ANALIZA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

ANALIZA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH 1. POMIARY FIZYCZNE I NIEPEWNOŚCI POMIAROWE 1.1. Nepewnośc systematyczne (błędy systematyczne) 1.2. Nepewnośc przypadkowe (błędy przypadkowe) 1.3. Podsumowane 2. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE 2.1. Nepewnośc systematyczne pomarów bezpośrednch 2.2. Nepewnośc systematyczne pomarów pośrednch 2.3. Grafczne przedstawene nepewnośc systematycznych 3. NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE 3.1. Rozkład normalny 3.2. Populacja generalna, próba, estymatory 3.3. Rozkład Studenta, estymacja przedzałowa wartośc oczekwanej 3.4. Nepewność przypadkowa pomarów pośrednch 3.5. Rozkład prostokątny 4. NIEPEWNOŚCI CAŁKOWITE 4.1. Pomary bezpośredne 4.2. Pomary pośredne 5. GRAFICZNA ANALIZA DANYCH POMIAROWYCH 5.1. Zasady sporządzena wykresów 5.2. Regresja lnowa 1. Transformacja nektórych funkcj nelnowych do postac lnowej 1. PYTANIA I ZADANIA 2. TABELE 1

1. Pomary fzyczne nepewnośc pomarowe Załóżmy, że pewna merzona welkość fzyczna x (np. długość, czas, masa, prędkość) ma rzeczywstą wartość x p, której z reguły ne znamy. W wynku pomaru tej welkośc ne uzyskujemy zasadnczo jej rzeczywstej wartośc. Składa sę na to wele powodów, zależnych od metody pomaru, użytych przyrządów pomarowych, obserwatora, tp. Mówmy, że każdy pomar obarczony jest nepewnoścam pomarowym. Występują dwa zasadncze rodzaje nepewnośc pomarowych: nepewnośc systematyczne nepewnośc przypadkowe. Zwykle w każdym pomarze występują one łączne, składając sę na nepewność całkowtą. Ponżej omówmy pokrótce oba rodzaje nepewnośc, które późnej zostaną przedstawone bardzej szczegółowo. 1.1. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE A. W jak sposób sę objawają? a) Wynk klkakrotne powtarzanego pomaru są dentyczne B. Jaka jest tego przyczyna? a) Użyty przyrząd pomarowy ne pozwala na uzyskane wększej dokładnośc (ogranczona lczba kresek podzałk przyrządu, klasa mernka). b) Obserwator ma ogranczoną dokładność odczytu. Komentarze do powyższych punktów: 1.1.A.a: Powtarzane pomarów ma sens tylko wtedy, gdy powtarza sę od początku wszystke czynnośc prowadzące do uzyskana rezultatu lczbowego. Na przykład merząc suwmarką średncę walca za każdym razem wybera sę na nowo mejsce pomaru średncy, na nowo docska suwmarkę tp. Pownno sę zmenać na nowo jak najwększą lczbę czynnków wpływających na wynk pomaru (osoba wykonująca pomary, przyrząd pomarowy, data wykonana pomaru tp.). Jeżel tak zrobone pomary dają dentyczne wynk, to ch welokrotne powtarzane ne zwększa dokładnośc rezultatu końcowego. 1.1.B.a: Przyrządy pomarowe budowane są w tak sposób, aby wynk pomarów welkośc x ne różnły sę od wartośc rzeczywstej xp węcej nż o wartość najmnejszej dzałk na przyrządze dx. Wartość rzeczywsta 2

meśc sę, zatem w przedzale (x - dx, x + dx). Dokładność dx stanow maksymalną wartość nepewnośc systematycznej wnoszonej przez sam przyrząd dlatego dx nazywana jest często nepewnoścą maksymalną. Oto przykładowe nepewnośc systematyczne dla klku przyrządów pomarowych: lnjka mlmetrowa l 1mm. sekundomerz t 0,2 s. termometr pokojowy T = 1 o C. Dzałk elementarne na nektórych mernkach są tak duże, że stneje możlwość odczytu z wększą dokładnoścą, ale mmo tego jako nepewność systematyczną przyjmujemy wartość równą dzałce elementarnej. Precyzja odczytu może być wększa, gdy nteresują nas ne wartośc bezwzględne, ale różnce dwóch odczytów. W przypadku analogowych mernków elektrycznych, różncę pomędzy wynkem pomaru a wartoścą rzeczywstą znajdujemy posługując sę lczbą zwaną klasą przyrządu. Klasą przyrządu nazywamy wyrażony w procentach stosunek nepewnośc systematycznej do pełnego zakresu wychylena mernka. Na przykład, dla amperomerza o klase 0,5 maksymalnym zakrese 5 A nepewność systematyczna ΔI jest równa Dla mernków cyfrowych za nepewność systematyczną przyjmujemy najmnejszą wartość wyśwetlaną na danym mernku. 1.1.B.b: Obserwator wnos nezależny przyczynek do nepewnośc systematycznej. Merząc np. czas trwana jakegoś procesu musmy uwzględnć skończony czas refleksu obserwatora. Przy pomarze odległośc popełnamy zwykle błąd paralaksy. Wkład obserwatora do nepewnośc systematycznej jest z reguły mnejszy od dokładnośc przyrządu pomarowego. Przykład 1. Woltomerzem klasy 0,2 o zakrese do 10 V wykonujemy odczyt napęca na opornku. Położene wskazówk woltomerza możemy odczytać z dokładnoścą do 0,01 V. Jaka jest nepewność systematyczna pomaru? 3

