Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra
|
|
- Katarzyna Kurowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe P. F. Góra
2 Zespół kanoniczny Zespół mikrokanoniczny jest (przynajmniej w warstwie koncepcyjnej) świetnym narzędziem do opisywania układów izolowanych. Bardzo często mamy jednak do czynienia z układami nieizolowanymi, mogacymi wymieniać z otoczeniem energię w formie ciepła, ale pozostajacymi z otoczeniem w równowadze. Wyobraźmy sobie, że badany układ i jego otoczenie łacznie stanowia układ izolowany o energii E. Energia otoczenia wynosi E 2, energia układu E 1, E 1 + E 2 = E (przy założeniu skończonego zasięgu oddziaływań i zaniedbaniu efektów powierzchniowych). Liczba czastek otoczenia jest wiele większa od liczby czasteczek układu, a zatem energia (wielkość ekstensywna) też jest o wiele większa: N 2 N 1, E 2 E 1. Copyright c 2015 P. F. Góra 8 2
3 Dowodzac ekstensywności entropii w zespole mikrokanonicznym wykazaliśmy, że dwa podukłady pozostajace w równowadze musza mieć tę sama temperaturę, T 1 = T 2 = T. Objętość fazowa zajmowana przez otoczenie wynosi Γ 2 (E 2 ). Układ i otoczenie tworza zespół mikrokanoniczny. W zespole mikrokanonicznym gęstość stanów wynosi 1 na powłoce energii i zero poza nia. Gęstość stanów samego układu otrzymamy jako rodzaj rozkładu brzegowego, wycałkowujac po stopniach swobody otoczenia. ϱ(p 1, q 1 ) = Γ 2 dp 2 dq 2 Γ 2 (E 2 ) = Γ 2 (E E 1 ). (1) Spodziewamy się, że tylko wartości E 1 bliskie Ē 1 dadza wkład do Γ 2 (E E 1 ), Copyright c 2015 P. F. Góra 8 3
4 możemy więc dokonać rozwinięcia: k B ln Γ 2 (E E 1 ) = S 2 (E E 1 ) S 2 (E) E 1 S 2 (E 2 ) E 2 Wobec tego = S 2 (E) E 1 T Γ 2 (E E 1 ) exp E2 =E (2) [ ] ( 1 S 2 (E) exp E ) 1. (3) k B k B T Pierwszy czynnik nie zależy od E 1, możemy więc go potraktować jako stała. Biorac pod uwagę, że E 1 jest wartościa hamiltonianu układu, otrzymujemy wzór na gęstość stanów w rozkładzie kanonicznym: ϱ(p 1, q 1 ) = e H(p 1,q 1 )/k B T. (4) Copyright c 2015 P. F. Góra 8 4
5 Suma statystyczna Dla uproszczenia zapisu, odtad będziemy oznaczać β = k 1 B T. Wielkość d 3N p d 3N q Z N = Z N (V, T ) = N! h 3N e βh(p,q) (5) nosi nazwę sumy statystycznej lub funkcji rozdziału. N oznacza liczbę czastek. Czynnik N! wprowadzamy dla zapewnienia poprawnego zliczania boltzmannowskiego. Stała h ma wymiar iloczynu pędu i położenia i jest wprowadzana (na poziomie klasycznym) po to, aby uczynić sumę statystyczna wielkościa bezwymiarowa. Termodynamikę uzyskujemy ze wzoru Z N (V, T ) = e βf (V,T ), (6) Copyright c 2015 P. F. Góra 8 5
6 gdzie F jest energia swobodna Helmholtza. Aby pokazać, że F ze wzoru (6) jest energia swobodna, po pierwsze zauważmy, że F jest ekstensywne: Jeśli układ jest suma dwu podukładów, to, przy zwykłych założeniach, Z N jest iloczynem dwu czynników. Po drugie, zbadajmy zwiazek pomiędzy F a innymi wiekościami termodynamicznymi. Mianowicie, w sposób oczywisty zachodzi 1 = 1 N! h 3N d 3N p d 3N qe β(f (V,T ) H(p,q)). (7) Różniczkujac obustronnie po β dostajemy [ 1 N! h 3N d 3N p d 3N qe β(f (V,T ) H(p,q)) F (V, T ) + β F ] H(p, q). β V (8) Pierwszy i drugi człon w nawiasie kwadratowym nie zależa od p, q, można je więc wyciagn ać przed całkę, która daje jeden. Ostatni człon daje H, Copyright c 2015 P. F. Góra 8 6
7 czyli energię wewnętrzna U. Zatem F U T F T Jeśli przyjmiemy, że entropia spełnia V = 0 (9) S = F, (10) T V odtwarzamy znana z termodynamiki relację F = U T S, (11) co dowodzi, że F zdefiniowane przez równaie (6), jest energia swobodna. Dla kompletu, ciśnienie p = F V T. (12) Copyright c 2015 P. F. Góra 8 7
