęcie układu podtawowego Intereujący na układ rzeczywity tatycznie niewyznaczalny pozbawiamy nadliczbowych więzów (dokładnie tylu, ile wynoi SSN). Otrzymujemy w wyniku tego zabiegu układ tatycznie wyznaczalny, który mui być również kinematycznie (geometrycznie) niezmienny. Taki zatępczy układ nazywamy podtawowym. Możemy łatwo zauważyć, że w miejcach uuniętych przez na więzów możliwe jet teraz przemiezczenie po ich kierunkach. Na ogół itnieje parę możliwości wyboru okładu podtawowego, na jednak intereuje wybór najlepzego (najbardziej odpowiedniego), czyli najmniej pracochłonnego (tak, aby jak najwięcej przemiezczeń w układzie równań kanonicznych było równych zero). 9.. Wprowadzenie nadliczbowych więzów W miejce uuniętych więzów w układzie podtawowym wprowadzamy niewiadome,,..., X n będące iłami uogólnionymi. W przypadku uunięcia więzu uniemożliwiającego przeunięcie wprowadzamy iłę kupioną, a w miejce utwierdzenia uniemożliwiającego obrót wprowadzamy niewiadomą w potaci momentu kupionego. Możliwe jet również wprowadzenie uogólnionych ił w potaci grupy ił.

2 Część 1 9. METOD SIŁ Dobór układu równań kanonicznych oraz interpretacja jego wpółczynników Równania kanoniczne ą nieodłącznym kładnikiem układu podtawowego, gdyż zapewniają kinematyczną zgodność z układem rzeczywitym. Dzięki nim możemy obliczyć wartości niewiadomych ił uogólnionych. ozczególne równania układu ą zumowanymi przemiezczeniami po kierunkach odrzuconych więzów. W rzeczywitości przemiezczenia te ą zerowe, ponieważ w tych miejcach ą podpory uogólnione. Liczba równań jet zatem taka ama jak liczba odrzuconych więzów. W celu obliczenia przemiezczeń powodowanych nieznanymi iłami połużymy ię zaadą uperpozycji oraz jednotkowymi iłami przykładanymi w miejcach niewiadomych Xi. rzyjęliśmy ymbole: - przemiezczenie punktu w rzeczywitej kontrukcji, - przemiezczenie wywołane przyczyną jednotkową (iłą jednotkową), gdzie indeky oznaczają kolejno kierunek przemiezczenia oraz jego przyczynę, - dane obciążenie układu. W celu zobrazowania tego zagadnienia połużymy ię przykładem. Dany jet układ ramowy (ry a), tatycznie niewyznaczalny i obciążony iłami zewnętrznymi. a) q H b) q V Ry a) Układ rzeczywity b) Układ podtawowy Jak widzimy układ jet tatycznie niewyznaczalny, a jego SSN=2. Sprowadzamy zadanie do dowolnego układu tatycznie wyznaczalnego i kinematycznie niezmiennego, zachowując obciążenia zewnętrzne, a w miejce uuniętych więzów wtawiamy niewiadome iły X1, X2 (ry b). Układ podtawowy przez na przyjęty pełnia dwa warunki odpowiedniości z układem rzeczywitym (identyczność geometryczna i tatyczna), nie jet on jednak zgodny kinematycznie, zgodność tą zapewniają równania kanoniczne. rzytąpmy zatem do ich wyznaczenia, w tym celu przyjrzymy ię bliżej rzeczywitemu przemiezczeniu punktu. W układzie rzeczywitym w tym miejcu znajduje ię podpora przegubowa, niemożliwe jet więc przemiezczenie tego punktu po kierunkach V i H, a więc po kierunkach działania w układzie podtawowym niewiadomych X1, X2. Zatem przemiezczenia te będą równe zeru. { V H (9.1) Zatanówmy ię więc, co wywołuje pionowe przemiezczenie punktu w układzie podtawowym.

