Marek Pietrzakowski Wytrzymałość materiałów Warszawa 2010

Transkrypt

1 arek Pietrzakowski Wytrzymałość materiałów Warszawa 00

2 Poitechnika Warszawska Wydział Samochodów i aszyn Roboczych Kierunek studiów "Edukacja techniczno informatyczna" 0-54 Warszawa, u. Narbutta 84, te. () , () ipbmvr.simr.pw.edu.p/spin/, e-mai: sto@simr.pw.edu.p Opiniodawca: prof. dr hab. inż. Krzysztof GOŁOŚ Projekt okładki: Norbert SKUIAŁ, Stefan TOASZEK Projekt układu graficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ Skład tekstu: Janusz BONAROWSKI Pubikacja bezpłatna, przeznaczona da studentów kierunku studiów "Edukacja techniczno informatyczna" Copyright 0 Poitechnika Warszawska Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powieany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń eektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. ISBN Druk i oprawa: STUDIO ULTIGRAF SP. Z O.O., u. Ołowiana 0, Bydgoszcz

3 Spis treści Wstęp Przedmiot wytrzymałości materiałów Podstawowe pojęcia Pręt jako mode geometryczny. Siły wewnętrzne w pręcie Rozciąganie i ściskanie pręta prostego o stałym przekroju Zasada de Saint-Venanta Zasada superpozycji Okreśenie podstawowych właściwości mechanicznych materiału statyczna próba rozciągania Obiczenia wytrzymałościowe prętów na rozciąganie i ściskanie Uwagi o spiętrzeniu naprężeń Statycznie niewyznaczane układy prętowe omenty bezwładności figur płaskich omenty bezwładności wzgędem osi przesuniętych omenty bezwładności wzgędem osi obróconych Skręcanie prętów o przekrojach kołowych Obiczenia wytrzymałościowe na skręcanie Przykłady obiczeń Ścinanie pręta prostego... 59

4 8. Zginanie prętów Siły poprzeczne i momenty gnące w bekach Zaeżności różniczkowe między obciążeniem i siłami wewnętrznymi Równomierne zginanie beki naprężenia i odkształcenia Obiczenia wytrzymałościowe na zginanie Równanie różniczkowe ugiętej osi beki Przykłady zastosowania metody Cebscha Eementy teorii stanu naprężenia Płaski stan naprężenia Odwzorowanie płaskiego stanu naprężenia kołem ohra Stan odkształcenia. Uogónione prawo Hooke a Hipotezy wytężenia Przegąd wybranych hipotez wytężenia...0. Złożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych Zginanie z rozciąganiem ub ściskaniem Zginanie ze skręcaniem Przykłady obiczeń etody energetyczne - układy iniowosprężyste Energia sprężysta układów iniowosprężystych Twierdzenie Castigiana Przykłady wyznaczania przemieszczeń w układach prętowych Zasada minimum energii enabrei-castigiana...30

5 3.5. Przykłady wyznaczania wiekości statycznie niewyznaczanych Stateczność prętów ściskanych Sprężyste wyboczenie pręta Niesprężyste wyboczenie pręta Przykłady obiczeń na wyboczenie Podstawy teorii błonowej powłok osiowosymetrycznych Zbiornik kuisty i zbiornik wacowy Zmęczenie materiału Cyke zmian naprężenia Podstawowe badania zmęczeniowe Wytrzymałość zmęczeniowa przy cykach dowonych Czynniki wpływające na wytrzymałość zmęczeniową64 7. Literatura Strona 5

6

7 Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach reaizacji Programu Rozwojowego Poitechniki Warszawskiej współfinansowanego ze środków PROGRAU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI. Przeznaczone są da studentów studiów inżynierskich na kierunku Edukacja techniczno-informatyczna na Wydziae Samochodów i aszyn Roboczych Poitechniki Warszawskiej. Swoim zakresem obejmuje zagadnienia okreśone w programie studiów da przedmiotu kształcenia nauczycieskiego pt. Wytrzymałość materiałów opisanym w syabusie opracowanym da tego przedmiotu. Zawartość merytoryczna programu przedmiotu spełnia wymagania okreśone w standardach kształcenia inisterstwa Nauki i Szkonictwa Wyższego da kierunku Edukacja techniczno-informatyczna. ateriały uzupełniające i aktuaizujące do przedmiotu będą udostępniane studentom za pośrednictwem systemu e-earning.

8

9 Przedmiot wytrzymałości materiałów

10 ROZDZIAŁ W mechanice ogónej modeem ciała stałego jest ciało sztywne. Z obserwacji wiadomo, że ciało rzeczywiste jest ciałem odkształcanym. echaniką ciała stałego odkształcanego przystosowaną do potrzeb techniki jest wytrzymałość materiałów. Wytrzymałość materiałów jest nauką o trwałości typowych eementów konstrukcji będących pod działaniem sił. Podstawowym zadaniem wytrzymałości materiałów jest okreśenie: wytrzymałości konstrukcji tzn. odporności konstrukcji na zniszczenie, sztywności konstrukcji tzn. odporności konstrukcji na deformację. Iościowa ocena wytrzymałości i sztywności konstrukcji, poprzez wyznaczenie naprężeń i odkształceń, a następnie odniesienie ich do odpowiednich wartości dopuszczanych, umożiwia ocenę konstrukcji pod wzgędem bezpieczeństwa i trwałości, oraz dostatecznej sztywności. Reaizacja zadań wytrzymałości materiałów wymaga wprowadzenia uzasadnionych technicznie uproszczeń. Główne uproszczenia dotyczą modeu ciała odkształcanego. Przyjmujemy, że materiał ciała jest jednorodny i izotropowy, tzn. jego właściwości są identyczne we wszystkich kierunkach, oraz wykazuje właściwości sprężyste. Cecha sprężystości oznacza całkowitą ub częściową zdoność ciała do odzyskania pierwotnego kształtu. Ze wzgędu na tę cechę można wyróżnić materiały ideanie sprężyste, w których po odciążeniu nie występują odkształcenia trwałe, oraz materiały sprężystopastyczne i pastyczne. W zakresie uproszczeń geometrycznych wprowadza się modee eementów konstrukcji. Podstawowymi modeami geometrycznymi są: pręty, w których jeden wymiar jest znacznie większy od pozostałych; powłoki, których grubość jest mała w stosunku do pozostałych wymiarów; bryły o trzech wymiarach tego samego rzędu. Strona 0

11 PRZEDIOT WYTRZYAŁOŚCI ATERIAŁÓW Wytrzymałość i sztywność eementu zaeżą od wieu czynników. Do najważniejszych naeży zaiczyć: rodzaj materiału i jego stan (zaeżny od rodzaju obróbki), kształt i wymiary eementu, rodzaj i wartości sił oraz ich przebieg w czasie. Strona

12 ROZDZIAŁ Strona

13 ` Podstawowe pojęcia

14 ROZDZIAŁ Podstawowymi pojęciami stosowanymi w wytrzymałości materiałów są siły wewnętrzne, naprężenia i odkształcenia. Siły wewnętrzne Weźmy pod uwagę ciało poddane działaniu układu sił zewnętrznych P, P,...P n będących w równowadze. Przetnijmy umownie ciało na dwie części I i II (rysunek.). Rysunek. Wzajemne oddziaływanie każdej części ciała sprowadza się do układu sił wewnętrznych rozłożonych na powierzchni przekroju. Siły powierzchniowe wraz z siłami zewnętrznymi działającymi na rozpatrywaną część spełniają warunki równowagi. Dokonując redukcji sił powierzchniowych do dowonego punktu B przekroju, wyznaczamy wektor główny sił wewnętrznych P w i moment główny wb (rysunek.). Strona 4