8 Fluktuacje energii w rozkładzie kanonicznym Jak widzieliśmy przed chwila, zachodzi d 3N p d 3N q[u H(p, q)]e β(f H(p,q)) = 0. (13) Różniczkujac to wyrażenie po β otrzymujemy U β + d 3N p d 3N q e β(f H(p,q)) (U H) ( F H T F T ) = 0. (14) Biorac pod uwagę wyprowadzone przed chwila relacje termodynamiczne, (14) jest równoważne U β + (U H) 2 = 0. (15) Copyright c 2015 P. F. Góra 8 8
9 Zatem (U H) 2 = H 2 H 2 = = U β k B T 2 U T = k B T 2 C V.(16) Ponieważ H N oraz C V N, względne fluktuacje energii H 2 H 2 H 2 1 N, (17) a więc sa zaniedbywalne w granicy termodynamicznej. Copyright c 2015 P. F. Góra 8 9
10 Wielki zespół kanoniczny Rozważamy teraz sytuację, w której układ może z otoczeniem wymieniać nie tylko ciepło, ale także materię (czastki), pozostajac przy tym w równowadze. Rozpatrujemy kolekcję zespołów kanonicznych, w którym układ i otoczenie maja inne liczby czastek, sumujace się jednak do tej samej całkowitej liczby czastek N oraz inne energie, sumujace się do tej samej energii całkowitej. Postępujac podobnie jak poprzednio dochodzimy do wniosku, że dla każdego elementu tej kolekcji gęstość stanu układu (przy ustalonym N 1!) wynosi e βh(p 1,q 1,N 1 ) ϱ(p 1, q 1, N 1 ) = Z N 2 (V 2, T ) Z N (V, T ) N 1!h 3N (18) 1 Sumy statystyczne w powyższym wyrażeniu wyrażamy przez odpowiednie energie swobodne Z N2 Z N = e β[f (N N 1,V V 1,T ) F (N,V,T )] (19) Copyright c 2015 P. F. Góra 8 10
11 Ponieważ N N 1, V V 1, F (N N 1, V V 1, T ) F (N, V, T ) N 1 µ + pv 1 (20) Ostatecznie otrzymujemy ϱ(p, q, N) = eβnµ N!h 3N e βpv βh(p,q). (21) Każdy element rozważanej kolekcji jest opisywany rozkładem kanonicznym, a każdy element ma taka sama temperaturę, ciśnienie i potencjał chemiczny, jak inne elementy. Zdefiniujmy wielka sumę statystyczna Ξ(z, V, T ) = N=0 z N Z N (V, T ), z = e βµ. (22) Copyright c 2015 P. F. Góra 8 11
12 Całkujac obie strony (4) po p, q przy ustalonym N, a następnie sumujac po wszystkich N, otrzymujemy pv k B T Termodynamikę otrzymujemy z = ln Ξ(z, V, T ) (23) N = z ln Ξ(z, V, T ), z (24a) F = Nk B T ln z k B T ln Ξ(z, V, T ). (24b) W powyższych równaniach N oznacza średnia liczbę czastek. Copyright c 2015 P. F. Góra 8 12
13 Fluktuacje liczby czastek w wielkim zespole kanonicznym Prawdopodobieństwo, że układ w wielkim zespole kanonicznym ma N czastek wynosi W (N ) = z N Z N (V, T ) (25) Spodziewamy się, że fluktuacje liczby czastek powinny być małe. Aby tak mogło być, musi istnieć taka liczba czastek N, że W (N ) ma w niej ostre maksimum. Policzmy więc pochodna W/ N : [ W N = W (N) βµ β F ] N =N N. (26) N =N Aby W (N ) miało maksimum w N, pochodna musi znikać, co oznacza, że pierwsza pochodna energii swobodnej musi być równa potencjałowi che- Copyright c 2015 P. F. Góra 8 13
14 micznemu (układ ma taki sam potencjał chemiczny, jak otoczenie). γ = 2 F F N N =N N 2 N =N = µ (27a) > 0 (27b) Drugi z tych warunków wynika z żadania istnienia maksimum. Korzystajac z ekstensywności energii swobodnej, po wykonaniu elementarnych przekształceń widać, że 2 F N 2 N =N = v2 N p(v) v, (28) gdzie v = V/N jest objętościa właściwa obliczana w maksimum W. Aby maksimum mogło istnieć, p/ v < 0, co jest spełnione dla zdecydowanej większości substancji. Copyright c 2015 P. F. Góra 8 14