Nepewność wynkająca z klasy przyrządu wynos 0,02 V a nepewność odczytu 0,01 V. Całkowta nepewność systematyczna pomaru wynos węc U = 0,02 + 0,01 = 0,03 V. Gdybyśmy przykładowo odczytal wartość U = 3,05 V, to wynk końcowy zapszemy w postac U (3,05 0,03) V 1.2. NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE A. W jak sposób sę objawają? a) Przy kolejnych powtórzenach pomaru ne uzyskuje sę dentycznych wynków, występuje ch statystyczny rozrzut. B. Jaka jest tego przyczyna? a) Brak dentycznośc elementów zboru. b) Nezgodność przyjętego modelu z obektem merzonym. c) Metoda pomaru, zmenne warunk pomaru, wpływu zmysłów obserwatora. Komentarze do powyższych punktów: 1.2.A.a: Zwększene lośc pomarów prowadz do zmnejszena nepewnośc pomarowej. Wartośc pomarów grupują sę w specyfczny sposób wokół wartośc rzeczywstej. Gdy wykonujemy bardzo dużo pomarów, wynk nektórych z nch mogą być take same. 1.2.B.a: Ta przyczyna występuje wtedy, gdy pomary wykonujemy ne na pojedynczym obekce, ale na pewnym zborze, dla którego zdefnowana jest merzona welkość. Na przykład, merzymy średnce pewnej lczby metalowych kulek, wykonujemy pomary modułu Younga na welu próbkach tego samego materału tp. Rozrzut wynków wynka ze statystycznego charakteru merzonej welkośc. 1.2.B.b: Tutaj przyczyną jest odstępstwo przedmotu pomaru od założonego modelu. Na przykład, mamy zmerzyć długość walca zakładamy, że jest to dealny walec. Ne jest to oczywśce prawdą dlatego pomar jego długośc wzdłuż różnych ln ne da nam tych samych wynków. Odstępstwo przedmotu od deału ujawn sę wtedy, gdy dokładność stosowanego przyrządu pomarowego jest wystarczająco duża. 1.2.B.c: Przykładem na to, że metoda pomarowa wnos własny przyczynek do nepewnośc przypadkowej jest pomar długośc gumk. Wynk pomaru zależy od naprężena gumk sposobu przykładana lnjk. Rów- 4

neż przypadkowo zmenające sę czynnk zewnętrzne (cśnene, temperatura) mają wpływ na rezultat końcowy. Wpływ zmysłów na wynk pomaru występuje najwyraźnej wtedy, gdy musmy ocenć mnmum lub maksmum natężena dźwęku, równośc ośwetlena pola wdzena tp. 1.3. PODSUMOWANIE Celem ustalena, która z nepewnośc domnuje, pomar należy powtórzyć klkakrotne, 3-4 razy. Jeżel wynk kolejnych pomarów są dentyczne, wtedy marą dokładnośc pomaru są nepewnośc systematyczne. Jeżel natomast występuje statystyczny rozrzut wynków, czyl każdy pomar daje nny rezultat, lub przynajmnej nektóre wynk są różne, a różnce pomędzy poszczególnym wynkam przewyższają nepewnośc systematyczne, wtedy domnuje nepewność przypadkowa. W pomarach, z którym mamy do czynena, występują z reguły nepewnośc systematyczne jak przypadkowe. Na początku ogranczymy nasze rozważana do przypadków skrajnych, w których domnuje tylko jeden rodzaj nepewnośc. W rozdzale 2 omówmy sposób opracowana wynków pomarowych obarczonych jedyne nepewnoścam systematycznym, w rozdzale 3 jedyne nepewnoścam przypadkowym, zaś w rozdzale 4 przedstawmy sposób na ch połączene. 5

2. Nepewnośc systematyczne 2.1. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE POMIARÓW BEZPOŚREDNICH O pomarze bezpośrednm mówmy wtedy, gdy wartość lczbowa pewnej welkośc odczytana być może bezpośredno z przyrządu pomarowego. Do takch pomarów należy np. odczyt długośc cała za pomocą lnjk, odczyt długośc czasu trwana spadku cała za pomocą sekundomerza, odczyt temperatury za pomocą termometru. W poprzednm paragrafe przedstawono sposób wyznaczena nepewnośc systematycznych dla mernków oraz dodawana ch, gdy występuje klka źródeł nepewnośc systematycznych. Często stosowaną welkoścą jest nepewność względna pomaru A X X gdze Δx jest nepewnoścą systematyczną merzonej welkośc x. Nepewność względna jest nemanowana często bywa wyrażona w procentach. Nazywa sę wówczas nepewnoścą procentową X A pr 100. X Przykładowo, gdy stoperem wyznaczylśmy czas spadana cała otrzymując t = 12,2 s, a jako nepewność systematyczną przyjmemy Δt = 0,2 s, to wynk pomaru zapszemy t = (12,2 0,2) s. Zatem nepewność względna wynos a nepewność procentowa 2.1.1. KILKAKROTNE, NIEZALEŻNE POMIARY Z RÓŻNYMI NIEPEWNOŚCIAMI SYSTEMATYCZNYMI Załóżmy, że czas spadku kul merzono raz zegarkem z sekundnkem otrzymując t 1 = (10 1)s, drugm razem stoperem uzyskując t 2 =(9,4 0,2)s. 6

Jak w takm przypadku oblczyć czas spadku kul nepewność systematyczną? Poneważ oba te rezultaty ne przedstawają tej samej wartośc (drug pomar jest dokładnejszy), ne mogą one wnosć tego samego wkładu do wynku końcowego. Wprowadźmy, zatem lczby w zwane wagam w tak sposób, aby preferować wększy wkład dokładnejszych pomarów. Dla naszego przykładu można przyjąć: w 1 = 1, w 2 = 5. Sama wartość lczb w ne jest ważna, ważny jest ch stosunek, który odzwercedla welkość nepewnośc każdego przyrządu. Mamy, bowem Δt 1 : Δt 2 = 1 : 0,2 = 5 :1 = w 2 : w 1 Jako wynk końcowy przyjmujemy średną arytmetyczną ważoną (2.1) a jako nepewność systematyczną średnej ważonej przyjmemy średną ważoną nepewnośc poszczególnych pomarów (2.2) Dla naszego przykładu 110 59.4 tw 9.5s 6 11 50.2 tw 0.35s 6 Rezultat końcowy zapszemy, zatem tak t (9.50 0.35) s Podobne postępujemy, gdy mamy klka ser pomarowych o różnych lczebnoścach. 7

