STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

Transkrypt

1 Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II POZAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank anonżyner) tel fax STATYSTYCZA AALIZA WYIKÓW POMIARÓW POZAŃ 014

2 I. CEL ĆWICZEIA I ZAKRES ĆWICZEIA Celem ćwczena jest wykonane statystycznej analzy wynków pomarów oraz zapoznane studentów z pneumatycznym narzędzam pomarowym. II. PROGRAM ĆWICZEIA W ćwczenu zostane przeprowadzona statystyczna analza wynków pomarów part elementów (próby) pobranych z populacj o neznanych parametrach statystycznych tj. wartośc oczekwanej odchylenu standardowym. arzędzem pomarowym zastosowanym w ćwczenu jest pneumatyczny przyrząd pomarowy wyposażony w zależnośc od rodzaju merzonego przedmotu w średncówkę lub perśceń pomarowy. Każdy z przedmotów wchodzących w skład próby zostane jednokrotne zmerzony bez zwracana. Opracowane statystyczne obejmuje zadana opsane szczegółowo w nstrukcj wykonane krok po kroku oraz z wykorzystanem EXCELa. III. ZAKRES OBOWIĄZUJĄCEGO MATERIAŁU defncje populacj generalnej próby (losowej, reprezentacyjnej), sposób konstrukcj hstogramu, weloboku częstośc dystrybuanty emprycznej, defncje podstawowych parametrów statystycznych: wartość oczekwana, medana, warancja, odchylene standardowe, współczynnk asymetr, rozkłady statystyczne: normalny, Studenta, χ (ch kwadrat), estymatory estymacja punktowa (wartość średna x, odchylene średne s ) ) przedzał ufnośc dla pojedynczego wynku pomaru wartośc oczekwanej, test zgodnośc χ, umejętność korzystana z funkcj statystycznych zawartych w zakładce Analza danych programu Excel, defncje błędów, zasady elmnacj błędów nadmernych, budowa zasada dzałana pneumatycznych przyrządów pomarowych, statyczne właścwośc metrologczne przyrządów pomarowych: czułość, zakres pomarowy, podzałka przyrządu pomarowego, dzałka elementarna, wartość dzałk elementarnej, błąd wskazana. IV. LITERATURA 1. Bobrowsk D, Maćkowak-Łybacka K., Wybrane metody wnoskowana statystycznego. Wydawnctwo Poltechnk Poznańskej, Poznań Bourg D. M., Excel w nauce technce, Wydawnctwo Helon, Glwce, 006, str Tomask J., nn, Sprawdzane przyrządów do pomaru długośc kąta, Ofcyna Wydawncza Poltechnk Warszawskej, Warszawa 009, str Zelczak A., Pneumatyczne pomary długośc, Wydawnctwa Komunkacj Łącznośc, Warszawa, 00, str , V. OPIS STAOWISKA W skład stanowska pomarowego (rys 5.1) wchodzą: 1. Przyrząd pomarowy AEROPA C-IV (1) merzy odchyłk merzonego wymaru, wynk w µm,. Głowca pomarowa do bezstykowego pomaru wymarów zewnętrznych (perśceń pomarowy) (), 1

3 . Średncówka pneumatyczna (), 4. Zestaw wzorców ustawczych walcowych (4) perścenowych (5) do wzorcowana przyrządu pomarowego Rys.1. Schemat stanowska do statystycznej analzy wynków pomarów (ops w tekśce) 5.1. Czynnośc przygotowawcze 1) Zapoznać sę z, przeznaczenem, budową danym techncznym pneumatycznego przyrządu pomarowego AEROPA C-IV str. 5 nstrukcj. ) Włączyć zawór zaslana sprężonym powetrzem sprawdzć czy cśnene wynos 5 0,5 bara. ) Przeprowadzć wzorcowane przyrządu AEROPA C-IV wg następującej procedury: Rys.. Wdok pneumatycznego przyrządu do pomarów długośc AEROPA C-IV; 1 pokrętło regulacj czułośc, pokrętło Re gulacj 0, pokrętło zaworu pomocnczego H, 4 po krętła przełącznków elektrostykowych, 5 wymenna podzelna