15 Rozwińmy teraz W (N ) wokół maksimum. Ponieważ maksimum ma być waskie, ograniczamy się do rozwinięcia do drugiego rzędu: W (N ) W (N) exp [ 12 ] βγ(n N) 2. (29) Jest to rozkład gaussowski o szerokości N = N/N 0 w granicy N. 2kB T N v 2 ( p/ v). (30) Uwaga: Powyższa analiza załamuje się, jeśli p/ v = 0. Odpowiada to przejściu fazowemu pierwszego rodzaju. W tym wypadku fluktuacje liczby czasteczek moga być duże, bowiem układ składa się z dwu (lub więcej) różnych faz, o różnych gęstościach liczby czastek. Szczegółowa analiza, która tu pomijamy, pokazuje, że ciśnienie obliczone w zespole kanonicznym jest równe ciśnieiu obliczonemu w wielkim zespole kanonicznym, jeśli Copyright c 2015 P. F. Góra 8 15
16 tylko p/ v 0. Gdyby okazało się, że p/ v > 0, fizyczne ciśnienie można znaleźć za pomoca konstrukcji Maxwella. Dla bardzo egzotycznych substancji, dla których trwale p/ v > 0 na przykład dla (hipotetycznej) ciemnej energii przedstawiona tu analiza nie ma sensu. Copyright c 2015 P. F. Góra 8 16
17 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (31) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie sztywnych ścianach pędy sa wówczas skwantowane i czasteczki moga obsadzać tylko poziomy energii ε p = p2 2m gdzie p jest wartościa własna operatora pędu (32) p = 2π L n (33) Copyright c 2015 P. F. Góra 8 17
18 Aby obliczyć wartość energii, nalezy teraz wysumować po (obsadzonych) wartościach własnych pędu. Jeżeli pudło jest naprawdę bardzo duże, sumowanie po pędach zastępujemy całkowaniem V h 3 d 3 p (34) p Stan układu możemy wyznaczyć przez podanie liczby obsadzeń n p poszczególnych stanów. Całkowita energia i całkowita liczba czastek sa równe E = p N = p ε p n p n p (35a) (35b) Copyright c 2015 P. F. Góra 8 18
19 Bozony i fermiony Możliwe liczby obsadzeń bardzo się różnia dla bozonów i fermionów: n p = 0, 1, 2,... bozony 0, 1 fermiony (36) Dla czastek boltzmannowskich n p = 0, 1, 2,... ale jeden układ {n p } określa N!/ p (n p!) stanów układu N czastek: dla czastek boltzmannowskich przestawienie dwu czastek prowadzi do nowego stanu, podczas gdy dla bozonów przestawienie czastek nie prowadzi do żadnych zmian, a dla fermionów może jedynie zmienić znak funkcji falowej. Copyright c 2015 P. F. Góra 8 19
20 Gdy V, poziomy energetyczne tworza widmo ciagłe. Podzielmy je na grupy poziomów komórki zawierajace, odpowiednio, g 1, g 2,... poziomów. Średnia energia i-tej komórki wynosi ε i, a jej liczba obsadzeń, będaca suma liczby obsadzeń poszczególnych poziomów, wynosi n i. (Ta dziwna konstrukcja służy do tego, abyśmy mogli wykonywać dyskretne sumowanie, formalnie przeszedłwszy do widma ciagłego.) Niech W {n i } będzie liczba stanów odpowiadajac a układowi liczb obsadzeń {n i }. Wówczas Γ(E) = W {n i } (37) {n i } gdzie sumujemy po wszystkich mozliwych stanach o zadanej energii i liczbie czastek. Teraz wystarczy znaleźć wszystkie możliwości rozmieszczenia n i czastek w i-tej komórce, zawierajacej g i poziomów. Copyright c 2015 P. F. Góra 8 20
21 Doskonały gaz Bosego Każdy poziom może być obsadzony przez dowolna liczbę czastek. Niech i-ta komórka ma g i podkomórek (poziomów) i g i 1 przegród pomiędzy nimi. Trzeba znaleźć liczbę permutacji n i czastek i g i 1 przegród, które prowadza do różnych rozmieszczeń. W {n i } = i (n i + g i 1)! n i!(g i 1)! (38) Copyright c 2015 P. F. Góra 8 21
22 Doskonały gaz Fermiego Liczba czastek w każdej z g i podkomórek wynosi 0 lub 1. Trzeba znaleźć liczbę sposobów wybrania n i spośród g i przedmiotów W {n i } = i g i! n i!(g i n i )! (39) Copyright c 2015 P. F. Góra 8 22
23 Doskonały (kwantowy) gaz Boltzmanna Umieszczamy N czastek w komórkach, tak, aby i-ta komórka zawierała n i czastek. Można to zrobić na N!/ (n i!) sposobów. Z kolei w każdej i komórce jest g i poziomów: jest (g i ) n i sposobów, na które n i czastek może obsadzić te g i poziomów. Ostatecznie zatem W {n i } = 1 N! N! i (g i ) n i n i! = i (g i ) n i n i! (40) W (40) podzieliliśmy przez N! aby zapewnić poprawne zliczanie boltzmannowskie (jest to pewna niekonsekwencja, ale kwantowy gaz czastek klasycznych sam w sobie jest niekonsekwencja). Copyright c 2015 P. F. Góra 8 23