15 PODSTAWOWE POJĘCIA Rysunek. W ceu wyznaczenia sił wewnętrznych stosujemy ogóne warunki równowagi zgodnie z zasadą zesztywnienia. Siły wewnętrzne działające na części ciała oddzieone umownym przekrojem są wektorami przeciwnymi. Naprężenia W wyniku redukcji sił wewnętrznych działających na eement poa A wydzieony wokół dowonego punktu przekroju otrzymujemy wektor główny P w (rysunek.3). Naprężeniem w danym punkcie przekroju nazywamy granicę, do której dąży ioraz siły wewnętrznej P w i eementu poa A, na który ta siła działa, gdy eement poa dąży do zera. Jednostką naprężenia jest paska Pa N/m. P p im w (.) A 0 A Naprężenie w danym punkcie przekroju jest wektorem. Wektor ten można rozłożyć na składowe: σ - naprężenie normane i τ - naprężenie styczne (rysunek.4). Strona 5

16 ROZDZIAŁ Rysunek.3 Rysunek.4 Wektor naprężenia związany jest z płaszczyzną przekroju. Przez dany punkt przechodzi nieskończenie wiee płaszczyzn, którym odpowiadają inne wektory naprężenia (przecinanie różnych więzów łączących dany punkt z jego otoczeniem). Stan naprężenia w danym punkcie ciała okreśa nieskończony zbiór wektorów naprężeń p odpowiadających wszystkim kierunkom przekrojów zawierających ten punkt. Przemieszczenia Przemieszczenie dowonego punktu ciała jest wektorem, którego początek jest w punkcie przed odkształceniem, a koniec w punkcie po odkształceniu (rysunek.5) Strona 6

17 PODSTAWOWE POJĘCIA Rysunek.5 q u i vj wk (.) gdzie: u, v, w składowe przemieszczenia w kierunku osi układu współrzędnych, y, z. Odkształcenia Weźmy pod uwagę ciało obciążone siłami P, P,...,P n. Punkty A i B oddaone od siebie o po odkształceniu zajmą położenie A i B (rysunek.6). Zmiana odegłości punktów A i B okreśa wydłużenie ub skrócenie odcinka ' (.3) Średnie odkształcenie wzgędne jest iorazem zmiany długości odcinka do jego długości przed odkształceniem ε śr (.4) Odkształcenie wzgędne w dowonym punkcie ciała definiowane jest następująco ε im (.5) 0 Strona 7

18 ROZDZIAŁ Rysunek.6 Odkształcenie wzgędne (wydłużenie ub skrócenie) jest granicą iorazu przyrostu odegłości między punktami ciała i ich wzajemnej odegłości przed obciążeniem, gdy odegłość ta dąży do zera. Przyjmujemy, że odkształcenie ε jest dodatnie, gdy przyrost jest dodatni. Biorąc pod uwagę zmianę kąta między osiami układu prostokątnego O,, y (rysunek.6), definiujemy odkształcenie postaciowe, które oznaczamy symboem γ. Kąt odkształcenia postaciowego w dowonym punkcie eementu jest to kąt o jaki zmienia się wzajemne położenie inii przecinających się w tym punkcie. Strona 8

19 ` 3 Pręt jako mode geometryczny. Siły wewnętrzne w pręcie

20 ROZDZIAŁ 3 Pręt jest modeem geometrycznym, który powstaje przez przesunięcie dowonej figury płaskiej wzdłuż inii prostej ub krzywej w taki sposób, że środek figury eży na tej inii i płaszczyzna figury jest do niej prostopadła. Linię tę nazywamy osią pręta, a przesuwana figura wyznacza przekrój pręta (normany). Ze wzgędu na przekrój rozróżniamy pręty o stałym ub zmiennym przekroju, ze wzgędu na kształt osi pręty proste ub zakrzywione. W ceu wyznaczenia sił wewnętrznych w pręcie przyjmujemy środek redukcji w środku geometrycznym (ciężkości) przekroju pręta. Wyznaczamy wektor główny P w i moment główny w sił wewnętrznych (rysunek 3.). Rzutując wektor główny P w i moment główny w na kierunki normany i styczny do przekroju otrzymujemy składowe: N siłę podłużną (osiową), T siłę poprzeczną (tnącą), s moment skręcający oraz g moment gnący. Strona 0 Rysunek 3. Jeżei w przekroju pręta jest tyko jedna składowa sił wewnętrznych, to mamy do czynienia z prostym zagadnieniem wytrzymałości pręta. A zatem, można wymienić następujące proste zagadnienia:. rozciąganie ub ściskanie siła podłużna N,. ścinanie siła poprzeczna T, 3. skręcanie moment skręcający s, 4. zginanie (czyste) moment gnący g.

21 PRĘT JAKO ODEL GEOETRYCZNY. SIŁY WEWNĘTRZNE W PRĘCIE Strona

22 ` 4 Rozciąganie i ściskanie pręta prostego o stałym przekroju

23 ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁY PRZEKROJU Rozpatrzmy pręt prosty o stałym przekroju A, długości, obciążony osiową siłą P (rysunek 4.). Rysunek 4. Warunek równowagi części pręta odciętej współrzędną ma postać N P (4.) Zakładając równomierny rozkład naprężeń w przekroju pręta mamy N σ da σ A (4.) A stąd N P σ (4.3) A A Pod wpływem siły rozciągającej pręt odkształca się, zmieniając wymiary podłużne i poprzeczne. Na podstawie doświadczeń można przyjąć, że przekroje po odkształceniu są płaskie i prostopadłe do osi pręta (hipoteza płaskich przekrojów). Przesunięcie przekroju o współrzędnej oznaczmy symboem u, a wzajemne przesunięcie przekrojów odegłych o d jako du (rysunek 4.). Strona 3

24 ROZDZIAŁ 4 Rysunek 4. Całkowite wydłużenie wynosi λ ' (4.4) Odkształcenie wzgędne (zwane też odkształceniem wzdłużnym) dane jest wzorem du ε (4.5) d Z założenia płaskich przekrojów wynika, że odkształcenie ε w obszarze przekroju jest stałe. Przyjmując równomierność odkształcenia wzdłuż osi pręta, całkowite wydłużenie λ można wyznaczyć z zaeżności λ u ε d ε 0 (4.6) A zatem, odkształcenie wzdłużne jest iorazem całkowitego wydłużenia i początkowej długości pręta λ ε (4.7) Podczas rozciągania zmieniają się także wymiary poprzeczne pręta. Odkształcenie poprzeczne ε ze wzgędu na zmniejszenie się średnicy pręta d jest ujemnestosunek bezwzgędnych wartości odkształcenia Strona 4

25 ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁY PRZEKROJU poprzecznego do wzdłużnego jest iczbą stałą zaeżną od właściwości materiału, a zatem mamy gdzie: ν - iczba (współczynnik) Poissona. d' d ε ' < 0 (4.8) d ε ' ν ε (4.9) Liczba Poissona da większości materiałów ma wartości /6 < ν < /. Na podstawie doświadczeń Robert Hooke (67) sformułował zaeżność między odkształceniem i naprężeniem. Zgodnie z tą zaeżnością, nazwaną prawem Hooke a, wydłużenie jest proporcjonane do naprężenia, które je spowodowało σ ε (4.0) E gdzie: E oznacza moduł Younga ub moduł sprężystości podłużnej, który np. da stai wynosi E, 0 Pa. Podstawiając do wzoru (4.6) zaeżność (4.0) oraz uwzgędniając wzór (4.3) wyznaczamy wydłużenie pręta w funkcji siły wewnętrznej ub w funkcji zewnętrznego obciążenia σ N N λ d d E (4.) EA EA 0 0 P λ (4.) EA gdzie: ioczyn EA oznacza sztywność pręta na rozciąganie [N]. Strona 5

