3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w zbiorze X nazywamy funkcję d: X X [0, ), spełniajac a dla dowolnych x, y, z X warunki: 1 d(x, y) = 0 x = y, 2 d(x, y) = d(x, y), 3 d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Parę (X, d), gdzie d jest metryka na X, nazywamy przestrzenia metryczna W przestrzeni metrycznej możemy zdefiniować zbieżność punktów: mówimy, że ciag (x n ) n N punktów przestrzeni X jest zbieżny do x X, jeśli ciag odległości d(x, x n ) zmierza do zera: lim x n = x lim n n d(x, x n ) = 0 Metryki W przestrzeni R n najczęściej posługujemy się metryka euklidesowa: d(x, y) = n (x i y i ) 2 dla x = (x 1,, x n ), y = (y 1,, y n ) Metryka euklidesowa pochodzi od normy euklidesowej: d(x, y) = x y 2, i=1 gdzie funkcja 2 : R n R dana jest wzorem: x 2 = n x 2 i Możemy posługiwać się także innymi (równoważnymi) metrykami, na przykład: taksówkowa (Manhattan, l 1 ): i=1 n d(x, y) = x i y i, i=1 pochodzac a od normy x 1 = n i=1 x i, maksimum (supremum, l ): d(x, y) = max{ x i y i : i = 1,, n} pochodzac a od normy x = max{ x i : i = 1,, n} Istnieja także metryki nie pochodzace od norm Zbiory otwarte Niech (X, d) będzie przestrzenia metryczna Zbiór punktów odległych od ustalonego punktu x o mniej niż dany promień r nazywamy kula otwarta (o środku w x i promieniu r): B(x, r) = {y X : d(x, y) < r} 1
Zbiór U X nazywamy otwartym, jeśli każdy należacy do niego punkt, zawiera się w tym zbiorze wraz z pewna kula otwarta: B(x, r) U x U r>0 Otoczeniem punktu nazywamy dowolny zbiór otwarty do którego ten punkt należy Ciagłość W dalszej części stale zakładamy, że U R n jest zbiorem niepustym i otwartym oraz f : U R Mówimy, że funkcja f jest ciagła w p 0 U, jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że dla dowolnego punktu p U, odległego od p 0 nie więcej niż δ spełniony jest warunek f(p) f(p 0 ) < ε: (d(p, p 0 ) < δ f(p) f(p 0 ) < ε) ε>0 δ>0 p U Można pokazać, że definicja ta jest równoważna następujacej własności wypowiedzianej w języku ciagów: dla dowolnego ciagu (p n ) n N punktów zbioru U zbieżnego do p 0, wartości f(p n ) zbiegaja do f(p 0 ): lim p n = p 0 lim f(p n ) = f(p 0 ) n n Przykład (Funkcja nieciagła) Rozważmy funkcję f : R 2 R dana wzorem: xy, dla (x, y) R 2 \ {(0, 0)}, x f(x, y) = 2 +y 2 0, dla (x, y) = (0, 0) Łatwo pokazać ciagłość dla (x, y) (0, 0) W punkcie (x, y) = (0, 0) mamy zaś lim f( 1 n n, 1 n ) = lim n ( 1 n 1 1 n n ) 2 + ( 1 n) 2 = 1 2 0 = f(0, 0) 32 Różniczkowanie Różniczka w sensie Frécheta Mówimy, że odwzorowanie f : U R m jest różniczkowalne (w sensie Frécheta) w punkcie p 0 U, jeśli istnieje takie odwzorowanie liniowe D p0 f : R n R m, że f(p) f(p 0 ) D p0 f(p p 0 ) lim p p 0 p p 0 = 0 Odwzorowanie D p0 f nazywamy wówczas różniczka f w punkcie p 0 Odwzorowanie różniczkowalne w punkcie p jest w tym punkcie ciagłe Pochodne kierunkowe Pochodna kierunkowa odwzorowania f : U R w punkcie p U w kierunku wektora α R n \ {0} nazywamy granicę (o ile istnieje) f α(p) f(p + αt) f(p) = lim t 0+ t 2
