DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO ZALEśNOŚCI PODSTAWOWE Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów spręŝystych
|
|
- Jerzy Leszczyński
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO.. ZLEśNOŚCI PODSTWOWE... Podtawy teorii kręcania wobodnego prętów pręŝytych RozwaŜmy jednorodny, izotropowy, liniowo-pręŝyty pręt pryzmatyczny poddany czytemu kręcaniu (ry..). Problem kręcania rozwiąŝemy w poób wkazany w 855 roku przez de Saint- Venanta. Przyjmujemy mianowicie, Ŝe przekroje pręta nie ulegają odkztałceniom potaciowym, tzn. w proceie deformacji zachowują wój pierwotny kztałt. Zgodnie z powyŝzą hipotezą kinematyczną dwa przekroje oddalone od iebie o x obracają ię względem iebie wokół podłuŝnej oi pręta o kąt kręcenia ψ. Uwzględnimy jednak moŝliwość deplanacji (paczenia) przekrojów, które przed odkztałceniem były płakie. Dopuzczamy więc moŝliwość wytąpienia przemiezczeń u wzdłuŝ oi pręta x. Okazuje ię, Ŝe przy powyŝzych załoŝeniach uzykuje ię ściłe rozwiązanie problemu kręcania na gruncie teorii pręŝytości. Ry.. Zaadnicze rozwaŝania przeprowadzimy w zapiie wkaźnikowym. Z podanych wyŝej załoŝeń kinematycznych dla bardzo małych wartości kąta kręcenia wynikają natępujące związki: ( ) u = θ t x, x,, (.) u = ψ x = θ x x u = ψ x = θ x x. gdzie t(x, x ) jet tzw. funkcją deplanacji, kąt θ = dψ / dx i nazywa ię jednotkowym kątem kręcenia. PoniewaŜ pręt jet jednorodny i pryzmatyczny, więc podcza czytego kręcania (M = cont) jednotkowy kat kręcenia ma wartość tałą θ = ψ( l) / l, gdzie l jet długością pręta. RozwaŜany problem noi nazwę kręcania wobodnego. Określenie to wiąŝe ię z załoŝeniem, Ŝe wzytkie przekroje pręta mają wobodę deplanacji. Dlatego rozwiązanie tak formułowanego zagadnienia ma charakter przybliŝony. W praktyce itnieje wiele takich przypadków, w których kręcanie wobodne nie wytępuje. Mamy tu na myśli np. pełne utwierdzenie pręta na podporze, gdzie przekrój mui ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
2 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO pozotać płaki, tzn. u = 0. Podobna ytuacja wytępuje w środkowym przekroju pręta, który jet obciąŝony kupionym momentem kręcającym w połowie długości. W tych przypadkach powinno ię toować teorię kręcania niewobodnego. W praktyce efekty kręcania niewobodnego trzeba uwzględniać tylko w przekrojach cienkościennych. Problematykę tę omówimy w rozdziale. (por. równieŝ p...6). Wzory (.) pozwalają obliczyć odkztałcenia ze związków geometrycznych (por. wzór (.6)): Stan odkztałcenia obrazuje macierz: ε = ε = ε = ε = 0, ε = θ ( t, x), (.) ε = θ ( t, + x ). 0 e = ε ε ε ε 0 0. (.a) 0 0 Z kolei ze związków fizycznych (wzory (5.4)) otrzymujemy napręŝenia: σ = σ = σ = σ = 0, σ = Gθ ( t, x), σ = Gθ ( t, x ), (.) a macierz napręŝeń przyjmuje potać: 0 = σ σ σ σ 0 0. (.a) 0 0 Wykorzytamy jezcze równania róŝniczkowe równowagi napręŝeń (wzór (.9)) dla pręta niewa- Ŝkiego (G i = 0): σ, + σ, + σ, = 0, σ ji, j = 0: σ, + σ, + σ, = 0, σ, + σ, + σ, = 0, które po uwzględnieniu równań (.) prowadzą do zaleŝności: σ, + σ, = 0, σ, = 0, (.4) σ, = 0. Równania (.4) i (.4) ą pełnione toŝamościowo. Pozotaje więc tylko równanie (.4). Po podtawieniu wzoru (.) do (.4) otrzymujemy równanie róŝniczkowe Laplace'a na funkcję deplanacji: lub t, + t, = 0 = t 0, gdzie = +. x x Funkcja deplanacji t(x, x ) jet więc funkcją harmoniczną. (.5) ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
3 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO by wyznaczyć napręŝenia, wygodnie jet wprowadzić pewną funkcję F(x, x ), zwaną funkcją napręŝeń. JeŜeli przyjmiemy, Ŝe σ = F,, (.6) σ = F,. to funkcja napręŝeń F(x, x ) pełnia toŝamościowo równanie równowagi (.4). Równanie problemu kręcania otrzymujemy na podtawie wzorów (.6). Po zróŝniczkowaniu równania (.6) względem x, a równania (.6) względem x mamy: σ = F, = Gθ t, σ,, ( ) ( ) = F, = Gθ t +.,, Jeśli funkcja deplanacji t(x, x ) jet ciągła wraz z drugimi pochodnymi, to t, = t, i po dodaniu tronami uzykujemy pozukiwane równanie kręcania, wyraŝone przez funkcję napręŝeń: F = Gθ. (.7) Jet to równanie róŝniczkowe Poiona. NaleŜy jezcze przeanalizować warunki brzegowe odpowiadające temu równaniu. Warunki te ą określone przez warunki na powierzchniach bocznych ograniczających pręt (wzór (.7b)): ( pi n ) = σ jin j. ( n) ( n) ( n) 0 ( n) ( n) ( n) Pobocznica pręta jet wolna od napręŝeń, więc p = p = p =. Zatem p = σ n + σ n + σ n = 0, p = σ n + σ n + σ n = 0, p = σ n + σ n + σ n = 0. PoniewaŜ w pręcie pryzmatycznym n = 0, a n = x / c i n = x / c (por. ry..), pozotaje tylko pierwze z równań: σ + σ n =. (.8) n 0 Ry.. Z zaleŝności (.8) wynika, Ŝe napręŝenia σ i σ muzą przybierać takie wartości, by wypadkowe napręŝenie τ było tyczne do konturu przekroju. Warto przypomnieć, Ŝe w identyczny poób utaliliśmy kierunek wypadkowego napręŝenia t = t x *) w punktach konturu przekroju przy omawianiu działania iły poprzecznej (por. wzór (.7)). Po wprowadzeniu funkcji napręŝeń do warunku (.8) mamy: *) t x t = t xy + t xz. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
4 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 4 lub F n + F n =,, 0 F x F x + = 0. x c x c Lewa trona powyŝzego równania jet pochodną funkcji F = F[ x c x c ] mierzonej wzdłuŝ linii tworzącej kontur przekroju: df dc F x F x = + x c x c Warunek ten moŝna zapiać krócej: df c = 0, dc gdzie F c oznacza wartości funkcji F na konturze przekroju pręta. Wynika tąd, Ŝe F c = cont.. ( ), ( ) względem zmiennej c, Funkcja napręŝeń mui na konturze przekroju przyjmować jednakową wartość. Najwygodniej jet przyjąć, Ŝe brzegowa wartość funkcji F c jet równa zeru: F c = 0. (.9) Ry.. Warunek (.9) jet pozukiwanym warunkiem brzegowym funkcji napręŝeń, pełniającej równanie róŝniczkowe kręcania (.7). Przebieg funkcji napręŝeń obrazuje ry..a. Na ryunku.b przedtawiono plan wartwicowy powierzchni F(x, x ). RozwaŜmy jezcze pewien punkt wartwicy F(x, x ) = cont. Na krzywej tej przyrot funkcji F jet równy zeru, tzn. ale df dc = F x F x x c + x c = 0, F x F = σ, = σ, x ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
