Ćwiczenie nr 1 WAHADŁO MATEMATYCZNE Instrukcja dla studenta

Transkrypt

1 Analza nepewnośc pomarowych w eksperymentach fzycznych dla specjalnośc Bofzyka molekularna Ćwczene nr WAHADŁO MATEMATYCZE Instrukcja dla studenta I. WSTĘP Celem ćwczena jest ukazane początkującemu eksperymentatorow fundamentalnej własnośc pomarów, którą jest brak powtarzalnośc uzyskwane wynk, mmo uslnych starań eksperymentatora, są różne. Uśwadomene sobe tego faktu rodz dwe refleksje: perwsza dotyczy potrzeby wprowadzena rozmatych welkośc, które w sposób grafczny loścowy opszą podsumują uzyskane rezultaty, zaś druga każe nam rozważyć możlwe modyfkacje sposobu prowadzena dośwadczena wykonywana pomarów, wodące do ogranczena obserwowanej zmennośc. Dla zlustrowana pojawających sę w tym kontekśce zagadneń, wykonamy pomary okresu wahadła matematycznego. Wynk tych pomarów posłużą do konstruowana kolejno rozmatych obektów statystycznych, które opsują statystyczną naturę pomarów pomagają wyznaczać, z surowych wynków pomarów, oceny wartośc poszukwanych welkośc fzycznych. Zrealzowane tych zadań wymaga bogatych zborów danych, a węc welokrotnych pomarów tej samej welkośc fzycznej w naszym przypadku okresu wahadła. PRZYPOMIEIE Okres drgań wahadła matematycznego (T) poruszającego sę w zakrese małych kątów wynos l T π, () g gdze l - długość wahadła (odległość mędzy punktem zaczepena wahadła a jego środkem cężkośc), g przyśpeszene zemske. Rys.. Wahadło matematyczne. m - masa wahadła, l - długość wahadła, - kąt wychylena z położena równowag II. POMIARY Masz do dyspozycj: wahadło o regulowanej długośc; stoper pozwalający na odczyt czasu z dokładnoścą do 0,0 s; taśmę mernczą pozwalającą na odczyt długośc z dokładnoścą do mm.

2 Analza nepewnośc pomarowych w eksperymentach fzycznych dla specjalnośc Bofzyka molekularna Wykonane pomarów Ustal długość wahadła tak, aby dolna krawędź kul wahadła znalazła sę mędzy klka a klkanaśce centymetrów nad podłogą. Zmerz zanotuj odległość mędzy punktem zaczepena wahadła a jego środkem cężkośc (oznaczmy ją symbolem l). Pod znajdującym sę w położenu równowag wahadłem, umeść na podłodze długops lub kartkę paperu z narysowaną wyraźną kreską. Wychyl wahadło, w kerunku prostopadłym do narysowanej na kartce kresk, na odległość około 0 30 cm od położena równowag zwolnj je. Spróbuj różnych sposobów zwalnana wahadła obserwuj je przez klkanaśce okresów. Zwróć uwagę, żeby wahadło ne krążyło po elpse, kula wahadła ne kwała sę wokół własnego środka cężkośc, an też ne obracała sę wokół własnej os. Wszystke te efekty są newskazane, gdyż zmenają one okres drgań, który chcemy zmerzyć. Wykonaj także najperw parę próbnych pomarów, które pozwolą C poćwczyć rękę. Zastanów sę nad wyborem położena wahadła, które będze początkem odmerzana czasu trwana okresu T wahadła. Gdy dopracujesz sę w marę dealnego sposobu uruchamana wahadła wyberzesz punkt startu, zapsz wynk 6 (słowne: dwustu szesnastu) pomarów jednego okresu wahań wahadła. Pamętaj, że: Okres wahań wyznaczaj jako przedzał czasu mędzy dwoma kolejnym przejścam wahadła w tę samą stronę nad kreską na kartce. III. AALIZA DAYCH Dośwadczene to dostarcza bardzo bogatego materału statystycznego, którego ne da sę przeanalzować w pełn w trakce zajęć. a ćwczenach zostane zaprezentowany schemat statystycznej analzy danych pomaru jednego okresu drgań wahadła, wykonanego przez asystentów, dla próby lczącej 43 wartośc (dane - dodatek ). Studentka/Student według przestawonego schematu jest zobowązany przeanalzować w domu własne dane oddać je forme raportu. Aby unknąć błędów zaokrągleń, pomyłek skrócć czas potrzebny na ch wykonane, zalecanym sposobem przeprowadzana oblczeń jest wykorzystane arkusza kalkulacyjnego lub nnego, podobnego narzędza. Konstrukcja hstogramu Perwszym krokem analzy statystycznej wynków welokrotnych pomarów jest ch grafczna prezentacja w postac hstogramu, który syntetyczne obrazuje rozkład uzyskanych wynków w próbce. Konstruowane hstogramu rozpoczynamy od wyznaczena najmnejszej ( mn ), najwększej ( ma ) uzyskanej wartośc w badanej próbce. Wartośc te pozwalają ocenć rozpętość hstogramu. Symbolem oznaczamy lczebność próbk. W naszym przypadku, gdze wartoścą merzoną jest jeden okres T drgań wahadła wartośc te wynoszą odpowedno: T mn = 3,06 s, T ma = 3,56 s, = 43.