Przykład 2. Dwu obserwatorów zmerzyło długość pewnego odcnka, uzyskując następujące wynk: Jaka jest długość tego odcnka jaka jest nepewność systematyczna? Wększą wagę należy przypsać wynkom perwszego obserwatora, poneważ wykonał on węcej pomarów. Dlatego przyjmujemy w 1 = 1; w 2 = 0,5. Wtedy: Rezultat końcowy zapszemy w postac lw (20.43 0.30) cm 2.2. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE POMIARÓW POŚREDNICH Załóżmy, że merzymy welkośc x 1, x 2,,x n, a wartość welkośc z oblczamy ze wzoru z = f(x 1, x 2,,x n ). Zatem welkość z ne jest merzona bezpośredno o takch pomarach mówmy, że są pomaram pośrednm. Przykładowo, mamy za zadane wyznaczyć prędkość pewnego cała poruszającego sę jednostajne, dysponując jedyne sekundomerzem lnjką. Welkoścam, które merzymy są, zatem długość odcnka s czas jego przebyca t. Prędkość cała wyznaczymy ze wzoru v s / t. Jak wyznaczyć nepewność Δv, która mus być zwązana z nepewnoścam s t? Rozważmy ten problem ogólne. Nech merzone będą welkośc x 1, x 2,...,x n każda z nch obarczona jest nepewnoścą systematyczną, odpowedno Δx 1, Δx 2,..., Δx n. Zakładając, że x 0 (są odpowedno małe) dla = 1,2,...,n, posługując sę rozwnęcem Taylora otrzymamy 8

Jeżel założymy ponadto, że wszystke Δz mają ten sam znak (np. są dodatne), to Δz oblczone z powyższego wzoru nazwemy nepewnoścą maksymalną z m. Przykład 3. Zmerzono wymary geometryczne walca, otrzymując: Oblczyć objętość V tego walca oraz nepewność ΔV. Objętość Maksymalną nepewność systematyczną oblczymy ze wzoru (2.3), otrzymując Wynk końcowy zapszemy w postac V=(38,2 6,5) cm 3 POCHODNA LOGARYTMICZNA UWAGA! Jeżel welkość merzona opsana jest funkcją w postac jednomanu (tzn. mówąc w uproszczenu - ne występują w nej dzałana dodawana odejmowana) można uproścć żmudne oblczane pochodnych tych funkcj. W tym celu wstępne logarytmujemy całą funkcję, a dopero potem różnczkujemy. Jako przykład weźmy zależność Występującą w lcznku różncę potraktujmy jako całość tj. ( l l0 ) l. Teraz wyrażene Logarytmujemy 9

Różnczkujemy zamenamy różnczk "d" na przyrosty makroskopowe "Δ" a wszystke znak "-" na "+" (błędy mogą sę dodawać): Ostateczne mamy Wyrażene w nawase określa tzw. błąd względny - można wyrazć go w procentach. Metoda pozwala "z grubsza" oszacować maksymalny błąd pomarowy- pozostaje tylko poprawne określć nepewnośc poszczególnych welkośc merzonych. 2.3. GRAFICZNE PRZEDSTAWIENIE NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNYCH Rys.1 Prezentacja grafczna nepewnośc systematycznych Załóżmy, że sporządzamy wykres zależnośc y = f(x). Wartośc x y otrzymane z pomarów są obarczone nepewnoścam, odpowedno Δx Δy. Oznacza to, że rzeczywste wartośc tych welkośc meszczą sę w przedzałach od y - Δy do y + Δy oraz od x - Δx do x + Δx. Przedzały te wyznaczają na płaszczyźne wykresu prostokąt o bokach 2Δx 2Δy zwany prostokątem nepewnośc pomarowej (patrz rysunek 1), w którym meśc sę wartość rzeczywsta. Inny sposób przedstawena nepewnośc systematycznych pokazano na tym samym rysunku dla punktu o współrzędnych x j, y j. Nepewnośc zaznaczono tam odcnkam o długoścach 2Δx j, 2Δy j. 10

3. Nepewnośc przypadkowe Nepewnośc przypadkowe wynkają z równoczesnego dzałana bardzo welu nezależnych czynnków. Każdy z tych czynnków wpływa jedyne neznaczne na rezultat pomaru, powodując z prawdopodobeństwem p = 0,5 odchylene wartośc pomaru o małą wartość w górę lub dół. Sumaryczne dzałane wszystkch tych zakłócających czynnków jest chaotyczne, dlatego przy powtórnym pomarze ne otrzymamy tego samego co wcześnej rezultatu. W każdym konkretnym pomarze ne jest możlwe przewdzene welkośc znaku wartośc nepewnośc pomarowej, ale ne znaczy to, że nepewnośc ne podlegają żadnym prawom. Prawa te mają charakter statystyczny, tzn. że możemy podać jedyne prawdopodobeństwo wystąpena wynku pomaru. Prawo rozkładu wynków pomarowych opsuje tzw. rozkład normalny, zwany naczej rozkładem Gaussa. 3.1. ROZKŁAD NORMALNY N(x p,σ) Rozkład ten zawera tylko dwa parametry: x p σ, jego postać matematyczna jest następująca: gdze f jest gęstoścą prawdopodobeństwa wystąpena w pomarze wartośc x, µ jest wartoścą oczekwaną, a σ odchylenem standardowym. W kontekśce teor pomarów f oznacza szansę na wystąpene wartośc x, µ jest pewną rzeczywstą wartoścą, a σ jest marą rozrzutu otrzymywanych wartośc x, czyl jest marą nepewnośc pomarowej. Prawdopodobeństwo uzyskana wynku x zawartego w przedzale (x 1, x 2 ) wynos. 11

Jest to krzywa gęstośc prawdopodobeństwa f(x) nestandaryzowanego rozkładu normalnego dla µ=1 σ=0,5, której wykres przedstawony jest na rysunku. Wdać, że w wynku pomarów obarczonych nepewnoścą przypadkową najczęścej otrzymamy wartośc leżące w poblżu rzeczywstej wartośc. Krzywa jest symetryczna wokół wartośc x = 1 w punktach odległych o od maksmum na punkty przegęca. Jak netrudno to oblczyć, co oznacza, że prawdopodobeństwo otrzymana rezultatu z tego przedzału jest równe 68,3%. Podana powyżej postać f(x) nos nazwę nestandaryzowanego rozkładu normalnego. Używa sę także standaryzowanej postac tego rozkładu, wprowadzając zmenną standaryzowaną Wtedy: u x Jest to krzywa gęstośc prawdopodobeństwa f(u) standaryzowanego rozkładu normalnego Wykres tej funkcj przedstawa rysunek: 12