5 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 5 kąd σ = dx σ dx. Z otatniej zaleŝności (por. ry..c) wynikają natępujące wnioki: wektor napręŝenia t = σ e + σ e jet w kaŝdym punkcie tyczny do wartwicy F(x,x ) = cont; wartwice funkcji F ą więc trajektoriami napręŝeń tycznych, wartość wypadkowego napręŝenia tycznego obliczona z zaleŝności ( F, ) ( F, ) τ = σ + σ = + pozwala traktować to napręŝenie jako moduł gradientu funkcji napręŝeń F, τ =grad( F ). Jeśli uda ię nam wyznaczyć funkcję napręŝeń, moŝemy obliczyć jednotkowy kąt kręcenia z definicji momentu kręcającego: ( σ σ ) (,, ) M = x x d = F x F x d = = F, x dx dx F, x dx dx. Po wykonaniu całkowania przez części oraz uwzględnieniu, Ŝe F c = 0 otrzymujemy: M = F x (, ) x d. (.0) Moment kręcający równa ię więc podwójnej objętości ograniczonej powierzchnią F(x, x ) oraz płazczyzną przekroju. JeŜeli do rozwiązania toujemy funkcję deplanacji t(x, x ), a nie funkcję napręŝeń F(x, x ), to warunek brzegowy (.8) po wykorzytaniu równań (.) prowadzi do zaleŝności: t, x n + t, + x n = 0. (.) ( ) ( ) Funkcja t(x,x ) mui być tak obrana, by na konturze przekroju pełniała warunek (.). Drugi poób rozwiązania problemu kręcania polega więc na wyznaczeniu funkcji deplanacji t(x, x ), która pełnia równanie Laplace'a (.5) i warunek brzegowy (.) w kaŝdym punkcie konturu przekroju.... Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym Kontur przekroju pręta jet opiany równaniem: y z (a) + = 0, a b gdzie a i b (a b) ą głównymi oiami przęŝonymi elipy (por. ry..4). Ry..4 ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
6 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 6 Zatoujemy funkcję napręŝeń o natępującej potaci: (b) ( ) F y z m y z, = +, a b gdzie m jet pewną tałą. Z budowy wzoru (b) wynika, Ŝe warunek brzegowy na konturze przekroju jet pełniony (F c = 0). Stałą m obliczymy przez podtawienie funkcji F(y, z) do równania róŝniczkowego (.7): F = m + = Gθ, a b kąd. a b m = Gθ a + b Wobec tego a b y z (c) F( y, z) = Gθ +. a + b a b Na podtawie wzoru (.0) otrzymujemy: M = = Fd Gθ a b + d y d a b z d = a b ( d) = Gθ a b J a + b a z b J y. Dla elipy momenty bezwładności J y i J z oraz pole przekroju wynozą: Jy = πb a, Jz = πba, = πab, 4 4 co po podtawieniu do równania (d) prowadzi do zaleŝności: πa b (e) M = a + b G θ. Gdy uwzględnimy wartość iloczynu G obliczoną ze wzoru (e), to na podtawie wzoru (c) otrzymamy otateczną potać funkcji napręŝeń F(y, z) : M y z (f) F( y, z) = +. ab π a b NapręŜenia tyczne zmieniają ię liniowo. Wynika to z zaleŝności (.6): F M τ xy = = z, z πab (g) F M τ xz = = y a b y. π Doyć itotne dla dalzych rozwaŝań jet to, Ŝe moment kręcający przenozony przez napręŝenia τ xy jet równy M/. Taką amą część momentu przenozą oczywiście napręŝenia τ xz. Wnioek ten wynika z natępującego obliczenia: ( z) M M M ( xz ) xz y d z M a b y d a b J τ = τ = = =, π π (h) ( y) M M M ( τxy ) = τxy z d = y M a b z d = J =. ab π π ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
7 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 7 Warto równieŝ zwrócić uwagę, Ŝe pola kaŝdego z wykreów napręŝeń wypadkowych τ x ą zawze jednakowe M a M b M τ = = =. x a b π πab πab Najwiękze napręŝenia wytępują więc w punktach konturu leŝących najbliŝej środka cięŝkości przekroju (tzn. w punktach B i D na ry..5). PoniewaŜ a b, więc M M (i) τ x max = =, πab W gdzie W = πab / i oznacza tutaj tzw. wkaźnik wytrzymałości na kręcanie. by wyznaczyć przemiezczenia, trzeba określić funkcję deplanacji t(y, z). Funkcję tę najwygodniej obliczymy z jednego z równań (.): τ t xy M a b = + z = z + z = z. y Gθ Gθπab a + b Po całkowaniu tego równania otrzymamy: a b t( y, z) = yz + C. a + b Stałą C wyznaczymy z uwzględnieniem wymagania, by punkty leŝące na oi pręta nie doznawały przemiezczeń. Inaczej mówiąc przyjmujemy, Ŝe oś pręta nie wydłuŝa ię i nie kraca. Mamy więc t(0,0) = 0, kąd C = 0. a b (j) t( y, z) = yz. a + b Z równania (e) moŝna obliczyć jednotkowy kąt kręcenia: M θ =, (k) G πa b ( a + b / ) a ze wzorów (.) wpółrzędne wektora przemiezczenia: M u = u = θ t = yz, G a b ( a b π / ) M (l) u = v = θ xx = xz, G πa b / ( a + b ) M u = w = θ x x = xy. G ab ( a + b π / ) Ry..5 ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
8 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 8 Wartwice funkcji u(y, z) ą hiperbolami. Na ryunku.5b wartwice oznaczone liniami ciągłymi odpowiadają wartościom dodatnim, natomiat linie przerywane ujemnym wartościom przemiezczeń u (y, z). Stoownie do wzoru (k) jednotkowy kąt kręcenia moŝna zapiać jezcze inaczej: θ = M GJ, (.) gdzie GJ jet ztywnością kręcania przekroju, a J tzw. momentem bezwładności na kręcanie: 4 4 πa b J = = ; (.a) a + b 4π J 40 J b b przy czym J b = J y + J z i oznacza tu biegunowy moment bezwładności. De Saint--Venant dozedł do wnioku, Ŝe wzór (.a) dla innych kztałtów przekroju daje równieŝ bardzo dokładne wyniki. MoŜna więc przyjąć, Ŝe ztywność na kręcanie jet równa ą ztywności na kręcanie prętów o przekroju eliptycznym o tej amej powierzchni i tym amym biegunowym momencie bezwładności J b. Sztywność na kręcanie jet więc odwrotnie proporcjonalna do biegunowego momentu bezwładności, a nie wprot proporcjonalna, jak przyjmowali poprzednicy de Saint-Venanta.... Skręcanie prętów o przekrojach kołowych i pierścieniowych Zwróćmy uwagę na to, Ŝe dla przekroju kołowego (a = b = r) przemiezczenia u(y, z) = 0. Oznacza to, Ŝe podcza kręcania przekrój kołowy nie ulega deplanacji. Wzory na napręŝenia i kąt kręcania ą natępujące (ry..6a): M M πr τx = ρ, τx =, W = J W b max, 4 4 M πr θ =, J = = = Jb. GJ 4π J Wzory (.) obowiązują równieŝ dla przekrojów pierścieniowych, przy czym: 4 4 ( ) b (.) π J = Jb = R r oraz W = J / R. (.4) Dla przekrojów kołowych i pierścieniowych moment bezwładności na kręcanie J jet liczbowo równy momentowi biegunowemu J b. Było to źródłem błędnego załoŝenia w dawniej toowanych teoriach kręcania. W przekrojach pierścieniowych podobnie jak w przekrojach kołowych nie wytępuje deplanacja przekroju. Ry..6 ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