24 Entropia gazów kwantowych Aby policzyć entropię, formalnie musimy wysumować po wszystkich możliwych konfiguracjach {n i }. Jednak dla dużych układów, entropia jest dobrze przybliżona, jeśli W {n i } zastapimy przez W { n i }, gdzie { n i } jest układem odpowiadajacym maksimum W {n i } przy warunkach ε i n i = i E, n i = N. i Otrzymujemy n i = g i z 1 e βε i 1 g i z 1 e βε i + 1 g i ze βε i Bose Fermi Boltzmann (41) z = e βµ i β = 1/k B T formalnie graja rolę mnożników Lagrange a. Copyright c 2015 P. F. Góra 8 24
25 Prowadzi to do nastepujacych wyrażeń na entropię: S/k B = i [ g i i z i g i [ βεi ln z z 1 e βε i 1 ln(1 ze βε i) βεi ln z z 1 e βε i ln(1 ze βε i) g i e βε i(βε i ln z) ] ] Bose Fermi Boltzmann (42) Copyright c 2015 P. F. Góra 8 25
26 Ciepla długość fali Dla gazu Boltzmanna E = z i N = z i g i e βε i zv h 3 g i ε i e βε i zv h πp 2 e βp2 /2m dp = zv λ 3 4πp 2 ( p 2 2m ) e βp2 /2m dp = 3 3 Nk BT (43a) (43b) λ = 2π 2 jest ciepln mk B T a dlugości a fali, czyli długościa fali de Broglie a czastki o masie m i energii k b T. Copyright c 2015 P. F. Góra 8 26
Statystyki kwantowe. P. F. Góra
Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0
Bardziej szczegółowoWykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe
Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
, granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Operator gęstości W przypadku klasycznym chcieliśmy znać gęstość stanów układu. W przypadku
Bardziej szczegółowoWykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego
Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina Silnie zwyrodniały gaz bozonów o niezerowej masie spoczynkowej Gdy liczba cząstek nie jest zachowywana, termodynamika nieoddziaływujących
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Przejście fazowe transformacja układu termodynamicznego z jednej fazy (stanu materii) do innej, dokonywane
Bardziej szczegółowoWykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały
Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki
Bardziej szczegółowoUkłady statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki
Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię
Bardziej szczegółowoWykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne
Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoZespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }
Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego
WYKŁAD 15 Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego 1 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bosony
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej
Bardziej szczegółowoTermodynamiczny opis układu
ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny
Bardziej szczegółowoELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ
ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). 15.1. Termodynamiczny opis układu Opis
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan
Bardziej szczegółowoRzadkie gazy bozonów
Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni
Bardziej szczegółowoS ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoElementy fizyki statystycznej
5-- lementy fizyki statystycznej ermodynamika Gęstości stanów Funkcje rozkładu Gaz elektronów ermodynamika [K] 9 wszechświat tuż po powstaniu ermodynamika to dział fizyki zajmujący się energią termiczną