26 ROZDZIAŁ Zasada de Saint-Venanta W przedstawionych rozważaniach przyjęto równomierny rozkład naprężeń w przekroju pręta. Nasuwa się pytanie, czy sposób reaizacji obciążenia pręta ma wpływ na rozkład naprężeń. Weźmy pod uwagę trzy jednakowe pręty o średnicy d ściskane statycznie równoważnym obciążeniem odpowiadającym sie P. Pierwszy ściskany jest siłą równomiernie rozłożoną na całej powierzchni przekroju, drugi siłą równomiernie rozłożoną na część przekroju, trzeci siłą skupioną na niewiekiej powierzchni. Schemat doświadczenia i jego rezutaty pokazano na rysunku 4.3. ożna stwierdzić, że rozkłady naprężeń w pobiżu obciążonej powierzchni są różne, z wyraźną koncentracją naprężeń w przypadku obciążenia o charakterze skupionym. Jednak w odegłości zbiżonej do,5 d, wszystkie rozkłady, niezaeżnie od sposobu obciążenia, stają się równomierne. Rysunek 4.3 Na podstawie podobnych doświadczeń de Saint-Venant sformułował następującą zasadę (855r). Jeżei na niewieki obszar ciała działają koejno rozmaicie rozmieszczone ecz statycznie równoważne obciążenia, to w odegłości wyraźnie większej od wymiarów iniowych tego obszaru powstają jednakowe stany naprężenia i odkształcenia. Strona 6

27 ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁY PRZEKROJU 4.. Zasada superpozycji W układach sprężystych przy wyznaczaniu sił wewnętrznych, naprężeń, odkształceń ub przemieszczeń można zastosować zasadę superpozycji sił, ponieważ wszystkie zaeżności są iniowymi funkcjami obciążenia. Zasada superpozycji sił poega na koejnym rozpatrywaniu skutków działania każdej z sił osobno i sumowaniu tych skutków. Zastosowanie zasady superpozycji do wyznaczenia sił wewnętrznych w pręcie o stałym przekroju A, obciążonym wzdłużnie siłami P i Q przedstawiono na rysunek 4.4. Rysunek 4.4 W dowonym przekroju da 0 mamy siłę wzdłużną N ( ) N'( ) N''( ) P Q oraz naprężenie P Q σ σ ' σ '' A Podobnie w przekrojach z koejnego odcinka pręta siła wzdłużna wynosi Q σ σ ' σ '' A N ( ) N'( ) N''( ) Q oraz naprężenie Strona 7

28 ROZDZIAŁ Okreśenie podstawowych właściwości mechanicznych materiału statyczna próba rozciągania Strona 8 Statyczna próba rozciągania jest jedną z podstawowych prób stosowanych do okreśenia właściwości wytrzymałościowych i pastycznych materiałów konstrukcyjnych. Próba ta poega na osiowym rozciąganiu próbek o ściśe okreśonym kształcie na maszynie wytrzymałościowej zwanej zrywarką. Próbki przeznaczone do badań mają część pomiarową o okreśonej długości i stałym przekroju, a zakończone są obustronnie główkami o zwiększonym przekroju, które służą do mocowania w uchwytach maszyny. Wynikiem próby rozciągania jest przebieg siły rozciągającej F ub naprężeń σ, odpowiednio w funkcji wydłużenia ub odkształcenia ε w zakresie sprężystym i sprężysto-pastycznym aż do zerwania. Przykład wykresu rozciągania σ(ε) z wyraźną granicą pastyczności, charakterystyczny da stai niskowęgowej (zawartość węga 0,5 0,5%) przedstawiono na rysunku 4.5. Na osi pionowej odkładane są naprężenia nominane odniesione do początkowego przekroju części pomiarowej, σ n F S0, na osi poziomej odkształcenia mierzone wzgędem długości początkowej próbki, ε 0. W początkowej fazie obciążenia do punktu A naprężenia rosną proporcjonanie do odkształceń zgodnie z prawem Hooke a. Punkt A odpowiada granicy proporcjonaności R H. Na odcinku AA przestaje obowiązywać prawo Hooke a, jednak odkształcenia pozostają sprężyste. Punkt A, który w praktyce jest dość trudny do wyznaczenia, odpowiada granicy sprężystości R sp. Po przekroczeniu punktu B w materiae pojawiają się wyraźne odkształcenia pastyczne i na odcinku BB następuje kumuacja mikropośizgów, a w konsekwencji obserwujemy zjawisko płynięcia materiału tzn. przyrostu długości próbki przy stałym obciążeniu. Punktowi B odpowiada granica pastyczności R e. W wieu przypadkach po osiągnięciu stanu płynięcia wartość siły rozciągającej uega niewiekim wahaniom. Wprowadzane jest pojęcie górnej R eh i donej R el granicy pastyczności. Na odcinku B C proces tworzenia się pośizgów

29 ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁY PRZEKROJU uega zahamowaniu. Zjawisko to nazywa się umocnieniem materiału. Punkt C odpowiada doraźnej wytrzymałości na rozciąganie R m. Po osiągnięciu maksymanego naprężenia nominanego wydłużenie ε przestaje być równomierne na długości pomiarowej próbki i obserwowana jest koncentracja odkształceń w jednym obszarze. Powstaje przewężenie zwane szyjką. Przekrój szyjki zmniejsza się i do daszego rozciągania wymagana jest coraz mniejsza siła. Na wykresie naprężeń nominanych (odniesionych do przekroju wyjściowego) następuje zagięcie do dołu aż do zerwania próbki punkt D. Rzeczywiste naprężenie rozrywające oznaczane R u odniesione jest do przekroju próbki w miejscu przewężenia po zerwaniu S u. Rysunek 4.5 Własności pastyczne materiału okreśane są przy pomocy wskaźników podawanych w procentach: trwałe wydłużenie wzgędne A p u 0 00%, (4.3) 0 trwałe przewężenie wzgędne S0 Su Z 00% (4.4) S 0 Strona 9

30 ROZDZIAŁ 4 W powyższych wzorach indeks u wskazuje wymiar próbki po zerwaniu. Da większości metai i ich stopów wykres rozciągania przebiega bez wyraźnej granicy pastyczności (rysunek 4.6). W przypadku takich materiałów wyznacza się tzw. umowną granicę pastyczności. Granica ta oznaczana symboem R 0, odpowiada naprężeniu, przy którym po odciążeniu pozostaje trwałe odkształcenie ε trw 0,%. Granicę R 0, wyznacza się prowadząc prostą równoegłą do odcinka OA wykresu aż do przecięcia z inią wykresu w punkcie B. Rysunek 4.6 Podobne zaeżności σ(ε) uzyskuje się w przypadku próbek ściskanych. Większość metai i ich stopów wykazuje zbiżone zachowanie przy ściskaniu i rozciąganiu. Oznacza to, że podstawowe parametry materiałowe, takie jak granica proporcjonaności, sprężystości i pastyczności, mają te same wartości w próbie ściskania i rozciągania (materiał izonomiczny). Na rysunku 4.7 pokazany jest przykładowy wykres uzyskany da stai niskowęgowej. Przy ściskaniu po przekroczeniu granicy pastyczności następuje spęcznienie próbki i obserwuje się wyraźny wzrost siły potrzebnej do daszego odkształcenia próbki. Strona 30

31 ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁY PRZEKROJU Rysunek 4.7 Próba rozciągania i ściskania w przypadku materiałów kruchych przebiega bez wyraźnej granicy proporcjonaności i granicy pastyczności. Wykres zaeżności σ(ε) jest inią krzywą kończącą się w punkcie odpowiadającym nagłemu zniszczeniem próbki. ateriały kruche znoszą znacznie epiej ściskanie niż rozciąganie. Na rysunku 4.8 znajduje się uproszczony wykres otrzymany da próbki z żeiwa. Naprężenia niszczące przy ściskaniu są tu 3 4 razy wiesze od anaogicznych przy rozciąganiu. Strona 3