3 Analza nepewnośc pomarowych w eksperymentach fzycznych dla specjalnośc Bofzyka molekularna Ustalamy dolną krawędź mn hstogramu oraz szerokość przedzałów, czyl cały zakres wartośc welkośc hstogramowanej dzelmy na przedzały: od do, od do 3, od 3 do td.., aż do ostatnego, K-tego przedzału od wartośc K K K do wartośc K,. K K K ma W naszym przypadku: dolną krawędź hstogramu T ustalamy na 3,05 s; przyjmujemy stały przedzał hstogramowana o szerokośc = 0,03 s; lczba przedzałów hstogramowana wynosła K = 7. astępne ustalamy, do którego przedzału należy każda z kolejnych wartośc z próbk, otrzymując lczby n danych w każdym z przedzałów, zwane lczebnoścam bądź krotnoścam. W trakce ustalana, do którego przedzału hstogramowana należy włączyć daną wartość, możemy natknąć sę na sytuację, w której wartość ta wypada na grancy przedzałów, a węc może zostać zaklasyfkowana zarówno do tego, w którym rozważana wartość stanow górną grancę lub też do następnego przedzału obejmującego wększe wartośc zmennej hstogramowanej. ajczęścej przyjmujemy konwencję, w której przedzał hstogramowana jest z lewej strony otwarty zaś z prawej domknęty. Dla każdego przedzału hstogramu konstruujemy częstość p n oraz / welkość f, którą zwemy gęstoścą welkośc hstogramowanej, a którą defnujemy jako f p /, czyl stosunek częstośc p do szerokośc przedzału hstogramowana. W rezultace otrzymujemy kolejne wersze tabel ponżej. Tabela. Schemat opracowywana ser pomarów bezpośrednch przedzał 3..., K K Suma krotność n n... n k częstość p n n... n K gęstość n n... n _ K f jednostk Zauważ, że welkośc f mają wymar w tym przypadku jest to odwrotność jednostk czasu, w której wyrażamy wynk pomaru okresu. Spełnają one także oczywsty zwązek K f, czyl pola powerzchn słupków hstogramu sumują sę do jednośc co jest defncją frazy: hstogram jest unormowany do jednośc. K 3

4 Analza nepewnośc pomarowych w eksperymentach fzycznych dla specjalnośc Bofzyka molekularna W przypadku naszych danych wartośc: krotnośc, częstośc gęstośc zmerzonego okresu drgań wahadła dla wybranych przez nas przedzałów zostały zameszczone w tabel. Tabela. Zborcze opracowane ser pomarów okresu T wahadła dla próby o lczebnośc równej 43 służące do konstrukcj hstogramu o szerokośc przedzału = 0,03 s. przedzał [s] krotność n częstość p gęstość f [s - ] (3,05-3,08] 0,003 0,0776 (3,08-3,] 0,003 0,0776 (3,-3,4] 0,003 0,0776 (3,4-3,7] 4 0,034,0805 (3,7-3,0] 3 0,0534,77469 (3,0-3,3] 5 0,05787,990 (3,3-3,6] 75 0,736 5,78704 (3,6-3,9] 67 0,5509 5,6975 (3,9-3,3] 79 0,887 6,09568 (3,3-3,35] 3 0,07407,4694 (3,35-3,38] 47 0,0880 3,6654 (3,38-3,4] 33 0,07639,5463 (3,4-3,44] 0 0,04630,543 (3,44-3,47] 0 0,035 0,7760 (3,47-3,50] 0,003 0,0776 (3,50-3,53] 0,003 0,0776 (3,53-3,56] 0, ,543 Suma

