9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

Transkrypt

1 Część 2 9. DZIŁIE SIŁY ORMLEJ 1 9. DZIŁIE SIŁY ORMLEJ 9.1. ZLEŻOŚCI PODSTWOWE Przyjmiemy, że materiał pręta jet jednorodny i izotropowy. Jeśli ponadto założymy, że pręt jet pryzmatyczny, to łuzne ą wzory podane przy omawianiu próby rozciągania i ścikania dla zakreu liniowo-prężytego. Przyjęliśmy wówcza hipotezę płakich przekrojów i założenie o pokrywaniu ię głównych oi naprężeń i odkztałceń z układem oi przechodzących przez geometryczną oś pręta. Zanim przejdziemy do wzorów na naprężenia, odkztałcenia i przemiezczenia, wprowadzimy zamiat układu oi x 1, x 2, x 3 układ oi x, y, z. Wpółrzędne wektora przemiezczenia u 1, u 2, u 3 oznaczymy odpowiednio u, v, w. Ry. 9.1 Rozważymy pręt o długości l, poddany czytemu rozciąganiu (ry. 9.1). Oznacza to, że na długości pręta wykre ił normalnych jet tały, a pozotałe iły wewnętrzne ą równe zeru. Zgodnie z zaadą de Saint-enanta nie precyzujemy bliżej poobu przyłożenia iły i pominiemy analizę ewentualnych zaburzeń na końcach pręta. Założymy ponadto, że oś pręta na lewym końcu jet unieruchomiona, a na końcu prawym może ię przeuwać tylko wzdłuż oi x. Geometrię odkztałcenia ilutrują linie przerywane na ry. 9.1a, d. Stoownie do wzorów (8.1) iłę normalną definiujemy natępująco: def = σ x ( y, z ) d, gdzie σ x = σ 11. (9.1) Definicja ta jet łuzna dla dowolnego prawa rozkładu naprężeń normalnych σ x. Jeśli jednak obowiązuje hipoteza płakich przekrojów, a materiał pręta jet jednorodny, to ze związków fizycznych wynika równomierny rozkład naprężeń σ x w obrębie przekroju. Wobec tego σ x można wyłączyć przed znak całki: ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 2003r.

2 Część 2 9. DZIŁIE SIŁY ORMLEJ 2 = σx d= σ x, tąd σ x =. (9.2) Pozotałe wpółrzędne tenora naprężenia ą równe zeru, a tan naprężenia związany z oiami x, y, z obrazuje macierz: σ x 0 0 = Ponieważ oie x, y, z ą głównymi oiami odkztałceń, więc odkztałcenia kątowe ą równe zeru, a odkztałcenia liniowe oblicza ię ze związków fizycznych (wzory (4.3)): σ ε x x = E = E, (9.4) ν εy = εz = ν εx =. (9.5) E Iloczyn E nazywa ię ztywnością rozciągania (ścikania) przekroju. Macierz e ma potać: (9.3) εx 0 0 e = 0 νε x 0. (9.6) 0 0 νεx Przemiezczenia obliczymy ze związków geometrycznych. Z hipotezy płakich przekrojów wniokujemy, że wpółrzędna u 1 = u jet tylko funkcją x. Wobec tego mamy: tąd: ε ux ( ) du v w = =, ε =, ε =, x dx y z x y z u= u( x) = εxdx+ C = E x + 1 C 1, ν v = v( x, y, z) = ε ydy+ C x z = E y + 2(, ) C 2( x, z ), ν w= wxyz (,, ) = εzdz+ C( xy, ) = E z + 3 C 3( x, y ). Stałe całkowania trzeba obliczyć z warunków brzegowych oraz przyjętej kinematyki odkztałcenia. ajbardziej intereują na oczywiście przemiezczenia u(x). Ponieważ u(0) = 0 (lewy koniec pręta jet unieruchomiony), więc C 1 = 0. Okazuje ię, że tałe C 2 i C 3 też ą równe zeru. Otatecznie otrzymujemy: uxyz ux E x (,, ) = ( ) =, vxyz (,, ) vy ( ) E y = = ν, wxyz (,, ) = wz ( ) = E z ν. (9.7) Pełne wyprowadzenie wzorów (9.7) zawiera podręcznik Piechnika [34]. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 2003r.