32 ROZDZIAŁ 4 Rysunek Obiczenia wytrzymałościowe prętów na rozciąganie i ściskanie W statycznej próbie rozciągania ub ściskania wyznaczane są naprężenia niebezpieczne, za które w zaeżności od warunków przyjmuje się naprężenia odpowiadające granicy pastyczności R e ub doraźnej wytrzymałości R m. aksymane, dopuszczane ze wzgędów technicznych naprężenie powinno mieć wartość mniejszą od naprężenia uznanego za niebezpieczne ( σ R, R ). Oznacza to, że naprężenie dopuszczane nieb e σ dop jest pewnym ułamkiem naprężenia niebezpiecznego m σ nieb σ dop (4.5) n gdzie: n > oznacza współczynnik bezpieczeństwa. Strona 3

33 ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁY PRZEKROJU Współczynnik bezpieczeństwa powinien uwzgędniać prawdopodobieństwo niekorzystnych zmian warunków przyjętych w obiczeniach. Właściwy dobór współczynnika bezpieczeństwa jest ważnym zagadnieniem w projektowaniu maszyn i wymaga możiwie pełnej znajomości czynników decydujących o wytrzymałości i trwałości konstrukcji. W przypadku rozciągania ub ściskania naprężenia dopuszczane oznaczamy odpowiednio k r ub k c. σ dop Obiczenia wytrzymałościowe pręta rozciąganego ub ściskanego poegają na porównaniu naprężeń rzeczywistych z naprężeniami dopuszczanymi N σ k r ub k c (4.6) A gdzie: N siła wzdłużna, A poe przekroju pręta Uwagi o spiętrzeniu naprężeń Rozkład naprężeń normanych w prętach o zmiennych przekrojach znacznie różni się od przyjmowanego w obiczeniach rozkładu równomiernego. Wyraźny wzrost naprężeń występuje w obszarach, w których zmienia się kształt przekroju. Na przykład w płaskiej próbce w sąsiedztwie wywierconego otworu obserwujemy znaczny wzrost naprężeń w stosunku do naprężeń nominanych σ P n A, tzw. spiętrzenie naprężeń (rysunek 4.9). Szczegónie duże spiętrzenie naprężeń ma miejsce w miejscu ostrych nacięć. Jest to tzw. działanie karbu (rysunek 4.0). W przypadku materiałów kruchych spiętrzenie okane powoduje pojawienie się pęknięć, które są źródłem nowych spiętrzeń naprężeń i pęknięć, a w konsekwencji zniszczenia spójności materiału. ateriały o właściwościach pastycznych poprzez okane trwałe odkształcenia i wyrównanie poziomu naprężeń łagodzą działanie karbu. Strona 33

34 ROZDZIAŁ 4 Rysunek 4.9 Rysunek 4.0 W ceu obniżenia poziomu spiętrzenia naprężeń naeży stosować łagodne przejścia w obszarach zmian geometrii eementu, a także uwzgędniać możiwość wystąpienia okanego wzrostu naprężeń przy ustaaniu wartości współczynnika bezpieczeństwa. Strona 34

35 ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁY PRZEKROJU 4.6. Statycznie niewyznaczane układy prętowe Układami statycznie niewyznaczanymi nazywamy układy, w których iczba niewiadomych reakcji jest większa od iczby równań równowagi. Uzupełniające równania otrzymujemy rozpatrując odkształcenia sprężyste eementów układu. Równania te noszą nazwę równań przemieszczeń ub warunków geometrycznych. Sposoby rozwiązywania zagadnień statycznie niewyznaczanych układów prętowych przedstawione są na wybranych przykładach. Przesztywnienie układu Sztywna beka AB zamocowana przegubowo w punkcie A jest zawieszona na dwóch sprężystych prętach wykonanych z tego samego materiału. Swobodny koniec beki jest obciążony siłą P. Wyznaczyć siły wzdłużne w prętach, jeśi ich długość wynosi, a przekroje odpowiednio A i A.(rysunek 4.) Rysunek 4. Strona 35

36 ROZDZIAŁ 4 Rozwiązanie. Równania równowagi R A N P N N a N a 3Pa 0. Warunki geometryczne 0 3. Zaeżności fizyczne λ λ stąd λ λ a a N λ, EA λ N EA Po podstawieniu zaeżności fizycznych do warunków geometrycznych otrzymujemy równanie uzupełniające N A A N Rozwiązując układ równań równowagi wraz z równaniem uzupełniającym wyznaczamy siły w prętach N 3A P A 4A, 6A N A A P 4 oraz reakcję podpory A A A 4A R A P (znak oznacza przeciwny zwrot reakcji). Naprężenia montażowe Pręt o zmiennej skokowo średnicy wykonany z jednego materiału naeży zamontować w sztywnej obudowie. Pręt został wykonany o wymiar δ za długi w stosunku do rozstawu ścian. Wyznaczyć reakcje ścian obudowy Strona 36

37 ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁY PRZEKROJU po montażu. Zbudować wykresy sił normanych N, naprężeń σ i przemieszczeń u dowonego przekroju (rysunek 4.). Rysunek 4. Rozwiązanie. Równanie równowagi. Warunki geometryczne 3. Zaeżności fizyczne R R R λ λ δ R λ, λ EA R EA Strona 37

38 ROZDZIAŁ 4 Jeśi jest d d, to A 4A oraz λ R EA Po podstawieniu zaeżności fizycznych do warunków geometrycznych otrzymujemy równanie R R EA EA δ z którego wyznaczamy reakcję ścian R w funkcji parametru niedokładności wykonania δ Naprężenia termiczne R 3 Jeżei eement konstrukcji wykonany z materiału izotropowego zostanie równomiernie podgrzany ub ochłodzony to odkształcenia we wszystkich kierunkach będą wynosić EA gdzie: α - współczynnik rozszerzaności iniowej. δ ε α T (4.7) Współczynnik rozszerzaności iniowej zaeży od rodzaju materiału i w rozpatrywanym w praktyce zakresie temperatur ma wartość stałą. Weźmy pod uwagę przykład, w którym pręt złożony z odcinka staowego o sztywności E s A s i odcinka miedzianego o sztywności E m A m został wstawiony między dwie sztywne ściany i podgrzany o T (rysunek 4.3). Przyjmując współczynniki rozszerzaności iniowej stai i miedzi, odpowiednio α s i α m, naeży wyznaczyć wartość reakcji ścian. Rozwiązanie. Równanie równowagi. Warunek geometryczny R R R Strona 38

39 ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁY PRZEKROJU - równość swobodnego wydłużenia termicznego i skrócenia wywołanego reakcją ścian przy czym T λ λ T T T λs λm oraz λ λ s λm λ Rysunek Zaeżności fizyczne T T λ α T, λ α T s s m m R λ s, E A s s λ m R E A m m Po podstawieniu zaeżności fizycznych do warunków geometrycznych otrzymujemy równanie ( α α ) z którego wyznaczamy reakcję ścian R s m R R T E A E A s s m m Strona 39

40 ROZDZIAŁ 4 R ( α α ) s m EsEm As Am E A E A s s m m T Strona 40

41 ` 5 omenty bezwładności figur płaskich

42 ROZDZIAŁ 5 oment bezwładności wzgędem bieguna (biegunowy moment bezwładności) (rysunek 5.) Rysunek 5. def J0 ρ da (5.) ρ - odegłość eementu powierzchni od bieguna. oment bezwładności wzgędem prostej (osi) (rysunek 5.) A Rysunek 5. J def A r da (5.) r - odegłość eementu powierzchni od prostej oment bezwładności wzgędem prostej jest równy ioczynowi poa figury A i kwadratu tzw. promienia bezwładności i J A i (5.3) Wyznaczmy momenty bezwładności figury płaskiej w układzie osi prostokątnych (rysunek 5.3). Strona 4