9 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO Skręcanie pręta o przekroju w kztałcie trójkąta równobocznego Ściłe rozwiązania zamknięte moŝna uzykać jezcze dla przypadku, gdy przekrój pręta pryzmatycznego jet trójkątem równobocznym. Funkcja napręŝeń jet iloczynem równań opiujących boki trójkąta (ry..7): (m) F y z = m( x a)( y z + a)( y + z + a) (, ). Ry..7 W ten poób podobnie jak dla przekroju eliptycznego funkcja napręŝeń zgodnie z warunkiem brzegowym (.9) przyjmuje wartości zerowe na konturze przekroju. Stałą m dobieramy tak, by było pełnione równanie kręcania (.6): F a = 8 m y +, y Wobec tego kąd (n) Z zaleŝności (.0) otrzymujemy: więc F = 8 m y z a. F F F = + = 6am = Gθ, y z G m = θ 8 a. ( ) ( ) M = = + = = 9 8a m 4 F d m y a y a z d Gθ a, 5 5 (o) θ = M GJ, 5 gdzie 4 a J =. (.5) 5 ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
10 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 0 NapręŜenia obliczymy z zaleŝności (.6): F Gθ τ xy = = 8m( y a) z = + ( y a) z, z a (p) F a Gθ a τ xz = = m y + y z 9 = y + z. y a Po podtawieniu zaleŝności (o) napręŝenia określają ą wzory: ( y ) M τ xy = a z = a z, aj (q) M a a τ xz = y + y z y y z a J = M ( a ) +. 5 / 5 Wykrey napręŝeń tycznych przedtawia ry..7b. Makymalne napręŝenia tyczne wytępują w punktach leŝących najbliŝej środka cięŝkości (punkty, B, C): M ( ) ( y ) 5 a / 5 a a (r) τ x max = τ xz, =, W =. 0 M W 5 NapręŜenia w naroŝach ą równe zeru. Pola wykreów wypadkowego napręŝenia tycznego τ x, odnieionych do dowolnej linii wychodzącej ze środka cięŝkości przekroju, ą takie ame. Dla przykładu wzdłuŝ linii z = 0 pole dodatnich napręŝeń τ x = τ xz odłoŝone na odcinku O jet równe polu ujemnych napręŝeń odłoŝonych na odcinku OD. Deplanację wyznacza ię identycznie jak dla przekroju eliptycznego, a odpowiednie równanie funkcji t(y, z) jet natępujące: () t y z a y z (, ) = z. Wartwice funkcji u(y, z) = θ t(y, z) podano na ry..7a...5. Obliczanie napręŝeń i kąta kręcania dla prętów o dowolnym przekroju. Przekrój protokątny Dla prętów o dowolnym przekroju rozwiązanie ściłe uzykuje ię za pomocą zeregów Fouriera. Itnieją równieŝ przybliŝone metody wyznaczania funkcji napręŝeń lub funkcji deplanacji. Na uwagę załuguje równieŝ metoda róŝnic kończonych omówiona w dodatku. Bardzo dobre rezultaty daje przybli- Ŝona teoria kręcania wobodnego zbudowana na podtawie teorii płyt grubych [,6]. Poza tym informacji o charakterze rozkładu napręŝeń dotarczają analogie błonowa i hydrodynamiczna. Omówimy je w p... Z punktu widzenia projektanta itotne jet wyznaczenie najwiękzego napręŝenia tycznego τ x max oraz jednotkowego kąta kręcania. Ogólnie biorąc, wartości te oblicza ię według wzorów: τ x max = M, (.6) W θ = M GJ. (.7) Wkaźniki wytrzymałości na kręcanie W oraz momenty bezwładności na kręcanie J dla róŝnych przekrojów zawierają poradniki i tablice do projektowania kontrukcji. Warunek wytrzymałościowy polega na pełnieniu nierówności: ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
11 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO kąd gdzie σ = τ σ red x max τ x max τ dop, τ σ σ dop, dop = dop 0, 6 dop, (.8) przy czym σ dop oznacza napręŝenie dopuzczalne przy rozciąganiu (ścikaniu), a τ dop dopuzczalne napręŝenia przy ścinaniu. Warunek ztywnościowy polega na ograniczeniu makymalnego całkowitego kąta kręcenia ψ : ψ = θ ( ) d ψdop. (.9) W praktyce poza przekrojami kołowym i pierścieniowym najczęściej toujemy protokątny przekrój pręta, dla którego obowiązują natępujące zaleŝności przybliŝone: (t) 4 J = b n ,, 05, n4 + n J h W =, przy czym n = >. 0, 5 + n b b Ry..8 Rozkłady napręŝeń ilutruje ry..8, a deformacje pręta kręcanego o przekroju protokątnym ry..9. Najwiękze napręŝenie tyczne wytępuje na konturze przekroju w punkcie, uytuowanym najbliŝej środka przekroju, tzn. w połowie dłuŝzego boku. Intereujące jet, Ŝe dla h / b <, 45 funkcja deplanacji t(y, z) wykazuje cztery obzary wartości dodatnich i cztery obzary wartości ujemnych, natomiat dla h / b > 45, wytępują podobnie jak w elipie po dwa takie obzary. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
12 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO Ry Uwagi o kręcaniu niewobodnym JeŜeli choć jeden przekrój pręta niekołowego pozotaje płaki, to tan napręŝenia w pręcie kręcanym róŝni ię od podanego w poprzednich punktach i odpowiada kręcaniu niewobodnemu. Dla ilutracji omówimy przykład pręta protokątnego, w którym z warunku ymetrii przekrój x = 0 pozotaje płaki (ry..0). ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
13 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO Ry..0 by zapobiec deplanacji, w obrębie przekroju poprzecznego naleŝy rozmieścić napręŝenia normalne σ x. W obzarach, w których wytąpiłyby wypukłości, trzeba wprowadzić napręŝenia ścikające, a w pozotałym obzarze napręŝenia rozciągające. BliŜza analiza tego problemu prowadzi do wnioku, Ŝe macierz napręŝeń ma wówcza potać: σ x τ xy τ xz = τ yx 0 τ yz, τzx τzy 0 czyli oprócz napręŝeń normalnych σ x pojawiają ię napręŝenia tyczne τ yz. Zaburzenia tanu napręŝenia, gdy jeden przekrój pręta pozotaje płaki, ą najwiękze dla x = 0 i zybko zanikają w miarę wzrotu wpółrzędnej x. Sztywność takiego pręta na kręcanie jet więkza niŝ podcza kręcania wobodnego. Wpływ kręcania niewobodnego jet bardzo itotny w przekrojach cienkościennych. Problematyka ta jet przedmiotem punktu ZaleŜności energetyczne dla kręcania wobodnego Do określenia zaleŝności energetycznych wykorzytamy równania równowagi i hipotezę kinematyczną o nieodkztałcalności konturu przekroju pręta. W przypadku kręcania wobodnego mamy: σijεij dv = ( σε + σε + σε + σε ) dv. V V Stan odkztałcenia wyraŝają wzory (.) wynikające z przyjętej hipotezy kinematycznej i związków geometrycznych. Po ich podtawieniu do powyŝzej zaleŝności otrzymujemy: ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
