(c) Wykazać, że (X, ϱ) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest spójna, j = 1,..., N.

Transkrypt

1 1. Przestrzenie metryczne Zadanie 1.1. Czy może się zdarzyć, że B(a, r) B(a, r)? Zadanie 1.2. Czy może się zdarzyć, że kula nie jest zbiorem spójnym? Zadanie 1.3. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną oraz niech f : R + R, f 0, będzie funkcją spełniającą warunki f(0) = 0, jeśli x y, to f(x) f(y) dla dowolnych x, y R +, f(x + y) f(x) + f(y) dla dowolnych x, y R +. Wykazać, że (X, f d) jest przestrzenią metryczną. Zadanie 1.4. Niech ϕ : R + R będzie funkcją niemalejącą, wklęsłą i taką, że ϕ(ξ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ξ = 0. Ponadto, niech d będzie dowolną metryką w R. (a) Wykazać, że ϕ d jest metryką w R. (b) Wykazać w szczególności, że min{d, 1} jest metryką w R. (c) Czy metryki d i ϕ d muszą być równoważne? Zadanie 1.5. Wykazać, że metryki porównywalne są równoważne, ale nie na odwrót. Zadanie 1.6. Niech X będzie dowolnym zbiorem, zaś (Y, d) przestrzenią metryczną. Czy w zbiorze A := {f : X Y } można wprowadzić metrykę ϱ tak, aby zbieżność jednostajna w A była równoważna ze zbieżnością w metryce ϱ? Zadanie 1.7. Jakie związki zachodzą pomiędzy zbieżnościami punktową, niemal jednostajną, lokalnie jednostajną i jednostajną? Zadanie 1.8. Niech d 1, d 2 będą równoważnymi metrykami na X. Czy jeśli przestrzeń (X, d 1 ) jest zupełna, to (X, d 2 ) też jest przestrzenią zupełną? Zadanie 1.9. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną zwartą oraz niech odwzorowanie f : X X spełnia warunek d(f(x), f(y)) < d(x, y) dla dowolnych punktów x, y X, x y. Wykazać, że istnieje dokładnie jeden punkt x X taki, że f(x) = x. Zadanie Wykazać, że jednostajna ciągłość jest własnością metryczną (tzn. niezmienniczą wzgędem metryk porównywalnych). Czy jest też własnością topologiczną (tzn. niezmienniczą względem metryk rownoważnych)? Zadanie Wykazać, że odwzorowania spełniające warunek Höldera są jednostajnie ciągłe, ale nie odwrotnie. Zadanie Czy jeśli f jest homeomorfizmem spełniającym warunek Höldera, to f 1 także spełnia warunek Höldera? Zadanie Niech (X, ϱ), (Y, d) będą przestrzeniami metrycznymi i niech f : X Y będzie homeomorfizmem spełniającym warunek Höldera. Wykazać, że jeśli (Y, d) jest przestrzenią zupełną, to (X, ϱ) też jest przestrzenią zupełną. Zadanie Niech (X j, ϱ j ) będzie przestrzenią metryczną, j = 1,..., N, X := X 1 X N i niech N ϱ(x, y) := ϱ j (x j, y j ), x = (x 1,..., x N ), y = (y 1,..., y N ) X. j=1 (a) Wykazać, że (X, ϱ) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest zwarta, j = 1,..., N, (b) Wykazać, że (X, ϱ) jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest zupełna, j = 1,..., N, (c) Wykazać, że (X, ϱ) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest spójna, j = 1,..., N. Zadanie Wykazać, że przestrzeń metryczna (X, d) zupełna i całkowicie ograniczona (tzn. dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje skończony zbiór S X taki, że X s S B(s, ε)) jest zwarta. Zadanie Dla przestrzeni metrycznej (X, ϱ) niech F oznacza rodzinę wszystkich niepustych domkniętych i ograniczonych podzbiorów X. Niech { } h(a, B) := max sup{ϱ(x, B) : x A}, sup{ϱ(y, A) : y B}, A, B F.

2 (a) Wykazać, że (F, h) jest przestrzenią metryczną (h nazywamy metryką Hausdorffa). (b) Niech A X będzie ustalonym niepustym zbiorem zwartym i niech K(A) := {K F : K A}. Wykazać, że (K, h) jest przestrzenią zwartą.