4 a) Pomar częśc typu wałek założyć podzelnę Dűsenmeßrng (5) do pomarów wymarów zewnętrznych, sprawdzć czy zawór regulacj 0 jest zamknęty (pokrętło w skrajnym prawym położenu), wstawć w perśceń pomarowy wzorzec walcowy o średncy ø14 0,040 mm, pokrętłem regulacj czułośc (zakresu pomarowego) doprowadzć do położena wskazówk zgodnego z podaną na wzorcu wartoścą odchyłk ( 0,040 mm), wstawć w perśceń pomarowy wzorzec walcowy o średncy ø 14 0,08 mm, dokonać odczytu wskazana przyrządu, oblczyć różncę wskazań p odneść ją do różncy wymarów wzorców w 0,01 mm, jeżel p > w to należy powtórne wstawć w perśceń pomarowy wzorzec walcowy o średncy ø14 0,040 mm obracając w prawo pokrętłem (1) zmenć wskazane przyrządu na mnejsze np. 0 µm zaś pokrętłem 0 doprowadzć do wskazana 40 µm, powtórne umeścć w perścenu wzorzec o średncy ø 14 0,08 mm oblczyć różncę p, jeśl nadal p > w należy zmenć wskazane przyrządu według podanego opsu aż do uzyskana p w 0, jeżel p < w należy wstawć w perśceń pomarowy wzorzec walcowy o średncy ø14 0,040 mm obracając w lewo pokrętłem (1) zmenć wskazane przyrządu na wększe np. 50 µm, zaś pokrętłem 0 doprowadzć do wskazana 40 µm, po uzyskanu różncy wskazań w grancy nepewnośc pomaru przyrząd jest przygotowany do pomarów. b) Pomar częśc typu otwór (otwory w płyce) Uwaga: ależy przyjąć zakres pomarowy równy 100 µm, stąd odczytane wartośc odchyłek muszą być podzelone przez. sprawdzć czy zawór regulacj 0 jest zamknęty (pokrętło w skrajnym prawym położenu), wstawć średncówkę w perśceń wzorcowy o średncy ø14 0,019 mm, pokrętłem regulacj czułośc (zakresu pomarowego) doprowadzć do wskazana 0 µm, a następne pokrętłem 0 ustawć wskazówkę w położenu 18 µm, wstawć średncówkę w perśceń wzorcowy o średncy ø14 +0,019 mm, oblczyć różncę wskazań p odneść ją do różncy wymarów wzorców w 0,08 mm, jeżel p > w to należy powtórne wstawć średncówkę w perśceń wzorcowy o średncy ø14 0,018 mm, pokrętłem regulacj czułośc (zakresu pomarowego) doprowadzć do wskazana 0 µm, a następne pokrętłem 0 ustawć wskazówkę w położenu 18 µm. Różnca p w µm pownna ulec zmnejszenu. Jeżel będze wynosła klka µm celowym jest zamast ustawana wskazana na wymar 0 µm przyjąć mnejszą wartość np. 5 0 µm, w raze potrzeby należy wspomnane czynnośc wykonać klkakrotne, aż do osągnęca równośc p w 0. po uzyskanu różncy wskazań w grancy nepewnośc pomaru przyrząd jest przygotowany do pomarów.