14 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 4 V σijεijdv = θ[ σ ( t x ) + σ ( t + x )] dv = θ ( σ x + σ x ) d d +,, V + θ ( σ t + σ t ) d d,,. WyraŜenie w nawiaie kwadratowym w pierwzej całce jet momentem kręcającym, więc (u) θ ( σ + σ ) = θ x x d d M d. WykaŜemy teraz, Ŝe (w) ( σ t, + σ t, ) d = 0. W tym celu napręŝenia σ i σ wyrazimy przez funkcję napręŝeń F(x, x ) pełniającą warunek brzegowy F c = 0 na konturze przekroju. Wówcza ( σ σ ) ( ) t + t d = F t F t d = F t d F t d,,,,,,,,,,. Po całkowaniu przez części pierwzej z całek otrzymujemy: bo na konturze przekroju Podobnie wykazuje ię, Ŝe + x F, t, d = F, t dx, dx = F t, F t dx dx F t d x, =,, Wynika tąd, Ŝe zaleŝność (w) jet prawdziwa. W podumowaniu twierdzamy, Ŝe + ( ) ( ) F x, x = F x, x = F c = 0. F t d = F t d = F t d,,,,. σij εij dv = M( ) θ ( ) d. (.0) V Wzór (.0) jet łuzny dla pręta wykonanego z materiału o dowolnej charakterytyce fizycznej. Dla pręta liniowo-pręŝytego energię pręŝytą U moŝna wyrazić natępującymi wzorami: U = d M( ) ( ), (.) M M UM = d, bo θ =, GJ GJ (.) Uθ = GJ θ d. (.) Składniki wewnętrznych prac wirtualnych określają zaleŝności: σijεij dv = M θ d, V σijεij dv = M θ d. V (.4) ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
15 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 5.. NLOGIE BŁONOW I HYDRODYNMICZN Wyobraźmy obie płaką jednorodną błonę (np. bańkę mydlaną) rozpiętą na brzegu o tym amym obryie co przekrój poprzeczny pręta, poddaną równomiernemu rozciąganiu R na brzegu i równomiernemu ciśnieniu p na powierzchni (ry..). Z równowagi rzutów ił pionowych działających na błonę otrzymujemy: f p dy dz R y dy dz R f + + dy dz = 0, z kąd f f p (a) + =. y z R W powyŝzym równaniu róŝniczkowym f(y,z) oznacza rzędne powierzchni wygiętej błony. Na brzegu ugięcia te ą równe zeru: (b) f c = 0. Ry.. Porównując równanie (a) i warunek brzegowy (b) z równaniem (.7) i warunkiem (.9) na funkcję napręŝeń F(y, z) widzimy, Ŝe zaleŝności te ą identyczne, jeŝeli przyjmiemy, iŝ f = F oraz p / R = Gθ. nalogię tę zauwaŝył Prandtl w 90 roku. Z powyŝzego wypływa wnioek, Ŝe kztałt powierzchni wygiętej błony jet podobny do kztałtu funkcji napręŝeń. Konekwencją tego ą natępujące twierdzenia: wartwice funkcji f(y, z) ą trajektoriami napręŝeń tycznych t x, moduł napręŝenia t x w danym punkcie jet proporcjonalny do najwiękzego padku (gradientu) powierzchni błony, moment kręcający M jet proporcjonalny do objętości zawartej między płazczyzna przekroju a powierzchnią błony. Zatoowanie błony mydlanej rozpiętej na ramce z drutu o kztałcie odpowiadającym przekrojowi poprzecznemu pręta pozwala uzykać w poób doświadczalny wzytkie niezbędne informacje dotyczące ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
16 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 6 problemu kręcania wobodnego. Metodę tę touje ię do wyznaczania tanu napręŝenia i ztywności kręcania prętów o róŝnych komplikowanych kztałtach przekroju poprzecznego. W prętach wydrąŝonych kztałt błony ilutruje ry..d. W obzarze wydrąŝenia powierzchnia błony jet płazczyzną (f = cont). Ry.. Bardzo ugetywne ą analogie hydrodynamiczne. Przedtawimy en jednej z nich analogii Greenhilla (90 rok). JeŜeli ciecz idealna krąŝy ze tałym natęŝeniem wiru w rurze o tym amym przekroju co kręcany pręt (ry..), to z warunku nieściśliwości otrzymujemy: v w (c) + = 0, y z natomiat warunek tałości natęŝenia wiru przyjmuje potać: w v (d) = cont, y z przy czym v i w oznaczają tutaj kładowe prędkości w danym punkcie *). Wprowadzając funkcję prądu: Φ Φ (e) v =, w =, z y pełniamy równanie (c), a z równania (d) znajdujemy: Φ Φ (f) + = cont. y z Prędkości v i w odpowiadają napręŝeniom τ xy i τ xz. Na brzegu prędkość krąŝącej cieczy ma kierunek tyczny do brzegu, tzn. odpowiada warunkowi brzegowemu w potaci (.9) *). Linie prądu pokrywają ię z trajektoriami napręŝeń tycznych τ x. Za pomocą analogii Greenhilla bardzo łatwo moŝna ocenić jakościowy wpływ róŝnych czynników na rozkład napręŝeń tycznych. Wpływ otworu kołowego na rozkład napręŝeń tycznych jet taki am jak wprowadzenie do trumienia cieczy nieruchomego walca o tej amej średnicy co średnica otworu (ry..b). NapręŜenia (tj. prędkości) w punktach C i D ą równe zeru, natomiat w punktach i B ą bardzo duŝe. Podobny wpływ ma półkolity rowek wycięty równolegle do oi wału. Najwiękze napręŝenie tyczne wytępuje w punkcie E. nalogia hydrodynamiczna pokazuje, jak niebezpieczne dla pręta kręcanego ą zczeliny promieniowe, uniemoŝliwiające przepływ napręŝeń. Z analogii hydrodynamicznej wynika wprot, Ŝe napręŝenia tyczne we wzytkich wypukłych naroŝach ą równe zeru, na- *) Wielkości v i w moŝna traktować odpowiednio jako przemiezczenia u i u w jednotce czau. Wzór (c) oznacza zatem, Ŝe dylatacja w płakim tanie odkztałcenia jet równa zeru (ε kk = 0, por. wzór (.)). Ze wzoru (d) wynika, Ŝe tenor obrotu ω = u, u, ma wartość tałą. *) PoniewaŜ wydajność wiru jet tała, więc w jednotce czau przez róŝne przekroje przepływa ta ama ilość cieczy. Tłumaczy to twierdzoną wcześniej dla elipy i trójkąta równość pól wykreów napręŝeń τ x. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
17 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 7 tomiat w otrych wklęłych naroŝach ą niekończenie duŝe (por. punkty F i G). Znaczy to, Ŝe nawet niewielki moment kręcający powoduje uplatycznienie bądź pęknięcie pręta. NapręŜenia te moŝna wydatnie zmniejzyć przez zaokrąglenie krawędzi (ry..d). Stouje ię to powzechnie w kztałtownikach walcowych... SKRĘCNIE SWOBODNE PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH... Profile zamknięte Profile cienkościenne dzielą ię na dwie zaadnicze grupy: profile zamknięte (ry..a) i otwarte (ry..b). Cechą charakterytyczną tych prętów jet to, Ŝe grubość ścianki jet niewielka w tounku do pozotałych wymiarów przekroju. Podział na profile zamknięte i otwarte wynika z itotnych róŝnic w rozkładzie napręŝeń i charakterze deformacji. Ry.. W profilach zamkniętych przyjmuje ię w przybliŝeniu, Ŝe napręŝenia tyczne τ x na grubości ścianki ię nie zmieniają. ZałoŜenie to w poób naturalny wynika z rozwiązania, uzykanego dla przekroju pierścieniowego o bardzo małej grubości ścianki, g = R r (por. p... i ry..4). Ry..4 RozwaŜmy dowolny przekrój cienkościenny przedtawiony na ry..5. Z umy ił równoległych do oi x, działających na element pokazany na ryunku.5c wynika, Ŝe τ g = τ g = τ ( c) g( c) = cont. (.5) x x x Zwróćmy uwagę, Ŝe zaleŝność ta w analogii hydrodynamicznej wyraŝa tałą wydajność przepływu nieściśliwej cieczy. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