3 Zadanie 2.1. Niech f(x, y) := 2. Funkcje ciągłe, oddzielnie ciągłe i półciągłe { xy 2 x 2 +y, gdy (x, y) (0, 0) 4, g(x, y) := 0, gdy (x, y) = (0, 0), Wykazać, że (1) funkcja f jest ograniczona na R 2, (2) funkcja g nie jest ograniczona w żadnym otoczeniu punktu (0, 0), (3) funkcja f nie jest ciągła w punkcie (0, 0), (4) jeśli l R 2 jest dowolną prostą, to f l, g l są funkcjami ciągłymi. Zadanie 2.2. Czy istnieją granice { xy 2 x 2 +y 6, gdy (x, y) (0, 0) 0, gdy (x, y) = (0, 0),. xy (1) lim (x,y) (0,0) x 2, (2) lim + y2 (x,y) (0,0) (x2 + y 2 ) x 2 y 2? Zadanie 2.3. Czy istnieje funkcja f : R 2 R oraz punkty a, b R takie, że granice lim (lim f(x, y)), lim x a y b ( lim f(x, y)) y b x a istnieją, ale są różne? Czy może się zdarzyć, że tylko jedna z tych granic istnieje? Zadanie 2.4. Niech f będzie funkcją określoną w otoczeniu pewnego punktu (a, b) R 2. Czy jeśli granica lim f(x, y) (x,y) (a,b) istnieje, to istnieją granice lim (lim f(x, y)), lim( lim f(x, y))? x a y b y b x a Zadanie 2.5. Niech n N. Czy istnieje funkcja f : R n R nieciągła w każdym punkcie x R n? Zadanie 2.6. Niech θ : R 2 \ (, 0] ( π, π), arc tg y x, gdy x > 0 π θ(x, y) := 2 arc tg x y, gdy x 0, y > 0. π 2 arc tg x y, gdy x 0, y < 0 Wykazać, że funkcja θ jest ciągła, ale nie można rozszerzyć jej w sposób ciągły na (R 2 ). Zadanie 2.7. Zbadać ciągłość jednostajną funkcji f(x, y) = x 2 + y 2, (x, y) R 2. Zadanie 2.8. Niech f : R 2 R będzie funkcją ciągłą i taką, że zbiory f 1 (0), f 1 (1) są ośmioelementowe. Wyznaczyć f(r 2 ). Zadanie 2.9. Czy funkcja f : R 2 R oddzielnie ciągła i taka, że funkcje f(x, ) i f(, x) są jednostajnie ciągłe dla dowolnego punktu x R, jest ciągła? Co, jeśli zastąpimy jednostajną ciągłość monotonicznością? Zadanie Wykazać, że dla dowolnej funkcji g : R R istnieje oddzielnie ciągła funkcja f : R N R taka, że f(x, x,... ) = g(x), x R. Zadanie Niech X będzie przestrzenią topologiczną zwartą i niech rodzina {f i : i I} C (X, R + ) będzie taka, że dla dowolnych indeksów i, j I istnieje indeks k I taki, że f k f i i f k f j. Załóżmy, że inf i I f i = 0. Wykazać, że dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje indeks i 0 I taki, że f i0 < ε. Zadanie Niech X będzie przestrzenią topologiczną zwartą i niech rodzina {f i : i I} C (X, [, + )) będzie taka, że dla dowolnych indeksów i, j I istnieje indeks k I taki, że f k f i i f k f j. Wykazać, że inf sup f i (x) = sup inf f i(x). i I x X x X i I

4 3. Przestrzenie unormowane Zadanie 3.1. Dla x, y R n niech x y = d > 0 i r > 0, gdzie oznacza normę euklidesową w R n. Wykazać, że dla n 3 (1) jeśli 2r > d, to istnieje nieskończenie wiele z R n takich, że (3.1) z x = z y = r; (2) jeśli 2r = d, to istnieje dokładnie jeden z R n spełniający (3.1); (3) jeśli 2r < d, to nie istnieje z R n spełniający (3.1). W jaki sposób należy zmodyfikować te twierdzenia w przypadku n {1, 2}? Zadanie 3.2. Niech a, b R n. Znaleźć c R n i r > 0 tak, aby dla dowolnego x R n gdzie oznacza normę euklidesową. x a = 2 x b x c = r, Zadanie 3.3. Czy każda metryka jest generowana przez normę? Zadanie 3.4. Niech E := C([0, 1], R) i niech f := 1 0 f(x) dx, f E. Wykazać, że jest normą na E. Czy (E, ) jest przestrzenią Banacha? Zadanie 3.5. Dla p R, p 1, niech } ( ) 1/p l p K {(a := n ) n=1 K : a n p <, (a n ) n=1 p := a n p, (a n ) n=1 l p K. n=1 Wykazać, że p jest normą oraz że (l p K, p) jest przestrzenią Banacha. Zadanie 3.6. Niech Wykazać, że l K jest normą w przestrzeni l K normą. n=1 := {(a n ) n=1 K : sup{ a n : n N} < + }, c K := {(a n ) n=1 l K : ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny}, c 0 K := {(a n ) n=1 c K : ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny do zera}, c K := {(a n ) n=1 c 0 K : N N n>n : a n = 0}. (a n ) n=1 := sup a n, (a n ) n=1 l K, n N oraz zbadać zwartość, zupełność i ośrodkowość powyższych przestrzeni z Zadanie 3.7. Czy istnieją przestrzeń Banacha E oraz podprzestrzeń F E kowymiaru 1, która nie jest przestrzenią Banacha? Zadanie 3.8. Czy operator B(R) f Zadanie 3.9. Obliczyć normę operatora L L sup f(r) inf f(r) R jest R-liniowy? (1) R 2 (x, y) (ax + by, cx + dy) R 2, a, b, c, d R, (2) C([0, 1], R) f ϕ 2f(0) f(1) R, (3) c R (a n ) F a 1 lim n a n R. Zadanie Podać przykład zbioru X oraz nierównoważnych norm 1, 2 na X takich, że przestrzeń (X, j ) jest przestrzenią Banacha, j = 1, 2. Zadanie Niech E, F będą unormowanymi przestrzeniami wektorowymi nad K oraz niech L Hom K (E, F ) spełnia warunki ker L = ker L i dim L(E) =: N N. Wykazać, że L L(E, F ). Zadanie Niech E będzie przestrzenią unormowaną taką, że E = E. Wykazać, że E jest przestrzenią Banacha. Zadanie Niech E będzie przestrzenią unormowaną taką, że każda jej właściwa podprzestrzeń jest przestrzenią Banacha. Wykazać, że E jest przestrzenią Banacha.

