Rachunek niepewności pomiaru opracowanie danych pomiarowych

Transkrypt

1 Rachunek nepewnośc pomaru opracowane danych pomarowych Mędzynarodowa Norma Oceny Nepewnośc Pomaru (Gude to Epresson of Uncertanty n Measurements - Mędzynarodowa Organzacja Normalzacyjna ISO) Wyrażane Nepewnośc Pomaru. Przewodnk. Warszawa, Główny Urząd Mar 1999 H. Szydłowsk, Pracowna fzyczna, PWN Warszawa 1999 A.Zęba, Postępy Fzyk, tom 5, zeszyt 5, 001, str A.Zęba, Pracowna Fzyczna WFTJ, Skrypt Uczelnany SU 164, Kraków 00 1

2 Wstęp W trakce każdego pomaru uzyskujemy wynk 1,,.. będące tylko wartoścą przyblżoną rzeczywstej wartośc 0. Pomar zawsze odbywa sę z ogranczoną dokładnoścą, wynkającą zarówno z czynnośc pomarowych, jak z wykonana samego przyrządu pomarowego. Wynk pomaru ngdy ne jest lczbą to przedzał wartośc, w którym zawera sę wartość 0.

3 Możemy określć przedzał wartośc, w którym sę najprawdopodobnej meśc sę prawdzwa wartość welkośc merzonej. Połowę szerokośc tego przedzału nazywamy nepewnoścą pomarową Δ. Przyjmujemy, że wartość rzeczywsta meśc sę z dużym prawdopodobeństwem w przedzale mędzy: ( 0 Δ) a ( 0 +Δ) 3

4 Nepewność pomarowa jest marą precyzj pomaru. Na jej podstawe możemy określć, czy uzyskany wynk pomaru welkośc jest zgodny ze wzorcem tej welkośc lub czy wynk dwóch pomarów tej samej welkośc są ze sobą zgodne. Znaczene słowa błąd to: (1) loścowo - różnca (neznana) mędzy wartoścą zmerzoną prawdzwą: błąd bezwzględny = 0 błąd względny δ = (może być wyrażony 0 w %) () jakoścowo - używany jest w termnach takch jak: błąd przypadkowy, systematyczny gruby. 4

5 Błędy grube można łatwo wykryć usunąć, dla błędów systematycznych stosujemy poprawk, a błędy przypadkowe - podlegają rozkładow Gaussa, wynkają z welu losowych przyczynków, ne dają sę wyelmnować ale można je oszacować (estymować). Podstawową marą dokładnośc pomaru jest nepewność standardowa, u() czyl oszacowane odchylena standardowego. Poneważ w praktyce ne znamy wartośc rzeczywstych welkośc merzonych, szacujemy nepewnośc pomarowe wynkające ze statystycznych praw rozrzutu pomarów. 5

6 Typy oceny nepewnośc wg nowej Normy Typ A ma zastosowane do błędów przypadkowych wymaga odpowedno dużej lczby powtórzeń pomaru wykorzystuje statystyczną analzę ser pomarów Typ B stosuje sę, gdy statystyczna analza ne jest możlwa dla błędu systematycznego lub dla jednego wynku pomaru opera sę na naukowym osądze eksperymentatora wykorzystującym nformacje o pomarze źródłach jego nepewnośc 6

7 Typ A sera pomarów Błąd przypadkowy - gdy występuje statystyczny rozrzut wynków kolejnych pomarów wokół wartośc średnej ҧ Wynk pomarów podlegają pewnym prawdłowoścom, tzw. rozkładom typowym dla zmennej losowej. W wększośc dośwadczeń rozkład wynków opsany jest funkcją: 1 ( ) ( ) = ep 0 Rozkład ten znany jest jako rozkład Gaussa lub rozkład normalny. 0 jest wartoścą najbardzej prawdopodobną może być ną wartość średna ҧ = n n 7

8 σ to szerokość połówkowa krzywej Gaussa szacowana przez odchylene standardowe (σ to warancja) ( ) = u( ) = n( n 1) () 3 0 =15 = =

9 Powtarzane pomarów jest korzystne bo: - zmnejsza nepewność spowodowaną błędem przypadkowym - umożlwa oszacowane nepewnośc. Ile pomarów? Dla poprawnego określena σ co najmnej 510 pomarów (dokładność rzędu 030%). Np. dla ser 9 pomarów, nepewność średnej jest 3-krotne mnejsza od nepewnośc pojedynczego pomaru. Zbyt duża lczba pomarów jest neopłacalna, bo zwększene dokładnośc ze wzrostem n jest powolne. 9