18 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 8 Obliczymy teraz moment kręcający z uwzględnieniem zaleŝności (.5): (a) M = τx ( c) g( c) h( c) dc = τx g h( c) dc, c gdzie h(c) jet wyokością elementarnego trójkąta o podtawie dc (por. ry..5). Pole tego trójkąta dc = h( c) dc /. Uwzględniwzy ten fakt otrzymujemy: c kąd τ x M = τ x g c, = M, (.6) g c przy czym c oznacza pole ograniczone linią środkową konturu przekroju (ry..5d). Makymalne napręŝenie tyczne τ x wytępuje tam, gdzie g = g min. Wobec tego M τ x max =, W W = c g min. (.7) Ry..5 Pozotaje jezcze określenie ztywności przekroju na kręcanie. Wykorzytamy tu twierdzenie Clapeyrona ułoŝone dla pręta o długości dx, obciąŝonego zewnętrznym momentem kręcającym M (por. ry..5c): ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
19 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 9 (b) M θdx = ( τx ) / G d dx. Po uwzględnieniu, Ŝe d = g dc oraz wzór (.6) na napręŝenie τ x otrzymujemy: (c) θ = M kąd c M g dc M dc = 4 g G 4G g( c), c c c M θ = = dc, gdzie J 4c : GJ. (.8) g( c) c... Profile otwarte Dowolny profil otwarty moŝna traktować jako przekrój złoŝony z n elementów o kztałcie wydłuŝonego protokąta. Ry..6 Spróbujemy znaleźć rozwiązanie przybliŝone dla takiego protokąta. Zatoujemy funkcję napręŝeń dla elipy, w której b, przy czym b = h/ oraz a = g/ << b (por. p... i ry..6): (d) F y z G a b y z g (, ) = lim + G y. b a + b a b = θ θ 4 Tak przyjęta funkcja napręŝeń pełnia warunek brzegowy tylko dla y = ± g /. Dla z = ±h / funkcja F jet róŝna od zera (ry..6a). Niemniej jednak okazuje ię, Ŝe dla odpowiednio duŝego tounku h/g błąd w napręŝeniach jet znikomy. Ilutruje to wykre na ry..7 (por. Mutermilch, Kociołek [9], tr. 8). ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
20 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 0 Ry..7 Obliczymy teraz moment bezwładności na kręcanie J : (e) M = = = F d G y d g g θ 4 d Gθ J z 4 = = hg g G 4 = hg θ h g G θ, kąd J = h g. (.9) Wobec tego g g (f) F = F y = G y y = J M ( ) θ. 4 4 NapręŜenia tyczne wynozą: F F M τxy = = 0, τxz = = τ x = y, (.0) z y J a makymalne napręŝenia tyczne określa wzór: M g M = = g J J τ x max. (.) PrzybliŜony rozkład napręŝeń tycznych w wydłuŝonym protokącie obrazuje ry..6b. Nawiązując do wzorów (h) z p.., zwracamy uwagę na to, Ŝe moment kręcający przenozony przez napręŝenia τ xz jet równy tylko M/. Drugą połowę momentu przenozą napręŝenia τ xy, które w rzeczywitości pojawiają ię tylko w pobliŝu krótzych boków przekroju. NapręŜenia te, toownie do przybliŝonego kztałtu funkcji napręŝeń, przyjmują wartości niekończenie duŝe, ale działają na niekończenie małym polu. W efekcie odpowiadające im wypadkowe tworzą niekończenie małą parę ił o niekończenie duŝym ramieniu. Moment tej pary ił jet jednak kończony, co wynika z badania ymbolu nieoznaczonego. Wartość tego momentu jet równa połowie momentu kręcającego, tzn. τ xy z d = M. Trzeba dodać, Ŝe przyjęte przybliŝenia nie wprowadzają jednak duŝych błędów, jeŝeli chodzi o ztywność kręcania wynikającą ze wzoru (e). ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
21 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO Ry..8 Dla przekroju kładającego ię z więkzej liczby wydłuŝonych protokątów napręŝenia makymalne w pozczególnych elementach obliczamy według wzoru: (g) τ i xi = M gi, i =,,..., n, J i gdzie M i oznacza moment kręcający przenozony przez i-ty protokąt (ry..8). Wykorzytamy teraz fakt, Ŝe jednotkowy kąt kręcania dla kaŝdego z protokątów tworzących przekrój jet taki am i równa ię jednotkowemu kątowi kręcania całego przekroju złoŝonego. Mamy więc: M (h) θ = M = M M M =... = i =... = n =, GJ GJ GJi GJn GJ przy czym (i) M = M + M M M = M. Z zaleŝności (h) otrzymujemy: (j) M i = GJ i, kąd n (k) M Mi i= Wniokujemy zatem, Ŝe n natomiat z zaleŝności (h) wynika, iŝ i n i i= n = = Gθ J = GθJ. i = i J = Ji = hi g n i= i= n i, (.) Mi M (l) = = Gθ = cont. Ji J PoniewaŜ wzór (.) jet przybliŝony, w zaleŝności od kztałtu przekroju touje ię niekiedy mnoŝnik poprawkowy α bliki jedności. Wtedy n J = α hi gi. (.a) i= Uwzględniwzy zaleŝność (l) we wzorze (g) otrzymujemy ogólny wzór na obliczenie napręŝenia makymalnego w "i-tym" protokącie τ xi = M gi. J (.) ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
22 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO Makymalne napręŝenie tyczne w całym przekroju τ x = M g J Ze wzoru (.4) wynika, Ŝe max max. W J = g max (.4). (.5) Oznacza to, Ŝe najwiękze napręŝenia tyczne w profilu otwartym wytępują tam, gdzie grubość ścianki g jet najwiękza. Ry..9 Na uwagę załuguje fakt, Ŝe podcza kręcania wobodnego przekroju otwartego deplanacja jet bardzo wyraźnie widoczna. Ilutruje to ry..9. W trakcie montaŝu kontrukcji złoŝonej z prętów cienkościennych trudno jet tworzyć takie warunki, by była woboda deplanacji. Dlatego teŝ wyprowadzone wyŝej wzory tylko w pewnych zczególnych przypadkach łuŝą do oceny wytrzymałości otwartych prętów cienkościennych.... Porównanie kręcania wobodnego prętów cienkościennych zamkniętych i otwartych Bardzo ugetywnym przykładem ilutrującym róŝnice między kręcaniem wobodnym przekrojów zamkniętych i otwartych jet rura cienkościenna. Ryunek.0a przedtawia profil zamknięty, a ry..0b profil otwarty, uzykany przez rozcięcie rury wzdłuŝ tworzącej. Na obu ryunkach podano odpowiedni kztałt funkcji napręŝeń F(y, z). Zaadnicze róŝnice polegają na: charakterze rozkładu napręŝeń tycznych na grubości ścianki, wartości napręŝeń makymalnych, ztywności kręcania przekroju. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
