WYZNACZANIE MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI POSTACIOWEJ G ORAZ NAPRĘŻEŃ SKRĘCAJĄCYCH METODĄ TENSOMETRYCZNĄ

Transkrypt

1 Ćwiczenie 7 WYZNACZANIE ODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI POSTACIOWEJ G ORAZ NAPRĘŻEŃ SKRĘCAJĄCYCH ETODĄ TENSOETRYCZNĄ A. PRĘT O PRZEKROJU KOŁOWY 7. WPROWADZENIE W pręcie o przekroju kołowym, poddanym obciążeniu momentem kręcającym działającym na końcach, powtaje tan naprężenia i odkztałcenia odpowiadający czytemu kręcaniu (ry. 7.). dx A x r B B l x Ry. 7. Tworząca AB na powierzchni bocznej po przyłożeniu obciążenia przyjmuje kztałt linii śrubowej. Kąt pochylenia linii śrubowej AB nazywamy kątem odkztałcenia potaciowego i oznaczamy ymbolem Ry. 7.. Ponadto można zauważyć, że: oś pręta pozotaje nadal linią protą po obciążeniu o niezmienionej długości, przekroje kołowe nie ulegają zniekztałceniu i nadal pozotaną płakie (założenie płakich przekrojów), powierzchnie czołowe obrócą ię względem iebie o pewien kąt, zwany kątem kręcenia. Rozważmy wycinek o niekończenie małej długości dx (Ry. 7., 7.), powtały w wyniku przecięcia dwiema płazczyznami protopadłymi do oi pręta.

2 a) dx b) d r Ry. 7. da r d Na powierzchni zewnętrznej wycinka zachodzi natępująca relacja między kątem kręcenia, a kątem odkztałcenia potaciowego : r d dx, (7.) a na powierzchni o promieniu przy czym: r d dx. (7.) Przekztałcając relację (7.) otrzymujemy wyrażenie określające kąt kręcenia na powierzchni o promieniu d (7.3) dx Zgodnie z prawem Hooke a dla ścinania oraz wykorzytując zależność (7.3), naprężenia ścinające (Ry. 7.b) można wyrazić jako funkcja kąta kręcenia natępująco: d G G (7.4) dx gdzie: G moduł odkztałcenia potaciowego (moduł Kirhchoffa) [Pa]. Na elementarnej powierzchni da przekroju poprzecznego pręta (Ry. 7.) w odległości od punktu działa naprężenie, które względem punktu daje elementarny moment kręcający d d da G da. (7.5) dx Wykonując całkowanie równania (7.5) po całej powierzchni przekroju poprzecznego A r, otrzymujemy: d d da G da G I dx, (7.6) dx A 4 4 r d gdzie: I biegunowy moment bezwładności [m 4 ], d średnica pręta [m]. 3 Kąt kręcenia, na podtawie zależności (7.6), dla wycinka o długości dx wynoi: dx d (7.7) G I natomiat dla całego pręta o długości l: A l l d dx G I G, (7.8) I

3 przy założeniu, że wyrażenie cont. w zależności (7.8), tzn. że, G oraz I nie G I zależą od zmiennej x. Na podtawie zależności (7.4) i (7.6) naprężenia ścinające wynozą: d G G (7.9) dx I Ze wzoru (7.9) wynika, że najwiękza wartość naprężenia wyraża ię wzorem: max r max (7.) I I W 3 I d gdzie: W - wkaźnik wytrzymałości przekroju pręta na kręcanie [m 3 ]. r 6 W obliczeniach prętów poddanych czytemu kręcaniu, korzytamy z natępującego warunku wytrzymałościowego: max k (7.) W Wzory (7. 7.) ą łuzne dla prętów poddanych czytemu kręcaniu o przekroju kołowym w zakreie prężytym materiału. Aby uwzględnić fakt, że materiał z którego wykonano pręt może trwale odkztałcać ię należy połużyć ię modelem zachowania ię materiału podcza próby kręcania. Przykładową krzywą kręcania materiału przedtawiono na Ry. 7.3a w układzie -. a) b) H = p = R H p P Ry. 7.3 Charakterytyczne punkty na wykreie oznaczają: H moment kręcający odpowiadający granicy proporcjonalności, p moment kręcający odpowiadający granicy prężytości, moment kręcający odpowiadający granicy atyczności, R makymalny moment kręcający (nizczący) przenieiony przez próbkę. 3