5 VI. ZADAIA DO WYKOAIA Zadane 1. Oblczene parametrów szeregu rozdzelczego a) wykonać czynnośc podane w pkt.5.1a,b, b) dokonać pomaru elementów stanowących próbę z populacj, wynk zameścć w edytowalnej tablcy 1 sprawozdana, c) oblczyć rozstęp, lczbę szerokość przedzałów klasowych, d) wykonać oblczena welkośc podanych w tablcy. Zadane. Hstogram, welobok częstośc, wykres dystrybuanty a) korzystając z wynków zameszczonych w tablcy narysować hstogram, welobok częstośc oraz wykres dystrybuanty emprycznej. Zadane. Oblczene parametrów rozkładu dla szeregów rozdzelczych b) oblczyć średną arytmetyczną x, c) oblczyć oblczyć warancję d) oblczyć asymetrę A rozkładu, e) wynk oblczeń wpsać do tablcy. s x oraz odchylene średne s x z próby, Zadane 4. Oblczene błędu oceny asymetr a) oblczyć błąd s A oceny asymetr. Zadane 5. Oblczene parametrów rozkładu statystyk χ a) oblczyć punktowe oceny parametrów rozkładu µ, σ, b) zapsać funkcję gęstośc (pkt. b) dystrybuantę (pkt. c) rozkładu emprycznego, Zadane 6. Sprawdzene hpotezy o normalnośc rozkładu zmennej losowej a) oblczyć wartośc standaryzowane zmennej losowej oraz prawdopodobeństwa w przedzałach, wynk oblczeń wpsać do tablcy 4, b) wykonać oblczena w podpunktach b) do e), c) przyjąć bądź odrzucć hpotezę o zgodnośc rozkładu emprycznego z rozkładem normalnym. Zadane 7. Oblczene granc przedzału rozkładu normalnego a) oblczyć welkośc wyszczególnone w punktach a) e) sprawozdana, b) oblczyć szerokośc przedzału ufnośc dla rozkładu normalnego (pkt. f) Studenta (pkt. g). Wnosk 4

6 VII. Przeznaczene, charakterystyka ops dzałana przyrządu AEROPA C IV Przyrząd AEROPA C IV przeznaczony jest do pomarów długośc metodą pneumatyczną. Ze względu na newelk zakres pomarowy zakres jego stosowana ograncza sę do pomaru odchyłek. 1. Dane technczne Zakres cśnena pomarowego p k od 54 do 11,8 kpa Zakres pomarowy 100µm, 00µm lub 00µm Wartośc dzałk elementarnej (odpowedno) 1µm, µm, 5 µm Wzmocnene (przełożene pomarowe) 800, 1400, 90 epewność pomaru ± 1 dzałka elementarna Cśnene zaslana częśc pomarowej przyrządu p st 147 kpa Zużyce powetrza 500 do 4500 l/h. Ops dzałana przyrządu Sprężone powetrze o cśnenu p s wypływa z przewodu sprężark przez główny zawór odcnający (rys. ), reduktor (1), fltr powetrza (), stablzator cśnena (), dyszę wlotową (4) (ustalającą czułość zakres pomarowy), otwarty podczas pomaru zawór pomocnczy (5) dyszę pomarową (6) na powerzchnę merzonego przedmotu (7). a zaworze redukcyjnym (1) nastawone zostaje cśnene wejścowe p z równe kpa, wymagane dla zaslana stablzatora cśnena (). W stablzatorze powetrze osąga stałe cśnene p st, zapewnające prawdłową pracę przyrządu pomarowego. Cśnene pomarowe p k pomędzy dyszą wlotową (4) dyszą pomarową (6) (cśnene w komorze pomarowej) jest marą szerokośc szczelny s pomędzy czołem dyszy pomarowej (6) powerzchną merzonego przedmotu. Wartość szczelny wskazywana jest na skal podzeln przyrządu (8). astawane punktu zerowego (9) pozwala skorygować wpływ czynnków zewnętrznych na układ pomarowy. astawny zawór pomocnczy (5) jest stosowany w przypadku ustawana punktów przełączana styków (11). Meszk cśnenowe (10) są połączone równolegle z komorą pomarową przekazują pneumatyczne merzone wartośc odchyłek poprzez styk elektryczne (11) obwodow sygnalzacyjnosterownczemu. Dzałane styków sygnalzowane jest zmaną lampek (1). Rys.. Wdok schemat budowy pneumatycznego przyrządu pomarowego AEROPA C-IV 5