23 Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO Ry..0 Rozkłady napręŝeń róŝnią ię jakościowo: w profilach zamkniętych napręŝenia na grubości ścianki ą tałe, a w profilach otwartych zmieniają ię liniowo przyjmując, wartości zerowe w punktach linii środkowej konturu. W przekrojach zamkniętych najwiękze napręŝenia tyczne wytępują tam, gdzie g = g min, a w przekrojach otwartych tam, gdzie g = g max. RozwaŜmy dwa pręty wykonane z rur kolitych o takich amych grubościach ścianek, przy czym jeden z prętów ma przekrój zamknięty a drugi otwarty (rurę przecięto wzdłuŝ tworzącej). Jeśli oba pręty kręcane ą takim amym momentem, to tounki jednotkowych kątów kręcania wynozą: a tounki makymalnych napręŝeń tycznych: θ θ τ τ ( o) ( z) ( x o ) ( x z ) J = J = W W ( ) z ( ), o ( z ) ( o ). Moment bezwładności na kręcanie dla rury o profilu zamkniętym wynoi: a rury rozciętej (profil otwarty) J ( z ) c = 4 4 g dc 4π r g / = = r g, π πr ( J o ) = hi gi = g hi = g πr = πr g. Odpowiednie wartości wkaźników wytrzymałości ą natępujące: z c o ( o ) ( ) ( ) J W = g = πr g, W = = πrg. g Wobec tego ( τ x o ) ( o) r θ r τ x z =. ( ) = g ( z) θ oraz g Jeśli na przykład r/g = 5, to τx ( o) : τ ( x z) = 45 i ( o) ( z) θ : θ = 675 (!).Widzimy więc, Ŝe napręŝenia w przekroju otwartym ą kilkadzieiąt razy więkze, a kąt kręcenia jet aŝ kilkaet razy więkzy od odpowiednich wartości dla przekroju zamkniętego. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 1 DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE
Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 1 1 DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 1.1. ZLEŻNOŚCI PODSTWOWE 1.1.1. Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów sprężystych Rozważmy jednorodny, izotropowy, liniowo-sprężysty
Bardziej szczegółowoNaprężenia styczne i kąty obrotu
Naprężenia tyczne i kąty obrotu Rozpatrzmy pręt pryzmatyczny o przekroju kołowym obciążony momentem kręcającym 0 Σ ix 0 0 A A 0 0 Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia
Bardziej szczegółowo9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ
Część 2 9. DZIŁIE SIŁY ORMLEJ 1 9. DZIŁIE SIŁY ORMLEJ 9.1. ZLEŻOŚCI PODSTWOWE Przyjmiemy, że materiał pręta jet jednorodny i izotropowy. Jeśli ponadto założymy, że pręt jet pryzmatyczny, to łuzne ą wzory
Bardziej szczegółowoObliczanie naprężeń stycznych wywołanych momentem skręcającym w przekrojach: kołowym, pierścieniowym, prostokątnym 7
Obiczanie naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach: kołowym, pierścieniowym, protokątnym 7 Wprowadzenie Do obiczenia naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach
Bardziej szczegółowoSkręcanie prętów naprężenia styczne, kąty obrotu 4
Skręcanie prętów naprężenia tyczne, kąty obrotu W przypadku kręcania pręta jego obciążenie tanowią momenty kręcające i. Na ry..1a przedtawiono przykład pręta ztywno zamocowanego na ewym końcu (punkt ),
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI POSTACIOWEJ G ORAZ NAPRĘŻEŃ SKRĘCAJĄCYCH METODĄ TENSOMETRYCZNĄ
Ćwiczenie 7 WYZNACZANIE ODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI POSTACIOWEJ G ORAZ NAPRĘŻEŃ SKRĘCAJĄCYCH ETODĄ TENSOETRYCZNĄ A. PRĘT O PRZEKROJU KOŁOWY 7. WPROWADZENIE W pręcie o przekroju kołowym, poddanym obciążeniu momentem
Bardziej szczegółowos Dla prętów o stałej lub przedziałami stałej sztywności zginania mianownik wyrażenia podcałkowego przeniesiemy przed całkę 1 EI s
Wprowadzenie Kontrukcja pod wpływem obciążenia odkztałca ię, a jej punkty doznają przemiezczeń iniowych i kątowych. Umiejętność wyznaczania tych przemiezczeń jet konieczna przy prawdzaniu warunku ztywności
Bardziej szczegółowoSZEREGOWY SYSTEM HYDRAULICZNY
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Ćwiczenie N 1 SZEREGOWY SYSTEM HYDRAULICZNY 1. Cel ćwiczenia Sporządzenie wykreu Ancony na podtawie obliczeń i porównanie zmierzonych wyokości ciśnień piezometrycznych z obliczonymi..
Bardziej szczegółowo2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
Bardziej szczegółowoRUCH FALOWY. Ruch falowy to zaburzenie przemieszczające się w przestrzeni i zmieniające się w
RUCH FALOWY Ruch alowy to zaburzenie przemiezczające ię w przetrzeni i zmieniające ię w czaie. Podcza rozchodzenia ię al mechanicznych elementy ośrodka ą wytrącane z położeń równowagi i z powodu właności
Bardziej szczegółowoLVI Olimpiada Matematyczna
LVI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkurowych zawodów topnia trzeciego 13 kwietnia 2005 r (pierwzy dzień zawodów) Zadanie 1 Wyznaczyć wzytkie trójki (x, y, n) liczb całkowitych dodatnich pełniające
Bardziej szczegółowoŚcinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży
Ścinanie i skręcanie dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 Ścinanie proste Ścinanie czyste Ścinanie techniczne 2 Ścinanie Czyste ścinanie ma miejsce wtedy, gdy na czterech ścianach prostopadłościennej kostki występują
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA
aboratorium z Fizyki Materiałów 010 Ćwiczenie WYZNCZNIE MODUŁU YOUNG METODĄ STRZŁKI UGIĘCI Zadanie: 1.Za pomocą przyrządów i elementów znajdujących ię w zetawie zmierzyć moduł E jednego pręta wkazanego
Bardziej szczegółowo1. Wykres momentów zginających M(x) oraz sił poprzecznych Q(x) Rys2.
Zadanie. Zginanie prote belek. Dla belki zginanej obciążonej jak na Ry. wyznaczyć:. Wykre oentów zginających M(x) oraz ił poprzecznych Q(x).. Położenie oi obojętnej.. Wartość akyalnego naprężenia noralnego
Bardziej szczegółowoCzęść 1 9. METODA SIŁ 1 9. METODA SIŁ
Część 1 9. METOD SIŁ 1 9. 9. METOD SIŁ Metoda ił jet poobem rozwiązywania układów tatycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowadza ię ona do rozwiązania
Bardziej szczegółowoMES1pr 02 Konstrukcje szkieletowe 2. Belki
MES1pr 02 Kontrukcje zkieletowe 2. Belki Kiedy używamy modeli belkowe? Elementy kontrukcyjne, w których jeden z wymiarów jet wielokrotnie (> 4 razy) więkzy od innych i zginanie lub kręcanie ma wpływ na
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 4 Badanie zjawiska Halla i przykłady zastosowań tego zjawiska do pomiarów kąta i indukcji magnetycznej
Ćwiczenie nr 4 Badanie zjawika alla i przykłady zatoowań tego zjawika do pomiarów kąta i indukcji magnetycznej Opracowanie: Ryzard Poprawki, Katedra Fizyki Doświadczalnej, Politechnika Wrocławka Cel ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoSKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH
KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.
Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. 2. Omówić pojęcia sił wewnętrznych i zewnętrznych konstrukcji.