43 OENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH Rysunek 5.3 omenty bezwładności figury wzgędem osi i osi y zgodnie z definicją (5.) wynoszą J J y A A y da da (5.4) (5.5) oment bezwładności wzgędem początku układu współrzędnych jest okreśony zaeżnością A A ( y ) da J J y J 0 ρ da (5.6) Biegunowy moment bezwładności figury płaskiej wzgędem początku układu współrzędnych prostokątnych równa się sumie momentów bezwładności wzgędem osi układu. W prostokątnym układzie współrzędnych wprowadza się pojęcie momentu wzgędem układu osi nazywanego momentem odśrodkowym ub momentem dewiacji, który zdefiniowany jest wzorem def J y da (5.7) y A Strona 43

44 ROZDZIAŁ omenty bezwładności wzgędem osi przesuniętych Niech osie ξ i η będą przesunięte odpowiednio o b i a wzgędem osi i y. Spełniony jest następujący związek między współrzędnymi obu układów (rysunek 5.4) Strona 44 Rysunek 5.4 ξ a, η y b (5.8) oment bezwładności figury wzgędem osi ξ wyznaczamy ze wzoru J η da ( y b) da y da b y da b A (5.9) ξ A A W podobny sposób wyznaczamy pozostałe momenty bezwładności J η i J ξη. Ostatecznie otrzymujemy następujące wzory A J ξ J b y da b A (5.0) A Jη J y a da a A (5.) A J ξη J y b da a y da aba (5.) A A A

45 OENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH gdzie całki y da S oraz da S y A A figury, odpowiednio wzgędem osi i osi y. oznaczają momenty statyczne Jeżei początek układu 0,, y znajduje się w środku ciężkości figury wówczas momenty statyczne S i Sy są równe zeru i wzory (5.0 5.) redukują się do postaci J J ξ Ab (5.3) J J η y A a (5.4) J J ξη y A ab (5.5) Powyższe wzory stanowią matematyczny zapis twierdzenia Steinera. oment bezwładności figury płaskiej wzgędem osi równa się momentowi bezwładności wzgędem osi równoegłej przechodzącej przez środek ciężkości figury zwiększonemu o ioczyn powierzchni figury przez kwadrat odegłości między osiami. oment odśrodkowy figury płaskiej wzgędem układu osi prostokątnych równa się momentowi odśrodkowemu wzgędem układu osi równoegłych przechodzących przez środek ciężkości figury zwiększonemu o ioczyn powierzchni figury przez odegłości między osiami obu układów. 5.. omenty bezwładności wzgędem osi obróconych Rozważmy układ o osiach ξ, η obrócony o dowony kąt ϕ wzgędem układu 0,, y (rysunek 5.5). Związek między współrzędnymi obu układów ma postać ξ cosϕ y sinϕ, η y cosϕ sinϕ (5.6) Na podstawie definicji momentów bezwładności, wykorzystując zaeżności (5.6), po przekształceniach wyznaczamy momenty bezwładności w układzie obróconym Strona 45

46 ROZDZIAŁ 5 J ξ η da J cos ϕ J sin ϕ J sin ϕ A J η ξ da J sin ϕ J y cos ϕ J y sin ϕ A J J y J ξη ξη da sin ϕ J y cos ϕ A y y (5.7) (5.8) (5.9) Rysunek 5.5 Podstawiając zaeżności trygonometryczne cos ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ, otrzymujemy inną postać wzorów ( ) J J y J J y J ξ cos ϕ J y sin ϕ J J y J J y J η cos ϕ J y sin ϕ (5.0) (5.) J J y J ξη sin ϕ J y cosϕ (5.) Wyznaczmy kąt obrotu ϕ 0 prostokątnego układu osi, któremu odpowiada zerowa wartość momentu odśrodkowego J ξη 0 Strona 46

47 OENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH stąd J J y J ξη sin ϕ 0 J y cos ϕ 0 0 (5.3) J y tgϕ 0 J J (5.4) Rozwiązaniem równania trygonometrycznego (46) są dwa wzajemnie prostopadłe kierunki y π ϕ0 ϕ n (n,, 3...) (5.5) Wynika stąd, że w dowonym punkcie figury płaskiej można wyznaczyć dwie wzajemnie prostopadłe osie, wzgędem których moment odśrodkowy jest równy zeru. Osie te nazywamy głównymi osiami bezwładności figury. Główne osie bezwładności przechodzące przez środek geometryczny figury nazywamy głównymi centranymi osiami bezwładności, a momenty wzgędem tych osi głównymi centranymi momentami bezwładności. ożna wykazać, że główne centrane momenty bezwładności mają ekstremane wartości okreśone wzorem ( J J ) ± ( J J ) J J, y y 4 y (5.6) Strona 47

48 ROZDZIAŁ 5 Strona 48

49 ` 6 Skręcanie prętów o przekrojach kołowych

50 ROZDZIAŁ 6 Skręcanie ma miejsce, gdy pręt jest obciążony parami sił w różnych płaszczyznach prostopadłych do jego osi. Jeżei nie występują ograniczenia w swobodnej depanacji (wypaczeniu) przekrojów poprzecznych pręta spowodowane sposobem przyłożenia obciążenia, zmianą przekroju poprzecznego ub warunkami podparcia, mówimy o skręcaniu swobodnym. W skręcaniu siły wewnętrzne redukują się do momentu skręcającego s. Rozważmy pręt utwierdzony jednym końcem, a na drugim obciążony momentem. Niech na powierzchni wacowej pręta naniesiona zostanie siatka inii tworzących i kół odpowiadających przekrojom poprzecznym. ożna zaobserwować, że w wyniku skręcania następują wzajemne obroty nie deformujących się przekrojów oraz przejście tworzących w inie śrubowe (rysunek 6.). Rysunek 6. Podstawą teorii swobodnego skręcania prętów o przekroju kołowym ub pierścieniowym są następujące założenia: a. przekroje po skręceniu pręta pozostają płaskie i normane do jego osi (hipoteza płaskich przekrojów), Strona 50

51 SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJACH KOŁOWYCH b. promienie naniesione na powierzchnię przekroju pozostają proste (kształt przekroju nie zmienia się), c. wzajemna odegłość dowonych przekrojów nie uega zmianie, a zatem w przekrojach skręcanych prętów występują tyko naprężenia styczne. Warunki geometryczne W ceu sformułowania warunków geometrycznych rozważmy eement d pręta po odkształceniu (rysunek 6.). Rysunek 6. Przekroje odegłe o d obracają się wzgędem siebie o kąt dϕ. Obrotowi przekrojów odpowiada kąt odkształcenia postaciowego γ, którego wartość na obwodzie wynosi γ r. Na podstawie zaeżności geometrycznych mamy stąd CC dγ r r dϕ ' (6.) dϕ γ r r (6.) d Na współśrodkowej powierzchni wacowej w dowonej odegłości ρ prawdziwa jest zaeżność Strona 5

52 ROZDZIAŁ 6 DD dγ ρ dϕ ' (6.3) oraz ogóny wzór na kąt odkształcenia postaciowego dϕ gdzie: oznacza jednostkowy kąt skręcenia. d dϕ γ ρ (6.4) d Zaeżności fizyczne Zaeżności fizyczne okreśa prawo Hooke a da ścinania, zgodnie z którym odkształcenie postaciowe jest proporcjonane do naprężenia, które je spowodowało τ γ (6.5) G gdzie: G moduł Kirchhoffa, moduł sprężystości postaciowej, który np. da stai wynosi G Pa. Naprężenia styczne wyznaczamy porównując wzory (6.4) i (6.5) d τ Gρ ϕ (6.6) d Jednostkowy kąt skręcenia da dowonego przekroju jest stały, a zatem wartość naprężeń stycznych jest proporcjonana do odegłości od środka przekroju. Naprężenia styczne w przekroju skręcanego pręta charakteryzuje rozkład iniowy, przy czym kierunek wektorów naprężeń jest prostopadły do promienia przekroju (rysunek 6.3). Rysunek 6.3 Strona 5