3 Część 2 9. DZIŁIE SIŁY ORMLEJ 3 Ry. 9.2 Wzytkie podane wyżej zależności ą ściłe tylko dla pręta pryzmatycznego. W przypadku prętów o zmiennym przekroju nie ą pełnione warunki brzegowe dla naprężeń. Łatwo ię o tym przekonać, układając równania równowagi dla elementu położonego przy krawędzi przekroju (ry. 9.2b). Warunki na powierzchni (p i = σ jin j ) wymagają, by w pobliżu krawędzi pręta wytępowały również naprężenia tyczne τ xz i normalne σ z (ry. 9.2c). Przy łagodnej zmianie przekroju wartości te ą jednak pomijalnie małe, a wykre naprężeń normalnych σ x jet prawie równomierny (por. ry. 9.2c). Przejdziemy obecnie do zagadnień energetycznych. Obliczymy najpierw wartość całki objętościowej z iloczynu tenorów naprężenia i odkztałcenia przy działaniu iły normalnej. Jeśli przyjmiemy, że w każdym punkcie dowolnego przekroju pręta wytępują tylko naprężenia normalne σ 11 = σ x, to całkę tę można zapiać natępująco: σijεij d = σxεx d. Całkę względem objętości zamienimy na całkę iterowaną: σ ε ij ij d = σxεx d d, gdzie jet długością pręta (może to być również pręt łabo zakrzywiony), a d elementem łuku mierzonym na oi pręta. Gdy obowiązuje prawo płakich przekrojów, to odkztałcenie ε x w obrębie danego przekroju jet tałe, co pozwala wyłączyć je przed całkę względem. Zatem: σijεijd = ε x σxd d = λ σxd d, gdzie λ = ε x, i oznacza wydłużenie względne oi pręta. Całka w nawiaie, toownie do definicji (9.1), jet iłą normalną. ależy podkreślić, że definicja ta jet łuzna dla zupełnie dowolnego rozkładu naprężeń normalnych σ x (, y, z). Wobec tego ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 2003r.

4 Część 2 9. DZIŁIE SIŁY ORMLEJ 4 σijεij d = ( ) λ( ) d. (9.8) by powyżze równanie było prawdziwe, wytarcza tylko, że jet pełniona hipoteza płakich przekrojów. Materiał pręta może być nieliniowo-prężyty lub nieprężyty i w obrębie przekroju niejednorodny. Wielkości i λ ą w ogólności zmienne na długości pręta. Obliczymy teraz energię prężytą U, zmagazynowaną wewnątrz pręta. Stoownie do wzoru (6.8) oraz na podtawie wzoru (9.8) otrzymujemy: U = ij ij d d 1 1 σ ε = 2 2 λ. (9.9) Przy działaniu iły normalnej na jednorodny, izotropowy pręt prężyty odkztałcenie ε x = λ możemy wyrazić przez iłę oraz ztywność E według wzoru (9.4). Wówcza U = d lub U = E d 2 λ λ. (9.10) E 2 Zależność (9.8) łuży również do obliczenia pracy rzeczywitej iły na wirtualnym wydłużeniu λ (por. prawa trona wzoru (3.2)): σijεij d = λd. (9.11) Podobnie uzykujemy wyrażenie na pracę wirtualnej iły na rzeczywitym odkztałceniu ε x = λ: σijεij d = λd. (9.12) 9.2. GŁE ZMIY PRZEKROJU. KOCETRCJ PRĘŻEŃ W przypadku nagłych zmian przekroju pręta przyjęcie równomiernego rozkładu naprężeń normalnych σ x jet już niewłaściwe. W miejcach zmian przekroju kładowe naprężeń tycznych i normalnych w pozotałych kierunkach ą znaczne. a krawędziach otworów i wcięć powtają bardzo duże naprężenia normalne σ x (ry. 9.3), wielokrotnie więkze od naprężeń średnich, obliczonych dla równomiernego rozkładu. Obliczenia dla takich prętów należy przeprowadzać na gruncie teorii prężytości i platyczności. Wpływ promienia krzywizny zaokrąglenia krawędzi w miejcu zmiany przekroju ilutruje ry. 9.3b c. Ry. 9.3 ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 2003r.