Jedyna różnca pomędzy wykresam na powyższych rysunkach polega na przeskalowanu os układu współrzędnych. 13

3.2. POPULACJA GENERALNA, PRÓBA, ESTYMATORY Dokładne poznane rozkładu normalnego wymaga wykonana neskończonej lośc pomarów, co oczywśce ne jest możlwe. Praktyczne dysponujemy jedyne skończoną zwykle newelką loścą pomarów. Nazwjmy zespół tych pomarów próbą. Próba może być duża, np. gdy lość pomarów n > 30, jak też mała 10 < n < 30, lub bardzo mała n < 10. Termn próba pojawł sę dzęk następującej analog. Wyobraźmy sobe, że pojemnk zawera neskończene wele kul, zaś na każdej z nch napsany jest wynk pomaru pewnej welkośc x, obarczony jedyne nepewnoścą przypadkową, podlegającą rozkładow normalnemu N(, ). Nazwjmy ten zbór kul populacją generalną. W tej populacj najwęcej jest oczywśce kul, na których znajdują sę lczby blske µ, zaś kul z wartoścam znaczne sę różnącym od µ jest dużo mnej. Gdy wykonujemy np. pęcokrotny pomar tej welkośc x, to jest tak, jakbyśmy pęcokrotne losowal w sposób zupełne przypadkowy kule z tej populacj generalnej. Lczby na tych wylosowanych kulach to właśne wynk naszych pomarów. Powstaje pytane, czy parametry oblczone z tych wartośc pomarowych pozwolą oblczyć odpowedne parametry populacj generalnej tzn. µ σ? Parametry oblczone z próby celem uzyskana nformacj o populacj generalnej nazywa sę estymatoram. Estymatory są tym lepszym przyblżenem parametrów z populacj, m są oblczone z próby o coraz wększej lczebnośc. Należy podkreślć, że estymatory oblczone z próby, ne są dentyczne z parametram populacj ogólnej same podlegają prawom statystyk. Ponżej podamy bez dowodu estymatory dla próby dużej małej. Próba duża n > 30 a) Estymatorem wartośc oczekwanej µ jest średna arytmetyczna b) Estymatorem odchylena standardowego s jest odchylene standardowe z próby Sx Próba mała bardzo mała n < 30 a) Estymatorem wartośc oczekwanej µ jest średna arytmetyczna 14

b) Estymatorem odchylena standardowego s jest odchylene standardowe dla małej próby S t 1 n 1 ( x x) 2 x n. W powyższym wzorze tn jest współczynnkem lczbowym, zależnym od lośc pomarów n, zwanym wartoścą krytyczną rozkładu Studenta. Wartośc tych współczynnków podano w tabel I, II. Sens fzyczny średnej arytmetycznej z próby jest oczywsty: jest to taka wartość, która najbardzej zblżona jest do wartośc rzeczywstej merzonej welkośc. Ne twerdzmy, że jest ona dokładne równa wartośc rzeczywstej, bowem powtórne wykonane ser pomarowej da nam z reguły nną wartość średnej arytmetycznej. Wartośc średne różnych prób same podlegają rozkładow normalnemu z własnym odchylenem standardowym (patrz dalej). Odchylene standardowe z prób nterpretujemy jako marę nepewnośc przypadkowej pojedynczego pomaru. Jest to welkość nna nż nepewność przypadkowa średnej arytmetycznej, dla której marą jest odchylene standardowe średnej arytmetycznej S x a) dużej próby n > 30 S x 1 n( n 1) n 1 ( x x) 2 b) dla próby małej bardzo małej n < 30 S x t n 1 n( n 1) n 1 ( x x) 2 Jak tego należało oczekwać, te ostatne odchylena standardowe S x są mnejsze od Sx, poneważ w średnej nepewnośc "kasują sę", zmnejszając w ten sposób nepewność pomarową. Przykład 6. Wykonano n = 8 pomarów czasu zderzena dwu metalowych kul uzyskano następujące wartośc (wszystke w µs): 125, 134, 121, 128, 127, 129, 130, 125. Oblczyć wartość średną odchylene standardowe. Wartość średna W tabel II odczytujemy wartość krytyczną t 8 = 1,0765, a odchylena standardowe S t S oblczymy z powyższych wzorów, otrzymując t 15

Nepewność pomarowa pojedynczego pomaru wynos zatem 4,2 µs, a nepewność średnej arytmetycznej wynos 1,5 µs. Ostateczne zapszemy 3.3. ROZKŁAD STUDENTA, ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ Dla prób o małej lczebnośc stosujemy zamast rozkładu normalnego rozkład Studenta. Dla dużej próby jest on dentyczny z rozkładem Gaussa, dla newelkch wartośc n krzywa Studenta jest bardzej płaska odległość mędzy punktam przegęca jest wększa nż dla rozkładu normalnego. Rozkład Studenta jest stabelaryzowany, ale zwykle ne nteresuje nas an gęstość prawdopodobeństwa, an dystrybuanta, lecz tzw. wartośc krytyczne t n, Parametr, występujący jako wskaźnk przy t, nazywa sę pozomem stotnośc, zaś (1 - ) nos nazwę pozomu ufnośc. (Używam także ltery a zamenne, ze zwyczajowo używaną, lterą ze względu na wygodę psana). Wartośc występujące we wcześnejszych wzorach jest wartoścą krytyczną t n, podane są w tabel I, II (konec dokumentu). Zauważmy, że t n t n, dla = 0,317. Sens pozomu stotnośc (lub pozomu ufnośc) wynka z ponższego równana które mów, że prawdopodobeństwo tego, że wartość Q leży w przedzale (q 1, q 2 ) jest równe 1 - (poprawne - że przedzał (q 1, q 2 ) nakrywa z prawdopodobeństwem 1 - wartość Q). Wartość przyjmuje sę dowolne, jednakże w pomarach fzycznych wybera sę ją tak, aby 1 - było równe lub wększe od 0,95. Oznacza to, że będzemy twerdzl coś z prawdopodobeństwem 95 % lub wększym. Szerokość przedzału (q 1,q 2 ) zwanego przedzałem ufnośc zależy oczywśce od pozomu ufnośc. Im wyższy pozom ufnośc, tym szerszy przedzał ufnośc. Stosując rozkład Studenta, można udowodnć, że P x t n, 1 n( n 1) n 1 ( x x) 2 x t n, 1 n( n 1) n 1 ( x x) 2 1 16

