Rzadkie gazy bozonów

Podobne dokumenty
Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Logarytmiczne równanie Schrödingera w obracajacej się pułapce harmonicznej

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Metody obliczeniowe ab initio w fizyce struktur atomowych. Wykład 1: Wstęp

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Kondensat Bosego-Einsteina okiem teoretyka

1 Rachunek prawdopodobieństwa

Rozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Wielki rozkład kanoniczny

Zadania z Fizyki Statystycznej

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Ruch w obracajacym się potencjale harmonicznym

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Stara i nowa teoria kwantowa

Budowa atomów. Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków

Równanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

obrotów. Funkcje falowe cząstki ze spinem - spinory. Wykład II.3 29 Pierwsza konwencja Condona-Shortley a

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego

Recenzja pracy doktorskiej mgr Tomasza Świsłockiego pt. Wpływ oddziaływań dipolowych na własności spinorowego kondensatu rubidowego

Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony)

Cząstki elementarne i ich oddziaływania III

Podstawowe prawa opisujące właściwości gazów zostały wyprowadzone dla gazu modelowego, nazywanego gazem doskonałym (idealnym).

Nadpłynność i nadprzewodnictwo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Wstęp do Modelu Standardowego

Liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru

Wielki rozkład kanoniczny

13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe)

Szczegółowy wgląd w proces chłodzenia jedno-wymiarowego gazu bozonów

Nierównowagowe kondensaty polarytonów ekscytonowych z gigantycznym rozszczepieniem Zeemana w mikrownękach półprzewodnikowych

Atom wodoru i jony wodoropodobne

Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu. P. F. Góra

Elementy fizyki statystycznej

Gazy kwantowe. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Zadania z mechaniki kwantowej

Pole elektromagnetyczne. Równania Maxwella

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Fizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using

Fizyka kwantowa. promieniowanie termiczne zjawisko fotoelektryczne. efekt Comptona dualizm korpuskularno-falowy. kwantyzacja światła

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że

Fizyka statystyczna doskona ego gazu bozonów

Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne

Metody Kinetyki Biomolekularnej in vitro i in vivo

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków).

Komputerowe modelowanie zjawisk fizycznych

Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Cząstki elementarne. Składnikami materii są leptony, mezony i bariony. Leptony są niepodzielne. Mezony i bariony składają się z kwarków.

Fizyka 3. Konsultacje: p. 329, Mechatronika

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

Zadania kwalifikacyjne na warsztaty "Zjawiska krytyczne"

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

Wykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron

Termodynamiczny opis układu

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

Mechanika klasyczna zasada zachowania energii. W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, Cząstka przechodzi z obszaru I do II.

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Teoria funkcjonału gęstości

Streszczenie W13. chłodzenie i pułapkowanie neutralnych atomów. pułapki jonowe: siły Coulomba

Bosego-Einsteina atomów 87 Rb

Fizyka współczesna Co zazwyczaj obejmuje fizyka współczesna (modern physics)

Chłodzenie jedno-wymiarowego gazu bozonów

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }

II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym

Rysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych.

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

1.6. Falowa natura cząstek biologicznych i fluorofullerenów Wstęp Porfiryny i fluorofullereny C 60 F

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

TEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH

Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Streszczenie W13. pułapki jonowe: siły Kulomba. łodzenie i pułapkowanie neutralnych atomów. 9 pułapki Penninga, Paula

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Solitony i zjawiska nieliniowe we włóknach optycznych

Transkrypt:

Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25

Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni pędów. Eksperyment grupy prof. Andersona dla atomów rubidu ( 87 Rb). [Science 269, 198 (1995)] Rzadkie gazy bozonów p.2/25

Plan Opis układu wielu czastek Doskonałe gazy bozonów Swobodne w pułapce harmonicznej Bozony oddziałujace w pułapce harmonicznej Krótkie podsumowanie Rzadkie gazy bozonów p.3/25