5 Analza nepewnośc pomarowych w eksperymentach fzycznych dla specjalnośc Bofzyka molekularna Rysunek przedstawa rozkład wartośc zmerzonego okresu T drgań wahadła Gęstość f [s - ] ,05 3, 3,7 3,3 3,9 3,35 3,4 Okres T drgań wahadła [s] 3,47 3,53 Rys.. Rozkład wartośc zmerzonego okresu T drgań wahadła dla próby o lczebnośc = 43. Rysując hstogram należy zwrócć uwagę na nektóre elementy grafczne takego rysunku. Hstogram wnen meć tytuł, ose należy opsać zarówno słowne, jak symbolem, jak równeż podać, w nawasach kwadratowych lub okrągłych, jednostkę welkośc występującej na osach. ormy wymagają, aby znacznk na osach zwrócone były ku dodatnm kerunkom os, co powoduje, że w przypadku, gdy kreślone welkośc wypadają w perwszej ćwartce, znacznk te wchodzą do rysunku, zaś prezentując wykres, który meśc sę w trzecej ćwartce, znacznk będą wskazywać na zewnątrz treśc rysunku. Z hstogramam zwązana jest konwencja, której należy bezwzględne przestrzegać. Otóż, stneją dwa typy welkośc, które hstogramujemy: welkośc cągłe (z taką welkoścą mamy do czynena w naszym zadanu) oraz welkośc dyskretne. To rozróżnene znajduje swe odbce na hstograme słupk hstogramu welkośc cągłej zawsze rysujemy połączone ze sobą, a słupk hstogramu welkośc dyskretnej rozdzelone. 5

6 Analza nepewnośc pomarowych w eksperymentach fzycznych dla specjalnośc Bofzyka molekularna Ocena prawdzwej wartośc welkośc fzycznej W środowsku fzyków za ocenę prawdzwej wartośc welkośc fzycznej, którą merzymy, przyjmuje sę średną arytmetyczną, którą dla ser wartośc, =,,...,, defnujemy zwązkem:, () zaś za marę rozrzutu uzyskanych wartośc, czyl szerokośc rozkładu, przyjmujemy welkość s, zdefnowaną za pomocą wyrażena: s. (3) Welkość s, nazywamy statystyczną nepewnoścą standardową często termn ten uzupełnamy słowam: pojedynczego pomaru, gdyż określa ona średne odchylene ndywdualnego wynku od średnej. Fraza: pojedynczego pomaru pojawa sę tu dlatego, że wykonując jeden dodatkowy pomar spodzewamy sę, że średno rzecz borąc, odchyl sę on od średnej właśne o wartość s (ścślej: kwadrat odchylena tego wynku od wartośc średnej przyjme wartość zblżoną do s ). Inna często spotykana nazwa welkośc s to odchylene standardowe eksperymentalne lub też odchylene standardowe z próbk. Konwencjonalne, za marę nepewnośc średnej arytmetycznej uzyskanej z próbk o lczebnośc przyjmujemy welkość s, której kwadrat defnuje następujący wzór: s ( ), (4) Zauważmy, że wyrażene to możemy zapsać w postac: gdze s jest nepewnoścą standardową pojedynczego pomaru. s s. (5) W lteraturze można spotkać, ż nepewnośc średnej arytmetycznej s zwana jest równeż nepewnoścą standardową średnej lub odchylenem standardowym średnej. Ocenę prawdzwej welkośc fzycznej zapsujemy w postac s. (6) 6

7 Analza nepewnośc pomarowych w eksperymentach fzycznych dla specjalnośc Bofzyka molekularna W naszym przypadku uzyskalśmy następujące wartośc średnej, nepewnośc pojedynczego pomaru nepewnośc średnej okresu drgań wahadła. Tabela 3. Ocena prawdzwej wartośc okresu T drgań wahadła z próbk o lczebnośc = 43. Średna arytmetyczna T [s] 3,307 epewność standardowa pojedynczego 0,0797 pomaru s [s] T epewność średnej arytmetycznej Okres T wahadła wynos 3,307 0,0038 s. UWAGA: nepewnośc zaokrąglamy do cyfr znaczących s [s] 0,0038 T IV. RAPORT KOŃCOWY Raport końcowy z analzy statystycznej pomarów okresu wahadła należy oddać na następnych zajęcach. Wykorzystaj własne dane ops wykonaj samodzelne! Raport końcowy wnen zawerać następujące elementy:. Krótke przedstawene przedmotu badań.. Konstrukcję hstogramu przedstawającego rozkład gęstośc okresu T drgań wahadła według schematu przedstawonego w nstrukcj. Wykonaj hstogramy stosując stały przedzał hstogramowana = 0,03 s oraz = 0,0 s. Porównaj kształt hstogramów wymeń zaobserwowane różnce. 3. Oblczoną wartość średną, nepewność pojedynczego pomaru nepewność średnej okresu T drgań wahadła. 4. Zaznaczone na os odcętych hstogramu położene: średnej oraz przedzału obejmującego jedną nepewność standardową pojedynczego pomaru na lewo na prawo od zaznaczonej wartośc średnej. Jak ułamek danych (w przyblżenu) jest zawarty w tym przedzale? 5. Oszacowane wartośc przyspeszena zemskego na postawe uzyskanej wartośc średnej okresu wahadła. Pamętaj, że: Każdy z raportów końcowych możesz napsać ręczne, byle porządne czytelne. Jeśl zdecydujesz sę na wykorzystane edytora tekstów, to przestrzegaj zasad typografcznych obowązujących w publkacjach naukowych. Streszczene podstawowych reguł jest umeszczone na strone WWW. Ogólne zasady sporządzana raportu oraz przykładowy raport wzorcowy znajdzesz na strone WWW Pracown. 7