Jeśli odwzorowanie f : U R jest różniczkowalne w punkcie p, to istnieje pochodna odwzorowania f w każdym kierunku Ponadto dla dowolnego wektora α R n \ {0} zachodzi równość: f α(p) = D p f(α) Przykład Rozważmy funkcję f : R 2 R dana wzorem x 3 y, dla (x, y) (0, 0), x f(x, y) = 6 +y 2 0, dla (x, y) = (0, 0) Niech p = (0, 0) oraz ustalmy a = (a 1, a 2 ) R 2 \ {(0, 0)} Mamy f(p + ta) f(p) lim t 0+ t 1 = lim t 0+ t f(ta 1, ta 2 ) f(0, 0) = lim t 0+ t ta 3 1a 2 (ta 1 ) 3 ta 2 (ta 1 ) 6 + (ta 2 ) 2 = lim t 0+ t 4 a 6 1 + a 2 2 = = 0, zatem f ma w punkcie p pochodna kierunkowa w każdym kierunku (równa 0) Jednakże dla y = αx 3, α R \ {0}, mamy lim f(x, x 3 αx 3 x 0 αx3 ) = lim x 0 x 6 + α 2 x = 6 α 1 + α 2, co oznacza, że lim (x,y) (0,0) f(x, y) nie istnieje Funkcja, która ma pochodne kierunkowe w każdym kierunku, nie musi być ciagła! Pochodne czastkowe Niech f : U R, p = (x 1,, x n ) U Granicę f(x 1,, x i 1, x i + h, x i+1,, x n ) f(x 1,, x n ) (p) = lim, h 0 h jeśli istnieje, nazywamy pochodna czastkow a funkcji f w punkcie p względem zmiennej x i Zachodzi wzór (p) = f e i (p), gdzie e i = (0,, 0, 1, 0,, 0) jest wektorem bazy kanonicznej w R n Oznacza to, że pochodne czastkowe sa pochodnymi kierunkowymi w kierunku wektorów bazy kanonicznej Pochodna czastkow a względem danej zmiennej liczymy tak jak pochodna funkcji jednej zmiennej względem dane zmiennej, pozostałe zmienne traktujac jako stałe Stosowane oznaczenia to np f x, f x, /x Na przykład dla funkcji 3 zmiennych: x, y, z, pochodne czastkowe względem kolejnych zmiennych oznaczamy także przez f x, f y, f z Gradient Wszystkie pochodne czastkowe funkcji f : U R w punkcie p U tworza wektor zwany gradientem funkcji f w punkcie p: (grad f)(p) = [ (p),, ] (p) 3
Dla funkcji f : U R, różniczkowalnej w punkcie p 0, jej wykres, czyli hiperpowierzchnia z = f(p) ma punkcie p 0 hiperpłaszczyznę styczna dana wzorem y = f(p 0 ) + (grad f)(p 0 ) T (p p 0 ) Gradient wyznacza kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w danym punkcie Gradient funkcji f w punkcie p 0 jest prostopadły do stycznej do krzywej f(p) = f(p 0 ) w punkcie p 0 Pochodna odwzorowania Jeśli funkcja f : U R m, f = (f 1,, f m ), ma w punkcie p U wszystkie pochodne czastkowe wszystkich składowych, to macierz 1 (p) 1 (p) 1 (p) 2 f (p) 2 (p) 2 (p) (p) = m (p) m (p) m (p) nazywamy pochodna odwzorowania f Pochodna złożenia funkcji spełnia równość (macierzowa): (f g) (p) = f (g(p))g (p) Pochodna a różniczka Jeśli odwzorowanie f : U R m, f = (f 1, f m ), jest różniczkowalne w punkcie x = (x 1,, x n ) U, to dla dowolnego h = (h 1,, h n ) R n zachodzi wzór 1 2 D x f(h) = m W zapisie macierzowym: 1 1 2 2 m m D x f(h) = f h h 1 h 2 h n Jeśli odwzorowanie f : U R m ma w x U ciagłe pochodne czastkowe, to ma różniczkę w x i zachodzi powyższy wzór Lokalna odwracalność odwzorowań Jeśli m = n, to wyznacznik J = det f nazywamy jakobianem odwzorowania f w punkcie x Załóżmy, że f : U R n ma w pewnym otoczeniu punktu x U ciagłe pochodne czastkowe oraz J 0 Wówczas: 1 istnieja takie otoczenia U x U i V f punktów x i f, że f odwzorowuje U x na V f różnowartościowo, 2 odwzorowanie f 1 : V f U x ma ciagłe pochodne czastkowe, 4
3 (f 1 ) (f) = [f ] 1 Pochodne czastkowe wyższych rzędów Ponieważ pochodne czastkowe sa funkcjami tych samych zmiennych, możemy dla nich również liczyć pochodne czastkowe względem tych samych zmiennych Pochodna czast- kowa funkcji x względem zmiennej x oznaczamy przez x lub f 2 xx i nazywamy pochodna czastkow a rzędu drugiego funkcji f względem x Podobnie, pochodna czastkow a funkcji względem zmiennej y oznaczamy x przez yx lub f yx Pochodne czastkowe względem różnych zmiennych nazywamy pochodnymi mieszanymi Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, na przykład: 3 f y = ( ( )) x x y Przykład Dla funkcji mamy f(x, y, z) = x 2 ln(y) sin(z), f x (x, y, z) = 2x ln(y) sin(z), f