53 SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJACH KOŁOWYCH Warunek równowagi Równanie momentów wzgędem osi pręta ma postać τ ρ da 0 (6.7) A po podstawieniu wyrażenia (6.6) na naprężenia styczne otrzymujemy równanie s dϕ G d A ρ da s 0 (6.8) w którym ρ da J0 oznacza biegu biegunowy moment bezwładności przekroju. A Z równania równowagi (6.6) wyznaczamy jednostkowy kąt skręcenia dϕ s d GJ 0 (6.9) Kąt skręcenia skrajnych przekrojów pręta wyznaczamy całkując wyrażenie (6.9) na długości pręta s s ϕ d (6.0) GJ 0 0 GJ 0 Kąt skręcenia pręta mierzony w stopniach dany jest wzorem 80 s ϕ o (6.) π GJ Obiczanie kąta skręcenia związane jest z zapewnieniem dostatecznej sztywności eementów. Wprowadzając tzw. dopuszczany kąt skręcenia ϕ dop, warunek sztywności skręcanego pręta można zapisać w postaci 0 s ϕ ϕ dop GJ 0 (6.) Strona 53

54 ROZDZIAŁ Obiczenia wytrzymałościowe na skręcanie W ceu wyznaczenia naprężeń stycznych w funkcji obciążenia, do wyrażenia (6.6) na naprężenia styczne podstawiamy zaeżność (6.9) okreśającą jednostkowy kąt skręcenia, otrzymujemy τ s ρ (6.3) J 0 Wzór ten umożiwia wyznaczenie naprężeń stycznych w dowonym punkcie przekroju. Zgodnie z rozkładem naprężeń, maksymane naprężenia styczne występuje na konturze przekroju (ρ r) s s τ ma r (6.4) J W gdzie: W 0 wskaźnik wytrzymałości na skręcanie 0 0 J 0 (6.5) r W 0 Warunek wytrzymałości skręcanego pręta ma postać τ ma k (6.6) s τ dop W0 gdzie: k t dopuszczane naprężenie styczne. Biegunowe momenty bezładności i wskaźniki wytrzymałości na skręcanie obiczamy ze wzorów: a) przekrój kołowy t Strona 54 J π r π d (6.7) 3

55 SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJACH KOŁOWYCH b) przekrój pierścieniowy W π r π d (6.8) 6 J 4 4 π d z d w 3 d z 0 4 (6.9) 3 4 d z d w W π d z (6.0) gdzie: d z i d w oznaczają odpowiednio zewnętrzną i wewnętrzną średnicę przekroju. 6.. Przykłady obiczeń. Wyznaczyć średnicę d przekroju pręta utwierdzonego na jednym końcu i obciążonego momentami 4 i działającymi odpowiednio w przekrojach B i C (rysunek 6.4). Zbudować wykres momentów skręcających oraz wykres kąta skręcenia. Przyjąć, że dane są: długość, moment, moduł Kirchhoffa G oraz naprężenie dopuszczane τ dop. Rysunek 6.4 Strona 55

56 ROZDZIAŁ 6 Rozwiązanie Równanie równowagi A 4 0 stąd A 3 Funkcja momentu skręcającego 0 s 3 3 s s Kąty skręcenia poszczegónych odcinków pręta wynoszą: 3 ϕ AB, ϕ BC, ϕ DC 0 GJ GJ 0 Całkowity kąt skręcenia jest sumą agebraiczną kątów skręcenia odcinków pręta 0 ϕ AD ϕ ϕ ϕ AB BC CD GJ 0 W przypadku pręta o przekroju kołowym warunek wytrzymałościowy ma postać τ ma 6 s ma s ma 3 W0 πd τ dop stąd obiczamy średnicę d przekroju pręta d 3 6 s ma πτ dop Strona 56

57 SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJACH KOŁOWYCH Ostatecznie, podstawiając największy co do bezwzgędnej wartości moment skręcający s ma 3 otrzymujemy warunek poprawnie dobieranej średnicy pręta d 48 πτ 3.. Wyznaczyć największe naprężenie w pręcie o średnicy d utwierdzonym na obu końcach i obciążonym momentami i 3 w sposób pokazany na rysunek 6.5. Zbudować wykresy momentów skręcających i kątów skręcenia. Przyjąć, że dane są: długość, średnica d, moment oraz moduł Kirchhoffa G. dop Rozwiązanie Równanie równowagi stąd 0 A D Rysunek 6.5 A D 3 0 W powyższym równaniu występują dwa nieznane momenty utwierdzenia A i D, a zatem zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznacza- Strona 57

58 ROZDZIAŁ 6 ne. Dodatkowe równanie wyznaczamy biorąc pod uwagę przemieszczenia pręta. Wiemy, że przekroje utwierdzone nie obracają się wzgędem siebie, mamy więc następujący warunek geometryczny ϕ AD ϕ AB ϕ BC ϕcd 0 Zaeżności fizyczne okreśają kąty skręcenia poszczegónych odcinków pręta ϕ A ( A ) AB ϕ BC GJ 0 GJ, 0 ( A ϕcd GJ, 0 3 ) Po podstawieniu zaeżności fizycznych do warunku geometrycznego otrzymujemy dodatkowe równanie z którego wyznaczamy 3 0 A A A, A 3 Z równania równowagi obiczamy moment D 5 D 3 Największa bezwzgędna wartość momentu skręcającego wynosi 5 s 3 ma A zatem, największe naprężenie styczne występuje w na powierzchni odcinka CD pręta i okreśone jest wzorem ma 80 τ ma s 3 W0 3π d. Strona 58

59 ` 7 Ścinanie pręta prostego

60 ROZDZIAŁ 7 Ścinanie ma miejsce, gdy jako siła wewnętrzna występuje tyko siła poprzeczna. W praktyce reaizacja czystego ścinania jest niemożiwa ze wzgędu na towarzyszący ścinaniu efekt zginania. Gdy działanie momentu gnącego jest małe w porównaniu z działaniem siły poprzecznej, wprowadza się pojęcie ścinania technicznego. Ograniczając siły wewnętrzne do siły poprzecznej, średnią wartość naprężenia stycznego τ śr obiczana się jako ioraz siły T i powierzchni przekroju A τ T śr A (7.) Jest to przybiżony sposób wyznaczania naprężeń w niektórych eementach maszyn np. sworzniach, nitach itp. Warunek wytrzymałościowy przyjmuje się w postaci T τśr τ dop (7.) A Przykładem obiczeń na ścinanie może być tzw. zakładkowe połączenie nitowane dwóch bach rozciąganych siłą P (rysunek 7.) Rysunek 7. Przy założeniu równomiernego obciążenia wszystkich nitów, pojedynczy nit ścinany jest siłą Strona 60

61 ŚCINANIE PRĘTA PROSTEGO P T (7.3) n gdzie: n oznacza iczbę nitów. Na rysunku 7. pokazane jest oddziaływanie łączonych bach na trzon nitu. Rysunek 7. Warunek wytrzymałościowy ma postać τ P 4P na nπ d τ dop (7.4) gdzie d oznacza średnicę nitu. Po przekształceniu warunek ten może służyć do wyznaczenia i doboru średnicy nitów w rozważanym połączeniu nakładkowym 4P d (7.5) nπ τ dop Strona 6