Układ wielu czastek Aby opisywać układ wielu atomów trzeba podać: Hamiltonian układu H = ( p 2 ) i 2m + U ext(r i ) + V ( r i r j ) i i j Dodatkowe reguły (np. zakaz Pauliego dla fermionów) Aby przewidzieć jakieś doświadczenia trzeba stosować uproszczenia zajmować się tylko stanami stacjonarnymi pominać oddziaływanie pomiędzy atomami pominać wszystko bez swobodnej dynamiki Nie pomijać dodatkowych reguł!! Rzadkie gazy bozonów p.4/25

Opis układu bozonów Doświadczalnie łatwo jest utrzymywać temperaturę i objętość układu. Dość trudno stała liczbę czastek Stosujemy zespół wielki kanoniczny (T,V,µ) średnie obsadzenie stanu: n k = 1 e β(ɛ k µ) 1 Całkowita liczba czastek i całkowita energia N = k n k E = k ɛ k n k Potencjał chemiczny bozonów: µ (, 0). Rzadkie gazy bozonów p.5/25

Swobodny gaz doskonały Rzadkie gazy bozonów p.6/25

Swobodny gaz bozonów Hamiltonian H = N i=1 p 2 i 2m Nieunormowane stany własne - problem z sumowaniem Stany własne H sa stanami własnymi pędu Bedziemy sumować po pędach k = g p Energia w funkcji pędu g ɛ p = p 2 2m ( ) d L h d d p Rzadkie gazy bozonów p.6/25

Swobodny gaz bozonów Całkowita liczba czastek N = k n k gv h 3 n(p)d 3 p = gv h 3 4π 0 exp p 2 dp [ ] β( p2 2m µ) 1 = 25/2 πgv m 3/2 h 3 0 ɛ 1/2 dɛ e βɛ e βµ 1 Rzadkie gazy bozonów p.7/25

Swobodny gaz bozonów Całkowita liczba czastek N = k n k gv h 3 n(p)d 3 p = gv h 3 4π 0 exp p 2 dp [ ] β( p2 2m µ) 1 = 25/2 πgv m 3/2 h 3 0 ɛ 1/2 dɛ e βɛ e βµ 1 I ten wynik powinien nas martwić! Rzadkie gazy bozonów p.7/25

Swobodny gaz bozonów Dlaczego? N = 25/2 πgv m 3/2 h 3 0 ɛ 1/2 dɛ e βɛ e βµ 1 dla µ mamy N 0 dla µ = 0 można wyliczyć: N V T 3/2 Rzadkie gazy bozonów p.8/25

Swobodny gaz bozonów Dlaczego? N = 25/2 πgv m 3/2 h 3 0 ɛ 1/2 dɛ e βɛ e βµ 1 dla µ mamy N 0 dla µ = 0 można wyliczyć: N V T 3/2 Wniosek Największa liczba bozonów jaka może się pomieścić w naczyniu o objętości V jest skończona i proporcjonalna do T 3/2. W szczególności w granicy T 0 liczba bozonów wynosi 0. Jest to sprzeczne z natura bozonów, które moga obsadzać dowolny stan w dowolnej ilości. Rzadkie gazy bozonów p.8/25

Swobodny gaz bozonów Prawidłowe rozumowanie N N 0 = 25/2 πgv m 3/2 h 3 0 ɛ 1/2 dɛ e βɛ e βµ 1 dla µ = 0 i T 0 mamy N N 0 0 co oznacza tylko tyle, że w wszystkie bozony sa w stanie podstawowym! Kondensacja Bosego-Einsteina temperatura krytyczna T 0 T 0 = h2 n 2/3 2πmk B (2ζ( 3 2 ))2/3 Rzadkie gazy bozonów p.9/25

Swobodny gaz bozonów dla T > T 0 gaz zachowuje się jak typowy gaz doskonały z niewielkimi poprawkami kwantowymi Rzadkie gazy bozonów p.10/25

Swobodny gaz bozonów dla T > T 0 gaz zachowuje się jak typowy gaz doskonały z niewielkimi poprawkami kwantowymi dla T < T 0 makroskopowe obsadzenie stanu podstawowego N 0 = N ( potencjał chemiczny µ = 0 1 ( T T 0 ) 3 ) 2 To oznacza m.in., że dokładanie kolejnych atomów do kondensatu nie kosztuje nic energii Rzadkie gazy bozonów p.10/25