5 4. Przestrzenie unitarne, rodziny sumowalne, algebry Banacha Zadanie 4.1. Niech E {0}, F {0} i G {0} będą przestrzeniami unormowanymi i niech L(F, G) L(E, F ) (Q, P ) B Q P L(E, G). Wyznaczyć B, jeśli w iloczynie kartezjańskim rozważamy normę maksimum. Zadanie 4.2. Wykazać, że przestrzenie C([0, 1], R) oraz l K unitarnymi. z normą supremum nie są przestrzeniami Zadanie 4.3. Wykazać, że każdy niepusty domknięty wypukły podzbiór przestrzeni Hilberta zawiera dokładnie jeden element o najmniejszej normie. Zadanie 4.4. Niech H będzie przestrzenią Hilberta oraz niech X H będzie przestrzenią liniową. Wykazać, że X = H wtedy i tylko wtedy, gdy X = {0}. Zadanie 4.5. Niech X, I będą niepustymi zbiorami, niech E {0} będzie przestrzenią Banacha i niech (f i ) i I S(I, E X ). Wykazać, że funkcja f I jest wyznaczona jednoznacznie. Zadanie 4.6. Niech X, I będą niepustymi zbiorami, niech E {0} będzie przestrzenią Banacha i niech (f i (x)) i I S(I, E), x X. Czy (f i ) i I S(I, E X )? Zadanie 4.7. Niech X, I będą niepustymi zbiorami, niech E {0} będzie przestrzenią Banacha i niech (f i ) i I S(I, E X ) oraz f A C dla dowolnego A F(I). Wykazać, że f I C. Zadanie 4.8. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, x 0 X, niech I będzie niepustym zbiorem, niech E {0} będzie przestrzenią Banacha, (f i ) i I S(I, E X ) oraz niech każda funkcja f i jest ciągła w x 0. Wykazać, że suma f I jest ciągła w x 0. Zadanie 4.9. Niech A będzie algebrą Banacha z jedynką e i niech x A. Wykazać, że zbiór jest zwarty i λ x dla każdego λ σ(x). σ(x) := {λ K : x λe / O(A)} Zadanie Podzbiór I przemiennej algebry A nazywamy ideałem, gdy I jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni A oraz AI I. Ideał I nazywamy właściwym, jeśli I A. Ideał I nazywamy maksymalnym, jeśli I jest właściwy i nie zawiera się w żadnym, różnym od I, ideale właściwym algebry A. Wykazać, że jeśli A jest przemienną algebrą z jedynką, to każdy ideał właściwy tej algebry jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. Jeśli ponadto A jest algebrą Banacha, to każdy jej ideał maksymalny jest domknięty. Zadanie Niech A będzie przemienną algebrą Banacha z jedynką i niech J będzie jej domkniętym ideałem właściwym. Wykazać, że A/J jest przemienną algebrą Banacha z jedynką.

6 5. Pochodne kierunkowe Zadanie 5.1. Czy istnieje funkcja mająca różniczkę Gâteaux w punkcie, w którym jest nieciągła? Zadanie 5.2. Czy istnienie pochodnych cząstkowych w pewnym punkcie gwarantuje istnienie w tym punkcie pochodnych kierunkowych w innych kierunkach? Zadanie 5.3. Czy istnieją przestrzenie unormowane E, F, zbiór otwarty Ω E, odwzorowanie f : Ω F, punkt a Ω takie, że f ma w punkcie a wszystkie pochodne kierunkowe, ale f nie jest różniczkowalne w a w sensie Gâteaux? Zadanie 5.4. Niech f(x, y) := Wykazać, że (1) f, f x, f x są ciągłe na R2 ; 2 f (2) x y i 2 f (3) 2 f (0, 0) = 1, x y { xy(x 2 y 2 ) x 2 +y 2, gdy (x, y) (0, 0) 0, gdy (x, y) = (0, 0), (x, y) R2. y x istnieją w R2, ale nie są ciągłe na R 2 ; 2 f (0, 0) = 1. y x Zadanie 5.5. Czy funkcja f : D R, gdzie D R 2 jest obszarem wypukłym, mająca ograniczone pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, jest w tym obszarze jednostajnie ciągła? Co, jeśli usuniemy założenie o wypukłości D? Zadanie 5.6. Niech D R n f będzie obszarem wypukłym i niech f : D R. Pokazać, że jeśli 0, x 1 to f nie zależy od zmiennej x 1. Wykazać, że wypukłość zbioru może być zastąpiona słabszym warunkiem, ale pewien warunek trzeba narzucić. Zadanie 5.7. Wykazać, że istnienie (a nawet ciągłość) 2 f x y nie pociąga istnienia f x. Zadanie 5.8. Niech E R n jest zbiorem otwartym. Czy funkcja f : E R mająca ograniczone pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, jest w tym obszarze ciągła? Zadanie 5.9. Dla t 0 niech x, gdy 0 x t ϕ(x, t) := x + 2 t, gdy t x 2 t, (x, t) R R +. 0, w pozostałych punktach Niech ϕ(x, t) = ϕ(x, t ) dla t < 0. Wykazać, że ϕ C(R 2 ) oraz że ϕ (x, 0) = 0, x R. Niech t Wykazać, że f(t) = t dla t < 1 4, zatem f(t) := f (0) ϕ(x, t) dx. ϕ (x, 0) dx. t