y (x, y, z) = x2 y sin(z), f z (x, y, z) = x 2 ln(y) cos(z), i dalej (dla skrócenia zapisu opuścimy argumenty po lewej stronie) f xx = 2 ln(y) sin(z), f xy = 2x y sin(z), f xz = 2x ln(y) cos(z), f yx = 2x y sin(z), f zx = 2x ln(y) cos(z), f yy = x2 y 2 sin(z), f zy = x2 y cos(z), f yz = x2 y cos(z), f zz = x 2 ln(y) sin(z), Twierdzenie (Schwartza) Jeśli funkcja f : U R ma w zbiorze U pochodne mieszane, i, j {1,, n}, i j, oraz są one ciągłe w punkcie x U, x j to = x j x j Hesjan Macierz drugich pochodnych czastkowych nazywamy hesjanem (macierza Hessego) 1 2 f H f = 2 n 5
Z twierdzenia Schwartza wynika, że jeśli pochodne mieszane sa ciagłe, to macierz ta jest symetryczna Druga różniczka Załóżmy, że funkcja f : U R ma ciagłe pochodne czastkowe rzędu drugiego w punkcie x U Wprowadzamy odwzorowanie Dxf 2 : R n R n R: n n Dxf(h 2 1, h 2 ) = h T 1 H f h 2 = h 1i h 2j x j i=1 j=1 Jest to odwzorowanie dwuliniowe i symetryczne, indukowane przez macierz Hessego H f Będziemy je nazywać druga różniczka f w punkcie x Różniczki wyższych rzędów Twierdzenie Taylora Załóżmy, że funkcja f : U R ma ciagłe pochodne czastkowe rzędu k w punkcie x U Możemy wprowadzić k-ta różniczkę: Dxf k : R n R n R, wzorem: }{{} k razy n n Dxf(h k k f 1,, h k ) = h 1,i1 h k,ik i 1 =1 i k =1 1 k Wprowadzamy dodatkowe oznaczenie: D k xf(h) = D k xf(h,, h) Twierdzenie Taylora Załóżmy (dodatkowo do tego co powyżej), że odcinek domknięty o końcach x i x + h zawiera się w U Wtedy istnieje taka liczba θ (0, 1), że f(x + h) = f + D xf(h) 1! + D2 xf(h) 2! 33 Ekstrema funkcji wielu zmiennych + + Dn 1 x f(h) (n 1)! + Dn x+θhf(h) n! Mówimy, że funkcja f : U R ma w punkcie p 0 maksimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie U 0 U punktu p 0, że dla x U 0 zachodzi f f(p 0 ) Dla definicji minimum lokalnego musimy ostatnia nierówność zastapić przez: f f(p 0 ) Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeśli f : U R ma w punkcie p 0 U ekstremum lokalne i jest różniczkowalna w p 0, to (p 0 ) = 0, i = 1,, n Przypomnienie: określoność macierzy Symetryczna macierz A stopnia n nazywamy: dodatnio, nieujemnie, niedodatnio, ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednio x T Ax > 0, x T Ax 0, x T Ax 0, x T Ax < 0 dla każdego niezerowego x R n 6
Macierz jest określona, gdy jest dodatnio lub ujemnie określona Macierz jest półokreślona, gdy nie jest dodatnio lub ujemnie określona, lecz jest nieujemnie lub niedodatnio określona Macierz jest nieokreślona, gdy nie jest nieujemnie lub niedodatnio określona k-tym wiodacym minorem głównym M k macierzy A nazywamy wyznacznik podmacierzy [a ij ] ij=1,,k : a M 1 = a 11, M 2 = 11 a a 11 a 1k 12 a 21 a 22,, M k = a k1 a kk Twierdzenie (Kryterium Sylvestera) Symetryczna macierz A jest dodatnio (nieujemnie) określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wiodące minory główne są dodatnie (nieujemne) Symetryczna macierz A jest ujemnie (niedodatnio), jeśli: wszystkie nieparzyste wiodące minory główne są ujemne (niedodatnie) oraz wszystkie parzyste wiodące minory główne są dodatnie (nieujemne) Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum Załóżmy, że p 0 U, funkcja f : U R ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne czast- kowe rzędu drugiego oraz (p 0 ) = 0 dla i = 1,, n Jeśli macierz Hes- sego H f (p 0 ) funkcji f w punkcie p 0 jest dodatnio określona, to w punkcie p 0 funkcja f ma minimum lokalne, ujemnie określona, to w punkcie p 