7 . Zespoły przyrządu.1. Przyrząd wskazujący Przyrządem wskazującym jest precyzyjny manometr o wysokej klasy dokładnośc. Wskazówkę przyrządu porusza za pośrednctwem przekładn cęgnowej meszek anerodu poddany dzałanu cśnena pomarowego... Dysze regulacyjne Do nastawena parametrów przyrządu służy zawór glcowy (4) (dysza nastawna). Przekrój dyszy określa przełożene (czułość) oraz szybkość wskazań przyrządu. Przy małym przełożenu, tzn. przy dużym zakrese pomarowym ustalane sę wskazana trwa krócej nż w przypadku odwrotnym. Obrót w prawo zmnejsza przekrój dyszy, a węc zwększa przełożene. Obrót w lewo zwększa przekrój dyszy zmnejsza tym samym przełożene... astawane punktu zerowego astawane punktu zerowego 0" dokonywane jest za pomocą czułego zaworu glcowego (9). Obrót w lewo otwera a obrót w prawo zamyka zawór. astawane punktu zerowego służy do ustawana na skal przyrządu położena punktu początkowego zakresu pomarowego. Ponadto w przyrządze znajduje sę dysza pomocncza H służąca do nastawana punktów przełączana elektrostyków. 4. arzędza pomarowe Podstawowym narzędzam pomarowym (głowcam pomarowym) współpracującym z pneumatycznym przyrządam pomarowym są średncówk (rys. 4a) oraz perścene pomarowe (rys. 4b). Umożlwają one pomar bezstykowy elementów częśc maszyn. Do pomarów pneumatyczną metodą stykową stosowane są czujnk stykowe (rys 4c). a) b) c) Rys. 4. Schematy pneumatycznych narzędz pomarowych: a) średncówka, b) perśceń pomarowy, c) czujnk stykowy 6

8 Przykład oblczenowy W produkcj tulejek pobrano 80-co elementową próbę. Wykonano pomary średncy otworu otrzymując wynk zameszczone w tablcy 1. ależy z prawdopodobeństwem 95% wyznaczyć przedzał obejmujący średną wartość średncy otworu. Tablca 1. Wynk pomaru średncy wewnętrznej tulejek 40,6 40,5 40,44 40,5 40,9 40,40 40,4 40, 40,7 40,5 40,44 40,5 40,0 40,4 40,1 40, 40,7 40,41 40,5 40,0 40, 40,8 40, 40, 40, 40,0 40,40 40,6 40,8 40, 40,4 40,5 40,8 40, 40,1 40, 40,4 40,4 40,0 40,0 40,9 40,40 40, 40,7 40,4 40,0 40,4 40,4 40,41 40,4 40,4 40,1 40,1 40,6 40,4 40,4 40,5 40,44 40,6 40,4 40,7 40,1 40,6 40,4 40,8 40,9 40,9 40,7 40,6 40,8 40,6 40,41 40,9 40,8 40,7 40,7 40,6 40,5 40, 40,6 Zadana szczegółowe 1. Oblczyć częstośc względne oraz wartośc emprycznej dystrybuanty zmennej losowej (średncy otworu x).. arysować hstogram, welobok częstośc wykres dystrybuanty rozkładu zmennej losowej (średncy otworu).. Oblczyć parametry rozkładu dla szeregów rozdzelczych. 4. Oblczyć błędy oceny asymetr. 5. Przedstawć funkcję gęstośc rozkładu normalnego oraz funkcję dystrybuanty. 6. Sprawdzć hpotezę o normalnośc rozkładu. 7. Przeprowadzć estymację przedzałową średnej arytmetycznej populacj na pozome. Rozwązane Ad.1. Tworząc szereg rozdzelczy należy zaobserwowane wartośc średncy w próbe uporządkować według przedzałów klasowych. Lczbę przedzałów klasowych ustala sę borąc pod uwagę lczność (lczebność) próby oraz różncę R (rozstęp) pomędzy najwększą najmnejszą wartoścą cechy (średncy) w próbe. Welkość R stanow marę rozproszena wartośc średncy. Ważną kwestą jest ustalene lczby k przedzałów klasowych. Jeżel jest zbyt duża, to lczba obserwacj należących do każdego z przedzałów może być zbyt mała wykres rozkładu może ulec zbyt dużym wypaczenom. atomast, jeśl lczba przedzałów jest zbyt mała, to ne zostaną uwdocznone charakterystyczne właścwośc rozkładu. Jest ona ustalana w zależnośc od lczebnośc próby oznaczonej, jako. W lteraturze można spotkać klka zasad doboru lczby przedzałów, mędzy nnym: lczba przedzałów klasowych pownna zawerać sę pomędzy 5 a 15, lczba przedzałów klasowych pownna spełnać nerówność 0,5 k dla 80 4,5 k 8, 9 7