5 Część 2 9. DZIŁIE SIŁY ORMLEJ 5 Gdy R = 0 (krawędź otra), to naprężenia σ x dążą do niekończoności. Warto o tym pamiętać podcza projektowania kontrukcji. Zmniejzenie naprężeń uzykujemy nawet wówcza, gdy ołabimy przekrój przez nawiercenie otworów na krawędzi zmiany przekroju (por. ry. 9.3d). Ry. 9.4 Jeżeli materiał pręta jet kruchy, to po oiągnięciu przez naprężenia normalne wytrzymałości na rozciąganie natępuje pęknięcie rozdzielcze i nagłe znizczenie kontrukcji. Jeżeli materiał jet ciągliwy, to obzar koncentracji naprężeń topniowo uplatycznia ię w miarę wzrotu iły (por. ry. 9.4). Widzimy więc, że dla materiału ciągliwego oiągnięcie przez naprężenia granicy platyczności nie oznacza jezcze znizczenia. Jako znizczenie przyjmuje ię oiągnięcie tzw. nośności granicznej ( = P ), kiedy natąpi uplatycznienie całego przekroju ołabionego otworem lub wcięciem. Trzeba jednak pamiętać, że pod wpływem obciążeń dynamicznych materiał ciągliwy zwiękza wą kruchość. W tych przypadkach nieuwzględnienie koncentracji naprężeń może prowadzić do niepodziewanego znizczenia. a zakończenie możemy formułować natępujące uwagi: w miejcach nagłych zmian przekroju wytępuje piętrzenie naprężeń, które jet groźne dla materiałów kruchych lub obciążonych dynamicznie materiałów ciągliwych, gdy materiał jet ciągliwy, to przy tatycznym obciążeniu natępuje wyrównywanie naprężeń, a znizczeniu towarzyzą widoczne deformacje, przekroje ołabione wcięciami (otworami) mają mniejzą zdolność do przenozenia obciążeń, a o nośności pręta decyduje najmniejzy przekrój, duże złagodzenie efektu koncentracji uzykuje ię wówcza, gdy zmiana przekroju przebiega w poób płynny, a zaokrąglenia mają możliwie duży promień krzywizny. Wnioki dotyczące gwałtownych zmian przekroju mają charakter ogólny i obowiązują również podcza działania innych ił wewnętrznych. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 2003r.

6 Część 2 9. DZIŁIE SIŁY ORMLEJ 6 Ry. 9.5 Problem piętrzenia naprężeń wiąże ię z pojęciem wypukłości zbioru. Cechą zbioru wypukłego jet to, że odcinek łączący dwa dowolne punkty zbioru leży wewnątrz zbioru. Jeżeli można znaleźć takie odcinki, które nie mają tej właności, to dany zbiór jet niewypukły. Przykłady zbiorów wypukłych i niewypukłych podano na ryunku 9.5. Ogólnie biorąc, koncentracji naprężeń można ię podziewać tam, gdzie zbiór punktów tworzących ciało jet niewypukły. Do takich przypadków oprócz otworów lub wcięć zaliczamy również miejca przyłożenia obciążeń kupionych. Wynika to tąd, że obciążenia kupione przekazywane ą na niewielkich obzarach przez inne części kontrukcji (lub narzędzia), tworzące łącznie z daną kontrukcją zbiory niewypukłe. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 2003r.