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using
http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Parametr porzadku W niskich temperaturach układy występuja w fazach, które łamia symetrię
Bardziej szczegółowoKlasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I
Wykład III Mechanika statystyczna Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I Wstępne uwagi Materia nas otaczająca, w szczególności gazy będące centralnym obiektem naszego zainteresowania, zbudowane są z
Bardziej szczegółowoWykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna
Wykład 8 i 9 Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW)
Bardziej szczegółowoRozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny
Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny 1 Rozkład Mikrokanoniczny (przypomnienie) S= k B ln( (E,V,{x i },{N j }) ) Z fenomenologii: Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29
Przedmowa... XI 1. Obraz makroskopowy... 1 1.1. Termodynamika... 1 1.2. Parametry termodynamiczne... 2 1.3. Granica termodynamiczna... 3 1.4. Procesy termodynamiczne... 4 1.5. Klasycznygazdoskonały...
Bardziej szczegółowoFIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoOgólny schemat postępowania
Ogólny schemat postępowania 1. Należy zdecydować, który rozkład prawdopodobieństwa chcemy badać. Rozkład oznaczamy przez P; zależy od zespołu statystycznego. 2. Narzucamy warunek równowagi szczegółowej,
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Nasze wszystkie dotychczasowe rozważania dotyczyły układów w równowadze termodynamicznej lub
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Potencjały termodynamiczne i warunki równowagi Geometria Drugiej Zasady Termodynamiki
Fizyka statystyczna Potencjały termodynamiczne i warunki równowagi Geometria Drugiej Zasady Termodynamiki P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Energia wewnętrzna jako funkcja jednorodna
Bardziej szczegółowoPrzegląd termodynamiki II
Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy
Bardziej szczegółowoAgata Fronczak Elementy fizyki statystycznej
Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej Skrypt do wykładu i ćwiczeń rachunkowych dla kierunku Fotonika (rok III, semestr 5) na Wydziale Fizyki PW Warszawa 2016 Spis treści 1. Termodynamika klasyczna,
Bardziej szczegółowo17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek
Bardziej szczegółowon p 2 i = R 2 (8.1) i=1
8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowo= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A
Budowa materii Stany skupienia materii Ciało stałe Ciecz Ciała lotne (gazy i pary) Ilość materii (substancji) n N = = N A m M N A = 6,023 10 mol 23 1 n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek),
Bardziej szczegółowoWstęp do astrofizyki I
Wstęp do astrofizyki I Wykład 13 Tomasz Kwiatkowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydział Fizyki Instytut Obserwatorium Astronomiczne Tomasz Kwiatkowski, OA UAM Wstęp do astrofizyki I, Wykład
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zerowa Zasada Termodynamiki. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zerowa Zasada Termodynamiki P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Stan układu Fizyka statystyczna (i termodynamika) zajmuje się przede wszystkim układami dużymi, liczacymi
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 15. Termodynamika statystyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html TERMODYNAMIKA KLASYCZNA I TEORIA
Bardziej szczegółowoCiało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.