7 6. Różniczkowanie odwzorowań określonych w przestrzeni unormowanej Zadanie 6.1. Czy istnieje funkcja różniczkowalna w punkcie w sensie Gâteaux, która nie jest w tym punkcie różniczkowalna? Zadanie 6.2. Czy istnieje funkcja ciągła i różniczkowalna w punkcie w sensie Gâteaux, która nie jest w tym punkcie różniczkowalna? Zadanie 6.3. Czy składanie odwzorowań zachowuje różniczkowalność w sensie Gâteaux? Zadanie 6.4. Podać przykład różniczkowalnej funkcji f : R n R, która nie ma pochodnych cząstkowych ciągłych. Zadanie 6.5. Niech f(x, y) := { x 3 x 2 +y 2, gdy (x, y) (0, 0) 0, gdy (x, y) = (0, 0), (x, y) R2. (1) Wykazać, że f x, f y są ograniczone w R2 (stąd f C(R 2, R)). (2) Wykazać, że jeśli u R 2, u = 1, to istnieje f u (0, 0), oraz f u (0, 0) 1. (3) Niech γ D(R, R 2 ), γ(0) = (0, 0) oraz γ (t) > 0 dla wszystkich t γ 1 {(0, 0)}. Niech g(t) := f(γ(t)). Wykazać, że g D(R, R). Ponadto, jeśli γ C 1 (R, R 2 ), to g C 1 (R, R). (4) Wykazać, że f nie jest różniczkowalna w (0, 0). Zadanie 6.6. Obliczyć pochodną funkcjonału l R (x n ) n N F ( inf n N x n) 2 R w punkcie ( ( 1) n n 1) n N oraz jej normę. W przestrzeni l R Zadanie 6.7. Czy odwzorowanie C([0, 1], (0, 1)) f F f(1) f(0) rozważamy normę supremum. f(t) dt R jest różniczkowalne? Zbiór C([0, 1], (0, 1)) traktujemy jako podzbiór przestrzeni unormowanej C([0, 1], R) z normą supremum. Zadanie 6.8. Obliczyć różniczki cząstkowe w kierunku przestrzeni C([0, 1], R) i R oraz zbadać różniczkowalność odwzorowania C 1 ([0, 1], R) (0, 1) (f, x) F f(x) R. Dla funkcji z klasy C 1 ([0, 1], R) pochodne w punktach 0 i 1 rozumiemy jako pochodne jednostronne. Zbiór C 1 ([0, 1], R) (0, 1) traktujemy jako podzbiór przestrzeni unormowanej C([0, 1], R) R z normą maksimum (w C([0, 1], R) rozważamy normę supremum). Zadanie 6.9. Funkcję f : R n R nazywamy jednorodną stopnia m N, jeżeli (6.2) f(tx) = t m f(x), x R n, t R. Niech f D(R n ). Pokazać, że jeśli f jest funkcją jednorodną stopnia m, to n f p j = mf, e j j=1 gdzie R n p j (x 1,..., x n ) xj R, j = 1,..., n. Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe? Co, jeśli osłabimy definicję jednorodności zakładając równość (6.2) tylko dla t > 0? Zadanie Dowieść, że jeżeli f C 1 (R n ) oraz f(0) = 0, to istnieją funkcje g j C(R n ) takie, że n f(x) = x j g j (x), x R n. j=1 Zadanie Niech H będzie przestrzenią Hilberta nad K. Wyznaczyć punkty, w których odwzorowanie H x F x 2 R jest różniczkowalne oraz normę pochodnej w tych punktach. Norma pochodzi od iloczynu skalarnego w H. oraz obliczyć normę po- Zadanie Zbadać, w jakich punktach różniczkowalna jest norma w l K chodnej normy w tych punktach, w których ona istnieje.