4 Zakładając uprozczony model materiału prężyty idealnie atyczny (Ry.7.3b), można wyróżnić trzy fazy określające proce całkowitego uatycznienia przekroju, tzn. dla przypadku, gdy naprężenia ścinające oiągną wartość naprężeń atycznych. W pierwzej fazie najwiękze naprężenia ścinające max ą mniejze od naprężeń atycznych. Zgodnie ze wzorem (7.9) rozkład naprężeń na wykreie przybiera potać trójkątną. Gdy najwiękze naprężenia przekroczą wartość naprężeń atycznych, wtedy proce uatycznienia potępuje do wnętrza przekroju pręta. Wykre naprężeń tycznych przechodzi topniowo z trójkątnego (Ry. 7.4a), przez potać podaną na Ry. 7.4b. Otatecznie, gdy naprężenia ścinające oiągną w całym przekroju naprężenia atyczne, wykre naprężeń będzie protokątny (Ry. 7.4c). Tworzy ię wtedy tzw. przegub atyczny. a) b) c) Ry. 7.4 Początek uatycznienia zaczyna ię z chwilą gdy naprężenia makymalne oiągną granicę atyczności na ścinanie. Graniczna wartość momentu powodująca zjawiko uatycznienia wynoi: 3 da A ( r) r. (7.) 3 3 A Przyjmując wpółczynnik bezpieczeńtwa jako moment atyczny odnieiony do granicznej umownej wartości momentu kręcającego: n, (7.3) z zależności (7.) otrzymujemy wzór na graniczny moment kręcający w zakreie prężytym materiału pręta: 3 r '. (7.4) 3 n Podobne wyrażenie na graniczny moment kręcający można otrzymać, korzytając ze wzoru (7.). Zakładając, że d=r, najwiękze naprężenia kręcające wynozą: 6 max k 3 3 W d r. (7.5) W tym przypadku zakładamy, że wpółczynnik bezpieczeńtwa n. (7.6) k Biorąc pod uwagę wyrażenia (7.5) i (7.6), graniczny moment kręcający 3 r ' '. (7.7) n ' ' ' Wyznaczona ze wzoru (7.4) wartość jet o 4/3 razy mniejza od momentu (7.7), wyznaczonego dla tego amego przypadku kręcania pręta ze wzoru (7.). 4

5 Wzór (7.4) można toować tylko wówcza, gdy: obciążenie pręta jet tatyczne, tanem niebezpiecznym dla materiału pręta jet tan pełnego uatycznienia. 7. STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA POIAR NAPRĘŻEŃ ETODĄ TENSOETRYCZNĄ Jak już wpomniano w poprzednim punkcie w pręcie poddanym czytemu kręcaniu, wytępuje płaki tan naprężenia i odkztałcenia. Rozważmy niekończenie mały protokątny wycinek zewnętrznej wartwy pręta poddanego kręcaniu (Ry. 7.5). Jedynymi naprężeniami działającymi na wycinek ą naprężenia ścinające, powodujące zmianę potaci kztałtu. a) b) Ry = Ry

6 Z koła ohra dla naprężeń wynika, że:, (7.8) natomiat na podtawie prawa Hooke a dla dwukierunkowego tanu odkztałcenia odkztałcenia i odpowiadające naprężeniom głównym i - wyrażają ię natępująco: v v v, (7.9) E E E E E v v v. (7.) E E E E E Wykorzytując zależność (7.8) oraz (7.9) naprężenia ścinające można wyrazić w funkcji odkztałcenia wzdłużnego : E. (7.) v E Z teorii wiadomo, że G, więc zależność (7.) można zapiać natępująco: ( v) G. (7.) Stąd wynika, że do wyznaczenia naprężenia ścinającego wytarczy znać wartość modułu G (lub E oraz v ), jak również odkztałcenie wzdłużne w kierunku głównym. Oczywiście kierunek ten leży pod kątem 45 do oi wzdłużnej pręta (Ry. 7.5). Ponadto ze wzoru (7.) i (7.4) wynika, że dlar:. (7.3) 7.3 CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jet wyznaczenie modułu prężytości potaciowej G materiału próbki o przekroju kołowym przez pomiar kąta kręcenia oraz naprężeń kręcających metodą tenometryczną. Do wyznaczenia modułu G korzytamy ze wzoru (7.8), z którego otrzymujemy: l lp G [Pa] (7.4) I I gdzie: moment kręcający próbkę [Nm], l=l p długość pomiarowa próbki [m], - kąt kręcenia odcinka pomiarowego [rad], I biegunowy moment bezwładności przekroju próbki. Aby wyznaczyć naprężenia kręcające wykorzytujemy zależność (7.): G (7.5) gdzie: odkztałcenie w kierunku naprężeń głównych (Ry.7.5a) mierzone tenometrem. 6