Jest to bardzo ważne równane, bowem pozwala wnoskować o neznanej rzeczywstej wartośc (µ) z oblczonej średnej arytmetycznej. Przykład 7. Posługując sę danym z przykładu 6, podać przedzał ufnośc dla 1 - = 0,98. Z tabel II odczytujemy wartość krytyczną t 8;0,02 = 2,998. Wyrażene: ma wartość równą Stąd 1 2,998 105,9 4,1 8 7 P(127,4 4,1 127,4) 4,1) 0,98 P(123,3 131,5) 0,98. Oznacza to, że neznana wartość oczekwana (czyl rzeczywsta wartość czasu zderzena kul) znajduje sę z prawdopodobeństwem 98 % w przedzale (jest nakryta przedzałem): ( 123,3 s,131,5 s). 3.4. NIEPEWNOŚĆ PRZYPADKOWA POMIARÓW POŚREDNICH W praktyce laboratoryjnej jest to sytuacja najczęścej spotykana, gdy merzona welkość z jest funkcją nnych zmennych x x,..., x 1. 2 n z f ( x1. x2,..., xn ) merzy sę bezpośredno jedyne x 1, x 2,...,x n. Dla każdej z tych bezpośredno merzonej welkośc x możemy oblczyć wartość średną x odchylene standardowe S x. Okazuje sę, że wartość średna jest równa Jake jest odchylene standardowe S z tej welkośc? Można pokazać, że 17

Jest to tzw. prawo przenoszena odchyleń standardowych (w rachunku wyrównawczym błędów średnch). Przykład 8. W celu wyznaczena momentu bezwładnośc cenkej tarczy zmerzono jej masę średncę, otrzymując Oblczyć moment bezwładnośc tej tarczy nepewność pomarową. Moment bezwładnośc tarczy względem os przechodzącej przez jej środek prostopadłej do jej płaszczyzny podaje wzór Zatem Nepewność pomarową tej welkośc oblczymy korzystając z prawa przenoszena odchyleń standardowych. W tym celu oblczmy najperw składnk występujące w sume pod perwastkem Zatem Zgodne z probablstyczną nterpretacją odchylena standardowego, w przedzale będze leżało 68,3 % uzyskanych wynków pomarów. 3.5. ROZKŁAD PROSTOKĄTNY Rozkład ten odgrywa bardzo ważną rolę przy analze nepewnośc systematycznych. Opsuje on tak proces, w którym wypadnęce wartośc z pewnego przedzału (a, b) jest tak samo prawdopodobne, a prawdopodobeństwo wartośc spoza tego przedzału jest równe zeru (rysunek). Wynk pomarów obarczonych ne- 18

pewnoścą systematyczną (Δx) można przyblżyć rozkładem prostokątnym, dla którego b - a = 2Δx. Można udowodnć, że pomędzy odchylenem standardowym Sx a nepewnoścą systematyczną Δx stneje następujący zwązek x S x. 3 Przykład 9: Oblczyć odchylene standardowe pomaru wykonanego za pomocą woltomerza o klase 0,5, mającego na skal maksymalną wartość U = 50 V. Oblczymy najperw nepewność systematyczną ΔU 0,5 U 50 0,25V. 100 Następne, korzystając z powyższego wzoru otrzymamy Równane to jest ważne dlatego, że umożlwa zamanę nepewnośc systematycznych na welkość stosowaną dla nepewnośc przypadkowych, co umożlwa jednolte traktowane obu tych różnych typów nepewnośc. 19

4. Nepewnośc całkowte Dotąd zajmowalśmy sę wyłączne dwoma skrajnym przypadkam, w których bądź to domnowały nepewnośc systematyczne, bądź też nepewnośc przypadkowe. Rzeczywste pomary ne meszczą sę w tych dwóch skrajnych kategorach, wobec czego należy zastanowć sę, jak postępować w przypadkach pośrednch, w których obydwa rodzaje nepewnośc są tego samego rzędu. 4.1. POMIARY BEZPOŚREDNIE Jeżel welkość merzona x obarczona jest klkoma nepewnoścam systematycznym to zamenamy je na odchylene standardowe zgodne ze wzorem S r r X dla r =1,2,...,R, X r (w) 3 a następne oblczamy sumaryczne odchylene standardowe zwązane z nepewnoścą systematyczną: S s 2 2 2 S1 S2... SR Dalej musmy uwzględnć nepewność przypadkową, której marą będze odchylene standardowe dane równanem (3.8) lub (3.9), otrzymując odchylene standardowe całkowte S c s S S 2 2 x Przykład 10. Ocenć nepewność pomaru wykonanego 5-krotne sekundomerzem o dokładnośc Δ 1 t = 0,1 s, w którym uzyskano wynk: 6,7; 6,5; 6,8; 6.6; 6,7. Eksperymentator ocenł nepewność systematyczną wązaną z wyborem chwl włączena wyłączena sekundomerza na Δ 2 t = 0,2 s oraz dokładność odczytu Δ 3 t= 0,1 s. Na nepewność całkowtą składają sę nepewność przypadkowa ΔS oraz 3 nepewnośc systematyczne Δ 1 t, Δ 2 t Δ 3 t. Jako nepewność przypadkową przyjmemy odchylene standardowe dla małej próby (n = 5), uzyskując Nepewność całkowtą oblczamy korzystając z powyższego wzoru, otrzymując 20