10 Przykład 1 nepewność pomaru okresu drgań wahadła. Wahadło matematyczne zmerzono 9 razy czas 10 okresów: 1,77 1,83 14,09 X 1,80 1,78 1,79 1,77 1,80 1,78 [s] Oblczone okresy drgań: 1,77 1,83 1,80 1,78 1,79 1,77 1,80 1,78 [s] T 0 = 1,77 +1, ,78 8 = 1,7933 [s] u(t 0 ) = σ(t T 0 ) n(n 1) u(t 0 ) = (1,77 1,7933) +(1,83 1,7933) +..+(1,78 1,7933) 8(8 1) = 0,00071 s 10

11 Jak szacować nepewność, gdy mamy klka pomarów a urządzene ma określoną dokładność? Np: merzymy klkukrotne grubość próbk śrubą mkrometryczną - dokładność śruby 0.01mm, oblczone odchylene standardowe wynos 0.0 wówczas jako nepewność należy przyjąć drugą wartość, ale: gdy przy pomarze np. suwmarką, jej dokładność wynos 0.1mm, a odchylene standardowe jest równe 0.0 to jako nepewność pownno sę przyjąć perwszą wartość. Zasadą jest, że za nepewność przyjmujemy zawsze wększą wartość. 11

12 Typ B pojedynczy pomar! Gdy analza statystyczna ser obserwacj jest nemożlwa dysponujemy pojedynczym pomaram, wówczas operamy sę na naukowym osądze eksperymentatora wykorzystujemy nformacje o pomarze (poprzedne dane pomarowe, wedza o merzonych obektach) oraz źródłach nepewnośc (np. nformacje o przyrządach). Nepewność maksymalna (granczna) Zakładamy, że można określć przedzał welkośc merzonej, w którym na pewno znajdze sę welkość rzeczywsta. W zapse jest nepewnoścą maksymalną ne posługujemy sę rachunkem prawdopodobeństwa. 1

13 Najczęścej ocena typu B dotyczy określena nepewnośc wynkającej ze skończonej dokładnośc przyrządów. Proste przyrządy mechanczne Przyjmuje sę, że dokładność przyrządu jest równa wartośc najmnejszej dzałk skal. u() dzałka elementarna UWAGA!! Śruba mkrometryczna: Merząc grubość kręcmy wyłączne sprzęgełkem na końcu śruby! 13

14 Pełne mlmetry Jeden obrót to 0,5 mm Śruba wskazuje: 3 mm oraz 0,18 mm 3,18 mm Połówk mlmetrów 4,93 mm Śruba wskazuje: 4 mm oraz 0,5 mm oraz 0,43 mm 14

15 Elektryczne mernk analogowe Nepewność - korzystamy z klasy przyrządu określającej własnośc mernka klasa mernka = 100 zakres Zakres pomarowy najwększa wartość jaką może zmerzyć przyrząd pomarowy przy określonym ustawenu pokrętła (klawsza, przycsku, ) Klasa przyrządu dokładność z jaką przyrząd pomarowy przekształca sygnał pomarowy na wskazane odczytywane przez obserwatora. Klasa przyrządu jest podawana przez producenta w procentach zakresu pomarowego. 15

16 Elektryczne mernk cyfrowe Nepewność jest zwykle podana w nstrukcj, jako zależna od welkośc merzonej zakresu pomarowego z : = C 1 + C zakres np. multmetr C 1 = 0.%, C = 0.1% przy pomarze oporu R= 10 k na zakrese z = 0 k da nepewność R= 0.04 k, tj. równowartość 4 dzałek elementarnych Zaleca sę zamenać nepewność maksymalną na nepewność standardową: u() = 3 16

17 Prawo przenoszena nepewnośc Wele welkośc fzycznych ne da sę zmerzyć pojedynczym przyrządem, lecz wyznacza sę metodą pomaru pośrednego. Ważnym zagadnenem jest też problem nepewnośc przypsywanej welkośc złożonej (wylczanej ze wzoru fzycznego) y = f( 1,,... n ) Nepewność standardową welkośc złożonej y = f( 1,,... n ) oblczamy z tzw. prawa przenoszena nepewnośc jako sumę geometryczną różnczek cząstkowych: u c y y y ( y) = u( 1 ) + u( ) u( n) 1 n Funkcja jednej zmennej: u(y) = dy d u() 17

18 Przykład oblczane objętośc kul Zmerzono średncę D stalowej kulk suwmarką, otrzymując wartość D =,45 mm z nepewnoścą (typu B) u(d) = 0,05 mm. Objętość kul: Nepewność objętośc kul: V = 4 3 πr3 = π 6 D3 = 7,7 mm 3 u V = d dd π 6 D3 u(d) = π D u D = 3,1416,45 0,05 mm 3 u V = 0,47 mm 3 18

19 Przykład 3 oblczane nepewnośc rezystancj wyznaczanej z prawa Ohma metodą różnczk zupełnej. Z pomarów U I wylczamy R = U I Nepewność maksymalna oporu R: gdze I I R U U R R + = I U R 1 = I U I R = I I U U I R + = 1 Nepewność względna I I U U R R + = Gdy nepewnośc maksymalne 1,,... n są małe w porównanu z wartoścam zmennych 1,,... n nepewność maksymalną welkośc y wylczamy z praw rachunku różnczkowego: n n y y y y =