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
Bardziej szczegółowoWyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego
POLTECHNKA ŚLĄSKA WYDZAŁ CHEMCZNY KATEDRA FZYKOCHEM TECHNOLOG POLMERÓW LABORATORUM Z FZYK Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego WYZNACZANE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚC
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z
Bardziej szczegółowoBlok 2: Zależność funkcyjna wielkości fizycznych
Blok : Zależność funkcyjna wielkości fizycznych ZESTAW ZADAŃ NA ZAJĘCIA 1. Na podtawie wykreu oblicz średnią zybkość ciała w opianym ruchu.. Na ryunku przedtawiono wykre v(t) pewnego pojazdu jadącego po
Bardziej szczegółowoTra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m
Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoWykład 4. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju cienkościennym otwartym i zamkniętym. Pręt o przekroju cienkościennym otwartym
Wykład 4. Skręane nekrępowane prętów o przekroju enkośennym otwartym zamknętym. Pręt o przekroju enkośennym otwartym la przekroju pręta pokazanego na ryunku przyjmjmy funkje naprężeń Prandtla, która tylko
Bardziej szczegółowoCIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE
CIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE Wykład 6: Wymiarowanie elementów cienkościennych o przekroju w ujęciu teorii Własowa INFORMACJE OGÓLNE Ścianki rozważanych elementów, w zależności od smukłości pod naprężeniami
Bardziej szczegółowo14. WIADOMOŚCI OGÓLNE
Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 4. WIADOMOŚCI OGÓLNE 4.. WARUNKI RÓWNOWAGI UKŁADU SIŁ Mechanika kontrukcji zajmuje ię wyznaczaniem ił wewnętrznych i przemiezczeń w różnego
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA
Bardziej szczegółowo8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych. Sterowanie dławieniowe-szeregowe prędkością ruchu odbiornika hydraulicznego
Intrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Sterowanie dławieniowe-zeregowe prędkością ruchu odbiornika hydraulicznego Wtęp teoretyczny Prędkość ilnika hydrotatycznego lub iłownika zależy od kierowanego do niego
Bardziej szczegółowoAnaliza osiadania pojedynczego pala
Poradnik Inżyniera Nr 14 Aktualizacja: 09/2016 Analiza oiadania pojedynczego pala Program: Pal Plik powiązany: Demo_manual_14.gpi Celem niniejzego przewodnika jet przedtawienie wykorzytania programu GO5
Bardziej szczegółowoPROFIL PRĘDKOŚCI W RURZE PROSTOLINIOWEJ
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Ćwiczenie N 7 PROFIL PRĘDKOŚCI W RURZE PROSTOLINIOWEJ . Cel ćwiczenia Doświadczalne i teoretyczne wyznaczenie profilu prędkości w rurze prostoosiowej 2. Podstawy teoretyczne:
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTEMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podtawowy) Rozwiązania zadań Zadanie 1. (1 pkt) III.1.5. Uczeń oblicza wartości niekomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe i
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów Wykład 3 Analiza stanu naprężenia i odkształcenia w przekroju pręta Poznań 1 3.1. Podstawowe założenia Charakterystyka materiału Zakładamy na początek, że mamy do czynienia z ośrodkiem
Bardziej szczegółowo( L,S ) I. Zagadnienia
( L,S ) I. Zagadnienia. Elementy tatyki, dźwignie. 2. Naprężenia i odkztałcenia ciał tałych.. Prawo Hooke a.. Moduły prężytości (Younga, Kirchhoffa), wpółczynnik Poiona. 5. Wytrzymałość kości na ścikanie,
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoStabilność liniowych układów dyskretnych
Akademia Morka w Gdyni atedra Automatyki Okrętowej Teoria terowania Miroław Tomera. WPROWADZENIE Definicja tabilności BIBO (Boundary Input Boundary Output) i tabilność zerowo-wejściowa może zotać łatwo
Bardziej szczegółowoProjekt 2 studium wykonalności. 1. Wyznaczenie obciążenia powierzchni i obciążenia ciągu (mocy)
Niniejzy projekt kłada ię z dwóch części: Projekt 2 tudium wykonalności ) yznaczenia obciążenia powierzchni i obciążenia ciągu (mocy) przyzłego amolotu 2) Ozacowania koztów realizacji projektu. yznaczenie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Bardziej szczegółowoStan odkształcenia i jego parametry (1)
Wprowadzenie nr * do ćwiczeń z przedmiotu Wytrzymałość materiałów przeznaczone dla studentów II roku studiów dziennych I stopnia w kierunku nergetyka na wydz. nergetyki i Paliw, w semestrze zimowym /.
Bardziej szczegółowoKONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów. Schemat punktowania zadań
1 KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów 10 marca 2017 r. zawody III topnia (finałowe) Schemat punktowania zadań Makymalna liczba punktów 60. 90% 5pkt. Uwaga! 1. Za poprawne rozwiązanie zadania
Bardziej szczegółowoLaboratorium. Sterowanie napędami elektrycznymi zagadnienia wybrane
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT MASZYN, NAPĘDÓW I POMIARÓW ELEKTRYCZNYCH ZAKŁAD NAPĘDU ELEKTRYCZNEGO, MECHATRONIKI I AUTOMATYKI PRZEMYSŁOWEJ Laboratorium Sterowanie napędami elektrycznymi zagadnienia
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoi odwrotnie: ; D) 20 km h
3A KIN Kinematyka Zadania tr 1/5 kin1 Jaś opowiada na kółku fizycznym o wojej wycieczce używając zwrotów: A) zybkość średnia w ciągu całej wycieczki wynoiła 0,5 m/ B) prędkość średnia w ciągu całej wycieczki
Bardziej szczegółowoMechanika i wytrzymałość materiałów BILET No 1
Mechanika i wytrzymałość materiałów BILET No 1 1. Prawa ruchu Newtona. 2. Projektowanie prętów skręcanych ze względu na wytrzymałość oraz kąt skręcania. 3. Belka AB o cięŝarze G oparta jak pokazano na
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ
ĆWICZENIE 12 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych. Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo
Bardziej szczegółowoTesty statystyczne teoria
Tety tatytyczne teoria przygotowanie: dr A Goroncy, dr J Karłowka-Pik Niech X,, X n będzie próbą loową protą z rozkładu P θ, θ Θ oraz niech α (0, ) będzie poziomem itotności (najczęściej 0,, 0,05, czy
Bardziej szczegółowoPolitechnika Śląska w Gliwicach Instytut Maszyn i Urządzeń Energetycznych Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych
Politechnika Śląka w Gliwicach Intytut Mazyn i Urządzeń Energetycznych Zakład Podtaw Kontrukcji i Ekploatacji Mazyn Energetycznych Ćwiczenie laboratoryjne z wytrzymałości materiałów Temat ćwiczenia: Wyboczenie
Bardziej szczegółowoZmiany zagęszczenia i osiadania gruntu niespoistego wywołane obciążeniem statycznym od fundamentu bezpośredniego
Zmiany zagęzczenia i oiadania gruntu niepoitego wywołane obciążeniem tatycznym od fundamentu bezpośredniego Dr inż. Tomaz Kozłowki Zachodniopomorki Uniwerytet Technologiczny w Szczecinie, Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoλ = 92 cm 4. C. Z bilansu cieplnego wynika, że ciepło pobrane musi być równe oddanemu
Odpowiedzi i rozwiązania:. C. D (po włączeniu baterii w uzwojeniu pierwotny płynie prąd tały, nie zienia ię truień pola agnetycznego, nie płynie prąd indukcyjny) 3. A (w pozotałych przypadkach na trunie
Bardziej szczegółowoAl.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III
KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoIDENTYFIKACJA MODELU MATEMATYCZNEGO ROBOTA INSPEKCYJNEGO
MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 896-77X 36,. 87-9, liwice 008 IDENTYFIKACJA MODELU MATEMATYCZNEO ROBOTA INSPEKCYJNEO JÓZEF IERIEL, KRZYSZTOF KURC Katedra Mechaniki Stoowanej i Robotyki, Politechnika Rzezowka
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych
Statytyka. v.0.9 egz mgr inf nietacj Statytyczna analiza danych Statytyka opiowa Szereg zczegółowy proty monotoniczny ciąg danych i ) n uzykanych np. w trakcie pomiaru lub za pomocą ankiety. Przykłady
Bardziej szczegółowoBADANIE ZALEŻNOŚCI PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU OD TEMPERATURY
Ć w i c z e n i e 30 BADANIE ZALEŻNOŚCI PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU OD EMPERAURY 30.1 Wtęp teoretyczny 30.1.1. Prędkość dźwięku. Do bardzo rozpowzechnionych proceów makrokopowych należą ruchy określone wpólną nazwą
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka
Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Skręcanie prętów o przekrojach kołowych Siły przekrojowe, deformacja, naprężenia, warunki bezpieczeństwa i sztywności, sprężyny śrubowe. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)
Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich
Bardziej szczegółowoSPRAWDZENIE SG UŻYTKOWALNOŚCI (ZARYSOWANIA I UGIĘCIA) METODAMI DOKŁADNYMI, OMÓWIENIE PROCEDURY OBLICZANIA SZEROKOŚCI RYS ORAZ STRZAŁKI UGIĘCIA
SPRAWDZENIE SG UŻYTKOWALNOŚCI (ZARYSOWANIA I UGIĘCIA) METODAMI DOKŁADNYMI, OMÓWIENIE PROCEDURY OBLICZANIA SZEROKOŚCI RYS ORAZ STRZAŁKI UGIĘCIA ZAJĘCIA 11 PODSTAWY PROJEKTOWANIA SEM. V KONSTRUKCJI BETONOWYCH
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoSpis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia
Bardziej szczegółowoPrzykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną
Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Analizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne dla zadanych wartości
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr
Bardziej szczegółowoPŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium
Bardziej szczegółowoModel efektywny dla materiałów komórkowych w zakresie liniowo-sprężystym Małgorzata Janus-Michalska
Model efektywny dla materiałów komórkowych w zakreie liniowo-prężytym Małgorzata Janu-Michalka Katedra Wytrzymałości Materiałów Intytut Mechaniki Budowli Politechnika Krakowka PAN PREZENTACJI. Wprowadzenie.