8 Zadanie 7.1. Wykazać, że odwzorowanie 7. Pochodne wyższych rzędów B(R) f F f 2 (1) f(0) R, jest nieskończenie wiele razy różniczkowalne oraz obliczyć jego pochodną dowolnego rzędu. Zadanie 7.2. Wyznaczyć ilość składowych spójnych zbioru Isom(R n ). Zadanie 7.3. Niech k N, niech E, F będą przestrzeniami unormowanymi nad K i niech będzie dane wzorem Ξ(Q)(x 1,..., x k ) := 1 k! Ξ : H k (E, F ) L k s(e, F ) ε 1,...,ε k {0,1} gdzie Q H k (E, F ), x 1,..., x k E. Wyznaczyć Ξ. ( 1) k (ε1+ +ε k) Q(ε 1 x ε k x k ), Zadanie 7.4. Niech k N, niech E, F, G, H będą przestrzeniami unormowanymi, niech Ω E będzie zbiorem otwartym oraz niech a Ω. Ponadto, niech f D k (Ω, F ; a), g D k (Ω, G; a) i B L(F, G; H). Wiadomo, że B(f, g) D k (Ω, H; a). Podać wzór na (B(f, g)) (k) (a)(h 1,..., h k ), h 1,..., h k E. Zadanie 7.5. Niech k N, niech E, F, G będą przestrzeniami unormowanymi i niech Ω E, U G będą zbiorami otwartymi. Wykazać, że (a) jeśli f C k (Ω, F ), g C k (Ω, G) i B L(F, G; H), to B(f, g) C k (Ω, H); (b) jeśli ϕ C k (U, E), f C k (Ω, F ), to f ϕ C k (U, F ). Zadanie 7.6. Niech E będzie przestrzenią unormowaną, niech D E będzie obszarem i niech n ρ i D(x, y) := inf x j x j 1, x, y D, j=1 gdzie infimum jest brane po wszystkich łamanych [x 0,..., x n ] D łączących x i y. Wykazać, że funkcja ρ i D : D D R + jest metryką (zwaną metryką wewnętrzną obszaru D). Zadanie 7.7. Wykazać, że istnieje ograniczony obszar D R 2 taki, że metryka wewnętrzna ρ i D nie jest funkcją ograniczoną. Zadanie 7.8. Niech k N, niech E będzie przestrzenią unormowaną, D E niech będzie obszarem ρ i D-ograniczonym i niech F będzie przestrzenią Banacha. Wykazać, że BD k (D, F ) := {f D k (D, F ) B(D, F ) : f (j) B(D, L j (E, F )), j = 1,..., k}, BC k (D, F ) := {f C k (D, F ) B(D, F ) : f (j) B(D, L j (E, F )), j = 1,..., k} są przestrzeniami Banacha, jeśli rozpatrujemy w nich normę k 1 f x0,x 1,...,x k 1,k := f (j) (x j ) + sup{ f (k) (x) : x D}, f BD k (D, F ), j=0 gdzie x 0, x 1,..., x k 1 D są ustalonymi punktami.

9 8. Ekstrema lokalne Zadanie 8.1. Niech E będzie przestrzenią unormowaną i niech Q H k (E, R). Wykazać, że jeśli dim E =, to dodatnia określoność Q nie musi implikować silnej dodatniej określoności Q. Zadanie 8.2. Czy dla nieujemnej określoności symetrycznej formy Q = [Q j,k ] j,k=1,...,n H 2 (R n, R) wystarczy, że det[q j,k ] j,k=1,...,s 0 dla s = 1,..., n? Zadanie 8.3. Niech E będzie przestrzenią unormowaną, Ω E niech będzie zbiorem otwartym i niech f D 2 (Ω). Wykazać, że funkcja f jest wypukła (tzn. dla dowolnego segmentu [a, b] Ω, funkcja [0, 1] t g a,b f(a + t(b a)) R jest wypukła) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego x Ω druga różniczka f (x) jest nieujemnie określona. Zadanie 8.4. Dla jakich n istnieje funkcja f C(R n ) mająca nieskończenie wiele silnych maksimów lokalnych i żadnego słabego minimum lokalnego? Zadanie 8.5. Niech funkcja f C(R 2 ) ma w punkcie (x 0, y 0 ) silne minimum lokalne wzdłuż każdej prostej przechodzącej przez ten punkt. Czy f musi mieć w (x 0, y 0 ) silne ekstremum lokalne? Zadanie 8.6. Niech funkcja f D(R n ) ma silne minimum lokalne w 0 oraz (f ) 1 (0) = 0. Czy f ma minimum globalne w 0? Zadanie 8.7. Wyznaczyć ewentualne ekstrema lokalne poniższych funkcji (a) f(x, y) = x 3 + 8y 3 6xy + 5, (b) f(x, y) = 2 + (x 1) 4 (y + 1) 6, (c) f(x, y) = 5x 2 + y 3, (d) f(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 2xy 2yz 2, n n (e) f(x 1,..., x n ) = x j j (1 jx j ), x j > 0, j = 1,..., n, j=1 (f) f(x 1,..., x n ) = x 1 + n j=2 Zadanie 8.8. Czy funkcja ma ekstrema lokalne? j=1 x j + 2, x j > 0, j = 1,..., n. x j 1 x n l 1 R (x n ) n=1 f ( 1 n x2 n + xn) 3 R n=1 Zadanie 8.9. Niech (a j, b j ) R 2, j = 1, 2, 3, będą trzema niewspółliniowymi punktami. Znaleźć punkt płaszczyzny R 2, dla którego suma odległości od danych punktów jest najmniejsza. Zadanie Wyznaczyć płaszczyznę przechodzącą przez punkt w R 3 tak, aby ostrosłup utworzony przez tę płaszczyznę oraz płaszczyzny układu współrzędnych miał najmniejszą objętość. Zadanie Między liczby a, b, gdzie 0 < a < b, wstawić liczby x j, j = 1,..., n, tak, aby poniższy ułamek był największy x 1 x 2... x n (a + x 1 )(x 1 + x 2 )... (x n + b). Zadanie Niech a, b R, 0 < a < b i niech funkcja f = (f 1, f 2, f 3 ) : R 2 R 3 dana będzie wzorami f 1 (s, t) = (b + a cos s) cos t, f 2 (s, t) = (b + a cos s) sin t, f 3 (s, t) = a sin s, (a) Opisać obraz K odwzorowania f. (b) Pokazać, że istnieją dokładnie cztery punkty p K takie, że ( f 1 )(f 1 (p)) = 0. Znaleźć te punkty. (c) Opisać zbiór tych wszystkich q K, że ( f 3 )(f 1 (p)) = 0. (d) Pokazać, że jeden z punktów p znalezionych w (b) jest punktem maksimum lokalnego f 1, jeden punktem minimum lokalnego f 1, a dwa pozostałe nie są ani punktami maksimum ani minimum. Które z punktów q znalezionych w (c) odpowiadają maksimum, a które minimum? (e) Niech λ R \ Q, g(t) := f(t, λt). Wykazać, że odwzorowanie g jest różnowartościowe, zaś zbiór g(r) jest gęsty w K. Ponadto wykazać, że g (t) 2 = a 2 + λ 2 (b + a cos t) 2, t R.