Ostateczne: t 6, 66s, S c t 0, 15s. 4.2. POMIARY POŚREDNIE Chcemy wyznaczyć welkość z jej nepewność, merzymy bezpośredno x,..., 1. x 2 xn. Każda z welkośc x obarczona jest nepewnoścam systematycznym Δ r x oraz nepewnoścą przypadkową, której marą jest odchylene standardowe S. Najblższą rzeczywstej wartośc mz będze wartość oblczona ze wzoru X gdze x są średnm arytmetycznym odpowednch welkośc x. Marą nepewnośc pomarowej będze odchylene standardowe S z, które oblczamy w ten sposób, że najperw zamenamy nepewnośc systematyczne Δ rx na odchylena standardowe, a potem stosujemy prawo przenoszena odchyleń standardowych. W rezultace otrzymamy S z 2 I R 2 f ( x 1, x2,..., xi ) 2 r x Sx 1 x r1 3 Przykład 11: Celem wyznaczena przyspeszena zemskego przeprowadzono pomary czasu spadku cała z pewnej wysokośc. Wysokość spadku h zmerzono 6 razy lnjką z podzałką mlmetrową, uzyskując następujące wynk (w mm) h 1 = 127; h 2 = 126; h 3 = 127; h 4 = 128; h 5 = 128; h 6 = 127. Czas spadku zmerzono 5-co krotne, otrzymując (w s) t 1 = 0,509; t 2 = 0,511; t 3 = 0,507; t 4 = 0,508; t 5 = 0,509. Dokładność lnjk Δ 1 h =1 mm, dokładność odczytu Δ 2h = 1 mm, nepewność systematyczna zwązana z ustawenem lnjk Δ 3h = 1 mm. Dokładność czasomerza Δ 1t = 0,001 s, nepewność systematyczna zwąza- 21

na z wyborem chwl wyłączena wyłączena Δ 2t = 0,03 s. Oblczyć z tych danych przyspeszene zemske jego nepewność. Przyspeszene zemske będze można oblczyć z następującego wzoru Wartość g oblczymy podstawając do powyższego równana średne arytmetyczne wysokośc spadku czasu spadku. Dla danych z tego przykładu Stąd Marą nepewnośc pomarowej tej wartośc g będze odchylene standardowe oblczone ze wzoru. Oblczmy najperw pochodne cząstkowe: W powyższym wzorze są odchylenam standardowym zwązanym z nepewnoścam przypadkowym. Podstawając wartośc lczbowe do wzoru (4.3) otrzymujemy 22

Jak to łatwo spostrzec, nepewnośc zwązane z pomarem czasu mają główny wpływ na S g.wynk końcowy zapszemy w postac: m s m s g 9,83, S 0,67 2 g 2 23

5. Grafczna analza danych pomarowych Grafczna analza danych pomarowych charakteryzuje sę względną prostotą poglądowoścą. Służy ona do rozwązywana różnorodnych problemów: znajdywana wartośc welkośc fzycznych (nterpolacja ekstrapolacja grafczna), szukana zależnośc funkcyjnej pomędzy dwoma welkoścam, znajdywana wartośc różnych parametrów, porównywana danych dośwadczalnych z teorą tp. Wykres umożlwa rozpoznane pomyłek eksperymentalnych, dlatego byłoby wskazane sporządzać prowzoryczny wykres już podczas wykonywana pomarów. 5.1. ZASADY SPORZĄDZANIA WYKRESÓW Podczas robena wykresu należy kerować sę następującym zasadam: 1. Wykres wykonuje sę na paperze mlmetrowym lub na paperze z nanesoną specjalną satką ln. Rozmar wykresu określa zakres merzonych welkośc wybrana skala na osach (a ne odwrotne!). 2. Na os y odkładamy wartośc funkcj, na os x - wartośc argumentów. Na przykład mając wykreślć temperaturową zależność oporu metalu, na os x odkładamy temperaturę, na os y - opór elektryczny. 3. Na każdej z os odkładamy tylko tak zakres zman merzonej welkośc fzycznej, w którym zostały wykonane pomary. Ne ma, zatem obowązku odkładana na osach punktów zerowych, gdy ne było w ch okolcy punktów pomarowych. 4. Rozmar wykresu ne jest dowolny ne pownen wynkać z tego, że dysponujemy takm a ne nnym kawałkem paperu. Rozmar pownen być określony przez nepewnośc pomarowe tych welkośc, które odkłada sę na osach. Nepewność ta pownna w wybranej skal być odcnkem o łatwo zauważalnej, znaczącej długośc. Na przykład, wykonując pomar oporu elektrycznego w funkcj temperatury mamy: Δt = 1 o C, ΔR = 1W. Wtedy Δt = 1 o C pownen odpowadać odcnkow np. 2 mm, ΔR = 1W równeż 2 mm. 5. Skalę na każdej z os wybera sę nezależne, tak że mogą one być różne. Dążymy do tego, aby uzyskany wykres lub jego główna część był pod kątem około 45 o do os układu współrzędnych. 6. Skalę na osach układu nanosmy zazwyczaj w postac równooddalonych, pełnych lczb. Ich wybór gęstość na os mus zapewnać jak najwększą prostotę wygodę korzystana z nch. 7. Punkty na wykres nanosmy tak, by były wyraźne wdoczne. Gdy na jednym rysunku ma być klka krzywych, punkty na każdej z nch zaznacza sę naczej: kółkam, trójkątam, kwadrackam tp. 24