0 funkcja f ma maksimum lokalne Jeśli macierz H f (p 0 ) jest nieokreślona, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie p 0 Uwaga: powyższe kryterium nie rozstrzyga kwestii istnienia ekstremum w sytuacji, gdy macierz H f (p 0 ) jest półokreślona Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum dla n = 2 Załóżmy, że U R 2 jest niepustym zbiorem otwartym, p 0 U, funkcja f : U R ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne czastkowe rzędu drugiego oraz (p x 0) = 0, (p y 0) = 0 Niech W (p 0 ) = (p 0) y 2 (p 0) ( 2 ) 2 f xy (p 0) Jeśli W (p 0 ) > 0 oraz (p 0 ) > 0, to funkcja f ma w punkcie p 0 minimum lokalne, (p 0 ) < 0, to funkcja f ma w punkcie p 0 maksimum lokalne Jeśli W (p 0 ) < 0, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie p 0 Uwaga: powyższe kryterium nie rozstrzyga kwestii istnienia ekstremum w sytuacji, gdy W (p 0 ) = 0; należy tę kwestię rozstrzygnać innymi metodami 7
34 Ekstrema warunkowe Niech g : R n R m, g = (g 1,, g m ), m < n, będzie funkcja, którego składowe maja ciagłe pochodne czastkowe, i taka, że zbiór M = {x R n : g = 0} jest niepusty Składowe funkcji g nazywamy warunkami Załóżmy, że U R n jest zbiorem otwartym, M U oraz funkcja f : U R ma ciagłe pochodne czastkowe drugiego rzędu Mówimy, że funkcja f ma w p 0 M lokalne ekstremum warunkowe (zwiazane) przy warunku M, jeśli funkcja f zacieśniona do zbioru M ma lokalne ekstremum w punkcie p 0 Metoda czynnika nieoznaczonego Lagrange a Załóżmy, że dla x M rzad macierzy g jest równy m: g 1 g x rz g 1 1 = rz = m g m g m Jeśli funkcja f ma w punkcie p 0 M lokalne ekstremum warunkowe, to istnieja takie stałe rzeczywiste λ 1,, λ m, że (p 0 ) = m j=1 λ j g j (p 0 ), i = 1,, n (Uwaga: Dla m = 1 powyższy warunek oznacza, że (grad g)(p 0 ) 0) Powyższe twierdzenie sugeruje następujace podejście: 1 Definiujemy funkcjonał Lagrange a: m L = f + λ j g j j=1 2 Liczymy jego pochodne czastkowe: L = + m j=1 λ j g x j, i = 1,, m 3 Punkty, które spełniaja układ równań (n + m równań z n + m niewiadomymi): L = 0, i = 1,, n, g j = 0, j = 1,, m sa podejrzane o bycie lokalnymi ekstremami warunkowymi 8
Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego Aby stwierdzić, czy dany punkt jest lokalnym ekstremum warunkowym możemy posłużyć się tym samym kryterium co w przypadku ekstremów bezwarunkowych: ekstrema bezwarunkowe funkcjonału Lagrange a L będa ekstremami warunkowymi f przy warunkach g Jednakże mamy silniejsze (choć nieco trudniejsze) kryterium Załóżmy, że p 0 U, funkcja f : U R ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne czastkowe rzędu drugiego oraz L (p 0 ) = 0 dla i = 1,, n oraz g j = 0, j = 1,, m oraz Przypomnijmy, że dla h = (h 1,, h n ) R n mamy D p0 g j (h) = n i=1 D 2 p 0 L(h) = g j (p 0 )h i, j = 1,, m, n i,j=1 2 L x j (p 0 )h i h j Oznaczmy przez T M p0 zbiór (hiperprzestrzeń styczna do M w p 0 ): T M p0 = {h = (h 1,, h n ) R n : D p0 g j (h) = 0, j = 1,, m} Jeśli dla h T M p0 \ {0} zachodzi nierówność: 1 Dp 2 0 L(h) > 0, to w punkcie p 0 funkcja f ma lokalne minimum warunkowe, 2 Dp 2 0 L(h) < 0, to w punkcie p 0 funkcja f ma lokalne maksimum warunkowe Jeśli istnieja takie wektory h, k T M p0 \{0}, że Dp 2 0 L(h) > 0 oraz Dp 2 0 L(k) < 0, to funkcja f nie ma lokalnego ekstremum warunkowego w punkcie p 0 Uwaga: powyższe kryterium w dalszym ciagu nie rozstrzyga kwestii istnienia ekstremum warunkowego w sytuacji, gdy Dp 2 0 L(h) = 0 dla pewnych h T M p0 \ {0} 9