20 Funkcja welu zmennych: u c y y y ( y) = u( 1 ) + u( ) u( n) 1 n Przykład 4 oblczane nepewnośc g wyznaczonego z pomaru okresu drgań długośc wahadła matematycznego. W Przykładze 1 określono wartość okresu drgań (T = 179,33 ms) oraz nepewność u(t) = 0,7 ms. Pomar długośc przymarem mlmetrowym dał wynk L = 410 mm, a u(l) oszacowano (typ B) na 1 mm. Z wzoru na okres wahadła T = π L g wyznaczono g = 4π L T g = 4 3, mm = 9890 mm (1,7933 s) s = 9,890 m s 0

21 Oblczane nepewnośc złożonej: u c (g) = 4π T u(l) + 8π L T 3 u(t) = 0,08 m s Nepewność rozszerzona: U y = k u c (y) wówczas gdy k = prawdopodobeństwo, że wynk znajduje sę w przedzale y U(y) wynos 95 %. U g = u c g = 0,056 m s? g ep g tab = 9,89 9,811 m s = 0,079 m s 1

22 Zaps nepewnośc pomaru Nepewność zapsujemy z dokładnoścą dwu cyfr znaczących. Przy zaokrąglanu do dwu cyfr znaczących nepewność granczna spowodowana zaokrąglanem wynos od 5% do 0,5% (odpowedno, dla cyfr 10 99). Taka dokładność wystarcza, gdyż ocena nepewnośc jest bardzej nedokładna. Wartość merzoną zaokrąglamy do tego samego mejsca, co nepewność. Jeżel ostatną cyfrą wynku jest zero, należy ją pozostawć, jako cyfrę znaczącą. zaps słowny: przyspeszene zemske wynos 9,890 m/s z nepewnoścą rozszerzoną 0,056 m/s zaps przy użycu symbol: g = 9,890 m/s ; U(g) = 0, 056 m/s zaps skrócony: g = 9,890 ± 0,056 m/s

23 Grafczne przedstawane wynków pomarów Wykonywane w fzyce wykresy przedstawają zależnośc funkcyjne lub węcej zmennych. W wykresach przedstawających wynk pomarów zaznaczamy punkty dośwadczalne oraz nterpretującą przebeg zjawska krzywą cągłą. Poprawny wykres mus posadać: układ os z opsem, skalą, jednostkam; punkty dośwadczalne czytelne symbole wraz ewentualnym zaznaczenem nepewnośc pomarowych krzywą gładką (najlepej pasującą do punktów zgodną z teorą!) ops określający jednoznaczne co to za wykres 3

24 W fzyce najczęścej mamy do czynena z zależnoścam: - lnowym typu y = a + b. - wykładnczym typu y = Ce a które prostują sę w układze półlogarytmcznym ln(y) = f(), - potęgowym y = C a które są lnowe w układze logarytmcznym ln(y) = f(ln), N() = N 0 e μ lnn = lnn 0 μ 4

25 Metoda najmnejszych kwadratów - regresja lnowa Często zachodz potrzeba poprowadzena prostej y = a + b jako najlepej dopasowanej do zboru punktów ( 1, y 1,, y,, n, y n ). Parametry prostej muszą być tak dobrane, aby suma różnc wartośc eksperymentalnych y oblczonych a + b była jak najmnejsza: S = n y ( a b) = mn + Aby znaleźć a oraz b korzystamy z warunku stnena mnmum funkcj zmennych: S a = 0 = 0 otrzymamy równana lnowe, które maja rozwązana: S b 5

26 W y y b W y y n a = = Z praw statystyk można wyprowadzć wyrażena na odchylena standardowe obu parametrów prostej: ( ) = n W n a u b u W S n n a u = = ) ( ) ( ) ( gdze 6

27 Przykład 5 - zastosowane regresj lnowej do prawa Hooke a Merzona jest długość sprężyny, która jest stopnowo coraz bardzej obcążana. Wykres przedstawa długość sprężyny w funkcj obcążena. Współczynnk kerunkowy prostej odpowada odwrotnośc współczynnka sprężystośc, a wyraz wolny b oznacza długość początkową sprężyny bez obcążena. 7

28 UWAGA!! Model matematyczny dopasowana mus odpowadać modelow fzycznemu. Przykładem może być prawo Ohma: U = I R czyl dopasowane mus być opsane funkcją: y = a a ne y = a + b b = 0! koneczna jest regresja lnowa jednoparametrowa 8

29 9 Regresja lnowa jednoparametrowa mn = = n y a S 0 = a S 0 = + a y = y a = = = n n a y a n 1 1 ) ( 1 1

30 30

31 31

32 3

33 co jeszcze?? 33

34 34

35 co to za wykres?? Czego dotyczy?? 35

36 36