Bardziej szczegółowo1 Przekształcenie Laplace a
Przekztałcenie Laplace a. Definicja i podtawowe właności przekztałcenia Laplace a Definicja Niech dana będzie funkcja f określona na przedziale [,. Przekztałcenie (tranformatę Laplace a funkcji f definiujemy
Bardziej szczegółowoPŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej,
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 1 CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE DIOD P-N
LBORTORM PRZYRZĄDÓW PÓŁPRZEWODNKOWYCH ĆWCZENE 1 CHRKTERYSTYK STTYCZNE DOD P-N K T E D R S Y S T E M Ó W M K R O E L E K T R O N C Z N Y C H 1 CEL ĆWCZEN Celem ćwiczenia jet zapoznanie ię z: przebiegami
Bardziej szczegółowoTesty dotyczące wartości oczekiwanej (1 próbka).
ZASADY TESTOWANIA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH. TESTY DOTYCZĄCE WARTOŚCI OCZEKIWANEJ Przez hipotezę tatytyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu intereującej na cechy. Hipotezy
Bardziej szczegółowoWRAŻLIWOŚĆ NA IMERFEKCJE PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH Z POŁĄCZENIAMI PODATNYMI
Dr inż. Lezek CHODOR Dr inż. Roman BIJA Politechnika Świętokrzyka, atedra Budownictwa etalowego i eorii ontrukcji WRAŻLIWOŚĆ NA IRFCJ PRĘÓW CINOŚCINNCH Z POŁĄCZNIAI PODANI. Wprowadzenie Dominującą technologią
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE KOMBINACJI POTENCJAŁÓW T- DO WYZNACZANIA PARAMETRÓW SZTYWNOŚCI SIŁOWNIKA ŁOŻYSKA MAGNETYCZNEGO
Zezyty Problemowe Mazyny Elektryczne Nr 83/29 89 Broniław Tomczuk, Jan Zimon Politechnika Opolka, Opole WYKORZYSTANIE KOMBINACJI POTENCJAŁÓW T- DO WYZNACZANIA PARAMETRÓW SZTYWNOŚCI SIŁOWNIKA ŁOŻYSKA MAGNETYCZNEGO
Bardziej szczegółowoKO OF Szczecin:
55OF D KO OF Szczecin: www.of.zc.pl L OLMPADA FZYZNA (005/006). Stopień, zadanie doświadczalne D Źródło: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej A. Wymołek; Fizyka w Szkole nr 3, 006. Autor: Nazwa zadania:
Bardziej szczegółowolim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej.
Niniejsze opracowanie ma na celu przybliŝyć matematykę (analizę matematyczną) i stworzyć z niej narzędzie do rozwiązywania zagadnień z fizyki. Definicje typowo matematyczne będą stosowane tylko wtedy gdy
Bardziej szczegółowoStatyczne charakterystyki czujników
Statyczne charakterytyki czujników Określają działanie czujnika w normalnych warunkach otoczenia przy bardzo powolnych zmianach wielkości wejściowej. Itotne zagadnienia: kalibracji hiterezy powtarzalności
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do WK1 Stan naprężenia
Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 14. Maria Bełtowska-Brzezinska KINETYKA REAKCJI ENZYMATYCZNYCH
Ćwiczenie 14 aria Bełtowska-Brzezinska KINETYKA REAKCJI ENZYATYCZNYCH Zagadnienia: Podstawowe pojęcia kinetyki chemicznej (szybkość reakcji, reakcje elementarne, rząd reakcji). Równania kinetyczne prostych
Bardziej szczegółowoAnaliza wektorowa. Teoria pola.
Analiza wektorowa. Teoria pola. Pole skalarne Pole wektorowe ϕ = ϕ(x, y, z) A = A x (x, y, z) i x + A y (x, y, z) i y + A z (x, y, z) i z Gradient grad ϕ = ϕ x i x + ϕ y i y + ϕ z i z Jeśli przemieścimy
Bardziej szczegółowo4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości
4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 4.2. Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5.
Bardziej szczegółowoWYMIAROWANIE PRZEKROJÓW POZIOMYCH KOMINÓW ŻELBETOWYCH W STANIE GRANICZNYM NOŚNOŚCI WG PN-EN - ALGORYTM OBLICZENIOWY
Budownictwo DOI: 0.75/znb.06..7 Mariuz Pońki WYMIAROWANIE PRZEKROJÓW POZIOMYCH KOMINÓW ŻELBETOWYCH W STANIE GRANICZNYM NOŚNOŚCI WG PN-EN - ALGORYTM OBLICZENIOWY Wprowadzenie Wprowadzenie norm europejkich
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoKinematyka płynów - zadania
Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowoEUROELEKTRA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 2015/2016
EUROELEKTRA Ogólnopolka Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok zkolny 015/016 Zadania z elektrotechniki na zawody III topnia Rozwiązania Intrukcja dla zdającego 1. Cza trwania zawodów: 10 minut..
Bardziej szczegółowoSTAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży
STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj
Bardziej szczegółowoROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE OSIOWE. Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta
ROZCIĄGNIE I ŚCISKNIE OSIOWE Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta Pręt obciążony siłami podłużnymi (działającymi wzdłuż osi pręta) nazywamy prętem rozciąganym, gdyż siła podłużna jest dodatnia (N
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN z działu: Dynamika. TEST W zadaniach 1 33 każde twierdzenie lub pytanie ma tylko jedną prawidłową odpowiedź. Należy ją zaznaczyć.
SPRAWDZIAN z działu: Dynamika TEST W zadaniach 1 33 każde twierdzenie lub pytanie ma tylko jedną prawidłową odpowiedź. Należy ją zaznaczyć....... imię i nazwiko... klaa 1. Które z poniżzych zdań tanowi
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15
WYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15 Fundamentalne Zasady Zachowania/Zmienności w Mechanice mówią nam co dzieję się z: masą pędem krętem (momentem pędu)
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11
WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 1/11 DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO Rozważmy dwa elementy płynu położone w pewnej chwili w bliskich sobie punktach A i B. Jak zmienia się ich względne położenie w krótkim
Bardziej szczegółowo