8 Analza nepewnośc pomarowych w eksperymentach fzycznych dla specjalnośc Bofzyka molekularna Dodatek. Dane pomarowe okresu T drgań wahadła o długośc l = 64,8 0, cm. umer Okres T [s] pomaru ,3 3,56 3,8 3,44 3,5 3,8 3,37 3, 3,6 0 3, 3,37 3,8 3,4 3,3 3,3 3,4 3,3 3,3 3,8 0 3,6 3, 3,8 3,8 3,8 3,5 3,4 3,35 3,8 3, ,35 3,3 3,5 3,8 3,3 3,3 3,44 3,37 3, 3,6 40 3,5 3,44 3,8 3,35 3,35 3,8 3,3 3,8 3,8 3,8 50 3,35 3,37 3,37 3,3 3,6 3,37 3,8 3,3 3,37 3,5 60 3, 3,37 3,6 3,37 3,5 3,8 3,56 3,5 3,8 3, , 3,8 3,8 3,5 3,3 3,8 3,8 3,5 3,5 3,3 80 3,8 3,4 3,35 3,8 3,3 3,5 3,5 3,8 3,8 3,5 90 3,5 3,37 3,8 3,3 3,5 3,8 3,8 3,8 3,8 3, ,37 3,8 3, 3,8 3,5 3,35 3,3 3,3 3,35 3,35 0 3,8 3,3 3,8 3,3 3,8 3,35 3,44 3,35 3, 3,35 0 3,8 3,3 3,3 3,3 3,37 3, 3,35 3,8 3,8 3,3 30 3,5 3,5 3, 3,47 3,53 3,5 3,35 3,3 3, 3,4 40 3,37 3,8 3,8 3,3 3,3 3,35 3,35 3,37 3,4 3,8 50 3,3 3,5 3,6 3,47 3,4 3,37 3,37 3,35 3,3 3,3 60 3,44 3,8 3,4 3,35 3,44 3, 3, 3,35 3, 3,3 70 3, 3,37 3,8 3,44 3,3 3,6 3,47 3,8 3,35 3, ,8 3,5 3,8 3,3 3,5 3,35 3,4 3,3 3, 3, ,3 3,8 3,37 3,35 3,37 3,8 3,4 3,3 3,37 3,8 00 3,37 3,5 3,44 3,35 3,5 3,5 3,37 3,8 3, 3,35 0 3,35 3,35 3,37 3,37 3,35 3,35 3,4 3,4 3, 3,3 0 3,5 3,3 3,35 3,3 3,44 3,8 3,37 3,3 3,4 3,8 30 3,35 3,4 3,8 3,4,8 3,4 3,8 3,3 3,8 3,4 40 3,8 3,8 3,44 3,44 3,3 3,37 3,5 3,4 3,4 3, ,5 3,37 3,8 3,8 3,8 3,6 3,5 3,5 3,8 3,4 60 3,37 3,5 3,37 3,47,5 3,8 3,5 3,8 3,5 3,4 70 3,3 3,3 3,5 3,37 3,5 3,4 3,8 3, 3,5 3,5 80 3,37 3,44 3,3 3,5 3,3 3,8 3,5 3,5 3,5 3,4 90 3,3 3,5 3,3 3,8 3,5 3,8 3,5 3,8 3,3 3, ,5 3,8 3,8 3,5 3,8 3,5 3,3 3,6 3,5 3, ,47 3,8 3,5 3,5 3,37 3,44 3,47 3,5 3,3 3,3 30 3, 3,06 3, 3,8 3,3 3,44 3,37 3,4 3,5 3, ,3 3,6 3,47 3,5 3,8 3,5 3,3 3,5 3,3 3, ,47 3,4 3,8 3,8 3,3 3,8 3, 3,5 3,5 3, ,3 3,5 3,3 3,8 3,8 3,3 3,8 3,4 3,3 3, ,09 3,37 3,44 3,37 3,37 3,5 3,4 3,8 3,3 3, ,4 3,37 3,5 3,3 3,8 3,5 3,5 3, 3,5 3, ,8 3,8 3,37 3,47 3,5 3,3 3,5 3,3 3,3 3, ,37 3,3 3,3 3,5 3, 3,3 3,3 3,8 3,44 3, ,37 3,37 3,5 3,3 3,3 3,5 3,44 3,5 3,5 3,4 40 3,4 3, 3,8 3,3 3,4 3,3 3,3 3,4 3,6 3,6 40 3,37 3,8 3,44 3,37 3,3 3,5 3,37 3,5 3,3 3, ,6 3,5 3,5 8