Gaz doskonały w pułapce Rzadkie gazy bozonów p.11/25

Realia doświadczalne Rzadkie gazy bozonów p.11/25

Realia doświadczalne Cewka Helmholtza Energia oddziaływania momentu magnetycznego z polem: U(r) r ˆV r Rzadkie gazy bozonów p.11/25

Nieoddziałujace atomy w pułapce hamiltonian się rozpada na sumę H = i H i H i = p2 i 2m + V ext(r i ) Pułapki magnetyczne atomów alkalicznych sa prawie jak pułapki harmoniczne V ext (r) = m 2 ( ω 2 x x 2 + ω 2 yy 2 + ω 2 zz 2) Wartości własne hamiltonianu swobodnego: ε nx n y n z = (n x + 1 2 ) ω x + (n y + 1 2 ) ω y + (n z + 1 2 ) ω z Rzadkie gazy bozonów p.12/25

Nieoddziałujace atomy w pułapce Stan podstawowy jest iloczynowy φ(r 1,...r N ) = i ϕ(r i ) ϕ(r i ) = ( mω π rozkład gęstości N bozonów: ) 1/2 ( exp m ) 2 (ω xx 2 + ω y y 2 + ω z z 2 ) n(r) = N ϕ(r) rozmiary chmury bozonowej a ht = ( ) 1/2 a eksperyment 1µm mω Rzadkie gazy bozonów p.13/25

Nieoddziałujace atomy w pułapce Całkowita liczba czastek układu N = g 1 exp[β(ɛ n x,n y,n nx n y n z µ)] 1 z Wydzielamy obsadzenie stanu podstawowego N N 0 = g n x,n y,n z 0 1 exp[β(ɛ nx n y n z µ)] 1 I zamieniamy na całkowanie (musi być k B T Ω) N N 0 = g 0 dn x dn y dn z exp[β (ω x n x + ω y n y + ω z n z µ)] 1 Rzadkie gazy bozonów p.14/25

Nieoddziałujace atomy w pułapce Kondensacja atomów w pułapce N N 0 = ζ(3) temperatura krytyczna ( kb T Ω ) 3 Ω = 3 ω x ω y ω z gdy T T 0 to obsadzenie makroskopowe stanu podstawowego znika N 0 0 k B T 0 = Ω ( ) 1 N 3 = 0.94 Ω N 1/3 ζ(3) Nowa granica termodynamiczna N oraz Ω 0 tak że NΩ 3 = const. N 0 = N ( 1 ( T T 0 ) 3 ) Rzadkie gazy bozonów p.15/25

Małe porównanie Wielkość Gaz swobodny Gaz w pułapce ( ) Temp. krytyczna T 0 = h2 N 2/3 2πmk B (2V ζ( 3 T 0 = Ω N 1/3 2 ))2/3 k B ζ(3) 1/3 Obsadz. stanu podst. N 0 N = 1 ( TT0 ) 3/2 N 0 N = 1 ( TT0 ) 3 Energia układu E Nk B T 0 = 3ζ(5/2) 2ζ(3/2) ( T T0 ) 5/2 E Nk B T 0 = 3ζ(4) ζ(3) ( T T0 ) 4 Granica termodyn. N V = const NΩ 3 = const Kondensacja D > 2 D > 1 Rzadkie gazy bozonów p.16/25

Eksperyment vs. teoria Ułamek atomów kondesujacych w funkcji temperatury dla układu w pułapce harmonicznej. Eksperyment grupy prof. Enshera dla 40 tyś. atomów. [Phys. Rev. Lett. 77, 4984 (1996)] Rzadkie gazy bozonów p.17/25

Eksperyment vs. teoria Gęstość kolumnowa dla 80 tyś. atomów sodu ( 23 Na). Eksperyment grupy prof. Hau z 1998 roku. [Phys. Rev. A 58, R54 (1998)] Linia przerywana - przewidywania teoretyczne dla nieoddziałujących atomów w pułapce. Rzadkie gazy bozonów p.17/25