1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki
Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 5 stycznia 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 5 stycznia 2019 1 / 27 Wielkości
Bardziej szczegółowogęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zespół mikrokanoniczny. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zespół mikrokanoniczny P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Granica termodynamiczna Typowe układy rozważane w termodynamice sa bardzo duże: maja N 10 23 czasteczek i
Bardziej szczegółowoStara i nowa teoria kwantowa
Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż
Bardziej szczegółowoZadania z Fizyki Statystycznej
Zadania z Fizyki Statystycznej 1. Wyznaczyć skok wartości pochodnej ciepła właściwego w temperaturze krytycznej dla gazu bozonów, w temperaturze w której pojawia się konensacja [1].. Wyznaczyć równanie
Bardziej szczegółowoWarunki równowagi i rozkład kanoniczny. H0 E 1 EL 8E 1 < W i HE i L ~ E i W 2 E - E 1 W 1 E 1. iloczyn W 2 HE - E 1 L W 1 HE 1 L E 1 = E
Warunki równowagi i rozkład kanoniczny. W HEL = W 1 HE 1 L W 2 HE - E 1 L 8E 1 < H0 E 1 EL W i HE i L ~ E i N W 2 E - E 1 W 1 E 1 iloczyn W 2 HE - E 1 L W 1 HE 1 L E 1 = 0 E 1 = E W 2 HE - E 1 L W 1 HE
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoStany skupienia materii
Stany skupienia materii Ciała stałe Ciecze Płyny Gazy Plazma 1 Stany skupienia materii Ciała stałe - ustalony kształt i objętość - uporządkowanie dalekiego zasięgu - oddziaływania harmoniczne Ciecze -
Bardziej szczegółowoProgram MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=
Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoPodstawy termodynamiki
Podstawy termodynamiki Organizm żywy z punktu widzenia termodynamiki Parametry stanu Funkcje stanu: U, H, F, G, S I zasada termodynamiki i prawo Hessa II zasada termodynamiki Kierunek przemian w warunkach
Bardziej szczegółowoTemperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów
Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów opis makroskopowy równowaga termodynamiczna temperatura opis mikroskopowy średnia energia kinetyczna molekuł Równowaga termodynamiczna A B A
Bardziej szczegółowo1 Rachunek prawdopodobieństwa
1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA
TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA Przedmiotem badań są własności układów makroskopowych w zaleŝności od temperatury. Układ makroskopowy Np. 1 mol substancji - tyle składników ile w 12 gramach węgla C 12 N
Bardziej szczegółowoRozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab
Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana Konrad Jachyra I IM gr V lab MODEL STATYCZNY Model statystyczny hipoteza lub układ hipotez, sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub
Bardziej szczegółowoCząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony)
TiFS, Ćwiczenia nr 4 Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony) Jeśli do wielkiej sumy statystycznej zastosuje się klasyczną poprawkę na niezrozróżnialność cząstek to w wyniku otrzymuje się własności cząstek,
Bardziej szczegółowoEfekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Bardziej szczegółowo9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych
9 Rozkład kanoniczny 9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych Jest to funkcja rozkładu w stanie równowagi termodynamicznej, dla układu mogącego wymieniać ciepło z otoczeniem. Układ znajduje się w
Bardziej szczegółowoKrótki przegląd termodynamiki
Wykład I Przejścia fazowe 1 Krótki przegląd termodynamiki Termodynamika fenomenologiczna oferuje makroskopowy opis układów statystycznych w stanie równowagi termodynamicznej bądź w stanach jemu bliskich.