7 7.4 PRÓBKI KOŁOWE DO BADAŃ NA SKRĘCANIE W próbie kręcania używa ię głównie próbek o przekroju kołowym. Próbki o innych przekrojach toowane ą w przypadkach prób pecjalnych. Dla pełnych próbek walcowych długość pomiarową l p (patrz Ry. 7.9) przyjmuje ię w zakreie (5 )d ; najczęściej l p = d, gdzie d jet średnicą pomiarową próbki (tzn. d =r Ry.7.). Jako obróbkę końcową dla próbek na kręcanie przyjmuje ię toczenie wykańczające. a) b) Ry. 7.7 W przypadku kręcania próbek talowych aż do ich znizczenia zależnie od jakości i rodzaju badanego materiału rozróżniamy dwa charakterytyczne rodzaje złomów:. Złom poślizgowy (Ry. 7.7a). Wytępuje on w płazczyźnie protopadłej do oi próbki (w płazczyźnie tej wartości naprężeń tycznych ą najwiękze). Znizczenie próbki natępuje przez ścięcie. Widoczne ą ślady atycznych poślizgów. Tego rodzaju złomy wytępują w próbkach talowych.. Złom kruchy (Ry.7.7b). Wytępuje w materiałach takich, jak np. żeliwo. Znizczenie powtaje tu na kutek rozerwania w wyniku działania głównych naprężeń wytępują w płazczyznach nachylonych pod kątem 45 do oi próbki (Ry. 7.6). Złom kruchy przebiega wzdłuż linii śrubowej nachylonej pod kątem 45 do oi próbki. 7.5 BUDOWA SKRĘCARKI Próba kręcania przeprowadzana jet na mazynach zwanych kręcarkami, które pozwalają na zamocowanie i obciążanie próbki dwoma równoważącymi ię momentami działającymi w płazczyznach protopadłych do oi próbki. Skręcarka zapewnia w czaie przeprowadzania próby jednoczeny pomiar działającego momentu kręcającego oraz takich parametrów jak: wywołanego tym momentem kąta kręcenia i odkztałcenia wzdłużnego. amy zatem możliwość porządzenia w czaie próby wykreu =f() i 7

8 wyznaczenia naprężeń kręcających. Wykre ten może być kreślony amoczynnie lub porządzony na podtawie wkazań przyrządów pomiarowych. Ponieważ w czaie próby kręcenia w próbce nie tworzy ię przewężenie (makymalne naprężenia kręcające nie przekraczają dopuzczalnych), można dokładnie wyznaczyć odkztałcenia i odpowiadające im naprężenia w czaie całego przebiegu próby. Na ryunku 7.8 przedtawiono jeden z typów kręcarki, przy czym zatoowano natępujące oznaczenia: korpu kręcarki, korba do obciążania próbki, Ry przekładnia ślimakowa, 4 próbka, 5 uchwyt napędowy, 6 uchwyt pomiarowy, 7 dźwignia z obciążnikami, 8 napęd wkazówki, 9 wkazówka, kala wartości momentu kręcającego, urządzenie do wyznaczania kąta kręcenia próbki (patrz Ry. 7.9), tenometry do pomiaru odkztałceń wzdłużnych. 8

9 d Ry. 7.9 Na ryunku 7. przedtawiono chemat układu dźwigniowego kręcarki. Jego górne ramię przeuwając zębatkę wywołuje obrót kółka zębatego, a tym amym związanej z nim wkazówki. Jak widać z ryunku, Q r in(), (7.6) Stąd otrzymujemy z in( ). (7.7) a z Q r. (7.8) a 9