Gaz rzeczywisty teoria pola średniego Rzadkie gazy bozonów p.18/25

Układ oddziałujacych bozonów hamiltonian układu w języku drugiej kwantyzacji Ĥ = + Ewolucja operatorów pola ] dr Ψ (r) [ 2 2m 2 + V ext (r) Ψ(r) + dr dr Ψ (r)ψ (r )V (r r )Ψ(r )Ψ(r) = i t Ψ(r, t) = [ ] Ψ, Ĥ [ 2 2 2m + V ext(r) + dr Ψ (r, t)v (r r)ψ(r, t) = ] Ψ(r, t) Rzadkie gazy bozonów p.18/25

Równanie Grossa-Pitaevskiiego Przybliżenie oddziaływania punktowego V (r r) = 4π 2 σ m δ(r r) Takie przybliżenie oznacza, że gaz musi być bardzo rzadki i wtedy operator pola możemy zastapić przez klasyczne pole. Równanie na ewolucje bardzo się upraszcza i t Φ(r, t) = ( 2 2 ) 2m + V ext(r) + λ Φ(r, t) 2 Φ(r, t) Rzadkie gazy bozonów p.19/25

Czy to ma sens?? Gaz powinien być rzadki, tzn. n σ 3 1 σ - parametr zderzenia, n - średnia gęstość gazu Rzadkie gazy bozonów p.20/25

Czy to ma sens?? Gaz powinien być rzadki, tzn. n σ 3 1 σ - parametr zderzenia, n - średnia gęstość gazu Dane doświadczalne Co? Kto? Kiedy? σ [nm] 23 Na Tiesinga 1996 2.75 87 Rb Boesten 1997 5.77 7 Li Abraham 1995-1.45 Gęstości sa w przedziale 10 13-10 15 cm 3 co oznacza, że n σ 3 jest mniejsze niż 10 3. Rzadkie gazy bozonów p.20/25

Zasada wariacyjna Zasada wariacyjna dla Równania G-P Funkcjonał energii E[Φ] = i t Φ(r, t) = δe δφ [ 2 dr 2m Φ 2 + V ext (r) Φ 2 + λ ] 2 Φ 4 Jest to zatem kwantowa wersja teorii φ 4. Rzadkie gazy bozonów p.21/25

Stan stacjonarny Równanie Grossa-Pitaevskiego i t Φ(r, t) = ( 2 2 ) 2m + V ext(r) + λ Φ(r, t) 2 Φ(r, t) Rozwiazania szukamy w postaci: Φ(r, t) = φ(r) exp( iµt/ ) Równanie stacjonarne ( 2 2 ) 2m + V ext(r) + λ φ(r) 2 φ(r) = µφ(r) Rzadkie gazy bozonów p.22/25

Stan stacjonarny Parametry bezwymiarowe a jednostka długości a 3 jednostka gęstości Ω jednostka energii Równanie G-P w tych jednostkach [ 2 + r 2 + 8π Nσ ] a φ 2 ( r) φ( r) = 2 µ φ( r) Kluczowy jest parametr bezywmiarowy Nσ a Rzadkie gazy bozonów p.23/25

Rozwiazania numeryczne σ < 0 Rozwiazanie GPE dla sił przyciagaj acych Rzadkie gazy bozonów p.24/25

Rozwiazania numeryczne σ > 0 Rozwiazanie GPE dla sił odpychajacych Rzadkie gazy bozonów p.24/25

Rozwiazania numeryczne Gęstość kolumnowa dla 80 tyś. atomów sodu ( 23 Na). Linia ciagła - rozwiazanie numeryczne GPE! Rzadkie gazy bozonów p.24/25

Podsumowanie Kondensacja Bosego-Einsteina jest obserwowalna doświadczalnie Opis jakościowy możliwy jest przy pominięciu wzajemnego oddziaływania W analizie ilościowej nie można pominać oddziaływania atom-atom gdyż prowadzi to wniosków sprzecznych z doświadczeniem Bardzo prosta i dobra analizę można przeprowadzić metoda pola średniego wprowadzajac tzw. równanie Grossa-Pitaevskiego Równanie Grossa-Pitaevskiego pozwala również bardzo dobrze opisywać dynamikę kondensatu, a nie tylko stany stacjonarne Rzadkie gazy bozonów p.25/25