8. Po nanesenu punktów na wykres, rysujemy cągłą, bez nagłych zagęć załamań, krzywą. Pownna ona leżeć tak, aby lość punktów po obu jej stronach była taka sama. Ne należy dążyć do tego, aby przechodzła ona przez wszystke punkty, poneważ każdy z nch obarczony jest nepewnoścą. 9. Na osach wykresu muszą być napsane odkładane welkośc ch jednostk. 10. Aby wykres jak najlepej odzwercedlał zależność dwu welkośc, czasam na osach odkłada sę ne same te welkośc, ale ch funkcje. Rodzaj tych funkcj zależy od konkretnej sytuacj. Na przykład, badając temperaturową zależność oporu elektrycznego półprzewodnka oczekuje sę następującej zależnośc Gdybyśmy narysowal zależność R = f(t), to trudno byłoby stwerdzć, czy jest to eksponenta czy też ne. Natomast, gdy odłożymy punkty pomarowe w układze współrzędnych znajdują sę one na prostej, to potwerdzmy tym samym oczekwaną zależność. 11. Na rysunku należy zaznaczyć nepewnośc pomarowe w postac prostokątów lub odcnków. 12. Każdy rysunek pownen być podpsany. Podps mów, co rysunek zawera, wyjaśna co reprezentują zaznaczone krzywe. Rys. 5. Prawdłowo neprawdłowo sporządzone rysunk, przedstawające temperaturową zależność oporu elektrycznego metalu Powyżej przedstawono dwa rysunk, sporządzone na podstawe tych samych pomarów. Perwszy z nch jest neprawdłowo zrobony, nezgodne z wyżej przedstawonym wskazówkam. Drug sporządzono kerując sę tym regułam. 25

5.2. REGRESJA LINIOWA Często spotykamy sę z taką sytuacją, gdy merzono dwe welkośc x y zwązane są ze sobą równanem lnowym y ax b tak jest np. w przypadku temperaturowej zależnośc oporu elektrycznego metal R = f(t), skręcena płaszczyzny polaryzacj śwatła w funkcj stężena roztworu cukru a = f(s), okresu drgań relaksacyjnych w obwodze kondensatora neonówk od pojemnośc kondensatora T = f(c) tp. Wykonując pomary tych dwu welkośc x y uzyskujemy pary lczb (x, y ) naszym zadanem jest znaleźć równane ln prostej (tzn. parametry a b w równanu prostej), najlepej "pasującej" do nch. Nech równane to będze mało postać a "dopasowane" zgodne z metodą najmnejszych kwadratów oznacza, że n 1 ( y ax b ) 2 mn gdze a b są emprycznym współczynnkam regresj lnowej. Jak łatwo zauważyć, wyrażene w nawase w tym równanu jest odchylenem punktu eksperymentalnego (lczonym wzdłuż os y) od odpowadającej mu wartośc wynkającej z równana prostej. Poszukując ekstremum zwązanego powyższego równana udowadna sę, że gdze = 1,2,3,...,n, czyl n jest loścą par punktów (x, y ). 26

Na odchylene standardowe S a S b, będące marą nepewnośc pomarowych współczynnków regresj a b otrzymuje sę następujące równana Kryterum tego, jak nasze punkty pomarowe (x,y ) potwerdzają lnową zależność pomędzy welkoścam x y, stanow wartość tzw. współczynnka korelacj lnowej r. Jego wartość zmena sę w grancach od 1 do 0. Gdy r = 1, to dopasowane jest dealne, wszystke punkty pomarowe leżą na prostej. Gdy r = 0, to zależność lnowa pomędzy x y ne stneje. W pomarach fzycznych wartość współczynnka korelacj r jest zwykle wększa nż 0,98. Wzór na współczynnk korelacj r n n 1 x 2 n n 1 n 1 x y x 2 n 1 n x 1 1 n n y 2 y n 1 y 2 Przykład 11. Wykonując pomary temperaturowej zależnośc oporu elektrycznego metalu otrzymano następujące rezultaty: temperatura [ o C] 19 38 50 65 80 opór [Ω] 150 159 170 175 185 Znaleźć równane prostej najlepej pasującej do tych danych oraz współczynnk korelacj. Wzory, z których będzemy korzystać ( zawerają różne sumy, które oblczymy na początku. U nas x to temperatury, a y to opory elektryczne, = 1,2,3,4,5. Podstawając te wartośc do wzorów (5.3) - (5.7) otrzymamy: 27

Tak węc nasze x y spełnają równane regresj lnowej postac y = 0,57 x + 139 lub y = 0,57(4) + 139(2) Punkty pomarowe prosta o tym równanu zostały pokazane na rysunku 5, po lewej strone. 5.3. TRANSFORMACJA NIEKTÓRYCH FUNKCJI NIELINIOWYCH DO POSTACI LINIOWEJ Regresję lnową można zastosować do tych zależnośc nelnowych, które przez odpowedną transformację zmennych można zlnearyzować. Rozpatrzmy te, które spotyka sę w pracown studenckej. a) równane typu gdze y 0 a są stałym, które należy wyznaczyć. y y0e Równane tego typu opsuje np. zależność ampltudy drgań tłumonych od czasu aktywność próbk promenotwórczej w czase a A ax t A 0 e, t a 0 e tp. Sprowadźmy to równane do postac lnowej. W tym celu najperw zlogarytmujmy je stronam ln y ln y0 ax Jeżel zatem na os rzędnych odłożymy lny = z, to powyższe równane będze równanem prostej gdze b ln y0, zaś a = a b) równane typu z ln y0 y y0e ax a x Z równanem tego typu spotykamy sę, gdy badamy temperaturową zależność oporu elektrycznego półprzewodnków R R e 0 a / T, temperaturowa zależność współczynnka lepkośc ceczy 0 E RT e /, zależność temperatury wrzena wody od cśnena p E / RT p0e tp. Aby sprowadzć take równane do postac lnowej, należy je najperw zlogarytmować a następne dokonać podstawene ln y ln y0 28 a, x