10 Ry. 7. Oznacza to, że wartość momentu kręcającego zmienia ię liniowo. Spoób wyznaczania kąta kręcenia próbki za pomocą urządzenia przedtawia Ry Kąt obrotu względem iebie dwóch przekrojów protopadłych do oi próbki i oddalonych od iebie o l p można wyznaczyć przez pomiar czujnikiem przemiezczenia x wywołanego kręceniem odcinka pomiarowego o długości l p. Kąt ten wynoi: x (7.9) R gdzie: R odległość oi kręcanej próbki od oi wrzeciona czujnika, x przemiezczenie końca wrzeciona czujnika wywołanego kątem kręcenia 7.6 PRZEPROWADZENIE PRÓBY Przed przytąpieniem do właściwej próby należy zmierzyć: średnicę próbki d w dwóch wzajemnie protopadłych kierunkach z dokładnością do, mm, długość odcinka pomiarowego l p z dokładnością do, mm, promień R, na którym umiezczony jet czujnik, z dokładnością do mm. Natępnie należy wykonać natępujące czynności:. Utawić czujnik pomiarowy tak, aby jego wrzeciono miało możliwość wychyleń o około mm.. Wyzerować motek tenometryczny (patrz ćwiczenie nr 6, rozdział 6.6, punkty -5).

11 Tabela 7. L.p. [Nm] Wkazanie czujnika A i [mm] A Przyrot i A i między kolejnymi obciążeniami [mm] Wkazanie motka B i [ ] Suma Ai A i : Suma Bi B i : B Przyrot i B i między kolejnymi obciążeniami [ ] 3. Łagodnie kręcąc korbą, zwłazcza przy odciążaniu, kręcać próbkę kolejno momentami:, 6,, 6 i Nm. Dla tych momentów zanotować w tabeli 7. wkazanie czujnika oraz motka tenometrycznego, pamiętając aby za każdym razem prowadzić trzałkę mikroamperomierza motka do zera. 4. Obliczyć Ai Ai x śr [mm], (7.3) 4 gdzie: A i A i - jet przemiezczeniem wrzeciona czujnika wywołanym zmianą momentu kręcającego o 6 Nm. 5. Wyznaczyć średnią zmianę kąta kręcenia odpowiadającą zmianie momentu kręcającego o 6 Nm: x śr [rad]. (7.3) śr R 6. Sprawdzić, czy makymalne naprężenia kręcające, jakie wytąpiły w czaie próby, nie przekroczyły naprężeń dopuzczalnych, wynozących dla badanego materiału k =8 [Pa]. 7. Wyznaczyć ze wzoru (7.4) moduł prężytości potaciowej G [Pa]. 8. Obliczyć zmianę kąta odkztałcenia potaciowego : wyznaczyć przyrot odkztałcenia jako połowę z średniej arytmetycznej z umy przyrotów wkazań motka (w promilach): Bi Bi B, (7.3) 4 obliczyć rzeczywitą wartość przyrotu odkztałcenia: B Bi Bi, (7.33) 8 obliczyć przyrot kąta odkztałcenia potaciowego dla przyrotu obciążenia: Bi Bi Bi Bi. (7.34) Dla wartości modułu G obliczonej w punkcie 7 wyznaczyć przyrot naprężeń kręcających dla przyrotu obciążenia 6 Nm: G. (7.35)

12 . Na podtawie wzoru (7.35) obliczyć najwiękzą wartość naprężeń kręcających, która wytępuje dla najwiękzej wartości obciążenia Nm: max. (7.36). Obliczyć błąd pomiaru metodą czujnika zegarowego: G Gteor Gb %. (7.37) Gteor. Obliczyć błąd pomiaru metodą tenometryczną: max max teor b %. (7.38) max teor 7.7 WYKONANIE SPRAWOZDANIA W prawozdaniu należy zamieścić:. cel ćwiczenia,. opi tanowika do badań, 3. wyniki pomiarów uzykanych czujnikiem zegarowym i metodą tenometryczną w tabeli, 4. obliczenia, 5. uwagi i wnioki. Sprawozdania dotępne ą na tronie internetowej: lub wytrzymaloc.eu 7.8 PYTANIA KONTROLNE. Wyprowadzić i podać wzór na kąt kręcenia dla pręta o przekroju kołowym.. Nazkicować rozkład naprężeń kręcających podcza etapów uatycznienia przekroju kołowego pręta. 3. Prawo Hooke a dla ścinania. 4. Wyprowadzić wzór (7.8) określający makymalne naprężenia kręcające, wyznaczone metodą tenometryczną. 5. Nazkicować koło ohra dla naprężeń dla przypadku czytego ścinania. Zaznaczyć naprężenia i odkztałcenia wytępujące pod kątem 45 do kierunku obwodowego. 6. Idea pomiaru naprężeń kręcających metodą tenometryczną.