9 wg Huntsbergera k 1+, log dla 80 k 6, de Brookes Carruthers proponują k < 5log dla 80 k < 9, 5 Do dalszych oblczeń przyjęto k 5. Szerokość przedzału klasowego h jest welkoścą zależną rozstępu R oraz od lczby przedzałów klasowych k. R x x 40, 44 40, 6 h max mn > 0, 06 k k 5 > mm Przyjęto h 0,04 mm. Dolna granca perwszego przedzału pownna być mnejsza od najmnejszej wartośc próby (np. o ½ szerokośc przedzału), a górna ustalona tak, by ostatn przedzał zawerał najwększą wartość. Przedzały klasowe są prawostronne domknęte (prawe grance należą do nch). Ogólne lczba przedzałów klasowych pomnożona przez szerokość przedzału mus być neznaczne wększa od rozstępu wyrażona lczbą dzałek elementarnych. W przykładze przyjęto wartość początkową równą 40,6 0,0 40,4 mm, stąd perwszy przedzał będze (40,4 40,8], drug (40,8 40,] mm td. Lczbę zdarzeń w poszczególnych przedzałach klasowych podano w tablcy 1. Tablca. Parametry częstoścowe przedzałów klasowych r przedzału Grance przedzału klasowego [mm] (40,4 40,8] (40,8 40,] (40, 40,6] (40,6 40,40] (40,40 40,44] Lczność Częstość względna n / 0,075 0,1 0,400 0,188 0,15 Częstość skumulowana 0,075 0,88 0,688 0,875 1,000 n Wartośc kontrolne n 80, 1 Ad.. W celu wykonana hstogramu na os odcętych odkładamy wartośc przedzałów klasowych. Szerokość przedzału klasowego stanow podstawę prostokąta, którego wysokość wyraża lczebność merzonych elementów w rozpatrywanym przedzale klasowym (tablca 1). a os rzędnych mogą być równeż podane wartośc częstośc względnych. a podstawe danych z tablcy 1 narysowano hstogram, welobok częstośc oraz welobok skumulowanych częstośc (wykres dystrybuanty emprycznej). 8

10 a) b) 5 0 Lczebność 1,0 0,9 0,8 Skumulowana częstość 5 0,7 0 0,6 0,5 15 0,4 10 0, 5 0, 0,1 0 0,0 40,80 40,0 40,60 40,400 40,440 40,80 40,0 40,60 40,400 40,440 40,480 Średnca [mm] Średnca [mm] Rys. 1.Wykresy:(a) hstogram, (b) dystrybuanta empryczna Ad.. Oblczena szczegółowe parametrów rozkładu a) średna W przypadku prób o lcznośc powyżej >5 celowe jest oblczene średnej arytmetycznej ze wzoru 1 x x n gdze x wartość zmennej w środku -tego przedzału klasowego (tablca ), 1 x x n b) warancja z próby 40, , ,4 + 40, , ,4mm 80 s x odchylene średne s x ( x x) n 0,159 sx 0,00191 s x 0, , 047 mm 80 c) asymetra (skośność) ( x x) A sx n 0, ,047 0,081 Tablca. Wartośc momentów rozkładu średnc otworów x nr przedzału Grance przedzału klasowego [mm] Środek przedzału x Lczność Moment 1-go rzędu Moment -go rzędu Moment -go rzędu n ( x x) n ( ) x ( ) x n x x n 1 (40,4 40,8] 40,6 6-0,6 0,041 0,004 (40,8 40,] 40,0 17-0,86 0,014 0,0015 (40, 40,6] 40,4-0,18 0,000 +0, (40,6 40,40] 40, ,540 0,005 +0, (40,40 40,44] 40, ,760 0,059 +0,00457 Suma Σm ,159 +0,