10 9. Twierdzenia o odwzorowaniach odwrotnym i uwikłanym Zadanie 9.1. Niech E, F będą przestrzeniami unormowanymi, niech U E, V F będą zbiorami otwartymi i niech h : U V będzie dyfeomorfizmem. Wykazać, że h (x) Isom(E, F ) dla x U. Zadanie 9.2. Nech I R będzie dowolnym przedziałem domkniętym zawierającym zero. Rozważmy podzbiór C (I) := {f C(I) : f(0) 0} przestrzeni unormowanej C(I) przez normę supremum. Czy odwzorowanie jest dyfeomorfizmem klasy C 1? C (I) f F f f 2 (0) C (I) Zadanie 9.3. Czy otwarty kwadrat jest dyfeomorficzny z otwartym kołem? Zadanie 9.4. Wykazać na przykładzie, że ciągłość f w punkcie a jest koniecznym założeniem w twierdzeniu o funkcji odwrotnej nawet w przypadku n = 1. Zadanie 9.5. Niech f(x, y) = (e x cos y, e x sin y), (x, y) R 2. (a) Wyznaczyć f(r 2 ). (b) Pokazać, że jakobian odwzorowania f nigdzie się nie zeruje, zatem f jest lokalnie wzajemnie jednoznaczne. Wykazać, że f nie jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym. (c) Niech a = (0, π/3), b = f(a). Niech g będzie ciągłą funkcją odwrotną do f określoną w otoczeniu punktu b, taką, że g(b) = a. Znaleźć jawną postać g. Obliczyć f (a) i g (b). (d) Jak wyglądają obrazy za pomocą f prostych równoległych do osi współrzędnych? Zadanie 9.6. Niech B n := {(x 1,..., x n ) R n : n j=1 x j 2 < 1}, niech U B n będzie zbiorem otwartym zawierającym zero i niech f : B n B n będzie dyfeomorfizmem klasy C 1 takim, że f f = id Bn oraz f U = id U. Czy f = id Bn? Zadanie 9.7. Niech funkcja f C 1 (R 2 ) będzie taka, że f 1 (0) oraz f y(x, y) 0 dla dowolnego (x, y) f 1 (0). Czy istnieje funkcja ϕ C 1 (R) taka, że f(x, ϕ(x)) = 0, x R? Co, jeśli założymy dodatkowo, że zbiór {y R : f(x, y) = 0} jest ograniczony? Zadanie 9.8. Niech f C 1 (R 2 ) będzie taka, że dla dowolnego x R istnieje dokładnie jeden punkt y(x) R taki, że f(x, y(x)) = 0. Czy funkcja R x y(x) R jest ciągła? Co przy założeniu f (x, y(x)) 0, x R? Zadanie 9.9. Dla n N niech f(x, y) = (x 2 + y 2 ) n (x 2 y 2 ), (x, y) R 2. Czy istnieje liczba ε > 0 oraz funkcje ϕ j D(( ε, ε)), j = 1, 2, ϕ 1 ϕ 2, takie, że f(x, ϕ j (x)) = 0, j = 1, 2? Zadanie Czy zbiór zer wielomianu rzeczywistego może być przeliczalny? Zadanie Wykazać, że układ równań xe u+v + 2uv = 1 ye u v u 1 + v = 2x wyznacza funkcję różniczkowalną (u, v) = (u, v)(x, y) określoną w otoczeniu punktu (1, 2) i spełniającą warunek (u, v)(1, 2) = (0, 0). Obliczyć (u, v) (1, 2). Zadanie Niech Ω R n+1 będzie zbiorem otwartym, niech (a 1,..., a n, b) Ω i niech f C 2 (Ω), f(a 1,..., a n, b) = 0. Sformułować warunek dostateczny na istnienie w punkcie (a 1,..., a n ) ekstremum lokalnego funkcji y = ϕ(x 1,..., x n ) uwikłanej równaniem f(x 1,..., x n, y) = 0. Zadanie Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji z(x, y) zadanej równaniem x 2 + y 2 + z 2 2x + 2y 4z 10 = 0. Zadanie Wykazać, że układ równań 3x + y z + u 2 = 0 x y + 2z + u = 0 2x + 2y 3z + 2u = 0 może być rozwiązany względem x, y, u w zależności od z; względem x, z, u w zależności od y; względem y, z, u w zależności od x, ale nie może być rozwiązany względem x, y, z w zależności od u.