3 Część 1 9. METOD SIŁ rzyczynami ą iły X1, X2 oraz obciążenie zewnętrzne. rzemiezczenie to możemy zatem zapiać jako umę przemiezczeń wywołanych pozczególnymi przyczynami: { V V V H H H (9.2) Zapiując czytelniej ymbolami, otrzymamy układ równań kanonicznych: { (9.) - przemiezczenie po kierunku niewiadomej X i wywołane działaniem jednotkowej iły X k, - przemiezczeni uogólnione po kierunku niewiadomej X i wywołane działaniem danego obciążenia zewnętrznego. i Możemy zapiać zatem dany układ równań kanonicznych w potaci wkaźnikowej (w potaci jednego ogólnego wzoru): n j ij X j i i,2 (9.4) Lub w potaci macierzowej: [ F ]{X } { }={} (9.5) [ F ]=[ ] - macierz podatności układu. Zadanie prowadza ię zatem do obliczenia pewnej liczby równań metody ił. Wpółczynniki równań kanonicznych obliczamy ze wzoru, który w ogólnym przypadku dla płakiego układu ma potać: = { M i M k EJ d N i N k E M i, M k - momenty zginające wywołane działaniem iły X i i X k, N i, N k - iły normalne wywołane działaniem iły X i i X k, T i,t k - iły tnące wywołane działaniem iły Xi i Xk, J - moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta, d T i T k G } d (9.6)

4 Część 1 9. METOD SIŁ 4 E, G - moduły prężytości liniowej i poprzecznej (tałe materiałowe), - wpółczynnik ścinania (wpółczynnik korekcyjny). Sumowanie odbywa ię po wzytkich prętach układu (bądź przedziałach w których funkcja iły wewnętrznej zmienia potać). Zgodnie z twierdzeniem Maxwella o wzajemności przemiezczeń wiemy, że: = ki (9.7) Wobec tego macierz podatności mui być ymetryczna względem głównej przekątnej. Wpółczynnik i opiujący przemiezczenie punktu po kierunku i, powodowane przez iły zewnętrzne opiuje wzór: i = { M i M EJ d N i N E d T i T G } d (9.8) M i M N i N T i T J E, G -momenty zginające wywołane działaniem iły X i, -momenty zginające wywołane działaniem obciążeń zewnętrznych w układzie podtawowym, -iły normalne wywołane działaniem iły X i, -iły normalne wywołane działaniem obciążeń zewnętrznych wyznaczone w układzie podtawowym, -iły tnące wywołane działaniem iły X i, -iły tnące wywołane działaniem obciążeń zewnętrznych wyznaczone w układzie podtawowym, -moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta, -moduły prężytości liniowej i poprzecznej (tałe materiałowe), -wpółczynnik ścinania. Całki we wzorach (9.6) i (9.8) możemy obliczyć numerycznie korzytając ze poobu Werezczagina-Mohra. W rzeczywitości wpływ ił normalnych i tnących na przemiezczenie jet znikomy w porównaniu z wpływem momentu zginającego, dlatego przeważnie we wzorach (9.6) i (9.8) części uwzględniające iły normalne i tnące pomijamy (nie dotyczy to kratownic, łuków, itp.) rzyjęcie układu podtawowego przy pomocy użycia bieguna prężytego Metoda ta polega na uytuowaniu w układzie podtawowym niewiadomych ił X na ramieniu pręta o momencie bezwładności dążącym do niekończoności tak, aby otrzymać wykrey momentów z mnożenia których odpowiednie przemiezczenia w układzie równań kanonicznych były równe zero (ry. 9.2). Otrzymujemy w tym przypadku zamiat układu równań o n niewiadomych, n równań liniowych pierwzego topnia z jedną niewiadomą.

5 Część 1 9. METOD SIŁ 5 rzykład 1 rzyjąć układ podtawowy dla ramy: Odrzucając jedną podporę otrzymamy układ podtawowy, X któremu towarzyzy mu układ równań kanonicznych { (9.9) onieważ wykrey momentów w pozczególnych tanach obejmują całą ramę,

6 Część 1 9. METOD SIŁ 6 X wzytkie wpółczynniki ą różne od zera. rzyjmijmy teraz inny układ podtawowy z biegunem prężytym 2l l 2l l wtedy wykrey momentów ograniczają ię do części układu:

7 Część 1 9. METOD SIŁ 7 i więkzość wpółczynników macierzy podatności jet równa zeru. Środki ciężkości trójkątów (M 1 i M 2) odpowiadają zerowym wartością na wykreie M 12 = 21 1 = 1 2 = 2 (9.1) Otatecznie zamiat układu trzech równań muimy rozwiązać trzy prote równania: X { 11 1= 1 22 = 2 (9.11) = Dzięki biegunowi prężytemu obliczenia znacznie ię uprościły.