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoTermodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju
Wykład II Przejścia fazowe 1 Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Woda występuje w trzech stanach skupienia jako ciecz, jako gaz, czyli para wodna, oraz jako ciało stałe, a więc lód.
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych Katarzyna Sznajd-Weron Wielkości makroskopowe - termodynamika Termodynamika - metoda fenomenologiczna Fenomenologia w fizyce: widzimy jak
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoWarunki równowagi. Rozkłady: kanoniczny, wielki kanoniczny, izobaryczno-izotermiczny
Warunki równowagi. Rozkłady: kanoniczny, wielki kanoniczny, izobaryczno-izotermiczny 1 Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego nie są łatwe. Wprowadzimy teraz inne rozkłady, przy pomocy
Bardziej szczegółowoProjekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 4 -eoria ermodynamika Równanie stanu gazu doskonałego Izoprzemiany gazowe Energia wewnętrzna gazu doskonałego Praca i ciepło w przemianach gazowych Silniki cieplne
Bardziej szczegółowoWystępują fluktuacje w stanie równowagi Proces przejścia do stanu równowagi jest nieodwracalny proces powrotny jest bardzo mało prawdopodobny.
Wykład 14: Fizyka statystyczna Zajmuje sie układami makroskopowymi (typowy układ makroskopowy składa się z ok. 10 25 atomów), czyli ok 10 25 równań Newtona? Musimy dopasować inne pojęcia do opisu takich
Bardziej szczegółowoWykład Praca (1.1) c Całka liniowa definiuje pracę wykonaną w kierunku działania siły. Reinhard Kulessa 1
1.6 Praca Wykład 2 Praca zdefiniowana jest jako ilość energii dostarczanej przez siłę działającą na pewnej drodze i matematycznie jest zapisana jako: W = c r F r ds (1.1) ds F θ c Całka liniowa definiuje
Bardziej szczegółowoPodstawy termodynamiki
Podstawy termodynamiki Temperatura i ciepło Praca jaką wykonuje gaz I zasada termodynamiki Przemiany gazowe izotermiczna izobaryczna izochoryczna adiabatyczna Co to jest temperatura? 40 39 38 Temperatura
Bardziej szczegółowoPostulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki
Bardziej szczegółowoKwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.
Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. DUALIZM ŚWIATŁA fala interferencja, dyfrakcja, polaryzacja,... kwant, foton promieniowanie ciała doskonale
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny
Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Związek pomiędzy równaniem
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie
Bardziej szczegółowo14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe
14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 14a. wanaliza Krakowie) zmiennych dyskretnych: ciągi
Bardziej szczegółowoZadania treningowe na kolokwium
Zadania treningowe na kolokwium 3.12.2010 1. Stan układu binarnego zawierającego n 1 moli substancji typu 1 i n 2 moli substancji typu 2 parametryzujemy za pomocą stężenia substancji 1: x n 1. Stabilność
Bardziej szczegółowo3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a
3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a literatura: Ingarden, Jamiołkowski i Mrugała, Fizyka Statystyczna i ermodynamika, 9 W.I Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, 14 3.1
Bardziej szczegółowoFIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych
FIZYKA STATYSTYCZA Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych elementów takich jak atomy czy cząsteczki. Badanie ruchów pojedynczych cząstek byłoby bardzo trudnym
Bardziej szczegółowoFizyka 3. Konsultacje: p. 329, Mechatronika
Fizyka 3 Konsultacje: p. 39, Mechatronika marzan@mech.pw.edu.pl Zaliczenie: 1 sprawdzian 30 pkt 15.1 18 3.0 18.1 1 3.5 1.1 4 4.0 4.1 7 4.5 7.1 30 5.0 http:\\adam.mech.pw.edu.pl\~marzan Program: - elementy
Bardziej szczegółowoe E Z = P = 1 Z e E Kanoniczna suma stanów Prawdopodobieństwo wystąpienia mikrostanu U E = =Z 1 Wartość średnia energii