11 Zadanie Niech f(x, y) = 2x 3 3x 2 + 2y 3 + 3y 2, (x, y) R 2. (a) Rozwiązać równanie f = 0 i wyznaczyć ekstrema lokalne f. (b) Wyznaczyć wszystkie punkty (x, y) takie, że f(x, y) = 0 oraz w otoczeniu (x, y) równanie f(x, y) = 0 może być rozwiązane względem y w zależności od x, lub odwrotnie. Zadanie Niech f(x, y, z) = x 2 y+e x +z, (x, y, z) R 3. Wykazać, że istnieje różniczkowalna funkcja g określona w pewnym otoczeniu U R 2 punktu (1, 1) taka, że g(1, 1) = 0 i f(g(y, z), y, z) = 0 dla (y, z) U oraz wyznaczyć g y(1, 1) i g z(1, 1).

12 Zadanie Niech f(x, y) = wartości odwzorowania f. ( x 2 y 2 x 2 +y 2, 10. Podrozmaitości xy x 2 +y 2 ), (x, y) (R 2 ). Obliczyć rank f (x, y) i znaleźć zbiór Zadanie Niech A L(R n, R m ), r = rank A i niech {y 1,..., y r } będzie bazą im A. Wybierzmy z j R n tak, aby Az j = y j dla j = 1,..., r i określamy S : im A R n wzorem S(c 1 y c r y r ) := c 1 z c r z r, c 1,..., c r R. Wykazać, że SA jest projekcją w R n, ker SA = ker A, im SA = im S oraz dim ker A + dim im A = n. Zadanie Niech S n 1 := {(x 1,..., x n ) R n : n j=1 x2 j = 1}. Udowodnić, że S n 1 M n 1(R n ) można sparametryzować dwoma mapami. Zadanie Dla k N niech M k := {(x, x k sin 1 x ) : x R } {(0, 0)}. Czy M k jest podrozmaitością w R 2? Jeśli tak, to jakiej klasy? Zadanie Dla m = (m 1,..., m n ) N n, gdzie m 1 m n są parami względnie pierwsze niech R λ pm (λ m1,..., λ mn ) R n. N m := p m (R) nazywamy uogólnioną m-parabolą Neila. Czy N m M 1 1(R n )? Zadanie Czy M := {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x x 3 2 = x x 3 4} jest podrozmaitością w R 4? Zadanie Niech M := {(x, y) R 2 : f(x, y)g(x, y) = 0}, gdzie f, g C 1 (R 2 ). Załóżmy, że istnieje punkt (x 0, y 0 ) M taki, że f(x 0, y 0 ) = g(x 0, y 0 ) = 0 oraz wektory f (x 0, y 0 ), g (x 0, y 0 ) są liniowo niezależne. Udowodnić, że M nie jest podrozmaitością w R 2. Zadanie Niech M i N będą niepustymi, rozłącznymi podzbiorami domkniętymi w R n takimi, że M N M 1 d (Rn ) dla pewnego 0 d n. Czy M i N muszą być podrozmaitościami w R n? Zadanie Niech M j M k d (Rn ), M j M j+1, j N. Czy M := j N M j M k d (Rn )? Zadanie Niech M j M k d (Rn ), M j+1 M j, j N. Czy M := j N M j M k d (Rn )? Zadanie Niech M M 1 n 1(R n ) będzie taka, że 0 / M oraz #{tx : t > 0, tx M} = 1, x M. Czy V := {tx : 0 < t < 1, x M} top R n? Zadanie Niech M := {A R n n : det A = 0}. Czy (w naturalny sposób utożsamiając R n n z R n2 ) M M 1 d (Rn2 ) dla pewnego d N? Zadanie Niech M M k d (Rn ) będzie spójna oraz niech istnieje podprzestrzeń wektorowa V R n taka, że T x M = V dla dowolnego x M. Wykazać, że istnieje punkt x 0 M taki, że M top(x 0 + V ). Zadanie Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji (1) f(x, y, z) = xyz przy warunku xy + yz + zx = 3a 2, a > 0, (2) f(x, y, z) = xyz przy warunku x 2 + y 2 + z 2 = 1, x + y + z = 0, (3) f(x 1,..., x n ) = x p xp n przy warunku x x n = a, p N, a > 0. Zadanie Znaleźć ekstrema globalne funkcji (1) f(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2, x 2 + y 2 + z 2 100, (2) f(x 1,..., x n 2) = det(x (j 1)n+k ) j,k=1,...,n, (x 1,..., x n 2) S n 2 1, n N. Zadanie Znaleźć kresy górny i dolny zbioru wartości funkcji (1) f(x, y, z) = (x + y + z)e (x+2y+3z), x > 0, y > 0, z > 0, (2) f(x 1, x 2,..., x 3n 1, x 3n ) = 3n j=1 x j, x 2 3k+1 + x2 3k+2 + x2 3k+3 < 1, k = 0, 1,..., n 1. Zadanie W półkulę o promieniu r wpisać prostopadłościan o największej objętości. Zadanie Daną dodatnią liczbę a rozłożyć na iloczyn n dodatnich czynników tak, aby suma ich odwrotności była najmniejsza.

13 11. Orientacja Zadanie Niech f C 1 (R n ), M := f 1 (0) 0 i niech f (x) 0, x M. Czy M jest podrozmaitością orientowalną? Zadanie Wykazać, że (a) wstęga Möbiusa jest podrozmaitością nieorientowalną, (b) torus jest podrozmaitością orientowalną. Zadanie Niech M M 1 d (Rn ) będzie globalnie parametryzowalna. Czy M jest orientowalna? Zadanie Niech M M 1 (R 3 ). Czy istnieją N M 2 (R 3 ) oraz D top N takie, że N (D) = M?