ln y t 1 x z Wówczas otrzymamy t ln y 0 az, które jest równanem lnowym, wążącym t z. Zatem sporządzając wykres, należy na os odcętych odłożyć 1/x a na os rzędnych lny. Pytana zadana 1. Zmerzono pęcokrotne lnjką mlmetrową odległość pomędzy soczewką ekranem, otrzymując następujące rezultaty (w mm): 138, 139, 138, 139, 139. a) Jaką nepewnoścą (systematyczną czy przypadkową) obarczone są te pomary; b) Oblczyć odległość soczewka-ekran, oraz jej nepewność, a także nepewność względną procentową tego pomaru. 2. Stoperem, o najmnejszej podzałce 0,1 s wykonano dwa pomary okresu drgań wahadła matematycznego. W perwszym pomarze zmerzono czas 20-tu drgań, otrzymując t 1 = 17,2 s. W drugm pomarze zmerzono czas 30-tu drgań, otrzymując t 2 = 25,4 s. Jak jest okres drgań tego wahadła jaka jest nepewność pomarowa tej wartośc? 3. Z amperomerza o skal do 5 A odczytano natężene prądu płynącego w obwodze: (3,72+ 0,01)A. Jaka jest klasa tego amperomerza? 4. W ćwczenu mającym na celu wyznaczene parametru χ merzy sę wysokość słupów rtęc h 1 h 2 na manometrze, a χ oblcza sę ze wzoru W pewnym pomarze otrzymano h 1 = 152 mm Hg h 2 = 47 mm Hg. Dokładność odczytu wysokośc Δh = 1 mm Hg. Oblczyć wartość parametru χ jego nepewność maksymalną Δχ. 5.Zmerzono pojemność dwu kondensatorów, otrzymując Jaka będze pojemność układu tych kondensatorów oraz jej nepewność, gdy te kondensatory połączymy: a) szeregowo, b) równolegle? 6. Załóżmy, że nepewność przypadkowa jest jedyną nepewnoścą występującą w pomarach. a) Jake jest prawdopodobeństwo uzyskana wynku pomaru meszczącego sę w przedzale (m - 2 s, m + 2 s)? b) W jakm przedzale leży 99 % wszystkch pomarów? 29

7. Wykonano 5 pomarów pracy wyjśca elektronu z metalu, otrzymując następujące wartośc (w ev): 2,7;2,6; 2,7; 3,1; 2,8. a) Oblczyć wartość średną jej odchylene standardowe. b) W jakm przedzale znajduje sę rzeczywsta wartość pracy wyjśca, jeżel przyjmemy pozom ufnośc równy 1- α = 0,98? 8. W celu wyznaczena współczynnka tłumena drgań tłumonych β zmerzono czas t dzesęcu drgań oraz ampltudę A po tym czase (przyjmując ampltudę początkową A 0 = 1). Uzyskano następujące rezultaty: Współczynnk tłumena oblczamy z równana Oblczyć wartość współczynnka tłumena jego nepewność pomarową. 9. W ćwczenu mającym na celu wyznaczene długośc fal śwetlnej l za pomocą satk dyfrakcyjnej o podanej stałej satk d korzysta sę ze wzoru: gdze: l - odległość satk od ekranu, k - rząd ugęca prążka, x k - odległość prążka k-tego rzędu od prążka centralnego. Wyprowadzć wzór na nepewność całkowtą długość fal S, jeżel wadomo, że odległość l merzy sę tylko jeden raz jest ona obarczona nepewnoścą systematyczną Δ 1l wynkającą z dzałk użytego przymaru nepewnoścą systematyczną Δ 2 l wynkającą z nedokładnego przyłożena tej lnjk. Jeżel chodz o x k, to dla danego k merzy sę go 5 razy ponadto obarczone jest także nepewnoścam systematycznym Δ 1x k Δ 2x k podobnej natury, co l. Zastosować metodę podaną w rozdzale 4. 10. Jake welkośc należy odłożyć na osach układu współrzędnych, jeżel na rysunku chcemy otrzymać lnę prostą w przypadku następujących ćwczeń: a) W ćwczenu, "Wyznaczane długośc fal śwatła za pomocą perścen Newtona" merzy sę promene r k perścen k-tego rzędu powstających w wynku nterferencj na warstewce powetrza pomędzy płaską płytką płytką sferyczną o promenu R. Długość fal oblcza sę ze wzoru b) W ćwczenu "Badane fotokomórk gazowej" merzy sę prąd I w obwodze fotokomórk w funkcj odległość r punktowego źródła śwatła od fotokomórk. Wadomo, że natężene śwatła od źródła punktowego maleje z kwadratem odległośc, a prąd I jest proporcjonalny do natężena śwatła. 30

c) W ćwczenu "Badane drgań tłumonych" merzy sę ampltudę drgań A(t) w chwlach kolejnych maksymalnych, dodatnch wychyleń. Wadomo, że A(t) = A o e - t. 11. W pręce, którego jeden konec jest podgrzewany źródłem o stałej mocy, a drug konec jest zanurzony w wodze z lodem, powstał lnowy gradent temperatury. Oto wynk pomaru temperatury T w różnych odległoścach x od końca pręta: x [cm] 10 20 30 40 50 T[ o C] 7,3 16,1 25,0 34,2 43,0 Oblczyć parametry a b regresj lnowej T = T(x) oraz ch nepewnośc S a S b, a także współczynnk korelacj. Tabela I Wartośc krytyczne t n rozkładu Studenta.(Dla pozomu ufnośc α = 0,3174) n t n n t n n t n n t n 1-7 1,0903 13 1,0432 19 1,0284 2 1,8367 8 1,0765 14 1,0398 20 1,0268 3 1,3210 9 1,0663 15 1,0368 21 1,0254 4 1,1966 10 1,0585 16 1,0343 22 1,0242 5 1,1414 11 1,0524 17 1,0320 23 1,0231 6 1,1103 12 1,0474 18 1,0301 24 1,0220 Tabela II Wartośc krytyczne t n,α rozkładu Studenta n α =0,1 α =0,05 α =0,02 α =0,005 2 6,3138 12,7062 31,8205 127,3213 3 2,9200 4,3027 6,9646 14,0890 4 2,3534 3,1824 4,5407 7,4533 5 2,1318 2,7764 3,7469 5,5976 6 2,0150 2,5706 3,3649 4,7733 7 1,9432 2,4469 3,1427 4,3168 31

8 1,8946 2,3646 2,9980 4,0293 9 1,8595 2,3060 2,8965 3,8325 10 1,8331 2,2622 2,8214 3,6897 15 1,7613 2,1448 2,6245 3,3257 20 1,7291 2,0930 2,5395 3,1737 25 1,7109 2,0639 2,4922 3,0905 32