Metoda Metropolisa Z = e E P = 1 Z e E Kanoniczna suma stanów Prawdopodobieństwo wystąpienia mikrostanu U E = P E =Z 1 E e E Wartość średnia energii Średnia wartość A = d r N A r N exp[ U r N ] d r N exp[
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki
Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 11 marca 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 11 marca 2019 1 / 37 Dwa poziomy
Bardziej szczegółowor. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC
VIII.1 Pojęcia mikrostanu i makrostanu układu N punktów materialnych. Prawdopodobieństwo termodynamiczne. Entropia. VIII. Rozkład Boltzmanna VIII.3 Twierdzenie o wiriale Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Uwagi
Bardziej szczegółowoStudnia skończona. Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach:
Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Studnia skończona Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach: V z Okazuje się, że zamiana nie jest dobrym rozwiązaniem problemu
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 3
Termodynamika Część 3 Formy różniczkowe w termodynamice Praca i ciepło Pierwsza zasada termodynamiki Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło właściwe gazów doskonałych Ciepło właściwe ciała stałego
Bardziej szczegółowoTeoria kinetyczna gazów
Teoria kinetyczna gazów Mikroskopowy model ciśnienia gazu wzór na ciśnienie gazu Mikroskopowa interpretacja temperatury Średnia energia cząsteczki gazu zasada ekwipartycji energii Czy ciepło właściwe przy
Bardziej szczegółowoTermodynamika cz. 2. Gaz doskonały. Gaz doskonały... Gaz doskonały... Notes. Notes. Notes. Notes. dr inż. Ireneusz Owczarek
Termodynamika cz. 2 dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Gaz doskonały Definicja makroskopowa (termodynamiczna)
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoXXXI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne
XXXI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne Rozwiąż dowolnie przez siebie wybrane dwa zadania spośród poniższych trzech: Nazwa zadania: ZADANIE T A. Oblicz moment bezwładności jednorodnego
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki
Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Temodynamika
Bardziej szczegółowoWstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron
Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Co to jest fizyka statystyczna? Termodynamika poziom makroskopowy Fizyka statystyczna poziom mikroskopowy Marcin Weron
Bardziej szczegółowoAtomowa budowa materii
Atomowa budowa materii Wszystkie obiekty materialne zbudowane są z tych samych elementów cząstek elementarnych Cząstki elementarne oddziałują tylko kilkoma sposobami oddziaływania wymieniając kwanty pól
Bardziej szczegółowoTeoria kinetyczno cząsteczkowa
Teoria kinetyczno cząsteczkowa Założenie Gaz składa się z wielkiej liczby cząstek znajdujących się w ciągłym, chaotycznym ruchu i doznających zderzeń (dwucząstkowych) Cel: Wyprowadzić obserwowane (makroskopowe)
Bardziej szczegółowoRównowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron Zagadka na początek wykładu Diagram fazowy wody w powiększeniu, problem metastabilności aktualny (Nature, 2011) Niższa temperatura topnienia
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg
Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(
Bardziej szczegółowo2008/2009. Seweryn Kowalski IVp IF pok.424
2008/2009 seweryn.kowalski@us.edu.pl Seweryn Kowalski IVp IF pok.424 Model powłokowy Moment kwadrupolowy w jednocząstkowym modelu powłokowym: Dla pojedynczego protonu znajdującego się na orbicie j (m j
Bardziej szczegółowowymiana energii ciepła
wymiana energii ciepła Karolina Kurtz-Orecka dr inż., arch. Wydział Budownictwa i Architektury Katedra Dróg, Mostów i Materiałów Budowlanych 1 rodzaje energii magnetyczna kinetyczna cieplna światło dźwięk
Bardziej szczegółowo