11 Ad.4. Oblczene błędów oceny asymetr 6( n 1) ( n + 1)( n + ) 6 79 s A 0, Jeżel rozkład średncy otworów jest normalny, to pownno być A 0. Można zauważyć, że oblczona wartość odbega od wartośc zerowej, jednak ne węcej nż o dwa odchylena standardowe, co pozwala przyjąć rozkład, jako normalny. Potwerdza to równeż wygląd hstogramu oraz weloboku częstośc. Ad.5. Funkcja gęstośc prawdopodobeństwa rozkładu normalnego ma postać f ( x) 1 exp σ π ( x µ ) σ Punktowe oceny parametrów µ σ rozkładu normalnego wynoszą x n µ x 40,4 mm, Po podstawenu danych przyjmuje postać oraz dystrybanta ( x x) n σ s 0,047 mm f ( x) ( 40,4) 1 x exp 0,047 π 0,047 ( x 40,4) x 1 F( x) exp dx 0,047 π 0,047 Ad.6. Sprawdzene hpotezy o normalnośc rozkładu zmennej losowej (średncy otworów) zastosowane testu zgodnośc χ (ch kwadrat) [1,] a) oblczene wartośc standaryzowanej zmennych losowych wg wzoru u x µ σ Oblczamy, korzystając z dystrybuanty [1], prawdopodobeństwa znalezena zmennej losowej standaryzowanej u znajdującej sę w przedzale (x -1 ; x ] p ( x < X < x ) ( F( u ) F( u )) P 1 1 Przykładowo prawdopodobeństwo oblczone dla przedzału (40,; 40,6] wynos p P ( 40, < X < 40,6) 40,6 40,4 40, 40,4 F F 0,047 0,047 [ F( 0,89) F( 0,56) ] ( 0,651 0,99) 0, 5 Wyjaśnena wymaga oblczene prawdopodobeństwa w perwszym ostatnm przedzale. Otóż prawdopodobeństwo dla perwszego przedzału jest równe wartośc dystrybuanty dla prawej grancy przedzału czyl dla obszaru od do prawej grancy. 10

12 p x x s 40,8 40,4 0,047 u1 1,441 ( < X < 40,8) ( 1,441) 0, P F atomast prawdopodobeństwo dla ostatnego przedzału traktujemy jak obszar od lewej grancy do + x x 40,40 40,4 u5 + 1,04 s 0,047 p ( 40,40 < X < + ) 1 ( + 1,04 ) 0, P F Wynk oblczeń dla wszystkch przedzałów wszystkch zameszczono w tablcy 4. Tablca 4. Parametry częstoścowe przedzałów klasowych nr przedzału Grance przedzału klasowego [mm] Lczność n Przedzały standaryzowane (u, u +1 ] p np ( ) n ( n np ) np 1 (40,4; 40,8] 6 [- ;-1,44) 0,075 5,98 0,000 0,000 (40,8; 40,] 17 [-1,44; -0,5) 0,5 17,97 0,941 0,05 (40,; 40,6] [-0,5; 0,9) 0,5 8,15 14,794 0,56 4 (40,6; 40,40] 15 [0,9; 1,0) 0,5 0,0 7,080 1,40 5 (40,40; 40,44] 10 [1,0; ) 0,096 7,69 5, 0,69 Suma Σn 80 1,000 80,61 Jeżel lczność w którymś przedzale będze mnejsza od 5 to należy ten przedzał połączyć z sąsednm tak, aby suma lcznośc przedzałów była co najmnej równa 5. b) oblczene wartośc statystyk χ Statystyka χ stanow marę rozbeżnośc mędzy rozkładam emprycznym teoretycznym o dystrybuance F(x) k ( ) k n ( ) nteor n np χ 1 nteor 1 np gdze n lczność empryczna -tego przedzału, n teor teoretyczna lczność -tego przedzału, lczebność próby, p prawdopodobeństwo wyznaczone przez hpotetyczną dystrybuantę, że wartość zmennej losowej x zawarta jest w przedzale klasowym o środku w punkce Z tablc rozkładu χ dla pozomu stotnośc α 0,05 lczbe stopn swobody ν k r (k lczba przedzałów, r lczba parametrów rozkładu oszacowanych z próby) odczytujemy wartość krytyczną χ. 0,05; ν χ 0,05; x 5,991. Jeśl χ χ np 0, 05 ;ν to oznacza, że ne ma podstaw do odrzucena hpotezy o normalnym rozkładze średnc otworów. W przecwnym raze hpoteza ne jest zgodna z wynkam pomarów. 11