62 ROZDZIAŁ 7 Strona 6

63 ` 8 Zginanie prętów

64 ROZDZIAŁ 8 Rozważmy pręt, którego oś jest krzywą płaską, a obciążenie w postaci sił P,..., P n działa w płaszczyźnie osi pręta. Przecinamy pręt przekrojem poprzecznym na dwie części I i II (rysunek 8.). Rysunek 8. W wyniku redukcji sił zewnętrznych działających na część I do środka przekroju wyznaczamy składowe sił wewnętrznych: N siła podłużna (normana), T siła poprzeczna (tnąca), g moment gnący. Siły te są oddziaływaniem części I w miejscu przekroju na część II. Przeprowadzając anaogiczne rozumowanie w stosunku do części II pręta, otrzymujemy przeciwne wektory sił N, T i momentu gnącego g, którymi część II działa na część I. Przyjmujemy następujące okreśenia sił wewnętrznych. Strona 64

65 ZGINANIE PRĘTÓW Siła podłużna ub poprzeczna w dowonym przekroju jest równa sumie odpowiednich składowych obciążenia działających na część pręta oddzieoną tym przekrojem. oment gnący w dowonym przekroju jest równy sumie momentów wzgędem środka przekroju wszystkich sił działających na część pręta oddzieoną tym przekrojem. 8.. Siły poprzeczne i momenty gnące w bekach Beki są to pręty proste obciążone siłami prostopadłymi do osi. Wyznaczmy siły wewnętrzne w bece opartej na podporach przegubowych i obciążonej siłą P (rysunek 8.). Rysunek 8. Reakcje podpór obiczamy z równań równowagi po przekształceniach mamy R A R P 0 B Pa RB ( a b) 0 R Pb A a, b Pa R B a b Siłę poprzeczną i moment gnący wyznaczamy z warunku równowagi odciętej myśowo części beki (rysunek 8.3) Strona 65

66 ROZDZIAŁ 8 Strona Rysunek 8.3 a 0 b a Pb R T A b a Pb R A g b a a A R B P b a Pb P R T ) ( ) ( ) ( b a R a P b a Pb a P R B A g Przyjmujemy umowę dotyczącą znaku siły poprzecznej T i momentu gnącego g.

67 ZGINANIE PRĘTÓW Siła poprzeczna spowodowana siłami działającymi po ewej stronie przekroju do góry, a po prawej do dołu ma znak dodatni, w przeciwnym przypadku ma znak ujemny. oment gnący spowodowany siłami działającymi do góry jest dodatni, a działającymi do dołu ujemny. Siły wewnętrzne w bekach obciążonych w sposób ciągły Weźmy pod uwagę bekę swobodnie podpartą, której część obciążona jest obciążeniem o natężeniu q(ξ), zmieniającym się wzdłuż osi (rysunek 8.4). Rysunek 8.4 Całkowite obciążenie beki wynosi Q a 0 q( ξ ) dξ Siły wewnętrzne w poszczegónych przedziałach okreśone są wzorami 0 a T RA, g RA Strona 67

68 ROZDZIAŁ 8 a a T RA q( ξ ) dξ, a g RA q( ξ ) ( a ξ ) dξ 0 Oznaczmy wypadkową obciążenia ciągłego po ewej stronie przekroju przez Q a 0 0 q( ξ ) dξ oraz odegłość wypadkowej od rozpatrywanego przekroju przez s a q( ξ) ( a ξ) dξ 0 a 0 q( ξ ) dξ Wówczas siły wewnętrzne w przedziae prostej formie a możemy zapisać w T R A Q g R Q s Jeśi obciążenie jest rozłożone równomiernie na odcinku beki, q constans, na podstawie podanych wzorów otrzymujemy A Q q( a) s q( a) Strona 68

69 ZGINANIE PRĘTÓW 8.. Zaeżności różniczkowe między obciążeniem i siłami wewnętrznym Weźmy pod uwagę eement beki o długości d (rysunek 8.5). Na bekę działa poprzeczne obciążenie ciągłe o intensywności q. Zakładamy, że funkcje opisujące siły wewnętrzne T i g są różniczkowane wzgędem współrzędnej. Rysunek 8.5 Zapiszmy warunki równowagi eementu beki. Suma rzutów na kierunek prostopadły do osi beki wynosi T dt T qd 0 (8.) Suma momentów wzgędem punktu O znajdującego się w środku eementu d dana jest równaniem d d Td dt 0 g g g (8.) Odrzucając w równaniach równowagi małe wyższego rzędu, otrzymujemy następujące zaeżności różniczkowe dt q (8.3) d Strona 69

70 ROZDZIAŁ 8 d g T (8.4) d Różniczkując obie strony równania (8.4) mamy d d g q Zaeżności ( ) można zapisać w formie wniosków: (8.5) a. pochodna siły poprzecznej wzgędem współrzędnej mierzonej wzdłuż osi beki jest równa intensywności obciążenia ciągłego (ze znakiem ujemnym), b. pochodna momentu gnącego wzgędem współrzędnej mierzonej wzdłuż osi beki jest równa sie poprzecznej, c. druga pochodna momentu gnącego wzgędem współrzędnej mierzonej wzdłuż osi beki jest równa intensywności obciążenia ciągłego (ze znakiem ujemnym). Wyprowadzone zaeżności różniczkowe wykorzystuje się do skontroowania poprawności wyznaczanych wykresów T() i g (). Wskazówki: Jeśi jest q 0 to wykresem T() jest prosta równoegła do osi pręta, g () jest prostą nachyoną do osi. oment gnący g () ma ekstremum w miejscu zerowania się siły poprzecznej T. W miejscu działania siły skupionej ub momentu skupionego na wykresie T() ub g () występuje nieciągłość w postaci skoku odpowiednio o wartość siły skupionej ub momentu skupionego. Strona 70

71 ZGINANIE PRĘTÓW 8.3. Równomierne zginanie beki naprężenia i odkształcenia Zbadajmy naprężenia i odkształcenia w bece równomiernie zginanej. Taki rodzaj zginania występuje, gdy moment gnący wywołany obciążeniem jest stały wzdłuż osi beki, g ( ) const. Z zaeżności różniczkowej (8.4), wiążącej siłę poprzeczną z momentem gnącym, wynika, że w zginaniu równomiernym siła poprzeczna jest równa zeru, T ( ) 0. A zatem, zginanie równomierne jest zginaniem czystym, w którym jedyną siłą wewnętrzną jest moment gnący. Rozważmy zginanie równomierne beki o przekroju prostokątnym z naniesioną na bokach siatką inii podłużnych i poprzecznych (rysunek 8.6). Rysunek 8.6 Po odkształceniu inie podłużne oraz oś beki zakrzywiają się, inie prostopadłe pozostają proste i prostopadłe do osi beki, a kontur przekroju pozostaje płaski. Przyjmując strukturę materiału złożoną z włókien równoegłych do osi beki, można stwierdzić, że włókna po stronie wkęsłej skróciły się, a po stronie wypukłej uegły wydłużeniu. Oznacza to, że w bece istnieje warstwa utworzona z włókien o niezmienionej długości. Jest to tzw. warstwa obojętna, której przecięcie z przekrojem poprzecznym wyznacza oś obojętną. Strona 7

72 ROZDZIAŁ 8 Na podstawie doświadczeń można przyjąć mechanizm zginania oparty na następujących założeniach: a. przekrój płaski pozostaje po odkształceniu płaski i prostopadły do osi beki, b. istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny działania momentu gnącego, c. w przekroju poprzecznym występują wyłącznie naprężenia normane, a w przekrojach podłużnych nie ma żadnych naprężeń. Odkształcenia eementu beki Rozpatrzmy eement beki o długości d przed odkształceniem i po odkształceniu (rysunek 8.7). Rysunek 8.7 Strona 7

