Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Transkrypt

1 Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru newystarczające Opracowane pomarów wnno zawerać także marę ch warygodnośc, czyl nepewność pomaru. Teora nepewnośc pomaru (Rachunek nepewnośc pomaru) Teora nepewnośc pomaru to ne ścsła teora fzyczna, lecz przyblżony matematyczny ops nedoskonałośc eksperymentu. Jej metody rezultaty ne ogranczają sę do fzyk, lecz są take same lub bardzo podobne dla wszystkch nauk dośwadczalnych. Gude to Expresson of Uncertanty n Measurement - opracowany przez Mędzynarodową Organzację Normalzacyjną ISO w porozumenu z szeregem śwatowych organzacj naukowo techncznych wynk dążena do uzgodnena termnolog metod szacowana nepewnośc. Wdrażane postanoweń w naszym kraju. Rodzaje błędów pomaru Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym odchylenem wynku pomaru od wartośc rzeczywstej. Wynk kolejnego pomaru jest nny, lecz szansa uzyskana wynków tak wększych, jak mnejszych od wartośc rzeczywstej jest w przyblżenu taka sama. Rys.. Losowy rozrzut wynków pomarów wokół wartośc rzeczywstej lustrujący występowane błędu przypadkowego. Dr nż. Danuta J. Mchczyńska Dr nż. Adam. Mchczyńsk

2 Z błędem systematycznym mamy do czynena, gdy przy powtarzanu pomaru występuje ta sama różnca mędzy wynkam pomarów a wartoścą rzeczywstą, natomast rozrzut wynków poszczególnych pomarów jest newelk lub ne występuje w ogóle. Rys.. Błąd systematyczny. Błąd gruby to różnca mędzy wynkem pomaru wartoścą rzeczywstą, na ogół bardzo duża, powstała wskutek neumejętnośc użyca danego przyrządu, pomyłek przy odczytywanu zapse wynków, tp. Rys.. Błąd gruby. Błąd x x 0 Błąd to różnca pomędzy wartoścą zmerzona rzeczywstą wartość rzeczywsta - x 0 pomar - x 0 pomarów 30 pomarów 0.5 Prawdopodobeństwo ±σ 80 pomarów Rys. 4. Rozrzut wynków pomarów x wokół wartośc rzeczywstej x 0. Wynk pomarów Nepewność pomaru: - parametr zwązany z rezultatem pomaru, - charakteryzujący rozrzut wynków, - można go, w uzasadnony sposób przypsać, wartośc merzonej. Dr nż. Danuta J. Mchczyńska Dr nż. Adam. Mchczyńsk

3 Różne mary nepewnośc: - Nepewność maksymalna x staramy sę określć przedzał, w którym meszczą sę wszystke wynk pomaru x, aktualne wykonane przyszłe. Nepewność maksymalna jest marą determnstyczną, gdyż twerdzmy, że wartość prawdzwa zawarta jest na pewno w przedzale x 0 ± x. Nepewność maksymalna jest stosowana w określonych sytuacjach, np. jako mara dokładnośc elektrycznych przyrządów pomarowych. - Nepewność standardowa u(x) oszacowane odchylena standardowego - Rezultat pomaru to zmenna losowa - Jej rozrzut charakteryzuje odchylene standardowe - perwastek z średnej wartośc kwadratu różncy wartośc zmerzonej rzeczywstej - Ne znamy wartośc rzeczywstej -> ne znamy dokładnej wartośc odchylena standardowego x 0 -u x 0 x 0 +u x 0 - x x 0 + x Rys. 5. Porównane przedzałów nepewnośc pomaru określonych przy pomocy modelu statystycznego (x 0 -u;x 0 +u) determnstycznej teor nepewnośc maksymalnej (x 0 - x;x 0 + x) Nepewność typu A Wyznaczane nepewnośc w oparcu o serę wynków pomarów, przy których występuje rozrzut statystyczny nazywany jest oblczanem nepewnośc metodą A. - Wynk pomarów określamy jako wartość średną z ser pomarów. - Nepewność standardową pomaru (wyznaczena wartośc średnej) określamy podając wartość odchylena standardowego wartośc średnej. Nepewność typu B Ne występuje statystyczny rozrzut wynków (wszystke pomary dają ten sam wynk). Główną przyczyną nepewnośc pomaru jest nepewność przyrządu pomarowego (nepewność wzorcowana). Przyrząd pomarowy pownen gwarantować taką dokładność, aby wynk pomaru x różnł sę od wartośc rzeczywstej ne węcej nż o dzałkę elementarną - p x, czyl odstęp sąsadujących kresek podzałk (termometr, lnjka). Dokładność przyrządów określona przez producenta np. - dla mernków elektromagnetycznych C zakres P x 00 C klasa - dla mernków cyfrowych Dr nż. Danuta J. Mchczyńska Dr nż. Adam. Mchczyńsk 3