13 Ad.7. Oblczene granc przedzału rozkładu normalnego Jeśl z populacj (µ,σ) o neznanej wartośc średnej odchylenu standardowym zostane pobrana dostateczne duża lość prób 80-co elementowych o rozkładze normalnym, to wówczas przedzał ufnośc dla wartośc oczekwanej wynos x ε < µ < x + ε W celu oblczena granc przedzału ufnośc posługujemy sę tablcam rozkładu normalnego (dla 0). Dla przyjętego prawdopodobeństwa p 1 α 0,95 kwantyl rozkładu u α/ 1,960 a granca przedzału s 0,047 ε u α / 1,960 0, Można też posłużyć sę rozkładem Studenta (dokładnejsze oblczena) dla lczby stopn swobody ν (kwantyl rozkładu t α/,ν t 0,05,79 1,990) granca przedzału wynos ε t a przedzał opsuje nerówność s 0,047 1, α / ; ν 0, ,4 0,010 < a < 40,4 + 0,010 40, < a < 40,45 mm Ostateczne szerokość przedzału jest wyznaczona przez wartośc 40, 40,45 mm, a różnce dla różnych rozkładów bardzo newele sę różną. Wnosek końcowy Przedzał wartośc <40,, 40,45> mm pokrywa z prawdopodobeństwem 95% średną wartość średncy otworu x. Uwag na temat elmnacj wynków obarczonych błędam nadmernym. Analzując wynk pomarów welokrotnych, można zaobserwować wynk o wartoścach znaczne różnych od pozostałych. Można podejrzewać, że wynk te są obarczone błędam nadmernym (grubym), których przyczynam mogą być nezauważone podczas pomarów: zmany warunków pomarów, nesprawność aparatury, pomyłk osób wykonujących pomary błędy powstałe podczas przetwarzana wynków. Zakładając, że zbory wynków pomarów mają rozkład normalny, elmnację błędów nadmernych dokonuje sę następująco: dla otrzymanego z pomarów zboru wynków oblcza sę wartość średną odchylene średne, dla założonego pozomu ufnośc P 1 α (zwykle 0,99) wyznacza sę przedzał ufnośc merzonej welkośc, dla wartośc, które znajdują sę poza przedzałem ufnośc, zakłada sę hpotetyczne, że ne przynależą one do populacj, poneważ prawdopodobeństwo ch wystąpena jest zbyt małe że ne przypadek spowodował ch pojawene sę, lecz błąd nadmerny, czyl odrzuca sę je, 1

14 po odrzucenu wartośc obarczonych błędam nadmernym dalsze oblczena statystyczne wykonuje sę już normalnym znanym metodam. Szczegółowe zasady wykrywana wynków obarczonych błędam nadmernym zawarte są norme P