14 12. Całka Riemanna Zadanie Wykazać, że jeśli mierzalny w sensie Jordana zbiór A R n nie jest objętości zero, to dla każdej liczby 0 < c < 1 istnieje kostka P R n taka, że A P > c P. Zadanie Czy trójkowy zbiór Cantora na przedziale [0, 1] ma objętość zero? Zadanie Czy suma algebraiczna dwóch zbiorów objętości zero musi być zbiorem objętości zero? Zadanie Niech A R n+m będzie zbiorem regularnym (czyli A jest ograniczony i A = 0) i niech A(t) := {x R m : (t, x) A}, t R n. (a) Czy A(t) jest regularny dla każdego t R m? (b) Czy zbiór {t R n : A(t) nie jest regularny} jest objętości zero? Zadanie Wykazać następujące własności. (a) Jeżeli A = 0, to A jest regularny. (b) Każda kostka jest regularna. (c) Jeżeli zbiór A jest regularny, to zbiór int A jest regularny; implikacja przeciwna nie jest prawdziwa. (d) Jeżeli zbiór A jest regularny, to zbiór A jest regularny; implikacja przeciwna nie jest prawdziwa. (e) Jeżeli zbiory A, B R n są regularne, to zbiory A B, A B, A \ B są regularne. (f) Jeżeli zbiory A R n, B R m są regularne, to zbiór A B jest regularny. Zadanie Wyznaczyć det φ, sprawdzić, czy φ U jest dyfeomorfizmem na obraz oraz wyznaczyć V := φ(u) dla następujących transformacji i obszarów (a, b, c > 0 oznaczają stałe): φ (a) R 2 (r, ϕ) (ar cos ϕ, br sin ϕ) R 2, U := R >0 (0, 2π) współrzędne biegunowe; φ (b) R 3 (r, ϕ, z) (ar cos ϕ, br sin ϕ, cz) R 3, U := R >0 (0, 2π) R współrzędne walcowe; (c) R 3 φ (r, ϕ, θ) (ar cos ϕ cos θ, br sin ϕ cos θ, cr sin θ) R 3, U := R >0 (0, 2π) ( π 2, π 2 ) współrzędne sferyczne; (d) φ = (φ 1,..., φ n ) : R n R n, gdzie φ 1 (r, ω 1,..., ω n 1 ) := r cos ω 1 cos ω 2 cos ω 3... cos ω n 2 cos ω n 1, φ 2 (r, ω 1,..., ω n 1 ) := r sin ω 1 cos ω 2 cos ω 3... cos ω n 2 cos ω n 1, φ 3 (r, ω 1,..., ω n 1 ) := r sin ω 2 cos ω 3... cos ω n 2 cos ω n 1,... φ n 1 (r, ω 1,..., ω n 1 ) := r sin ω n 2 cos ω n 1, φ n (r, ω 1,..., ω n 1 ) := r sin ω n 1, oraz U := R >0 (0, 2π) ( π 2, π 2 )n 2 współrzędne sferyczne w R n. Zadanie Obliczyć Ω xy 2 dx dy, gdzie Ω jest obszarem ograniczonym krzywymi y 2 = 2ax, 2x = a, a > 0. Zadanie Obliczyć (a) sin x 2 + y 2 dx dy; π 2 x 2 +y 2 4π 2 Zadanie Obliczyć Ω (b) y 2 dx dy, x 4 +y 4 1 (x 2 + y 2 ) dx dy. gdzie Ω jest obszarem ograniczonym prostą y = 0 i pierwszym łukiem cykloidy x = a(t sin t), y = a(1 cos t), 0 t 2π, a > 0. Zadanie Obliczyć pole obszarów ograniczonych krzywymi (a > 0)

15 (a) xy = a 2, 2(x + y) = 5a; (b) (x 2 + y 2 ) 2 2a 2 (x 2 y 2 ), x 2 + y 2 a 2. Zadanie Obliczyć poniższe całki, gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami podanymi obok dx dy dz (a), x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0; V (1 + x + y + z) 3 ( ) x 2 (b) a 2 + y2 b 2 + z2 x 2 c 2 dx dy dz, a 2 + y2 b 2 + z2 = 1, a, b, c > 0. c2 V Zadanie Obliczyć objętość brył ograniczonych powierzchniami (a > 0) (a) (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 2 (x 2 + y 2 z 2 ); (b) x 2 + y 2 = a 2, x 2 + z 2 = a 2. Zadanie Niech a 1,..., a n > 0, { } E n := (x 1,..., x n ) R n : x2 1 a x2 n 1 a 2 1. n Obliczyć E n. Zadanie Obliczyć Zadanie Obliczyć całkę Gaussa Zadanie Wykazać, że x x2 n 1 + dx 1... dx n. 1 x 2 1 x 2 n e x2 dx. B n = (Γ(1/2))n Γ(1 + n/2). Zadanie Niech ϕ n C(R), supp ϕ n (2 n, 2 n+1 ), R ϕ n = 1, n N, i niech f(x, y) := (ϕ n (x) ϕ n+1 (x))ϕ n (y), (x, y) R 2. R R n=1 Wykazać, że f ma nośnik zwarty, jest ciągła poza (0, 0) oraz dy f(x, y) dx = 0, dx f(x, y) dy = 1. R R