4 C x + C zakres p x 00 C, C - stałe podane przez producenta. Tak określona dokładność jest równoznaczna pojęcu nepewnośc maksymalnej. Nepewność będze określona wzorem: x u( x) p 3 Nepewność całkowta Nepewność całkowtą wyznaczamy uwzględnając wszystke czynnk określające nepewność tzn. nepewność wynkającą z rozrzutu statystycznego wynków pomarów, nepewność przyrządu pomarowego a także nepewność eksperymentatora. Najczęścej mamy jednak do czynena z dwoma perwszym czynnkam. Nepewność całkowtą wylczamy w oparcu o prawo dodawana dyspersj (warancj). Dla zmennych losowych nezależnych: [ ] ( x) [ u ( x) ] u ( x) u + c r p u c (x) nepewność całkowta, u r (x) nepewność oblczona z rozrzutu statystycznego ser wynków pomarów, u p (x) nepewność oblczona nną drogą nż z rozrzutu wynków (w powyższym przypadku na podstawe dokładnośc przyrządu pomarowego) Prawo przenoszena nepewnośc Wele welkośc fzyczne wyznaczane metodą pomarów pośrednch. Funkcja jednej zmennej Nepewność u(x) jest mała w porównanu z wartoścą merzoną x Funkcja welu zmennych: y u c f y u f ( x) dy ( y) u( x) dx ( x,x,x,...,x,...,x ) ( y) u( x ) 3 y x k Dr nż. Danuta J. Mchczyńska Dr nż. Adam. Mchczyńsk 4

5 Zaps wynku końcowego. Nepewność podajemy z dokładnoścą do dwóch cyfr znaczących, np.: u(g) 0,08753 m/s -> u(g) 0,09 m/s. Wynk pomaru zaokrąglamy do tego samego mejsca dzesętnego, co nepewność, np.: g 9,86637 m/s -> g 9,866 m/s 3. Zapsujemy wynk końcowy wraz z nepewnoścą jednostką, np: g 9,866 m/s ; u(g) 0,09 m/s lub g 9,866(9) m/s 4. Porównujemy otrzymany wynk z wartoścą tablcową - czy w grancach pojedynczej (podwojonej/potrojonej) nepewnośc wynk jest zgodny z wartoścą tablcową? Wzory Średna arytmetyczna: Wartość średna - estymator wartośc oczekwanej: n x sr x n Odchylene standardowe pojedynczego pomaru: n ( x xsr ) sx n Odchylene standardowe wartośc średnej: n ( x xsr ) sxsr n( n ) Średna ważona: Poszczególnym wynkom pomarów przypsujemy wag w równe kwadratow odwrotnośc ch nepewnośc: w σ Średna ważona: Nepewność średnej ważonej: u x n w x srw n ( x ) srw w n σ Dr nż. Danuta J. Mchczyńska Dr nż. Adam. Mchczyńsk 5

6 Wykresy Przy rysowanu wykresu należy stosować sę do następujących zasad:. Wykres pownen być możlwe duży (co najmnej połowa kartk A4). Wykres pownen być mnej węcej kwadratowy 3. Podzałk obu os należy dobrać tak, punkty z wynkam pomarów zajmowały całą powerzchnę wykresu. Podzałk obu os ne muszą zaczynać sę od zera. 4. Ose pownny być opsane symbolem welkośc symbolem stosowanej jednostk 5. Podzałk opsujemy zaznaczając okrągłe wartośc stosownej welkośc fzycznej, a ne wartośc otrzymane w pomarach 6. Punkty zaznaczamy możlwe dużym symbolam. Unkamy stosowana kropek jako symbol. 7. Wykresy sporządzamy ołówkem na paperze mlmetrowym lub przy użycu komputera (z zachowanem zasad -6). Wykres może ne tylko lustrować zależność mędzy merzonym welkoścam, ale równeż może być pomocny w wyznaczenu nteresującej nas welkośc. Np. wartośc okresów w funkcj perwastka z długośc wahadła układają sę na ln prostej. T, s Jej równane: T π l g jest zgodne z ogólnym równanem prostej y a x + b π gdy a ; b 0 g l^/ Istneje metoda statystyczna, tzw. metoda regresj lnowej, pozwalająca najlepej dopasować prostą do danych pomarowych. Metoda pozwala oblczyć wartość współczynnka nachylena prostej (a) jego odchylene standardowe (s(a)), jak równeż wartość wyrazu wolnego jego odchylene standardowe. Znając a u(a) s(a) można wyznaczyć przyspeszene zemske jego nepewność standardową. Dr nż. Danuta J. Mchczyńska Dr nż. Adam. Mchczyńsk 6

7 Lteratura - Ćwczena w perwszej pracown fzycznej, pod redakcją Pazdur A., skrypt uczelnany. - Respondowsk R., Laboratorum z fzyk, skrypt uczelnany. - Ćwczena laboratoryjne z fzyk, pod redakcją Nowaka M., skrypt uczelnany. - Dryńsk T., Ćwczena laboratoryjne z fzyk, PWN. - Szydłowsk H., Pracowna fzyczna, PWN. - II pracowna fzyczna, pod redakcją Kaczmarka F., WNT. - Zęba A., Natura rachunku nepewnośc pomaru a jego nowa kodyfkacja, Postępy Fzyk, tom 5, zeszyt 5, rok Gude to the Expresson of Uncertanty n Measurement, ISO,993 (Wyrażane nepewnośc pomaru. Przewodnk - wydane polske: Główny Urząd Mar, 999): - Analza nepewnośc, fragment skryptu AGH A. Zęba: - Proste przyrządy pomarowe fragment skryptu AGH A. Zęba: - Wtryna nternetowa pracown C: Wtryna nternetowa dr Mchczyńskego - Wtryna nternetowa dr Mchczyńskej Dr nż. Danuta J. Mchczyńska Dr nż. Adam. Mchczyńsk 7