73 ZGINANIE PRĘTÓW Weźmy pod uwagę włókno znajdujące się w odegłości y od warstwy obojętnej. Włókno, które przed odkształceniem miało długość d ds, po odkształceniu wydłuża się o ε do długości ds ( ε). Na podstawie zaeżności geometrycznych mamy ds ( ε ) ds ρ y ρ (8.6) stąd y ε (8.7) ρ gdzie: ρ jest promieniem krzywizny warstwy obojętnej, który w przyjętym układzie współrzędnych i przy dodatnim momencie gnącym g ma wartość ujemną. Wzór (8.7) oznacza, że wydłużenie włókien jest proporcjonane do ich odegłości od warstwy obojętnej i ze wzgędu na znak promienia krzywizny jest dodatnie da dodatnich wartości współrzędnej y. Warunki równowagi Siły zewnętrzne działające na część beki oddzieoną przekrojem redukują się do momentu gnącego g. W obszarze przekroju działają eementarne siły σ da (rysunek 8.8). Rysunek 8.8 Strona 73

74 ROZDZIAŁ 8 Warunki równowagi odcinka beki mają postać z y A F 0 σ da 0 (8.8) A 0 σ z da 0 (8.9) 0 σ y da 0 (8.0) A Zaeżności fizyczne da materiału sprężystego okreśone są prawem Hooke a, z którego po uwzgędnieniu wzoru (8.7) wyznaczamy naprężenia normane g E σ Eε y (8.) ρ Związek (8.) ustaa rozkład naprężeń normanych w przekroju pręta zginanego. Zgodnie z nim wartość naprężeń jest proporcjonana do odegłości punktu przekroju od osi obojętnej. Po podstawieniu do warunków równowagi (8.8) (8.0) funkcji rozkładu naprężeń (8.) otrzymujemy koejno A A y da 0 (8.) y z da 0 (8.3) E ρ y A da g (8.4) Równość (8.) oznacza zerowanie się momentu statycznego S z wzgędem osi obojętnej (oś z), a zatem oś obojętna przechodzi przez środek ciężkości przekroju. Zgodnie z równością (8.3) moment odśrodkowy J yz wzgędem układu osi prostokątnych y, z ma wartość zerową. Osie y i z są głównymi osiami bezwładności przekroju. ożna zatem stwierdzić, że oś obojętna jest główną centraną osią bezwładności. Strona 74

75 ZGINANIE PRĘTÓW W rozważanym przypadku kierunek wektora momentu gnącego pokrywa się z kierunkiem osi obojętnej i ten rodzaj zginania nazywamy zginaniem prostym. W równaniu (8.4) całka A y da J z oznacza moment bezwładności wzgędem osi obojętnej. Przekształcając równanie (8.4) otrzymujemy związek między krzywizną a momentem gnącym ρ EJ g z (8.5) w którym ioczyn EJ z oznacza sztywność na zginanie. Podstawiając do wzoru (8.) promień krzywizny ze wzoru (8.5) wyznaczamy zaeżność na naprężenia normane w dowonym punkcie przekroju w funkcji obciążenia (momentu gnącego) g y σ (8.6) J Zgodnie z wcześniejszymi wnioskami naprężenia normane charakteryzuje iniowy rozkład. z 8.4. Obiczenia wytrzymałościowe na zginanie Największe bezwzgędne wartości naprężeń występują w punktach przekroju najbardziej odegłych od osi obojętnej (rysunek punkty I i II) obiczamy ze wzorów g e σ (8.7) J z Strona 75

76 ROZDZIAŁ 8 g e σ (8.8) J gdzie: e, e odegłości skrajnych punktów konturu przekroju od osi obojętnej z Rysunek 8.9 Wprowadzamy następujące oznaczenia J z W (8.9) e W J z. (8.0) e Powyższe wiekości nazwane są wskaźnikami wytrzymałości na zginanie. A zatem, wskaźnik wytrzymałości na zginanie jest iorazem momentu bezwładności przekroju wzgędem osi obojętnej i odegłości od tej osi skrajnych włókien. Jeśi materiał, z którego wykonany jest pręt, ma jednakową wytrzymaość na rozciąganie i ściskanie (materiał izonomiczny), to o wytrzymałości decydują naprężenia o największej bezwzgędnej wartości. W tym przypadku naeży wyznaczyć jeden wskaźnik wytrzymałości odpowiadający największej odegłości e ma punktu przekroju od osi obojętnej Strona 76

77 ZGINANIE PRĘTÓW W J z (8.) e ma Największą wartość naprężenia σ ma obiczamy ze wzoru g σ ma (8.) W W poprawnie zaprojektowanej bece powinien być spełniony następujący warunek wytrzymałościowy g σ ma σ dop k r, c (8.3) W gdzie: k r,c dopuszczane naprężenie przy rozciąganiu ub ściskaniu 8.5. Równanie różniczkowe ugiętej osi beki Działanie momentu gnącego powoduje zakrzywienie osi beki. W omawianym zginaniu prostym, w którym kierunek wektora momentu gnącego pokrywa się z kierunkiem głównej osi bezwładności przekroju, oś beki po odkształceniu jest krzywą płaską. Rozpatrzmy bekę swobodnie podpartą na końcach i zginaną siłą skupioną P (rysunek 8.0). Rysunek 8.0 Przyjmijmy w początku beki układ współrzędnych prostokątnych, którego oś stanowi oś geometryczną nieodkształconej beki, a oś y Strona 77

78 ROZDZIAŁ 8 skierowana jest do dołu. Dowony przekrój o współrzędnej obraca się o kąt ϑ, a jego środek ciężkości przemieszcza się pionowo o y. Oś ugiętą beki opisuje równanie y f(), a jej krzywiznę wzór (8.5). Krzywiznę dowonej krzywej płaskiej okreśa znana z geometrii różniczkowej zaeżność ρ d y d dy d 3 (8.4) Strona 78 Z porównania wzorów (8.5) i (8.4) otrzymujemy równanie różniczkowe ugiętej osi beki g d (8.5) 3 EJ d y dy d Ze wzgędu na stosunkowo dużą sztywność beek, a zatem małe przemieszczenia iniowe i kątowe, z dostateczną dokładnością można przyjąć, że współrzędna y reprezentuje całkowite przemieszczenie iniowe, a kąt obrotu przekroju ϑ (zawarty między osią beki nieodkształconej i styczną do osi ugiętej) oznacza przemieszczenie kątowe. Przemieszczenie iniowe y nazywane jest ugięciem, a kąt ϑ kątem ugięcia. Przy założonych małych przemieszczeniach kątowych mamy dy tgϑ ϑ i mianownik prawej strony równości (8.5) można d przyjąć równy jedności. Otrzymujemy równanie uproszczone, które zapisujemy w postaci d y EJ d g (8.6) Jest to tzw. równanie techniczne ugiętej osi beki, w którym ioczyn EJ jest ogónym oznaczeniem sztywności na zginanie. Znak we wzorach (8.5) i (8.6) wynika z przyjętej umowy okreśającej znak momentu gnącego.

79 ZGINANIE PRĘTÓW W ceu wyznaczenia ugięć beki całkujemy dwukrotnie równanie (8.6), otrzymujemy dy stąd ( d C) dy EJ g d C d ϑ g d EJ (8.7) EJ y g d d C D stąd ( ( d ) d C D) y g EJ (8.8) gdzie: C i D oznaczają stałe całkowania. W przypadku gdy moment gnący opisany jest inną funkcją w koejnych przedziałach beki, naeży napisać równania różniczkowe osi ugiętej osobno da każdego przedziału. Ze wzgędu na ciągłość i gładkość inii ugięcia, stałe całkowania muszą spełniać warunki ciągłości ugięć i kątów ugięcia na granicach przedziałów. W takim przypadku sposób całkowania równania różniczkowego ma istotne znaczenie. Przykład Wyznaczmy równanie osi ugiętej beki swobodnie podpartej na końcach i obciążonej siłą P (rysunek 8.). Rysunek 8. Z warunków równowagi wyznaczamy reakcje podpór, które wynoszą odpowiednio: R A Pb ( a b) oraz R B Pa ( a b). Przyjmijmy układ współrzędnych, y o początku w punkcie A beki. oment gnący g () naeży okreśić w dwóch przedziałach Strona 79